리에즈-피셔 정리

수학에서, 실제 분석에서의 Riesz-Fischer 정리는 정사각형 통합함수의 공간² L의 특성에 관하여 밀접하게 관련된 많은 결과들 중 하나이다.이 정리는 1907년 프리지예스 리츠와 에른스트 지기스문트 피셔에 의해 독립적으로 증명되었다.

많은 저자들에게 리에즈-피셔 정리란 르베그 통합 이론의$$ Lp 공간 ${\displaystyle L^{}}$ $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ L$^{p}$가 완성되었다는 사실을 말한다.

현대적인 형태의 정리

정리의 가장 일반적인 형태는${\displaystyle }$[ -${\displaystyle \pi }$ ,${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$에서 측정할 수 있는 함수는 Lp $공간{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$. ${\displaystyle$ L$^{2$}에서 해당 푸리에 시리즈가 수렴되는 경우에만 사각형 통합이 가능하다고$$ 명시하고 있다$.$$$ 즉, 제곱합성함수 f에 해당하는 푸리에 시리즈의 N번째 부분합이 주어지는 경우

여기서 F ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle F_{n}}$은(는) n번째 Fourier 계수에 의해 주어진다.그때여기서 $\Vert {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \Vert {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은$$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2$}}$$-norm이다.

반대로${\displaystyle }${${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이(가) 다음과 같은 복잡한 숫자의 양면 순서(즉, 그 지수는 음의 무한대에서 양의 무한대로)인 경우

f가 사각형 통합 가능한 함수 f가 있고 n ${\$ ${\displaystyle {값}_{}}$이 f의 푸리에 계수인 값이$$ 있다.

리에즈-피셔 정리의 이러한 형태는 베셀의 불평등의 더 강한 형태로서 푸리에 시리즈에 대한 파르세발의 정체성을 증명하는 데 사용될 수 있다.

다른 결과를 흔히 리에즈-피셔 정리(Dunford & Schwartz 1958, §IV.16)라고 부른다.그 중에는 A가 힐베르트 공간 H, 그리고 $x{\displaystyle h}$ H ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$x\$in H,}$에 설정된 정형외과적이라면 그$$ 정리가 있다.

거의$$ 대부분의 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle y\in$ A$,}$ 및더욱이, A가 H와 x의 직교 기준이라면, 시리즈는 임의 벡터다.x에 상응하여(또는 무조건적으로) 수렴하다.이는 모든 > ${\displaystyle \varepsilon >0,}$에 대해$$ 다음과 같은 유한 집합 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 존재한다고 말하는 것과 같다.B를₀ 포함하는 모든 유한 집합 B에 대해.더욱이, 세트 A의 다음 조건은 동일하다.

• A 세트는 H의 정형화된 기초다.
• 모든 벡터 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle x\in$ H$,}$에 대해

$$\displaystyle \ x\ ^{2}=\sum _{y\in A} \langle x,y\angle ^{2}.}$$

때로는 리즈와 피셔의 이름도 담고 있는 또 다른 결과는 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2}}($또는 보다 일반적으로 p, { ${\displaystyle L^{p},0<p\lq \infty$ 이 완성되어 있는 정리다.

예

Riesz-Fischer 정리는 보다 일반적인 환경에서도 적용된다.Let R be an inner product space consisting of functions (for example, measurable functions on the line, analytic functions in the unit disc; in old literature, sometimes called Euclidean Space), and let ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ be an orthonormal system in R (e.g. Fourier basis, Hermite or Laguerre polynomials, etc. – s직교 다항식), 반드시 완전한 것은 아니다(내부 제품 공간에서는 비제로 벡터가 세트의 모든 벡터에 직교하지 않으면 직교 집합이 완성된다).이 정리는 정규화된 공간 R이 완성되면$({\displaystyle }$즉 ${\displaystyle {}_{}}$이 힐버트 공간이다${\displaystyle {}_{}}$ 유한 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ 2$$${\displaystyle$\{$c_{n}\}}}}$ 한정된 2 2 {\$displaystyle \ell ^{2$}} 표준이$$$$ 공간 R에서 함수 f를 정의한다고 주장한다.

함수 f는 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{R-규격}}}$에서 $f{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{lim}}$ n${\displaystyle \underset{}{}}$→ ${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{\overset{}{}}}$ k${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ c ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle f=\lim _{n\to \inft }\sum$_{k$=0}^{n_{k}}\varphi _{k}},$ } 제한으로$$ 정의된다.

베셀의 불평등과 결합하여 우리는 그 반대도 알고 있다: 만약 f가 R의 함수라면 푸리에 계수$({\displaystyle f}$, $){\displaystyle (f,\varphi _{n})$은 유한 ${\displaystyle {\ell \mathrm{}}^{}}$ 2${\$}}정규범을 갖는다$$.

역사: Riesz의 노트와 Fischer의 노트 (1907)

그의 노트에서, Riesz(1907, 페이지 616)는 다음과 같은 결과 (여기서는 한 지점에서 현대어로 번역된다: 1907년에 $표기법{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$( [ a ,${\displaystyle b])}$ ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$는 사용되지 않았다$$.)를 명시하고 있다.

내버려두다 $\displaystyle \왼쪽\{\varphi _{n}\오른쪽\}}}}$에 있어서 정형화된 시스템이다 ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ 그리고 ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}}}$ 연속 실탄시리즈 $\sum {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$}}의 수렴은 함수의 존재에 필요하고도 충분한 조건이다$$. f 그런

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi _{n}(x)\\mathrm {d}x=a_{n}\n}\text{\text{{}}}} 매{n}.}$$

오늘날, Riesz의 이 결과는 힐버트 공간의 직교 벡터 시리즈에 관한 기본적인 사실의 특별한 경우다.

리에즈 노트는 3월에 등장했다.In May, Fischer (1907, p. 1023) states explicitly in a theorem (almost with modern words) that a Cauchy sequence in ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ converges in ${\displaystyle L^{2}}$-norm to some function ${\displaystyle f\in L^{2}([a,b]).$$}$ In this Note, Cauchy sequences are called "sequences converging in the mean" and ${\displaystyle L^{2}([a,b])}$ is denoted by ${\displaystyle \Omega .}$ Also, convergence to a limit in ${\displaystyle L^{2}}$–norm is called "convergence in the mean towards a function".여기 프랑스어로 번역된 문구가 있다.

정리. $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 속하는 함수 시퀀스가 평균에 수렴되는$$ 경우, $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Oomega}$에 시퀀스가 평균에 수렴되는 함수 f가 존재한다.

Fischer는 시스템의 직교성 및 $.$ {\$displaystyle L^{2$}의 완전성의 결과로 리에즈의 선행 결과를 증명하는 작업을 계속한다$.$$}$

피셔의 완전성 증명은 다소 간접적이다.주어진 Cauchy 시퀀스에서 함수 g의_n 무한 통합 즉,

$[{\displaystyle }$ a ,${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$에 균일하게 수렴하며, 경계 변동을 가진 연속적인 일부 함수 G.카우치 수열의 한계 $g{\displaystyle }$ limit$$ L 2${\$ L$^{2}}의 존재$는 르베그 이론으로부터 G 분화 이론에 적용함으로써 얻는다.
리에즈는 노트에서 비슷한 추론을 사용하지만, 그의 결과가 이렇게 해석될 수도 있지만$$, $L{\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$, ${\displaystyle L^{2$}의 완전성에 대해서는 명시적으로 언급하지 않는다.그는 주어진 제곱합계수와 기간별 삼각계열의 통합으로, 한정된 변동을 갖는 연속함수 F에 균일하게 수렴되는 계열을 얻는다고 말한다.거의 모든 곳에서 정의되는 F의 파생상품 F는 제곱합이며 푸리에 계수는 주어진 계수를 가지고 있다.

L의^p 완전성, 0 < p ≤ ∞

특히 로이덴을 비롯한 일부 저자의 경우,^[1] 리에즈-피셔 정리(${\displaystyle {Riesz-Fischer}^{}}$ $Organization)$는 L p ${\$$displaystyle$ L$^{p}}$의 함수의 모든 카우치 시퀀스가 ${\displaystyle {p-norm}^{}}$에 의해 유도된 메트릭 아래$$ $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$, ${\displaysty$ $L$$^{p}$의 함수로 수렴되는$$ $결과물$이다.아래의 증거는 Lebesgue 적분에 대한 수렴 이론에 기초한다; 모든 Cauchy 시퀀스는 빠르게 수렴되는 Cauchy 하위 시퀀스를 가지고 있고, 모든 Cauchy 시퀀스는 수렴 하위 시퀀스를 가지고 있으며, 모든 Cauchy 시퀀스는 빠르게 수렴된다는 것을 보여줌으로써$$ $p{\displaystyle [}$ [$1,$] ${\displaystyle ]}$ ${\displaysty p\in}$에 대해서도 결과를 얻을 수 있다.$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$의 uchy 시퀀스 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ L$^{p}.$$}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p\mathrm{\infty }}$, ${\displaystyle 1\leq p\leq \infitt ,}$ 밍코프스키 불평등은 Lp space $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}}$이 정규화된 공간임을$$ 암시한다.$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$이(가) 완료되었음을 증명하기 위해, 즉 L ${\displaystyle p^{}}$ ${\$이 바나흐 공간임을 증명하기 위해서는 충분하다(예: 참조).banach space#Definition)는 L ${\displaystyle p^{}}$(${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle L^{p}(\mu )}$에서 함수$$ $\sum {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 증명하는$$ 데 필요한 공간#Definition).

$L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ - 보통$$ 기능 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L^{}}$ p ${\displaystyle {}^{}\mu }$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu).}$ <의 경우$,$ {\$displaystyle p<\inflt ,},$ monotone concolusion conary는 다음을 암시한다.정의 $[\displaystyle \mu }$– 거의 모든 곳에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}\mu }$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu }).$$$ 지배적인 수렴 정리는 $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ L$^{p}}-$norm$$,

사례 < ${\displaystyle$ 0<$p<1}은(는)$ p-norm이 더 이상 하위 가독성이 아니기 때문에 약간의 수정이 필요하다.하나는 보다 강력한 가정으로부터 시작된다.

그리고 그것을 반복적으로 사용한다.사례 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle p=\inflit }$은(는) $\mu s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ - negluggible$$ 집합 외부의 균일한 수렴에 대한 단순한 질문으로 줄어든다$$.

참고 항목

• 바나흐 공간 – 완성된 표준 벡터 공간

참조

• Beals, Richard (2004), Analysis: An Introduction, New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-60047-2.
• Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience.
• Fischer, Ernst (1907), "Sur la convergence en moyenne", Comptes rendus de l'Académie des sciences, 144: 1022–1024.
• Riesz, Frigyes (1907), "Sur les systèmes orthogonaux de fonctions", Comptes rendus de l'Académie des sciences, 144: 615–619.