유리점

수 이론과 대수 기하학에서, 대수적 다양성의 유리점은 좌표가 주어진 필드에 속하는 점이에요.이 필드가 언급되지 않은 경우, 유리수 분야는 일반적으로 이해된다.만약 그 필드가 실수장이라면, 유리점은 일반적으로 실수점이라고 합니다.

유리점을 이해하는 것은 수 이론과 디오판토스 기하학의 중심 목표이다.예를 들어, 페르마의 마지막 정리는 n > $2일$ 때, 식 $x^{n}+y^{n}=1$ + $x^{n}+y^{n}=1$ $x^{n}+y^{n}=1$ $=$ ({displaystyle $x$ $^{n$ $}+y^{n$ }=1 $)$ 의 $x^{n}+y^{n}=1$ 페르마 곡선은 (1 $, 0),$ (0 $,$ 1 $),$ 그리고 n이 짝수일 $경우$ (-1 $,$ 0 $)$ 과 (0, 0) (0, 0)과 ( $0-1)$ 과 (0-1)로 재정리될 수 있다.

정의.

필드 k와 k의 대수적으로 닫힌 확장 K가 주어졌을 때, k에 대한 아핀 품종 X는 k: 계수를 갖는 다항식 $K^{n}$ 의 K $K^{n}$ n(\ $style K^{n$ })에 있는 공통 0 집합이다.

\displaystyle f_{1}(x_{1},\ldots,x_{n})=0,\ldots,f_{r}(x_{1},\displaystyle,x_{n}=0.}

이러한 공통 0을 X의 점이라고 합니다.

X의 k-점(또는 k-점)은 k에 속하는ⁿ X의 점, 즉 f(a₁, ...a_n)=0이 되는_j k의 n개 요소의 배열(a₁, ...a_n)이다.X의 k-합리점 집합은 종종 X(k)로 표시됩니다.

때때로 필드 k가 이해되거나 k가 유리수의 필드 Q일 때 k-합리점 대신 "합리점"이라고 말할 수 있다.

예를 들어, 방정식의 단위 원의 유리점은

x^{2}+y^{2}=1

유리수의 쌍이다.

\leftflac {a} {c}}, {\flac {b} {c}}\right},

여기서 $(a,b,c)$ ( $(a,b,c)$ $(a,b,c)$ $)$ ({ $displaystyle (a, b, c)}$ 는 $(a,b,c)$ 피타고라스어의 삼중음이다.

이 개념은 보다 일반적인 설정에서도 의미가 있습니다.밭 k에 투사적 다양한 X사영 공간에 씨. 동차 다항식의 컬렉션에 의해 변수에 x0,...,xn. 씨.의 k-point, 쓰여진[a0,...,an], k, 모든 0n+1 요소의 시퀀스에 의해, 이해는 모든 a0의,, 또한 multiplying한 것과 함께 주어진다...정의될 수 있한 k의 같은 영이 아닌 요소에 의해 같은 poin을 준다.투사 공간에서 t.그러면 X의 k점은 주어진 다항식이 사라지는 P의ⁿ k점을 의미한다.

일반적으로 필드 k 위의 스킴으로 X를 설정합니다.이것은 체계 f:X → Spec(k)의 형태론이 주어진다는 것을 의미한다.그리고 X의 k점은 형태소 a: Spec(k) → X이며, 구성 fa가 Spec(k) 상의 동일성을 나타낸다.이는 X가 아핀 또는 투영 품종(k에 대한 체계로 간주)인 경우의 이전의 정의와 일치한다.

X가 대수적으로 닫힌 필드 k 위의 다양성일 때, X의 구조의 대부분은 k-합리점의 집합 X(k)에 의해 결정된다.그러나 일반 필드 k의 경우 X(k)는 X에 대한 부분 정보만 제공합니다.특히 필드 k 및 임의의 필드 확장 E에 걸친 다양한 X에 대해 X는 X의 E-합리점 집합 X(E)를 결정한다.즉, X는 E의 값으로 X를 정의하는 방정식의 집합을 의미한다.

예: X를 실수 R 위의 아핀 평면² A의 원뿔 곡선² x + y² = -1로 합니다.그러면 실수의 제곱이 음이 아니기 때문에 실수의 집합 X(R)는 비어 있습니다.한편, 대수기하학의 용어에서는, 복소점 X(C)의 집합이 비어 있지 않기 때문에, 대수적 다양성 X over R은 비어 있지 않다.

보다 일반적으로, 교환환 R 및 임의의 교환환 R-대수 S에 대한 체계 X에 대해, X의 S점의 집합 X(S)는 규격(S) → 규격(R)에 대한 형태소 집합을 의미한다.스킴 X는 함수 S x X(S)에 의해 동형사상으로 결정되며, 이것은 스킴을 포인트의 함수로 식별하는 철학이다.또 하나의 공식은 스킴 X over R이 스킴_S X over S를 베이스 변경에 의해 결정하고, X의 S점(오버 R)을 X의_S S점(오버 S)으로 식별할 수 있다는 것이다.

디오판토스 방정식의 이론은 전통적으로 적분점의 연구를 의미했는데, 이는 유리수 Q가 아닌 정수 Z에 있는 다항식 방정식의 해를 의미한다.x + y³ = z와³ 같은³ 균질 다항식의 경우, 모든 유리점을 적분점으로 스케일링할 수 있기 때문에 두 문제는 본질적으로 동일하다.

곡선의 유리점

많은 수의 이론은 매끄러운 사영 변종이라는 편리한 배경인 대수 변종의 유리점에 대한 연구로 볼 수 있다.매끄러운 투영 곡선의 경우 합리적인 점의 동작은 곡선의 속성에 따라 크게 달라집니다.

0속

필드 k에 걸친 0속 각각의 매끄러운 투영곡선 X는 P의² 원뿔(도 2) 곡선과 동형이다.X가 k-합리점을 갖는다면 P/k와¹ 동형상이므로 그 k-합리점을 완전히 ^[1]이해할 수 있다.k가 유리수의 필드 Q(또는 보다 일반적으로 숫자 필드)인 경우, Hasse 원칙에 따라 특정 원뿔에 유리점이 있는지 여부를 판단하는 알고리즘이 있습니다.원뿔에 유리점이 있는 것은 Q의 모든 보완점, 즉 R과 모든 p-adic 필드_p Q에 대한 점이 있는 경우뿐입니다.

1속

1속 곡선이 유리점을 가지고 있는지 아닌지는 판단하기 어렵다.예를 들어, 에른스트 셀머에 따르면, P의² 입방곡선 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0은 Q의 모든 완성에 대한 점을 가지지만 유리점은 ^[2]없다.1속 곡선에 대한 Hasse 원칙의 실패는 Tate-Shafarevich 그룹에 의해 측정된다.

만약 X가 k-합리점₀ p를 갖는 1속 곡선의 경우, X를 k 위의 타원 곡선이라고 한다.이 경우, X는 (p를 0 원소로 하는₀) 교환 대수군의 구조를 가지며, 따라서 k-합리점의 집합 X(k)는 아벨 군이다.모르델-바일 정리는 숫자 필드 k에 대한 타원 곡선(또는 더 일반적으로 아벨 다양성) X에 대해 아벨 군 X(k)가 완전히 생성된다고 말한다.컴퓨터 대수 프로그램은 많은 예에서 Mordell-Weil 그룹 X(k)를 결정할 수 있지만, 이 그룹을 계산하는 데 항상 성공하는 알고리즘이 있는지는 알려지지 않았다.그것은 테이트-샤파레비치군이 유한하다는 추측 또는 관련된 버치-스위너톤-다이어 ^[3]추측에서 뒤따를 것이다.

최소 2속

팔팅스의 정리(이전의 모르델 추측)는 숫자장 k에 대한 최소 2속 X에 대해 집합 X(k)는 ^[4]유한하다고 말한다.

수 이론의 위대한 업적 중 일부는 특정 곡선의 합리적인 점을 결정하는 것에 해당한다.예를 들어, 페르마의 마지막 정리(Richard Taylor와 Andrew Wiles에 의해 설명됨)는 정수 n이 적어도 3일 때, Q 위의 P에서² 곡선의ⁿ x + yⁿ = z의ⁿ 유일한 유리점은 명백한 점이라는 진술과 같다: [0,1,1]; [0,1-1,1],1.X 곡선(P의² n도 평활 곡선처럼)은 (n - 1)(n - 2)/2의 속성을 가진다.

숫자 필드 위에 적어도 2속 임의의 곡선에서 모든 유리점을 찾는 알고리즘이 있는지 여부는 알려지지 않았다.경우에 따라서는 유효한 알고리즘이 있습니다.그 종료는 일반적으로 수장에 걸친 아벨 다양성의 타이트-샤파레비치군이 유한하고,^[5] 곡선의 경우, 브라워-마닌 방해물이 하세 원리에 대한 유일한 방해물이라는 추측으로부터 뒤따를 것이다.

고차원

합리적 요점이 적은 품종

고차원에서 하나의 통일 목표는 숫자 필드 k에 대한 일반적인 유형의 모든 X에 대해 X의 k-합리점 집합이 X의 자리스키 밀도가 아니라는 봄비에리-랑 추측이다. (즉, k-합리점은 X의 저차원 하위 변동의 유한 결합에 포함된다.)차원 1에서, 곡선은 적어도 2개의 속인 경우에만 일반적인 유형이기 때문에, 이것은 정확히 팔팅스의 정리이다.랭은 또한 고바야시 쌍곡선에 대한 유리점의 미세성을 ^[6]더 세밀하게 추측했다.

예를 들어, 봄비에리-랑 추측은 숫자장 위의 투영 공간ⁿ P의 d도의 매끄러운 초표면은 d ≤ n + 2일 경우 자리스키 조밀 유리점을 가지지 않는다고 예측한다.그 사건에 대해 알려진 것은 많지 않다.봄비에리-랑 추측에서 가장 잘 알려진 결과는 (곡선의 경우를 일반화하는) 아벨 다양성의 하위 다양성에 대한 팔팅스의 정리이다.즉, 만약 X가 숫자 필드 k 위의 아벨 다양체 A의 부분변수라면, X의 모든 k-합리점은 ^[7]X에 포함된 아벨 부분변수의 변환의 유한한 결합에 포함된다. (따라서 X가 양의 치수의 변환된 아벨 부분변수를 포함하지 않는다면, X(k)는 유한하다.)

합리적인 포인트가 많은 품종

반대로 숫자장 k에 걸친 품종 X는 X의 E-합리점이 X에 Zariski 밀도가 되도록 k의 유한확장장장 E가 있으면 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는다고 한다.Frédéric Campana는 품종이 일반적인 형태의 ^[8]정차원 오비폴드에 대해 합리적인 교정이 없을 경우에만 잠재적으로 밀도가 높다고 추측했다.알려진 사례는 숫자 필드 k 위의 P의³ 모든 입방체 표면은 (더 강하게) k의 유한한 확장에 대해 합리적이 되기 때문에 잠재적으로 조밀한 유리점을 갖는 것이다(평면 입방체 곡선 위의 원뿔이 아닌 한).캄파나의 추측은 또한 숫자장 위의 K3 표면 X(P의³ 매끄러운 4차 표면 등)에 잠재적으로 조밀한 유리점이 있다는 것을 암시한다.이는 X가 타원형 ^[9]진동을 하는 경우와 같이 특별한 경우에만 알려져 있습니다.

기본 필드를 확장하지 않고 품종이 합리적인 점을 갖는 경우 질문할 수 있습니다.숫자장에 대한 P의ⁿ d도인 초서면 X의 경우, d가 n보다 훨씬 작을 때, 종종 Hardy-Littlewood 원 방법에 기초할 때 좋은 결과가 나타난다.예를 들어, Hasse-Minkowski 정리에 따르면, Hasse 원리는 숫자장 위의 4차원 하이퍼서페이스에 대해 성립한다(사례 d = 2).Christopher Hooley는 n 8 ^[10]8일 때 P/Q에서ⁿ 매끄러운 입방체 초면에 대한 Hasse 원리를 증명했다.고차원에서는 더 많은 것이 사실이다. 로저 히스-브라운에 ^[11]의해 P over Q의ⁿ 매끄러운 입방체마다 n , 9일 때 유리점이 있다.보다 일반적으로, 버치의 정리는 모든 n µ N에 대해, Q에 대한 P도ⁿ d의 모든 초서면이 유리점을 가지도록 모든 홀수 양의 정수 d에 대해 N이 존재한다고 말한다.

(정도의 관점에서) 크기가 작은 하이퍼서페이스의 경우 일이 더 복잡해질 수 있습니다.예를 들어, Ian Cassels와 Richard ^[12]Guy에 의해 매끄러운 입방체 표면 5x³ + 9y³ + 10z³ + 12w³ = 0의³ P/Q에 대해 Hasse 원리가 실패합니다.장-루이 콜로-텔렌은 입방체 표면에 대한 하세 원리에 대한 유일한 방해물이라고 추측했다.보다 일반적으로, 이것은 번호 필드에 ^[13]걸쳐 합리적으로 연결된 모든 다양성에 대해 유지되어야 합니다.

경우에 따라서는 X가 합리적인 점을 가질 때마다 "많은" 점을 가지고 있는 것으로 알려져 있습니다.예를 들어, Beniamino Segre와 Yuri Manin의 작업을 확장하면, Jannos Kollar는 2차원 이상의 입방체 초면 X가 원뿔이 아닌 완벽한 필드 k에 대해 K-합리점을 ^[14]갖는 경우, K에 대해 X가 일이성적이라는 것을 보여주었다.(특히 k 무한대의 경우, 단일성은 k-합리점 집합이 X에서 Zariski 밀도임을 의미한다.)Manin 추측은 Fano 품종에서 유계 높이의 유리점 수의 점근점을 설명하는 보다 정확한 진술이다.

유한 필드에 대한 포인트 카운트

유한 필드 k에 대한 다양성 X는 k-합리점의 최종 개수에 불과하다.치수 1에서는 André Weil에 의해 증명되고, 어떤 차원에서도 Pierre Deligne에 의해 증명된 Weil 추측은 X의 베티 수 측면에서 k-점 수에 대한 강력한 추정치를 제공한다.예를 들어, X가 순서 k의 필드 k에 대한 g속(주력)의 매끄러운 투영 곡선인 경우,

{\sqrt {q} X(k) -(q+1) {\leq} 2g {\sqrt {q}}.

순서 k의 장에 걸쳐 P의 d도인ⁿ 매끄러운 초면 X의 경우, 델리뉴의 정리는 다음과 같은 ^[15]경계를 구한다.

{{displaystyle} X(k) -(q^{n-1}+\cdots +q+1){\leq {(d-1)^{n+1}+(-1){d}{\bigg}{n-1}{n-1}}{n-1}}{n-1}}{n-1}}{n-1}}}}q^{n-1}{n-1}}{n-1}}}}{n-1}}}}{n-1}}{n-1}}}{n-1}}}{n-1}n-1}}}}}}}}n-1}}

또한 유한 필드 k에 대한 투영 다양성이 적어도 하나의 k-합리점을 갖는 경우에 대한 유의한 결과도 있다.예를 들어, Chevalley-Warning 정리에 따르면 유한 필드 k에 대한 P의ⁿ 모든 초서면 X는 d ≤ n일 경우 k-합리점을 가진다.매끄러운 X의 경우, 이것은 또한 모든 매끄러운 사영적 사슬이 유한 필드 k에 걸쳐 다양한, 예를 들어 모든 Fano 품종을 연결하는 ^[16]k-합리점을 갖는다는 Héléne Esnault의 정리로부터도 나타난다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Hindry & Silverman (2000),정리 A.4.3.1.
^ Silverman (2009), 비고 X.4.11.
^ Silverman (2009), 추측 X.4.13.
^ Hindry & Silverman (2000),정리 E.0.1
^ 스코로보가토프(2001), 섹션 6,3.
^ Hindry & Silverman (2000), 섹션 F.5.2.
^ Hindry & Silverman (2000),정리 F.1.1.1.
^ 캄파나(2004), 추측 9.20.
^ Hassett(2003년),정리 6.4
^ 헐리(1988), 정리.
^ 히스 브라운(1983), 정리.
^ 콜리오텔렌, 카네프스키 & 산수크(1987), 섹션 7.
^ Coliot-Thélene (2015), 섹션 6.1.
^ Kollarr(2002년),정리 1.1
^ Katz(1980), 섹션 II.
^ Esnault(2003년), Collollary 1.3.

레퍼런스

Campana, Frédéric (2004), "Orbifolds, special varieties and classification theory" (PDF), Annales de l'Institut Fourier, 54 (3): 499–630, doi:10.5802/aif.2027, MR 2097416
Colliot-Thélène, Jean-Louis; Kanevsky, Dimitri; Sansuc, Jean-Jacques (1987), "Arithmétique des surfaces cubiques diagonales", Diophantine Approximation and Transcendence Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1290, Springer Nature, pp. 1–108, doi:10.1007/BFb0078705, ISBN 978-3-540-18597-0, MR 0927558
Esnault, Hélène (2003), "Varieties over a finite field with trivial Chow group of 0-cycles have a rational point", Inventiones Mathematicae, 151 (1): 187–191, arXiv:math/0207022, Bibcode:2003InMat.151..187E, doi:10.1007/s00222-002-0261-8, MR 1943746
Hassett, Brendan (2003), "Potential density of rational points on algebraic varieties", Higher Dimensional Varieties and Rational Points (Budapest, 2001), Bolyai Society Mathematical Studies, vol. 12, Springer Nature, pp. 223–282, doi:10.1007/978-3-662-05123-8_8, ISBN 978-3-642-05644-4, MR 2011748
Heath-Brown, D. R. (1983), "Cubic forms in ten variables", Proceedings of the London Mathematical Society, 47 (2): 225–257, doi:10.1112/plms/s3-47.2.225, MR 0703978
Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry: an Introduction, Springer Nature, ISBN 978-0-387-98981-5, MR 1745599
Hooley, Christopher (1988), "On nonary cubic forms", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1988 (386): 32–98, doi:10.1515/crll.1988.386.32, MR 0936992
Katz, N. M. (1980), "The work of Pierre Deligne" (PDF), Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978), Helsinki: Academia Scientiarum Fennica, pp. 47–52, MR 0562594
Kollár, János (2002), "Unirationality of cubic hypersurfaces", Journal of the Mathematical Institute of Jussieu, 1 (3): 467–476, arXiv:math/0005146, doi:10.1017/S1474748002000117, MR 1956057
Poonen, Bjorn (2017), Rational Points on Varieties, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3773-2, MR 3729254
Silverman, Joseph H. (2009) [1986], The Arithmetic of Elliptic Curves (2nd ed.), Springer Nature, ISBN 978-0-387-96203-0, MR 2514094
Skorobogatov, Alexei (2001), Torsors and Rational Points, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-80237-6, MR 1845760

외부 링크

Colliot-Thélène, Jean-Louis (2015), Local-global principles for rational points and zero-cycles (PDF)

[1] Hindry & Silverman (2000),정리 A.4.3.1.

[2] Silverman (2009), 비고 X.4.11.

[3] Silverman (2009), 추측 X.4.13.

[4] Hindry & Silverman (2000),정리 E.0.1

[5] 스코로보가토프(2001), 섹션 6,3.

[6] Hindry & Silverman (2000), 섹션 F.5.2.

[7] Hindry & Silverman (2000),정리 F.1.1.1.

[8] 캄파나(2004), 추측 9.20.

[9] Hassett(2003년),정리 6.4

[10] 헐리(1988), 정리.

[11] 히스 브라운(1983), 정리.

[12] 콜리오텔렌, 카네프스키 & 산수크(1987), 섹션 7.

[13] Coliot-Thélene (2015), 섹션 6.1.

[14] Kollarr(2002년),정리 1.1

[15] Katz(1980), 섹션 II.

[16] Esnault(2003년), Collollary 1.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Search

유리점

네임스페이스

더

목차

정의.

곡선의 유리점

0속