대칭 이선형

수학에서 벡터공간의 대칭 이선형태는 벡터공간의 두 복사본에서 스칼라장까지 이선형 지도로서 두 벡터의 순서가 지도의 값에 영향을 미치지 않는다. In other words, it is a bilinear function $B$ that maps every pair $(u,v)$ of elements of the vector space $V$ to the underlying field such that $B(u,v)=B(v,u)$ for every $u$ and ${\displays$ $V$ $V$ 의 $v$ $tyle$ v $V$ 그것들은 또한 "이변"이 이해되었을 때 단지 대칭적인 형태라고 더 간략하게 언급된다.

유한차원 벡터 공간에서 대칭 이선형 형태는 V에 대해 주어진 대칭 행렬에 정확하게 대응한다. 이선형 중 대칭형은 벡터공간이 직교기준으로 알려진 특별히 단순한 종류의 기준을 인정하는 형태이기 때문에 중요하다(적어도 장 특성이 2가 아닐 때).

대칭 이선형식 B로 주어진 함수 q(x) = B(x, x)는 벡터 공간에서 연관된 2차형식이다. 더욱이 필드의 특성이 2가 아닌 경우, B는 q와 연관된 고유한 대칭 이선형이다.

형식 정의

V를 필드 K 위에 있는 차원 n의 벡터 공간이 되게 한다. 지도 $B:V\times V\rightarrow K$ : $B:V\times V\rightarrow K$ $B:V\times V\rightarrow K$ V $B:V\times V\rightarrow K$ → $B:V\times V\rightarrow K$ ${\디스플레이 스타일$ B $:$ $V\times V\rightarrow K$ }는 $B:V\times V\rightarrow K$ 다음과 같은 경우 공간에 대칭 이선형이다.

$\displaystyle B(u,v)=B(v,u)\\quad \forall u,v\in V}$
$(\displaystyle B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \for u,v,w\in V}$
$\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\\quad \all \lambda \in K,\all v,w\in V}$

마지막 두 공리는 첫 번째 주장에서만 선형성을 설정하지만, 첫 번째 공리(대칭성)는 두 번째 주장에서도 즉시 선형성을 내포한다.

예

Let Vⁿ = R, n차원 실제 벡터 공간. 그러면 표준 도트 제품은 대칭 이선형, B(x, y) = x ⋅ y이다. 이 이선형식(아래 참조)에 해당하는 행렬은 ID 행렬이다.

V를 벡터 공간(가능한 무한 차원 포함)으로 하고, T가 V에서 필드까지의 선형 함수라고 가정한다. 그렇다면 B(x, y) = T(x)T(y)로 정의한 함수는 대칭 이선형이다.

V를 연속적인 단일 변수 실제 함수의 벡터 공간이 되게 하라. For $f,g\in V$ one can define $\textstyle B(f,g)=\int _{0}^{1}f(t)g(t)dt$ . By the properties of definite integrals, this defines a symmetric bilinear form on V. 이것은 (벡터 공간이 무한 차원이기 때문에) 어떤 대칭 행렬과도 연관되지 않는 대칭 이선형 형태의 예다.

행렬 표현

$C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ C $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ = $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ { e $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ … $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots, e_{n}\}}$ 을(를) V의 기본이 되게 한다 $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ . $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ × n by A i j = B ( $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ , $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ ) $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ $A_{ij}=B(e_{i$ },e_ ${j}}}을($ 를) 정의하십시오 $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ 행렬 A는 이선형식의 대칭에 정확히 기인하는 대칭행렬이다. n×1 매트릭스 x가 이 기준과 관련하여 벡터 v를 나타내고, 이와 유사하게 y가 w를 나타내는 경우, $B(v,w)$ , $B(v,w)$ ) $B(v,w)$ 는 다음에 의해 주어진다 $B(v,w)$ .

x^{\mathsf{T}Aay=y^{\mathsf{T}Ax.

Suppose C' is another basis for V, with : ${\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}$ S $}$ 과 ${\begin{bmatrix}e'_{{1}}&\cdots &e'_{{n}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{{1}}&\cdots &e_{{n}}\end{bmatrix}}S$ (와) 변환 불가능한 n×n 행렬. 이제 대칭 이선형 형태에 대한 새로운 행렬 표현은 다음과 같다.

A'=S^{\mathsf{T}AS.

직교성 및 특이성

대칭 이선형태는 항상 반사적이다. 두 벡터 v와 w는 B(v, w) = 0이면 B(w, v)와 관련하여 직교하는 것으로 정의된다. 즉, 반사성 때문에 B(w, v) = 0이다.

이선형 형태 B의 래디컬은 V의 모든 벡터와 직교하는 벡터 집합이다. 이것이 V의 하위 공간이라는 것은 각각의 주장에서 B의 선형성에서 따온 것이다. 매트릭스 표현 A로 작업할 때, x로 대표되는 v는 만약의 경우에 한해서만 과격하다.

Ax=0\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 x^{\mathsf{T}A=0.

매트릭스 A는 과격파가 비극성인 경우에만 특이하다.

W가 V의 부분 집합인 경우, 직교보완물 W는^⊥ W의 모든 벡터에 직교하는 V의 모든 벡터 집합이며, V의 하위 공간이다. B가 퇴화되지 않을 때 B의 과격은 사소한 것이고^⊥ W의 치수는 희미하다(W^⊥) = 딤(V) - 딤(W)

직교 기준

기본 $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ = $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ { $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ … $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , e $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots, e_{n}\}}$ 은(는) B에 대해 직교한다 $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ .

B(e_{i},e_{j}=0\ \ forall i\neq j.

필드의 특성이 2가 아닐 때 V는 항상 직교적 기초를 가진다. 이것은 유도하여 증명할 수 있다.

기준 C는 행렬 표현 A가 대각 행렬인 경우에만 직교한다.

시그니처와 실베스터의 관성 법칙

좀 더 일반적인 형태에서 실베스터의 관성 법칙은 순서에 따라 작업할 때 각각 양, 음, 영인 행렬의 대각선화된 형태의 대각선 원소의 수는 선택된 직교 기준과 무관하다고 말한다. 이 세 숫자는 이선형의 서명이 된다.

리얼 케이스

실제보다 더 넓은 공간에서 일할 때는 조금 더 멀리 갈 수 있다. $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ = $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ { $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ … $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , e $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots, e_{n}\}}$ 을(를) 직교 기준으로 $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ 한다.

새로운 기준 $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ = $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ { e $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ , $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ … , $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots, e_{n}\}}$ 을(를) 정의한다.

e'_{i}={\begin}e_{i}&{\text{{{}}{{i}}}}}B(e_{i}})=0\\{\frac {e_}{\sqrt{B(e_{i}e_}e_{i}}i}}}}}}}}}})}}}&{\text{{}{{i}}}B(e_{i})}0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt{-B(e_{i}}e_{i}}}}}}}}}&{\text{{}{{i}}}B(e_{i},e_{i}}<0\end{case}}}}}

이제 새로운 행렬 표현 A는 대각선에 0, 1, -1만 있는 대각 행렬이 될 것이다. 과격파가 비경쟁적일 경우에만 영이 나타날 것이다.

콤플렉스 케이스

복잡한 숫자보다 더 많은 공간에서 일할 때, 더 멀리 갈 수도 있고 더 쉽다. $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ = $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ { $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ … $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ , e $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ $C=\{e_{1},\ldots, e_{n}\}}$ 을(를) 직교 기준으로 $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ 한다.

새로운 기준 $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ = $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ { e $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ , $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ … , $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ $C'=\{e'_{1},\ldots, e_{n}\}}$ $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ :

e'_{i}={\begin{case}e_{i}&gt;{\text{}}}}}\B(e_{i}})=0\\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i}e_}e_{i}}}}}}}}}}}}}}}}&{\text{if}}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\\case}}}

이제 새로운 행렬 표현 A는 대각선에 0과 1만 있는 대각 행렬이 될 것이다. 과격파가 비경쟁적일 경우에만 영이 나타날 것이다.

직교 극성

B는 2가 아닌 특성을 가진 필드 K 위에 있는 공간 V의 사소한 급진성을 가진 대칭 이선형 형태가 되도록 하자. 이제 V의 모든 하위 영역의 집합인 D(V)에서 그 자체로 지도를 정의할 수 있다.

[\displaystyle \alpha :D(V)\오른쪽 화살표 D(V):W\mapsto W^{\perp }}}

이 지도는 투사 공간 PG(W)의 직교 극성이다. 반대로 모든 직교 극성이 이런 방식으로 유도된다는 것을 증명할 수 있으며, 사소한 급진성을 가진 두 개의 대칭 이선형 형태가 만약 그들이 스칼라 곱셈까지 같다면 그리고 그만이 동일한 극성을 유도한다는 것을 증명할 수 있다.

참조

Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992). Algebra: An Approach via Module Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 136. Springer-Verlag. ISBN 3-540-97839-9. Zbl 0768.00003.
Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Vol. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
Weisstein, Eric W. "Symmetric Bilinear Form". MathWorld.

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