자동형수

이 글에는 참고문헌, 관련 독서 또는 외부 링크 목록이 수록되어 있으나 인라인 인용구가 부족하여 출처가 불분명하다. 보다 정확한 인용문을 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2013년 3월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수학에서 자동형수(원형수라고도 함)는 주어진 $숫자{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$의 자연수로서 숫자 자체와 같은 숫자로 제곱이 "끝"이다.

정의 및 속성

Given a number base ${\displaystyle b}$, a natural number ${\displaystyle n}$ with ${\displaystyle k}$ digits is an automorphic number if ${\displaystyle n}$ is a fixed point of the polynomial function ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ over ${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k$$}\mathbb {Z} }$, the ring of integers modulo ${\displaystyle b^{k}}$. As the inverse limit of ${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$ is ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$, the ring of ${\displaystyle b}$-adic integers, automorphic numbers are used to find the numerical repre$Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 대한 $f{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 고정 지점 전송$.$

예를 들어 $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle b=10}$을$($를) 사용하는 경우 $f{\displaystyle (}$x${\displaystyle }$) = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle f(x)=x^{2$}}개의 10-adic 고정점이 4개 있는데,$$이 중 마지막 10자리는 이들 중 하나이다.

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0000000001}$

${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle 8212890625}$ ${\displaystyle \ldots 8212890625}($OEIS의 시퀀스 A018247)

${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle 1787109376}$ ${\displaystyle \ldots 1787109376}($OEIS의 시퀀스 A018248)

Thus, the automorphic numbers in base 10 are 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (sequence A003226 in the OEIS).

A fixed point of ${\displaystyle f(x)}$ is a zero of the function ${\displaystyle g(x)=f(x)-x}$. In the ring of integers modulo ${\displaystyle b}$, there are ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ zeroes to ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$, where the prime omega function ${\displaystyle \omega (b)}$ is the number of distinct prime factors in ${\displaystyle b}$. An element ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$ is a zero of ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ if and only if ${\displaystyle x\equiv 0{modp}^{v_p}}$${\displaystyle x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$ or ${\displaystyle x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$ for all ${\displaystyle p b}$. Since there are two possible values in ${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$, and there are ${\displaystyle \omega (b)}$ such ${\displaystyle p b}$, there are ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ zeroes of ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$, and thus there are ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ fixed points of ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$. According to Hensel's lemma, if $다항함수$ modulo $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 $k{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ b$}$ 또는$$ 고정된 점이 있고$,$ 그 다음 $동일$한 함수의 0 또는 고정된$$ 점이 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$의 모든 검정력 모듈로 존재하며$,$ 이는 역한계에 그대로 적용된다. 따라서 주어진 b 기준 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에는 ${\displaystyle {2\Omega (b}^{}}$) ${\$ 2$^{\omega(b)}$${\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ -adic$$ 고정점 f${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}개가 있다$$$.$

0은 항상 0점이기 때문에 0과 1은 항상 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$의 고정점$(\$0과 1은 모든 베이스에서 자동점수다. 이 해법들은 사소한 자동형 숫자라고 불린다. $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 기본 전원일 $경우{\displaystyle }$ b$${\$displaystyle$b} -adic$$ 숫자의 링에 0 이외의 제로가 없으므로 $f{\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 고정점만 0과 1이다$$. 따라서 0과 1이 아닌 비자동형 숫자는 기준 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$이(가) 최소 두 개의 고유한 주요 요인을 가질$$ 때만 존재한다.

기준 b의 자동형 수

모든 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ -adic$$ 번호는 기본 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 표시되며$,$ A-Z를 사용하여 10 ~ 35의 자릿수 값을 나타낸다.

$(\displaystyle b)$	$b{\displaystyle }${\$displaystyle b}$의 주요 요인	$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ /${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$의$$f${\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 고정점	${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ -adic$$ 고정점 $f{\displaystyle (x}$)${\displaystyle }$= x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$	$기준{\displaystyle }$ b ${\displaystyle b}$의 자동 형식 번호
6	2, 3	0, 1, 3, 4	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ $\displaystyle \ldots 2221350213}$ $\displaystyle \ldots 3334205344}$	0, 1, 3, 4, 13, 44, 213, 344, 5344, 50213, 205344, 350213, 1350213, 4205344, 21350213, 34205344, 221350213, 334205344, 2221350213, 3334205344, ...
10	2, 5	0, 1, 5, 6	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ $\displaystyle \ldots 8212890625}$ $\displaystyle \ldots 1787109376}$	0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, ...
12	2, 3	0, 1, 4, 9	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ ${\displaystyle \ldots 21{\text{B}}61{\text{B}}3854}$ ${\displaystyle \ldots 9{\text{A}}}05{\text{A}}08369}$	0, 1, 4, 9, 54, 69, 369, 854, 3854, 8369, B3854, 1B3854, A08369, 5A08369, 61B3854, B61B3854, 1B61B3854, A05A08369, 21B61B3854, 9A05A08369, ...
14	2, 7	0, 1, 7, 8	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ $\displaystyle \ldots 7337{\text{A}{\text{A}}}{\text{C}37}$ ${\displaystyle \ldots 6{\text{A}{\text{A}}}633{\text{D1}{\text{A}}$	0, 1, 7, 8, 37, A8, 1A8, C37, D1A8, 3D1A8, 3D1A8, A0C37, 33D1A8, AA0C37, 633D1A8, 7AA0C37, 37A0C37, A633D1A8, 337AA0C37, AA633D1A8, 6AA633D1A8, 7337AA0C37, ...
15	3, 5	0, 1, 6, 10	${\displaystyle \ldots 0000000000}$ ${\displaystyle \ldots 0000000001}$ ${\displaystyle \ldots 624{\text{D}4{\text}{\text}{B}}{\text{D}{\text{A}}}$ ${\displaystyle \ldots 8{\text{C}}{\text{A1}{\text{A}}3146{\text{A}}$	0, 1, 6, A, 6A, 86, 46A, A86, 146A, DA86, 3146A, BDA86, 4BDA86, A3146A, 1A3146A, D4BDA86, 4D4BDA86, A1A3146A, 24D4BDA86, CA1A3146A, 624D4BDA86, 8CA1A3146A, ...
18	2, 3	0, 1, 9, 10	...000000 ...000001 ...4E1249 ...D3GFDA
20	2, 5	0, 1, 5, 16	...000000 ...000001 ...1AB6B5 ...I98D8G
21	3, 7	0, 1, 7, 15	...000000 ...000001 ...86H7G7 ...CE3D4F
22	2, 11	0, 1, 11, 12	...000000 ...000001 ...8D185B ...D8KDGC
24	2, 3	0, 1, 9, 16	...000000 ...000001 ...E4D0L9 ...9JAN2G
26	2, 13	0, 1, 13, 14	...0000 ...0001 ...1G6D ...오9JE
28	2, 7	0, 1, 8, 21	...0000 ...0001 ...AAQ8 ...H1L
30	2, 3, 5	0, 1, 6, 10, 15, 16, 21, 25	...0000 ...0001 ...B2J6 ...H13A ...1Q7F ...S3MG ...CSQL ...아이랩
33	3, 11	0, 1, 12, 22	...0000 ...0001 ...1KPM ...VC7C
34	2, 17	0, 1, 17, 18	...0000 ...0001 ...248H ...VTPI
35	5, 7	0, 1, 15, 21	...0000 ...0001 ...5MXL ...TC1F
36	2, 3	0, 1, 9, 28	...0000 ...0001 ...DN29 ...MCXS

확장

자동형 번호는 b-adic $계수$가 ${\displaystyle i_{}}${\$displaystyle a_{n}$인 $도{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$$(x$)$$=$\underset{}{\overset{}{}}{}_{}\underset{}{\overset{}{}}$a i $x^{}$ i ${\$의 어떤 다항 함수로도 확장될 수 있다$.$ 이 일반화된 자동화된 숫자들은 나무를 형성한다.

아형수

다항식 $함수$가 f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle f(x)=ax^{2$}}일 $때{\displaystyle }${\$displaystyle$a} -automorphic$$ number가 발생한다.

For example, with ${\displaystyle b=10}$ and ${\displaystyle a=2}$, as there are two fixed points for ${\displaystyle f(x)=2x^{2}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }$ (${\displaystyle x=0}$ and ${\displaystyle x=8}$), according to Hensel's 보조정리기는 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0893554688}$

베이스 10의 2-형성 숫자는 0, 8, 88, 688, 4688...

트리모픽 숫자

다항식 $함수$가 f${\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ $(\$일 때 trimorphic number 또는 구형 number가 발생한다.$$^[1] 모든 자동형 번호는 trimorphic이다. 원형과 구형이라는 용어는 이전에 모든 힘이 숫자 자체와 같은 마지막 숫자를 갖는 약간 다른 숫자의 경우를 위해 사용되었다.^[2]

$b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle b=10}$의 경우$,$ trimorphic 번호는 다음과 같다.

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (sequence A033819 in the OEIS)

$b{\displaystyle }$= ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle b=12}$의 경우$,$ trimorphic 번호는 다음과 같다.

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB, ...

프로그래밍 예제

반항하다 홍합_레마마(다항식_기능, 밑의: 인트로, 힘: 인트로):     """헨젤의 보조정리."""     만일 힘 == 0:         돌아오다 [0]     만일 힘 > 0:         뿌리. = 홍합_레마마(다항식_기능, 밑의, 힘 - 1)     new_roots = []     을 위해 뿌리를 내리다 에 뿌리.:         을 위해 i 에 범위(0, 밑의):             new_i = i * 밑의 ** (힘 - 1) + 뿌리를 내리다             new_root = 다항식_기능(new_i) % 포우(밑의, 힘)             만일 new_root == 0:                 new_roots.덧셈을(new_i)     돌아오다 new_roots  밑의 = 10 숫자 = 10  반항하다 오토모픽_오토모닉 노멀(x):     돌아오다 x ** 2 - x  을 위해 i 에 범위(1, 숫자 + 1):     인쇄하다(홍합_레마마(오토모픽_오토모닉 노멀, 밑의, i)) 

참고 항목

• 산술역학
• 카프레카르 수
• P-adic 수
• P-adic 분석
• 제로 디비저

참조

• PlanetMath의 1-자성 수 예제.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Automorphic number". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Trimorphic Number". MathWorld.