편광정체성

수학의 한 분야인 선형 대수학에서, 편광 항등식은 두 벡터의 내적을 정규 벡터 공간의 규범으로 표현하는 공식 계열 중 하나입니다. 만약 어떤 표준이 내적인 산물로부터 발생한다면, 양극화 항등식은 이 내적인 산물을 전적으로 그 표준의 관점에서 표현하는 데 사용될 수 있습니다. 양극화 정체성은 규범이 기껏해야 하나의 내적 산물로부터 발생할 수 있음을 보여줍니다. 그러나 어떤 내적 산물로부터 발생하지 않는 규범이 존재합니다.

${\displaystyle \mathrm{내부}}$ 곱 공간과 관련된 규범은 평행사변형 법칙을 만족합니다: ‖ ${\displaystyle x^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ‖ 2 +${\displaystyle }$‖ $x$ - y ‖ 2 = ‖ x ‖ 2 + ‖ y ‖ 2. {\displaystyle \ x+y\ ^{2}+\ x-y\ ^{2}= 2\ x\ ^{2}+2\ y\ ^{2}} 사실, 존 폰 노이만에 의해 관찰된 바와 같이, 평행사변형 법칙은 내부 곱에서 발생하는 규범을 특징짓습니다. Given a normed space ${\displaystyle (H,\ \cdot \ )}$, the parallelogram law holds for ${\displaystyle \ \cdot \ }$ if and only if there exists an inner product ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ on ${\displaystyle H}$ such that ${\displaystyle \Vert x{\Vert }^2=⟨x,}$${\displaystyle \mathrm{모든}}$$x$ $∈$$H$ ${\$displaystyle x\in H,}에 대해${\displaystyle }$x ⟩ ${\displaystyle \x$^${\displaystyle \{}$2}$ang$ x,\$x$\$rangle{\displaystyle \}}$ 이 경우 이 내부 제품은 편광 아이덴티티를 통해 표준에 의해 고유하게 결정됩니다.

양극화 정체성

벡터 공간 위의 임의의 내적은 방정식에 의해 정규분포를 유도합니다.

양극화 정체성은 이 관계를 역전시켜 내부 산물을 정상으로부터 회복시킵니다. 모든 내부 제품은 다음을 만족합니다.

$Re$⁡ ⟨${\displaystyle }$x,$$y$$⟩${\displaystyle \operatorname {Re}$ \lang x,y\rangle }에 대한 풀이는 Re ⁡ ⟨ x, y ⟩ = 12(‖ x + y ‖ 2 - ‖ x ‖ 2 - ‖ y ‖ 2) 공식을 제공합니다. {\displaystyle \operatorname {Re} \lang x,y\rangle = {\frac {1}{2}}\left(\x+y\^{2}-\x\^{2}-\y\^{2}-\y\^{2}\right).$}$내부 제품이 실제인 경우 ${\displaystyle \mathrm{Re}}$$⁡ ⟨$${\displaystyle }$x, $y$$⟩$ $=$ $⟨$ x, y $⟩$ {\displaystyle \operatorname {Re} \$lang$le x,y\rangle $=$\$lang$le x,y\rangle } 이 공식은 실제 내부 제품의 편광 항등식이 됩니다.

실수 벡터 공간

벡터 공간이 실수 위에 있으면 편광 항등식은 다음과 같습니다.^[4]

이러한 다양한 형태는 모두 평행사변형 법칙에 의해 동등합니다.^{[proof 1]}

이는 ${\displaystyle \mathrm{또한}}$ 평행사변형 $법칙$이 만족되지 않는 p ≠ $2$ {\$displaystyle p$\neq 2}일 때마다 ${\displaystyle {Lp}^{}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ 클래스가 힐버트 공간이 아님을 의미합니다. 반례를 위해 일반 도메인 ω ⊂ R {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}의 서로소인 부분집합 A, B {\displaystyle A,B$}$에 $대해$ x = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ y=$1_{$B}를 고려하고 평행사변형 법칙에 따라 두 집합의 측도를 계산합니다.

복소벡터공간

복소수 위의 벡터 공간의 경우, 위의 공식들은 (복잡한) 내부 곱의 허수 부분을 설명하지 않기 때문에 그다지 정확하지 않습니다. 그러나 유사한 표현을 사용하면 실수 부분과 허수 부분이 모두 유지됩니다. 내부 제품의 복잡한 부분은 첫 번째 또는 두 번째 인수에서 반선형인지 여부에 따라 달라집니다. 물리학에서 일반적으로 사용되는 ${\displaystyle 표기법}$ ⟨ $x$$y$ ⟩, {\$displaystyle$ \langle x\rangle,}은 첫 번째 인수에서 반선형으로 가정하고, 수학에서 일반적으로 사용되는 ⟨ x, y ⟩, {\displaystyle \langle x,\,y\rangle,}은 두 번째 인수에서 반선형으로 가정합니다. 이들은 다음 공식과 관련이 있습니다.

${\displaystyle \mathrm{내적}}$의 실수 $부분$은 어떤 x에 대하여 y ∈ $H {\displaystyle$x,y\in H}가 항상 다음과 같은 대칭 쌍선형 지도입니다.

그것은 항상 대칭적인 지도이며, 이것은^{[proof 1]} 다음을 의미합니다.

또한 다음을 만족시킵니다.^{[proof 1]} $따라서$ R${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y)}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle R(}$x$,$ y), {\displaystyle R(ix, y) =-R(x, iy)}, 일반 영어로 i {\displaystyle i}의 인자를 다른 인수로 이동시키려면 음의 부호를 도입해야 합니다.

실제 부분과 달리 복잡한 내부 제품의 상상 부분은 어떤 논증이 반선형인지에 따라 달라집니다.

첫번째 논법에서 반선형

첫 번째 인수에서 반선형인 $내부$ ${\displaystyle 제품}$ ⟨$xy$ ⟩,${\displaystyle \langle$x\, \,y\rangle,}에 대한 편광 ID는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x\, \,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\ x+y\ ^{2}-\ x-y\ ^{2}-i\ x+iy\ ^{2}+i\ x-iy\ ^{2}\right)\\&=R(x,y)-iR(x,iy)\\&=R(x,y)+iR(ix,y)\\\end{alignedat}}}$

여기서 $x{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle y}$는 $H$를 ∈합니다. ${\displaystyle x,y$\in H.} 두 번째부터 마지막까지의 등식은 선형$함수$ φ${\displaystyle$ \varphi}를 실수${\displaystyle \mathrm{부분}}$ 측면에서 표현하는 공식과 유사합니다: φ ($y)$= ${\displaystyle Re}$⁡ φ (y${\displaystyle )}$ - i (Re ⁡ φ) (i ) . {\displaystyle \varphi (y) =\operatorname {Re} \varphi (y$)-$i(\operatorname {Re} \varphi) (iy).$}$

두 번째 논법에서 Antilinear

The polarization identities for the inner product ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle ,}$ which is antilinear in the second argument, follows from that of ${\displaystyle \langle x\, \,y\rangle }$ by the relationship: ${\displaystyle ⟨x,y⟩:=⟨yx⟩=\overline{⟨xy⟩}\text{for all}x,y\in H.}$${\displaystyle \langle$ x,\ $y\$rangl$e$ $:=\l$angle y$\,$ \,x\rang$l$e ={\overline${\langle$ x\, \,y\rangle $}}\q$uad {\text{ for all}}x,y\in H.} 따라서 임의의 x$,$y ∈ H,{\displaystyle x,y\in H,}

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\langle x,\,y\rangle &={\frac {1}{4}}\left(\ x+y\ ^{2}-\ x-y\ ^{2}+i\ x+iy\ ^{2}-i\ x-iy\ ^{2}\right)\\&=R(x,y)+iR(x,iy)\\&=R(x,y)-iR(ix,y).\\\\end{alignat}}}$

이 표현식은 대칭적으로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.^[5]

두 사례의 요약

${\displaystyle \mathrm{따라서}}$ R${\displaystyle }$(${\displaystyle x,}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle I}$(${\displaystyle x,}$ y${\displaystyle }$) ${\displaystyle R (x,$ y) + I ($x,$ y$)}$가 도메인의 ${\displaystyle 점}$ (${\displaystyle x},$ ${\displaystyle y)}$∈ H × H${\displaystyle$ ($x,$ y)\$in H\$times H}에서 내부 제품 값의 실수 부분과 허수 부분을 나타내는 경우, 허수 부분은 다음과 같습니다.

여기서 스칼라 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$는 항상 내부 곱이 반선형이라는 동일한 인수에 위치합니다$$.

$R{\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y)}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle R(}$x$,$ y), {\displaystyle R(ix, y) =-R(x, iy),} 허수 부분에 대한 위의 공식은 다음과 같습니다.

내부 제품 재구성

정규 공간$$(${\displaystyle H,}$‖ ⋅ ‖$)$에서, 평행사변형 법칙이라면 {\displaystyle (H,\cdot \),}

holds, then there exists a unique inner product${\displaystyle \langle \cdot ,\ \cdot \rangle }$ on ${\displaystyle H}$ such that ${\displaystyle \ x\ ^{2}=\langle x,\ x\rangle }$ for all ${\displaystyle x\in H.}$^[4][1]

$주어진$ 노름$$‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \cdot \}를 유도하는 내적이 존재하기 위한 또 다른 필요충분조건은 노름이 Ptolemy의 부등식을 만족시키는 것인데, 이는 다음과 같습니다.

적용 및 결과

$H$ ${\displaystyle H}$가 복소 힐베르트 공간인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$,${\displaystyle }$⟨ $x$∣ y ⟩ {\$displaystyle$\lang x\midy\rangle}는 ${\displaystyle \mathrm{허수}\mathrm{부분}}$이 ${\displaystyle \frac{0}{}}$ =${\displaystyle }$R (${\displaystyle x,}$ i y$)$ = $14$ (‖ x + i y ‖ 2 - ‖ x - i ‖ 2), {\displaystyle 0 = R(x,iy) = {\frac {1}{4}\left(\ x+iy\ ^{2}-\ x-iy\ ^{2}\right),$}$ which happens if and only if ${\displaystyle \ x+iy\ =\ x-iy\ .}$ Similarly, ${\displaystyle \langle x\mid y\rangle }$ is (purely) imaginary if and only if ${\displaystyle \ x+y\ =\ x-y\ .}$ For example, from ${\displaystyle \ x+ix\ = 1+i \ x\ ={\sqrt {2}}\ x\ = 1-i \ x\ =\ x-ix\ }$ it can be concluded that ${\displaystyle \langle x x\rangle }$ is real and that ${\displaystyle \langle x ix\rangle }$ is purely imaginary.

아이소메트리

${\displaystyle A:}$ ${\displaystyle H}$ → Z ${\displaystyle A$일 경우$:$$H\to Z}$는 두 힐베르트 공간 사이의 선형 등각선입니다(따라서 ${\displaystyle \mathrm{모든}}$ H $∈$ H {\displaystyle h\in H}에$$대하여 $‖$$Ah$ $‖$ $=$ $‖$$h$ $‖$ {\$displaystyle$ \$Ah$ $=$\ h\ }). 그러면

즉, 선형 등각법은 내부 생성물을 보존합니다.

${\displaystyle A:}$ ${\displaystyle H}$ → Z ${\displaystyle A$일 경우$:$$H\to Z}$은(는) 반대 선형 등각입니다. 그러면

코사인의 법칙과의 관계

양극화 정체성의 두 번째 형태는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이것은 본질적으로 벡터 $u{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle {\textbf {$u}}, ${\textbf {v}},$ 그리고$$ ${\displaystyle u}$-$$v. {\$displaystyle {\textbf${u}}-{\textbf {v}}-{\textbf {v$}}$에 의해 형성된 삼각형에 대한 코사인의 법칙의 벡터 형태입니다. 특히$$,

여기서$$θ ${\displaystyle$\theta}은$($는) $벡터$ u${\displaystyle {\textbf$ {$u{\displaystyle \}\}}$과$($와) v${\displaystyle {\$textbf {v}} 사이의 각도입니다.

u와 v가 재앙적인 취소로 인해 유사한 경우 등식은 수치적으로 불안정하므로 수치 계산에서는 피해야 합니다.

파생

노름과 도트 곱 사이의 기본 관계는 방정식으로 주어집니다.

그리고나서

마찬가지로

이제 편광 항등식의 형식 (1)과 (2)는 $u$⋅ v, ${\displaystyle {\textbf$ {u$}}\cdot {\textbf$ {v}}에 대한 방정식을 푸는 반면 형식 (3)은 이 두 방정식을 뺀 값을 따릅니다. (이 두 방정식을 더하면 평행사변형 법칙이 됩니다.)

일반화

대칭 쌍선형 형식

양극화 정체성은 내부 제품에만 국한되지 않습니다. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$가 벡터 공간 상의 임의의 대칭 쌍선형 형식이고, $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q$}$가 다음으로 정의되는 2차 형식일 경우

그리고나서

The so-called symmetrization map generalizes the latter formula, replacing ${\displaystyle Q}$ by a homogeneous polynomial of degree ${\displaystyle k}$ defined by ${\displaystyle Q(v)=B(v,\ldots ,v),}$ where ${\displaystyle B}$ is a symmetric ${\displaystyle k}$-linear map.^[7]

위의 공식들은 심지어 스칼라 분야가 특징적인 2를 갖는 경우에도 적용되지만, 이 경우에는 좌변이 모두 0입니다. 결과적으로, 특성 2에서는 2차 형식의 관점에서 대칭 쌍선형 형식에 대한 공식이 없으며, 이들은 사실 L-이론에서 중요한 결과를 가져오는 별개의 개념입니다. 간결성을 위해 이러한 맥락에서 "대칭 쌍선형 형식"은 종종 "대칭 형식"이라고 불립니다.

이러한 공식은 교대 링 위의 모듈에서 쌍선형 형식에도 적용되지만, 다시 2가 링에서 가역적인 경우$$ $B{\displaystyle (u,}$ v${\displaystyle )}$ ${\displaystyle$ B$(u,$ v$)}$만 해결할 수 있으며, 그렇지 않은 경우 이러한 형식은 별개의 개념입니다. 예를 들어, 정수 위에서는 적분 이차 형식과 더 좁은 개념인 적분 대칭 형식을 구별합니다.

더 일반적으로, 링 인볼루션이 있거나 2가 가역적이지 않은 경우,$$ε ${\$displaystyle \varepsilon} -4차 $형식$과$$ε {\displaystyle$$\varepsilon} -대칭 형식을 구별합니다. 대칭 형식은 2차 형식을 정의합니다. 그리고 2차 형태에서 대칭 형태로의 편광 항등식(2의 인수가 없는)을 "symmet라이제이션 맵"이라고 하며, 일반적으로 동형이 아닙니다. 이것은 역사적으로 미묘한 차이였습니다: 1950년대에 이르러서야 "twos out" (적분 이차 형식)과 "twos in" (적분 대칭 형식) 사이의 관계가 이해되었습니다. (적분 이차 형식에서의 논의 참조) 그리고 수술 이론의 대수화에서 미셴코는 원래 대칭 L군을 사용했습니다. 올바른 2차 L군(Wall and Ranicki)이 아닌 – L-이론에서 논의를 참조하십시오.

고차 동차 다항식

마지막으로, 이러한 맥락 중 하나에서 이러한 항등식은 임의의 차수의 균질 다항식(즉, 대수적 형태)으로 확장될 수 있으며, 여기서 이것은 편광 공식으로 알려져 있으며 대수적 형태의 편광에 대한 기사에서 더 자세히 검토됩니다.

참고 항목

• 내부 곱 공간 – 점 곱의 일반화; 힐베르트 공간을 정의하는 데 사용됩니다.
• 코사인의 법칙 – 유클리드 평면상의 모든 삼각형의 성질
• 마주르-울람 정리
• 민코프스키 거리 – 정규 벡터 공간에서의 수학적 메트릭
• 평행사변형 법칙 – 평행사변형의 네 변의 제곱의 합은 두 대각선의 제곱의 합과 같습니다.
• 프톨레마이오스의 부등식

참고사항 및 참고사항

서지학

• Lax, Peter D. (2002). Functional Analysis (PDF). Pure and Applied Mathematics. New York: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-55604-6. OCLC 47767143. Retrieved July 22, 2020.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.