유계 함수

유계 함수(빨간색)와 유계 함수(파란색)의 개략도입니다.직관적으로 유계 함수의 그래프는 수평 대역 내에 머무르는 반면, 유계 함수의 그래프는 수평 대역 내에 머무르지 않습니다.

수학에서, 어떤 집합 X에 정의되는 함수 f는 그 값의 집합이 유계되면 유계라고 불린다.즉, 실수 M이 존재하기 때문에

\displaystyle f(x) \leq M

모든 ^[1]X-in-X에 대해.유계되지 않은 함수는 ^{[citation needed]}유계함수라고 한다.

f가 실수값이고 f(x) a A일 경우, 함수는 위의 (원래) A에 의해 경계가 있다고 한다.X의 모든 x에 대해 f(x) for B일 경우, 함수는 B에 의해 아래로부터 경계가 있다고 한다.실수값 함수는 위와 아래에서 ^[1]^{[additional citation(s) needed]}경계가 있는 경우에만 경계가 지정됩니다.

중요한 특수한 경우는 유계수열이며, 여기서 X는 자연수의 집합 N으로 간주됩니다.따라서 다음과 같은 실수 M이 존재할 경우 시퀀스 f = (a₀, a₁, a₂, ...)는 유계된다.

a_{n} \leq M

모든 자연수 n에 대해모든 제한 시퀀스의 세트는 시퀀스 공간 $l^{\infty }$ ${\$ {\ $displaystyle$ l $^{\infty$ ^{[citation needed]}을 형성합니다.

유계성의 정의는 이미지 f(X)가 ^{[citation needed]}Y의 유계 집합임을 요구함으로써 보다 일반적인 공간 Y에서 값을 취하는 함수 f : X → Y로 일반화할 수 있다.

예

사인 함수 sin : R → R은 모든 $x\in \mathbf {R}$ R {\ $displaystyle$ $|\sin(x)|\leq 1$ x $\in \mathbf {R}$ ^[1]^[2]}에 대해 $|\sin(x)|\leq 1$ ( x $|\sin(x)|\leq 1$ ) $|\sin(x)|\leq 1$ 1 {\ $displaystyle \sin(x$ ) \ $leq$ 1 }이므로 $|\sin(x)|\leq 1$ 경계가 지정됩니다.
$f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ 및 1을 제외한 모든 실수 x에 $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ 정의된 $($ x) $=$ ( $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ 2 - $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ 1) - 1 {{ $displaystyle$ f $(x$ )=( $x^{2}-1)^{-1$ $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ 는 무제한입니다.x가 -1 또는 1에 가까워질수록 이 함수의 값은 크기가 커집니다.이 함수는 도메인을 [2, )] 또는 (-∞, -2)^{[citation needed]}로 제한하면 경계를 설정할 수 있습니다.
함수 ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ ( x ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ ) $=$ ( ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ 2 + ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ ) - ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ 1 ( $x^{2$ }+1 $)^{-1$ 는 $모든$ ^{[citation needed]}x에 대해 f ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ ( $x$ 1 ( $x)$ \ $leq$ 이므로 ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ 경계입니다.
y = $arctan(x)$ 또는 x = $tan (y)$ 로 정의된 역삼각함수 아크탄젠트는 모든 실수 x에 대해 증가하며 -로 제한됩니다. / / 2 < y < 2^[3] / 2 $radians$
유계성 정리에 의해 f : [0, 1] → R과 같은 닫힌 간격의 모든 연속 함수는 ^[4]유계된다.보다 일반적으로 콤팩트 공간에서 미터법 공간으로 이어지는 모든 연속 함수는 ^{[citation needed]}유계된다.
전체인 모든 복소수 함수 f : C → C는 Liouville의 [5]정리의 결과로 무한하거나 상수이다.특히, 복합 sin : C → C는 ^{[citation needed]}전체이므로 무한해야 한다.
x 유리수의 경우 0, x 무리수의 경우 1의 값을 취하는 함수 f(cf).디리클레 함수)가 경계입니다.따라서 함수를 경계화하기 위해 "나이스"일 필요는 없습니다.[0, 1]에 정의된 모든 경계 함수의 집합은 해당 ^{[citation needed]}간격의 연속 함수 집합보다 훨씬 큽니다.또한 연속 함수는 한정할 필요가 없습니다. 예를 들어 $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ g : $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 2 $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ g:\ $mathbb {R} ^{2}\to$ \ $mathbb$ ${R$ $}$ 및 $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ : ( $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ ) 2 $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ h $:(0,1)^{2}\to \mathbbb$ {R $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ } ( $g(x,y):=x+y$ ) $g(x,y):=x+y$ $g(x,y):=x+y$ x 로 정의됩니다. $=x+$ y $g(x,y):=x+y$ } $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ ( $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ , y $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ ) : = $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ + y \ $displaystyle h(x,$ y): $=syslogfrac {1}{x+$ y}}은 $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ (는) 모두 연속형이지만 둘 다 ^[6]경계가 없습니다.(단, 연속 함수의 도메인이 닫히고^[6] 경계가 있는 경우 연속 함수는 경계가 있어야 합니다.)