카마이클 수

수론에서 카마이클 수(Carmichael number)는 $합성수{\displaystyle }$n {\$displaystyle$ n$\}$이며, 모듈러 산술에서 합집합 관계를 만족시킵니다.

${\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}$

모든 $정수{\displaystyle }$ b ${\displaystyle$ b$\}$^[1]에 대해 입력합니다.관계는 다음과 같은 형태로 표현될^{[2][failed verification]} 수도 있습니다.

${\displaystyle b^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}1}$ ( ${\displaystyle mod}$n )$${\$displaystyle$ b$^{n-1}\equiv$ 1${\pmod {n$

상대적으로 n {\$displaystyle$ n$\}$인 모든 $정수{\displaystyle }$ b$${\$displaystyle$b$}$에 대하여. 카마이클 수는 1950년에 니콜라스 비거가 도입한 용어인 미국 수학자 로버트 카마이클의 이름을 따서 명명되었습니다. (외이스타인 오레는 1948년에 그것들을 "페르마트 성질"을 가진 수, 또는 줄여서^[3] "F 수"로 언급했습니다.)그들은 ^[4]수가 무한합니다.

이들은 페르마의 작은 정리의 엄격한 대화가 성립하지 않는 비교적 드문 사례를 구성합니다.이 사실은 그 정리를 원시성의 ^[5]절대적인 검정으로 사용하는 것을 금지합니다.

카마이클 수들은 크뇌델 수들의₁ 부분 집합 K를 형성합니다.

개요

페르마의 작은 정리는 만약 $p{\displaystyle }${\$displaystyle$ p$}$가 소수라면, 임의의 $정수{\displaystyle }$ b$${\$displaystyle$b$\}$에 대하여, ${\displaystyle {숫자}^{}}$b -$$ {\$displaystyle b^{p}-$b$$}는$$p {\$displaystyle$p}의 정수배라는 것입니다. 카마이클 수는 같은 성질을 가진 합성수입니다.카마이클 수는 페르마 의사 소수 또는 절대 페르마 의사 소수라고도 불립니다.카마이클 수는 실제로 소수는 아니지만 모든 기저 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ b$}$에 상대적으로 소수인 페르마 소수성 검정을 통과합니다.이것은 페르마의 작은 정리에 기초한 테스트를 베일리와 같은 강력한 가능성이 있는 원시 테스트보다 덜 효과적으로 만듭니다.PSW 원시성 검정과 Miller-Rabin 원시성 검정.

그러나 카마이클 수는 오일러-야코비 유사 소수이거나 모든 기저에 대한^[6] 강한 유사 소수이므로 이론적으로 오일러 또는 강력한 가능성 있는 소수 검정은 카마이클 수가 실제로 합성임을 증명할 수 있습니다.

Arnault는^[7] 307 미만의 모든 주요 베이스에 강력한 의사 기본값인 397자리 Carmichael $숫자{\displaystyle }$ N ${\displaystyle$ N$}$을(를) 제공합니다.

${\displaystyle N=p\cdot (313(p-1)+1)\cdot (353(p-1)+1)}$

어디에

${\displaystyle p}$ $=$ {\$displaysty$ p=} 2967449566885510550154176429053273077199179985304350505099507553127683831717701995942385964281211880336647542183456249316872883

131자리 프라임입니다.${\displaystyle p}${\$displaystyle$ p$}$는 N ${\displaystyle$ N$\}$의 가장 작은 소인수이므로, 이 카마이클 수는 또한 p$${\$displaystyle$ p$\}$보다 작은 모든 기저에 대한 (꼭 강하지는 않은) 의사 소수입니다.

숫자가 많아질수록 카마이클 숫자는 점점 더 희귀해집니다.예를 들어, 1과 10²¹ 사이의 카마이클 수는 20,138,200개입니다(약 50조(5¹³·10)).^[8]

코르셀의 기준

카마이클 수에 대한 대안적이고 동등한 정의는 코르셀트의 기준에 의해 제시됩니다.

정리 (A. Korselt 1899):양의 합성 $정수$ n$${\$displaystyle$ n$}$은$($는) n {\$displaystyle$ n$}$이 정방형이 없는 $경우$에만 Carmichael 숫자이고,$$n {\$displaystyle$n}의 모든 소수$$p {\$displaystyle$p}에 ${\displaystyle \mathrm{대해서}}$는 p - ${\displaystyle 1}$∣ ${\displaystyle \mathrm{n}}$- 1 {\$displaystyle p-1\mid$ n-1$\}$이 참입니다.

제곱이 없는 짝수 합성수는 적어도 하나의 홀수 소수를 가지며, 따라서 $p{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$∣ n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}${\$displaystyle p-1\mid n-1}$는 홀수, 즉 모순을 짝수로 나누는 결과를 낳기 때문에 이 정리에서 모든 카마이클 수는 홀수라는 것을 따릅니다.(카마이클 수의 기묘함은 ${\displaystyle -1}${\$displaystyle -1}$이$({\displaystyle }$는) 임의의 짝수 합성수에 대한 페르마 증인이라는 사실에서도 따옵니다.)기준으로부터 카마이클 수는 ^[9][10]순환적이라는 것도 따르게 됩니다.게다가, 정확히 두 개의 소수를 가진 카마이클 수는 없다는 것이 뒤따릅니다.

디스커버리

코르셀트는 카마이클 수의 기본적인 성질을 관찰한 최초의 사람이었지만, 그는 어떤 예도 제시하지 않았습니다.1910년에^[11] 카마이클은 "카마이클 수"라는 이름을 설명하는 561이라는 최초의 작은 수를 발견했습니다.

그 561이 카마이클 숫자라는 것은 코르셀트의 기준으로 알 수 있습니다.실제로, ${\displaystyle 561}$ = ${\displaystyle 3}$ ⋅ ${\displaystyle 11}$ ⋅ ${\displaystyle 17}${\$displaystyle 561$ = $3$∣ $cdot$ 11 ∣ $cdot$ 17$}$은 사각형이 없고 $2$ ∣ ${\displaystyle 560}${\$displaystyle$2\$mid$560$\},$ ${\displaystyle 10}$ 560 560$${\$displaystyle$10\$mid$560}, ${\displaystyle 16}$ 560 560$${\$displaystyle$16\$mid$560$\}$입니다.

카마이클 수는 다음과 같습니다(OEIS의 A002997 수열).

${\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;\cdot 12\mid 1104;\cdot 16\mid 1104)}$

${\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;\cdot 12\mid 1728;\cdot 18\mid 1728)}$

${\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;\cdot 16\mid 2464;\cdot 28\mid 2464)}$

${\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;\cdot 12\mid 2820;\cdot 30\mid 2820)}$

${\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;\cdot 22\mid 6600;\cdot 40\mid 6600)}$

${\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;\cdot 18\mid 8910;\cdot 66\mid 8910)}$

561년에서 8911년 사이의 카미카엘 수는 1885년 체코의^[12] 수학자 바츨라프 쉬메르카에 의해 발견되었습니다.^[13]그러나 체코 과학 저널 Chasopis propěstování matematiky a fysiky에 출판된 그의 연구는 주목받지 못했습니다.

1939년 잭 체닉은^[14] 카마이클 수의 부분집합을 만드는 데 사용될 수 있는 정리를 증명했습니다.숫자 $({\displaystyle \mathrm{6k}}$+${\displaystyle 1}$) (${\displaystyle \mathrm{12k}}$ ${\displaystyle +1}$) (${\displaystyle \mathrm{18k}}$+${\displaystyle 1}$ )$${\$displaystyle (6k$+$1)$ ($12k$+ $1)$ ($18k$+$1)}$은 세 인자가 모두 소수인 경우 Carmichael 숫자입니다.이 공식이 무한한 양의 카마이클 수를 생성하는지 여부는 (딕슨의 추측에 의해 암시되지만) 열린 질문입니다.

폴 에르트는 카마이클 수가 무한히 많아야 한다고 휴리스틱하게 주장했습니다.1994년 W. R. 올포드, 앤드류 그랜빌과 칼 포메랑스는 올슨 상수의 경계를 이용하여 무한히 많은 카마이클 수가 존재한다는 것을 증명했습니다.특히 충분히 큰 $n{\displaystyle }${\$displaystyle$ n$\}$의 경우 적어도 n 2${\displaystyle {/7\mathrm{}}^{}}${\$displaystyle$ n$^{2/7}$ 카마이클$$ 수가 1에서${\displaystyle }$n ${\displaystyle {사이}^{}}$에 $있음$을 보여주었습니다$.$ {\$displaystyle$ n$.}$

토마스 라이트는 $만약$ ${\displaystyle$ a$}$와 m$${\$displaystyle$ m$}$이 상대적으로 소수라면, 산술 $진행{\displaystyle }$a + ${\displaystyle k}$⋅ m ${\displaystyle$a + $k\cdot$m$\}$에 무한히 많은 카마이클 수가 있음을 증명했습니다. $여기$서 k = ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 2,}$… ${\displaystyle$ k = $1, 2,\ldots$ $\}.$

1992년 뢰와 니부어는 1,101,518개의 인자와 1,600만 자리 이상의 숫자를 가진 카마이클 수를 포함하여 매우 큰 카마이클 수를 발견했습니다.이것은 10,333,229,505개의 소인수와 295,486,761,^[16]787자리로 개선되었으므로 알려진 가장 큰 카마이클 수는 알려진 가장 큰 소인수보다 훨씬 큽니다.

특성.

인수분해

카마이클 수는 최소 3개의 긍정적인 소인수를 가지고 있습니다.k = ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 4,}$ ${\displaystyle 5,}$… {\$displaystyle$k$$=$3, 4,$ 5,\$ldots$}개의 소인수를 $가진$ 첫 번째 카마이클 수는 다음과 같습니다(OEIS의 A006931 수열).

k
3	${\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17\,}$
4	${\displaystyle 41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,}$
5	${\displaystyle 825265=5\cdot 7\cdot 17\cdot 19\cdot 73\,}$
6	${\displaystyle 321197185=5\cdot 19\cdot 23\cdot 29\cdot 37\cdot 137\,}$
7	${\displaystyle 5394826801=7\cdot 13\cdot 17\cdot 23\cdot 31\cdot 67\cdot 73\,}$
8	${\displaystyle 2322506 19601=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\cdot 37\cdot 73\cdot 163\,}$
9	${\displaystyle 974634772161=7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot 19\cdot 31\cdot 37\cdot 41\cdot 641\,}$

4개의 소인수를 가진 카마이클 수는 다음과 같습니다(OEIS의 A074379 수열).

i
1	${\displaystyle 41041=7\cdot 11\cdot 13\cdot 41\,}$
2	${\displaystyle 62745=3\cdot 5\cdot 47\cdot 89\,}$
3	${\displaystyle 63973=7\cdot 13\cdot 19\cdot 37\,}$
4	${\displaystyle 75361=11\cdot 13\cdot 17\cdot 31\,}$
5	${\displaystyle 101101=7\cdot 11\cdot 13\cdot 101\,}$
6	${\displaystyle 126217=7\cdot 13\cdot 19\cdot 73\,}$
7	${\displaystyle 172081=7\cdot 13\cdot 31\cdot 61\,}$
8	${\displaystyle 188461=7\cdot 13\cdot 19\cdot 109\,}$
9	${\displaystyle 278545=5\cdot 17\cdot 29\cdot 113\,}$
10	${\displaystyle 340561=13\cdot 17\cdot 23\cdot 67\,}$

두 번째 카마이클 수(1105)는 더 작은 수보다 더 많은 방법으로 두 제곱의 합으로 표현될 수 있습니다.세 번째 카마이클 수(1729)는 하디-라마누잔 수: 두 개의 정육면체의 합으로 두 가지 다른 방식으로 표현될 수 있는 가장 작은 수입니다.

분배

C${\displaystyle }$( ${\displaystyle X)}$ ${\displaystyle$ C$(X)}$가 X ${\displaystyle$ X$\}$보다 작거나 같은 Carmichael 숫자의 수를 나타내도록 $합니다{\displaystyle }$.10의 거듭제곱에 의한 카마이클 수 분포(OEIS의 수열 A055553):^[8]

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
${\displaystyle C(10^{n})}$	0	0	1	7	16	43	105	255	646	1547	3605	8241	19279	44706	105212	246683	585355	1401644	3381806	8220777	20138200

1953년 크뇌델은 상한을 증명했습니다.

${\displaystyle C(X)<X\exp \left({-k_{1}\left(\log X\log X\right)^{\frac {1}{2}}\right)}}$

어떤 ${\displaystyle {일정}_{}}$한 k1$${\$displaystyle k_{$1$\}\}$에 대하여.

1956년, Erdős는 다음과 같은 경계를 개선했습니다.

${\displaystyle C(X)<X\exp \left({\frac {-k_{2}\log X\log X}{\log \log X}}\right)}$

어떤 $상수{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {k2\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle k_{2$^[17]에 대하여. 그는 또한 이 상한이 C${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle$ C$(X$의 실제 증가율에 가까워야 함을 암시하는 휴리스틱 논법을 제시했습니다.

다른 방향으로 알포드, 그랜빌 그리고 포메랑스는 충분히 큰 X에^[4] 대하여 1994년에 증명했습니다.

${\displaystyle C(X)>X^{\frac {2}{7}}}$

2005년에, 이 경계는 Harman에 의해^[18] 더욱 향상되었습니다.

${\displaystyle C(X)>X^{0.332}}$

지수를 0≥ = > ${\displaystyle$ 0$.7039\cdot$ 0$.4736$= $0.33336704$> $1/3$로 시킨 사람.

카마이클 수의 점근적 분포와 관련하여 몇 가지 추측이 있습니다.1956년, 에르되시는^[17] 충분히 큰 X에 대해 X${\displaystyle {}^{}}$1 -${\displaystyle o^{}}$ (${\displaystyle {1)}^{}}${\$displaystyle$ X$^{1-o (1)}$ 카마이클$$ 수가 $있다고{\displaystyle {}^{}}$ 추측했습니다.1981년, 포메랑스는^[20] 에르도안의 발견론적 주장을 날카롭게 하여 적어도 다음과 같은 것들이 있다고 추측했습니다.

${\displaystyle X\cdot L(X)^{-1+o(1)}}$

Carmichael은$$최대 X {\$displaystyle$ X$\}$까지 $번호$를 지정합니다. ${\displaystyle \frac{\mathrm{여기}}{}}$서${\displaystyle }$L (${\displaystyle x}$ ) = ${\displaystyle \exp }$ ⁡ ( log ⁡ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ ${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ⁡ ${\displaystyle \frac{\log }{}}$ ⁡ ${\displaystyle \frac{x}{}}$ log ⁡ ${\displaystyle \frac{x}{}}$) ${\displaystyle$ L$(x$) =\$exp${\$left$({\$frac {\log x\log$ \$log$ x$}{\log \log$ x$}}\right$

그러나 현재 계산 범위(최대 10까지²¹ 핀치가^[8] 수행한 카마이클 숫자의 수와 같은) 내부에서는 이러한 추측이 데이터에 의해 아직 입증되지 않습니다.

2021년 다니엘 라센은 1994년 ^[5][21]알포드, 그랜빌, 포메랑스가 처음 추측한 카마이클 수에 대한 베르트랑의 공준의 유사성을 증명했습니다.Yitang Zhang과 James Maynard에 의해 개발된 기술을 사용하여 소수 사이의 작은 간격에 대한 결과를 확립함으로써, 그의 연구는δ > {\$displaystyle \$$delta$ $>0}$ 및 δ$${\$displaystyle$ x}의 관점에서 충분히 큰$$x ${\$$displaystyle$ x$}$에 대해$$적어도 항상 존재할 것이라는 훨씬 강력한 진술을 도출했습니다.

${\displaystyle \exp {\left({\frac {\log {x}}{(\log \log {x})^{2+\log}}\right)}}$

x ${\displaystyle$ x$}$과(와) $사이$의 카마이클 수

${\displaystyle x+{\frac {x}{(\log {x})^{\frac {1}{2+\display}}}}}$

일반화

카마이클 수의 개념은 임의의 수 필드 K에서 카마이클 이상으로 일반화됩니다.${\displaystyle O_{}}$ K ${\${\$mathcal$ ${$$O}_{$$K}}$의 임의의 0이 아닌 소수의 $아이디얼{\displaystyle \mathfrak{}}$ p$$${\$$displaystyle${\${\displaystyle mathfrak\mathfrak{}}$ ${p$${\displaystyle {\}\}}^{}}$에 대하여${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle O}$ K$${\$displaystyle${\mathfrak {p$}}$의 $모든{\displaystyle }$ α$${\$displaystyle \alpha ^{\$$rm {N}({\mathfrak$ {p}})\$equiv \alpha${\$bmod${\$mathfrak$$${$p$가 $있습니다{\displaystyle {}^{}}$. $여기$서 N${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle$${\$$rm {N}}({\mathfrak$ {})$rak {p})}$는 $이상적$인 p$${\$displaystyle${\$mathfrak {p$의 표준입니다. (이것은 p가 소수일 때 모든 정수 m에 대하여 ${\displaystyle m^{}}$ p${\displaystyle {}^{}}$$≡$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle mod}$ p$${\$displaystyle$ m$^{p}\equiv$ m${\bmod {p}}$인 페르마의 작은 정리를 일반화합니다.)${\displaystyle 0_{}}$이 아닌 $아이디얼$을$OK$ {\displaystyle {\$mathcal {O}}_{K}$에서 ${\displaystyle$${\$mathfrak ${a}}$라고 합니다. 만약 그것이 소수의 아이디얼이 아니라면 ${\displaystyle 그리고}$ α${\displaystyle {}^{}}$N (${\displaystyle {a)}^{}}$ ≡ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle moda}${\$displaystyle \alpha$^{\$rm {N}}({\mathfrak {a})}\equiv \alpha${\$bmod${\$mathfrak {a}},$ $모든$ α ∈ $K$에 대해 \$displaystyle$\alpha \$in {\mathcal {O}_{K$ ${\displaystyle 여기}$서${\displaystyle }$N (${\displaystyle }$)$${\$displaystyle${\$rm {}$$N}}({\mathfrak {a}})$은 $아이디얼{\displaystyle \mathfrak{}}$ a$${\$displaystyle${\$mathfrak {a$의 노름입니다. K가 Q$${\$displaystyle \mathbf {Q$일 때, $아이디얼{\displaystyle \mathfrak{}}$ a$${\$displaystyle${\$mathfrak {a}}$는 주(主)입니다.그리고 만약 a를 양의 생성자로 둔다면, 이상 $a{\displaystyle }$= ($)$ {\$displaystyle {\mathfrak$ {a$}}$=$(a$)}는 a가 일반적인 의미에서 카마이클 수일 때 정확히 카마이클입니다.

K가 유리수보다 클 때 카마이클 ${\displaystyle {아이디얼}_{}}$을$OK{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ {\$displaystyle${\$mathcal {O}_{$K$\}\}$ : K에서 완전히 분할되는 임의의 소수 p에 대하여 주 $아이디얼{\displaystyle }$ ${\displaystyle {POK}_{}}${\$displaystyle$ p${\mathcal {O}_{K}$가 카마이클 아이디얼입니다.무한히 많은 소수들이 어떤 수의 장에서도 완전히 쪼개지기 ${\displaystyle {때문}_{}}$에$, OK$ {\$displaystyle {\mathcal {O}}$K}에는 무한히 많은 카마이클 이상이 있습니다. 예를 들어, p가 1 mod 4인 임의의 소수라면, 가우스 정수 Z[i]의 이상 (p)는 카마이클 이상입니다.

소수와 카마이클 수는 다음과 같은 동등성을 만족합니다.

${\displaystyle \gcd \left(\sum _{x=1}^{n-1},n\right)=1.}$

루카스 카마이클 수

양의 합성 $정수$ n$${\$displaystyle$ n$}$은 n$${\$displaystyle$ n$}$이 제곱이 없는 $경우$에만 루카스-카마이클 수이고, n$${\$displaystyle$ n$\}$의 모든 $소수$ p$${\$displaystyle$ p$}$에 대해 p${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$∣ ${\displaystyle n}$+ ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ p + 1$\mid$ n$+1$인 것이 $사실$입니다.루카스 카마이클의 첫 번째 수는 다음과 같습니다.

399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719, 18095, 20705, 20999, 22847, 29315, 31535, 46079, 51359, 60059, 63503, 67199, 73535, 76751, 80189, 81719, 88559, 90287, ...(OEIS 내 서열 A006972)

준카마이클 수

준 카마이클 수는 n의 모든 소인수 p에 대해 p + b가 n + b를 양으로 나누는 성질을 가진 제곱 자유 합성수 n이며 b는 0 이외의 정수입니다.b = -1이면 카마이클 수이고, b = 1이면 루카스-카마이클 수이다.최초의 준 카마이클 수는 다음과 같습니다.

35, 77, 143, 165, 187, 209, 221, 231, 247, 273, 299, 323, 357, 391, 399, 437, 493, 527, 561, 589, 598, 713, 715, 899, 935, 943, 989, 1015, 1073, 1105, 1147, 1189, 1247, 1271, 1295, 1333, 1517, 1537, 1591, 1705, 1729, ... (OEIS의 A257750 시퀀스)

크뇌델 수

주어진 양의 정수 n에 대한 n-Knödel 수는 각각의 i < m coprime to ${\displaystyle m^{}}$이${\displaystyle {}^{}}$i - ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}1}$ ( ${\displaystyle mod}$m )$${\$displaystyle$ i$^{m-n}\equiv$ 1${\pmod {m$를 $만족$하는 성질을 가진 합성수 m입니다.그렇다면 = 1건은 카마이클 번호입니다.

고차 카마이클 번호

카마이클 수는 추상 대수의 개념을 사용하여 일반화될 수 있습니다.

위의 정의는 정수 모듈의 고리_n Z에서 자신으로의 n차 거듭제곱함수 p가 항등 함수일 때 합성_n 정수 n은 정확히 카마이클임을 명시합니다.항등식은 Z의_n 유일한 Z-대수_n 내동형이므로 정의를 다시 말하면 p가 Z의_n 대수 내동형임을 묻습니다_n.위와_n 같이 p는 n이 소수일 때마다 동일한 성질을 만족합니다.

n번째 파워 상승 함수_n p는 또한 임의의_n Z대수 A에 정의됩니다.정리는 모든 그러한 함수가_n 대수적 내동형일 경우에만 n이 소수임을 나타냅니다.

이 두 조건 사이에는 임의의 양의 정수 m에 대한 카마이클 차수 m의 정의가 있는데, 이는_n p가 원소에 의해 Z-모듈로_n 생성될 수 있는 모든 Z-대수에_n 대한 내형이다.주문서 1의 카마이클 번호는 그냥 평범한 카마이클 번호입니다.

주문2 카마이클 번호

하우에 따르면, 17 · 31 · 41 · 43 · 89 · 97 · 167 · 331은 주문서 2 카마이클 번호입니다.이 상품은 443,372,888,629,^[22]441과 같습니다.

특성.

코르셀트의 기준은 하우가 보여주는 것처럼 고차 카마이클 수로 일반화될 수 있습니다.

같은 논문에서 주어진 휴리스틱 논쟁은 어떤 m에 대해서도 m 차수의 카마이클 수가 무한히 많다는 것을 암시하는 것으로 보입니다.그러나 주문번호 3 이상의 Carmichael 번호는 하나도 알려져 있지 않습니다.

메모들

참고문헌

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• Carmichael, R. D. (1912). "On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence ${\displaystyle a^{P-1}\equiv 1{\bmod {P}}}$". American Mathematical Monthly. 19 (2): 22–27. doi:10.2307/2972687. JSTOR 2972687.
• Chernick, J. (1939). "On Fermat's simple theorem" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 45 (4): 269–274. doi:10.1090/S0002-9904-1939-06953-X.
• Korselt, A. R. (1899). "Problème chinois". L'Intermédiaire des Mathématiciens. 6: 142–143.
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• Ribenboim, P. (1989). The Book of Prime Number Records. Springer. ISBN 978-0-387-97042-4.
• Šimerka, V. (1885). "Zbytky z arithmetické posloupnosti (On the remainders of an arithmetic progression)". Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky. 14 (5): 221–225. doi:10.21136/CPMF.1885.122245.

외부 링크

• "Carmichael number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 수학 백과사전
• 카마이클 수의 표
• 많은 소인수를 가진 카마이클 수의 표
• 카마이클 숫자 ${\displaystyle {1018}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{이하}}^{}}$ 표 ${\$ 10$^{18}}$
• "The Dullness of 1729". MathPages.com.
• Weisstein, Eric W. "Carmichael Number". MathWorld.
• 최종답변 모듈식 산술