체비셰프의 부등식

확률론에서 체비셰프의 불평등(비엔에이메라고도 한다)은–체비셰프 불평등)은 광범위한 확률 분포의 경우 값의 특정 부분 이상이 평균으로부터 특정 거리 이상일 수 없음을 보장한다.특히 분포 값의 1/k² 이하가 평균으로부터 k 이상 표준 편차일 수 있다(또는 동등하게 분포 값의 1/k² 이상이 평균으로부터 k 표준 편차보다 작음).이 규칙은 흔히 체비셰프의 정리라고 불리는데, 평균 주위의 표준 편차의 범위에 관한 것이다.불평등은 평균과 분산이 정의된 확률 분포에 적용될 수 있기 때문에 효용이 크다.예를 들어 대수의 약한 법칙을 입증하는 데 사용할 수 있다.

그것의 실제 용도는 정규 분포에만 적용되는 68-95-99.7 규칙과 유사하다.체비셰프의 불평등은 보다 일반적이며, 다양한 확률 분포에 대해 평균의 2 표준 편차 내에 75% 이상, 3 표준 편차 내에 88.89%만 있어야 한다고 명시하고 있다.^[1][2]

체비셰프의 불평등이라는 용어는 특히 분석의 맥락에서 마르코프의 불평등을 언급할 수도 있다.이들은 밀접하게 연관되어 있으며, 일부 저자들은 마르코프의 불평등을 "체비셰프의 제1차 불평등"이라고 언급하고 있으며, 이 페이지에서 이와 유사한 것을 "체비셰프의 제2차 불평등"이라고 언급하고 있다.

역사

이 정리는 비록 그의 친구이자 동료인 이레네-줄스 비에나메에 의해 처음 공식화되었지만, 러시아 수학자 파프누티 체비셰프의 이름을 따서 명명되었다.^{[3]: 98} 이 정리는 1853년^[4] 비엔에이메에 의해 증거 없이 처음 명기되었고 이후 1867년 체비셰프에 의해 증명되었다.^[5]그의 제자 안드레이 마르코프는 1884년 박사 논문에서 또 다른 증거를 제시했다.^[6]

성명서

체비셰프의 불평등은 보통 무작위 변수에 대해 명시되지만, 측정 공간에 대한 진술로 일반화될 수 있다.

확률론적 진술

X(통합형)를 유한 기대값 μ와 유한 비 영분산 σ을² 갖는 랜덤 변수가 되게 한다.그렇다면 어떤 실제 숫자 k > 0에 대해서도,

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {1}{k^{2}}.}$

케이스 > ${\displaystyle k>1}$만이 유용하다.$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\leq 1}$이(가) 오른쪽 ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$k $display$ 1 {\displaystyle ${\frac {1}{k^{$2}}}\$geq 1}$일 때 모든 확률이 ≤ 1이므로 불평등은 사소한 것이다.

As an example, using ${\displaystyle k={\sqrt {2}}}$ shows that the probability that values lie outside the interval ${\displaystyle (\mu -{\sqrt {2}}\sigma ,\mu +{\sqrt {2}}\sigma )}$ does not exceed ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$.

알려진 유한 평균과 분산이 있는 경우 완전히 임의적인 분포에 적용할 수 있기 때문에, 불평등은 일반적으로 관련된 분포에 대해 더 많은 측면이 알려진 경우 추론될 수 있는 것과 비교하여 낮은 구속력을 준다.

k	k 표준 내 최소 % 평균의 일탈	k 표준을 초과하는 최대 % 평균으로부터의 일탈
1	0%	100%
√2	50%	50%
1.5	55.56%	44.44%
2	75%	25%
2√2	87.5%	12.5%
3	88.8889%	11.1111%
4	93.75%	6.25%
5	96%	4%
6	97.2222%	2.7778%
7	97.9592%	2.0408%
8	98.4375%	1.5625%
9	98.7654%	1.2346%
10	99%	1%

측량이론성명세서

(X, μ, μ)를 측정공간으로 하고, f를 X에 정의된 확장된 실제값 측정함수로 한다.그렇다면 0과 0의 어떤 실수 t > p < ∞^[7]에 대해서,

${\displaystyle \mu(\{x\in X\,:\,\, f(x) \geq t\}\1\over t^{p}\int_{f \geq t}f ^{p}\,d\mu .}$

보다 일반적으로 g가 $확장$된 실제 값 측정 가능한 함수, 비음수 및 비음수 함수인 경우, ^{[citation needed]}g$$${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle g(t)\neq 0}:$

${\displaystyle \mu(\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\}\leq {1 \over g(t)\int_{X}g\circle f\,d\mu .}$

그 다음 앞의 $문장$은${\displaystyle }$g${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) {\$displaystyle$ g$(x)}$을(를) ${\displaystyle {}^{}}$p {\$displaystyle$ x ^{$p}}($x$$)로 정의하고, 그렇지 않은 경우 x$$${\displaystyle t}$ t${\displaystystyle$ x\$geq$ t$}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$0 {\$displaystystyle 0}$을(으)로 정의한다.

예

기사당 평균 1000단어의 출처에서 200단어의 표준 편차를 가진 저널 기사를 무작위로 선택한다고 가정합시다.없기 때문에.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output 이상이다 우리들은 그때는 가능성이(평균의 k이내에 즉 x2표준 편차)사이에 600명과 1400단어가 포함되어 있어야 한다에서 75%, 유추할 수 있다 .frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄k2).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{.디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1/4그 범위 밖에, 체비쇼프 부등식에.그러나 분포가 정상이라는 것을 추가로 안다면 단어 수가 770에서 1230 사이일 확률이 75%라고 말할 수 있다(이것은 훨씬 더 엄격한 경계임).

경계의 예리함

위의 예에서 보듯이, 정리는 전형적으로 다소 느슨한 한계를 제공한다.그러나 이러한 한계는 일반적으로 개선될 수 없다(임의적 분포의 경우 진실 유지).한계는 다음 예에 대해 날카롭다: 모든 k 1 1에 대해,

${\displaystyle X={\begin{cases}-1,&{\text{with probability }}{\frac {1}{2k^{2}}}\\0,&{\text{with probability }}1-{\frac {1}{k^{2}}}\\1,&{\text{with probability }}{\frac {1}{2k^{2}}}\end{cases}}}$

이 분포의 경우 평균 μ = 0이고 표준 편차 μ = 1/k이므로

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )=\Pr(X \geq 1)={\frac {1}{k^{2}}.}$

체비셰프의 불평등은 이 사례의 선형 변환인 분포에 대한 정확한 동일성이다.

증명

마르코프의 불평등은 어떤 실제 값 랜덤 변수 Y와 어떤 양수 a에 대해서도 Pr(Y > a) ≤ E(Y )/a가 있다고 말한다.체비셰프의 불평등을 증명하는 한 가지 방법은 마르코프의 불평등을 a = (k³)로 임의변수 ²Y = (X - μ)에 적용하는 것이다.²

${\displaystyle \Pr( X-\mu \geq k\sigma )=\Pr((X-\mu )^{2}\geq k^{2}\sigma ^{2})\leq {\frac {\mathbb {E} [(X-\mu )^{2}]}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{k^{2}\sigma ^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

또한 다음과 같은 조건부 기대치를 사용하여 직접 증명할 수 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma ^{2}&,=\mathbb{E}[(X-\mu)^{2}]\\[5pt]&, =\mathbb{E}[(X-\mu)^{2}\mid k\sigma \leq X-\mu]\Pr[k\sigma \leq X-\mu]+\mathbb{E}[(X-\mu)^{2}\mid k\sigma>X-\mu]\Pr[k\sigma>X-\mu]\\[5pt]&,\geq(k\sigma)[k\sigma \leq X-\mu]+0\cdot \Pr[k\sigma>X-\mu]\\[5pt]&, =k^{2}.\sigma ^{2}\Pr는 경우에는 k\sigma \leq X-\mu ]\end{aigned}}$

체비셰프의 불평등은 그 후 kσ으로²² 나누어 뒤따른다.

이 증거는 또한 X - μ < k³이 버려지는 사건에 대한 조건부 기대와 X - μ μ k³의 사건에 대한 k³의²² 하한이 상당히 저조할 수 있다는 전형적인 사례에서 그 한계가 상당히 느슨한 이유를 보여준다.

확장

체비셰프의 불평등의 몇 가지 연장이 개발되었다.

셀버그 부등식

셀버그는 임의의 간격으로 일반화를 도출했다.^[8]X가 평균 μ와 분산 μ를² 갖는 랜덤 변수라고 가정합시다.셀버그의 불평등은 다음과 같이 말한다^[9].

${\displaystyle \Pr(X\in[\mu -\alpha ,\mu +\beta])\geq{\begin{경우}{\frac{\alpha ^{2}}{\alpha ^{2}+\sigma ^{2}}}&{\text{만약}}\alpha(\beta -\alpha)\geq 2\sigma ^{2}\\{\frac{4\alpha\beta -4\sigma ^{2}}{(\alpha +\beta)^{2}}}&{\text{만약}}2\alpha\beta\geq \sigma ^{2}\geq \alpha(\beta -\alpha)\\0&, \sigma ^{2}\geq \alpha \beta \end.{경우}}}$

$\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$이$($가) 되면 체비셰프의 불평등이 감소한다.이것들은 가장 좋은 한계로 알려져 있다.^[10]

유한차원 벡터

체비셰프의 불평등은 자연스레 다변량 설정으로 확장되는데, 여기서 평균 μ와_i 분산이 μ인_i² 임의 변수 X가_i n개 있다.그러면 다음의 불평등이 지속된다.

${\displaystyle \Pr \left(\sum _{i=1}^{n}-\mu_{i}}^{n}}\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}^{2}\rigma _{i}\lq}{1}{k^{k^2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이것은 2차원으로 그것을 증명했던 작가들의 이름을 따서 Birnbaum-Raymond-Zuckerman 불평등이라고 알려져 있다.^[11]이 결과는 벡터 X = (X₁₂, X, ...), 평균 μ = (μ₁₁, μ₂₂, ...), 표준 편차 μ = (μ, μ, ...), 유클리드 표준 ⋅에서 다시 쓸 수 있다.^[12]

${\displaystyle \Pr(\ X-\mu \geq k\ \sigma \ )\leq {1}{k^{2}}.}$

또한 비슷한 무한차원 체비셰프의 불평등을 얻을 수 있다.두 번째 관련 불평등도 첸에 의해 도출되었다.^[13]n을 확률 벡터 X의 치수가 되게 하고 E(X)를 X의 평균이 되게 한다.S를 공분산 행렬로 하고 k > 0으로 한다.그러면

${\displaystyle \Pr \left(X-\operatorname {E}(X))^{T}S^{-1}(X-\operatorname {E}(X))(<k\오른쪽)\geq 1-{\frac{n}{k}}}}}$

여기서 Y는^T Y의 전치물이다.불평등은 마할라노비스 거리(Mahalanobis distance)의 관점에서 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Pr \left(d_{S}^{2})(X,\operatorname {E}(오른쪽)\geq 1-{\frac{n}{k}}}}}}$

여기서 S에 기초한 마할라노비스 거리는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle d_{S}(x,y)={\sqrt {(x-y)^{T}S^{-1}(x-y)}}}$

Navarro는^[14] 이 한계들이 날카롭다는 것을 증명했다. 즉, 우리가 단지 X의 평균과 공분산 행렬을 알고 있을 때 그들은 그 지역에 가장 적합한 한계들이다.

스텔라토 외 연구진은 체비셰프 불평등의 다변량 버전은 반다중성 프로그램(SDP)을 풀어서 바운드가 계산되는 반덴버그 외 ^[16]연구소의 특수한 사례로서 분석적으로 쉽게 도출될 수 있음을 보여주었다.[15]

알려진 상관 관계

변수가 독립적이면 이 불평등은 더욱 날카로워질 수 있다.^[17]

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac { X_{i}-\mu _{i} }{\sigma _{i}}}\leq k_{i}\right)\geq \prod _{i=1}^{n}\left(1-{\frac {1}{k_{i}^{2}}}\right)}$

Berge는 두 개의 상관 변수 X₁, X에₂ 대한 불평등을 도출했다.^[18] X와₁ X의₂ 상관 계수가 되고 X의_i²_i 분산이 되도록 한다.그러면

${\displaystyle \Pr \{i=1}^{2}\왼쪽[{\frac {X_{i}-\mu_{i}}{{i}}{\sigma_{{i}}}}{{i}}}}}}}\geq 1-{{{1+{\sqrt{1-}}}}}}}}}}{{{k^^{{k^^^{k^^{k^}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

이 결과는 셀버그의 불평등에서와 같이 두 랜덤 변수에^[19] 대한 상이한 한계와 비대칭 한계를 갖는 것으로 날카로워질 수 있다.^[20]

Olkin과 Pratt는 상관관계가 없는 변수에 대해 불평등을 도출했다.^[21]

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}{\frac { X_{i}-\mu _{i} }{\sigma _{i}}}<k_{i}\right)\geq 1-{\frac {1}{n^{2}}}\left({\sqrt {u}}+{\sqrt {n-1}}{\sqrt {n\sum _{i}{\frac {1}{k_{i}^{2}}}-u}}\right)^{2}}$

여기서 합계가 n 변수들을 인수한다.

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}{n}}{\frac {1}{k_{i}^{2}}+2\sum _{i=1}^{n}\j<i}{\frac}{\rho}}{ij}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 ρ은_ij X와_i X의_j 상관관계다.

올킨과 프랫의 불평등은 그 후 고드윈에 의해 일반화되었다.^[22]

더 높은 순간

Mitzenmacher와 Upfal은^[23] 마르코프의 불평등을 ${\displaystyle \mathrm{비음수}}$ 변수${\displaystyle {}^{}}$- E${\displaystyle }${$($ ${\displaystyle X}$) n {\$displaystyle X-\operatorname${E$}(X)$ $^\{$n}}}에 적용하면 꼬리 경계 가족을 얻을 수 있다는 점에 주목한다.

${\displaystyle \Pr \left( X-\operatorname {E} (X) \geq k\operatorname {E} ( X-\operatorname {E} (X) ^{n})^{\frac {1}{n}}\right)\leq {\frac {1}{k^{n}}},\qquad k>0,n\geq 2.}$

n = 2의 경우 체비셰프의 불평등을 얻는다.k ≥ 1, n > 4의 경우, 그리고^th n 모멘트가 존재한다고 가정했을 때, 이 바운드는 체비셰프의 불평등보다 더 촘촘하다.^{[citation needed]}순간의 방법이라고 불리는 이 전략은 종종 꼬리 경계를 증명하는 데 사용된다.

지수 모멘트

때때로 기하급수적인 체비셰프의 불평등이라고^[24] 알려진 관련 불평등은 불평등이다.

${\displaystyle \Pr(X\geq \varepsilon )\leq e^{-t\varepsilon }\operatorname {E} \ \left(e^{tX}\right),\qquad t>0.}$

K(t)를 적층 생성 함수가 되도록 한다.

${\displaystyle K(t)=\log \left(\operatorname {E} \left(e^{tx}\right)\right).}$

K(t)의 Legendre-Fenchel 변혁을^{[clarification needed]} 받아들이고 기하급수적인 체비셰프의 불평등을 이용하여 우리가 가지고 있다.

${\displaystyle -\log(\Pr(X\geq \varepsilon ))\geq \sup _{t}(t\barepsilon -K(t))}$

이 불평등은 무한 변수에 대한 지수적 불평등을 얻기 위해 사용될 수 있다.^[25]

경계 변수

P(x)가 [a, b] 구간에 기초하여 유한한 지지를 갖는 경우, M = max( a , b )로 하고 여기서 x는 x의 절대값이다. P(x)의 평균이 0이면 모든 k > 0에^[26] 대해 이 값이다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {E}(X^{r}-k^{r}}}{M^{r}}}\leq \Pr(X \geq k)\leq {\frac {\operatorname {E}(X ^{r})}{k^{r}}}.}$

r = 2와의 이러한 불평등 중 두 번째는 체비셰프 구속이다.첫 번째 값은 P(x) 값에 대한 하한을 제공한다.

유한표본

일변량 케이스

Saw 외 연구진은 Chebyshev의 불평등을 모집단 평균과 분산이 알려져 있지 않고 존재하지 않을 수 있는 경우로 확대했지만, N 표본의 표본 평균과 표본 표준 편차는 동일한 분포에서 새 도면의 기대값을 구속하기 위해 채택해야 한다.^[27]이 불평등의 다음과 같은 간단한 버전은 카반(Kaban다.^[28]

${\displaystyle P(X-m \geq ks)\leq {1}{{{N+1}}\lfloor{\floor {\floor{\floor{\floard}\\\\\floard({\frac {N+1}{{n1}{k^}+1\오른쪽)\flo}$

여기서 X는 N번 샘플링한 랜덤 변수, m은 표본 평균, k는 상수, s는 표본 표준 편차다.

이 불평등은 모집단 모멘트가 존재하지 않을 때도, 그리고 표본이 교환적으로 약하게 분포되어 있을 때도 유지된다. 이 기준은 무작위 표본 추출에 대해 충족된다.유한 표본 크기(N < 100)에 대한 Saw-Yang-Mo 불평등에 대한 값 표는 Konijn에 의해 결정되었다.^[29]표는 표본에서 계산된 평균의 표준 오차 C의 배수를 기초로 평균에 대한 다양한 신뢰 구간을 계산할 수 있다.예를 들어, Konijn은 N = 59의 경우 평균 m에 대한 95% 신뢰 구간이 (m - Cs, m + Cs)이며, 여기서 C = 4.447 × 1.006 = 4.47(이것은 분포의 정확한 성질에 대한 무지로 인한 정밀도의 손실을 나타내는 정규성을 가정했을 때 발견된 값보다 2.28배 크다).

표준 편차가 평균의 배수인 경우 추가 불평등이 도출될 수 있다.^[28]

${\displaystyle P(X-m \geq ks)\leq {\frac{{N:1}}{{k^{2}}:{\frac {1}{{s^{2}}}{{m^{2}}}+{\frac {1}{1}{N}}}}}.}$

유한 표본 크기(N < 100)에 대한 Saw-Yang-Mo 불평등에 대한 값 표는 Konijn에 의해 결정되었다.^[29]

고정 N과 대형 m의 경우 쏘-양-모 부등식은 대략^[30] 다음과 같다.

${\displaystyle P(X-m \geq ks)\leq {\frac {1}{N+1}.}$

비즐리 외 연구진은 이 불평등의^[30] 수정을 제안했다.

${\displaystyle P(X-m \geq ks)\leq {1}{k^{2}(N+1)}.}$

경험적 시험에서 이 수정은 보수적이지만 통계적 힘이 낮은 것으로 보인다.그것의 이론적 근거는 현재 미해결 상태로 남아 있다.

표본 크기에 대한 의존성

이러한 불평등이 유한 표본에 대해 주는 한계는 체비셰프 불평등이 분포에 대해 주는 한계보다 덜 엄격하다.이를 설명하려면 표본 크기를 N = 100으로 하고 k = 3으로 두십시오.체비셰프의 불평등은 분포의 약 11.11%가 평균으로부터 최소한 3개의 표준 편차에 놓여 있을 것이라고 말한다.유한 표본에 대한 카반의 불평등 버전은 표본의 약 12.05%가 이 한계를 벗어났다고 말한다.표본 크기에 대한 신뢰 구간의 의존성은 아래에 자세히 설명되어 있다.

N = 10의 경우 95% 신뢰 구간은 약 ±13.5789 표준 편차가 된다.

N = 100의 경우 95% 신뢰 구간은 약 ±4.9595 표준 편차가 되며, 99% 신뢰 구간은 약 ±140.0 표준 편차가 된다.

N = 500의 경우 95% 신뢰 구간은 약 ±4.5574 표준 편차가 되며, 99% 신뢰 구간은 약 ±11.1620 표준 편차가 된다.

N = 1000의 경우 95% 및 99% 신뢰 구간은 각각 약 ±4.5141 및 약 ±10.5330 표준 편차다.

분포에 대한 체비셰프 불평등은 각각 약 ±4.472 표준 편차와 ±10 표준 편차의 95% 및 99% 신뢰 구간을 제공한다.

사무엘슨의 부등식

체비셰프의 불평등이 임의의 분포에 대해 가능한 최선의 구속이지만, 유한한 표본에 대해서는 이것이 반드시 맞는 것은 아니다.Samuelson의 불평등은 표본의 모든 값이 평균의 ∆N - 1 표준 편차 내에 있을 것이라고 말한다(확률 1).

이에 비해 체비셰프의 불평등은 표본의 1/N 분율을 제외한 모든 것이 평균의 ∆N 표준 편차 내에 있을 것이라고 명시하고 있다.N개의 표본이 있기 때문에, 이것은 어떤 표본도 평균의 ∆N 표준 편차 밖에 있지 않다는 것을 의미하는데, 이것은 사무엘슨의 불평등보다 더 심하다.그러나 체비셰프의 불평등의 이점은 표본 수에 의존하지 않는 표준 편차의 범위에 대한 신뢰 한계를 얻기 위해 보다 일반적으로 적용할 수 있다는 것이다.

세미바리안츠

뚜렷한 한계를 얻는 대안적인 방법은 반분산(부분분산)의 사용을 통해서이다.상위(상위₊²) 및 하위(하위₋²) 반계수는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \n-1}^{+}^{2}={\frac {\sum _{x_m}(x-m)^{2}}{n-1,}$

${\displaystyle \probma _{-}^{2}={\frac {\sum{x<m}(m-x)^{2}}{n-1,}$

여기서 m은 표본의 산술 평균이고 n은 표본의 원소 수입니다.

표본의 분산은 두 개의 반분계 합이다.

${\displaystyle \probma ^{2}=\probma _{+}^{2}+\probma _{-}^{2}.}$

낮은 반월주의 관점에서 체비셰프의 불평등은 쓰여질^[31] 수 있다.

${\displaystyle \Pr(x\leq m-a\sigma _{-}}\leq {1}{a^{2}}.}$

놓는 것

${\displaystyle a={\frac {k\probma }{\probma _{-}}.}$

체비셰프의 불평등은 이제 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {1}{1}{k^{1}:{2}}:{\frac {1}\sigma _{-}:{-}^{\sigma ^{2}}.}$

유사 결과는 상위 반차에도 도출될 수 있다.

라고 하면

${\displaystyle \probma _{u}^{2}=\max(\maxma _{-}^{2}, {-}^,\ma _{+}^{2}),}$

체비셰프의 부등식은 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {1}{1}{k^{1}{1}:{2}}: {\frac {\sigma _{u}^{2}}:}}}$

왜냐하면 σ_u² σ² σ의 사용으로 원래의 불평등을 날카롭게 하기 때문이다.

분포가 대칭인 것으로 알려진 경우

${\displaystyle \probma _{+}^{2}=\probma _{-}^{2}={\frac {1}{1}:{2}}:$

그리고

${\displaystyle \Pr(x\leq m-k\sigma )\leq {1}{2k^{2}}.}$

이 결과는 표준화된 변수를 사용하여 도출된 결과와 일치한다.

참고

낮은 준조율과의 불평등은 금융과 농업의 하방위험을 추정하는데 유용한 것으로 밝혀졌다.^[31][32][33]

다변량 케이스

스텔라토 외.^[15]는 표기법을 단순화하고 경험적 체비셰프 불평등을 쏘 외.^[27]에서 다변량 사례로 확대했다.Let ${\textstyle \xi \in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$ be a random variable and let ${\textstyle N\in \mathbb {Z} _{\geq n_{\xi }}}$. We draw ${\textstyle N+1}$ iid samples of ${\textstyle \xi }$ denoted as ${\xi }^{(1)},\dots ,{\xi }^{(N)},{\xi }^{(N+1)}\in {\mathbb{R}}^{n_{\xi }}$${\textstyle \xi ^{(1)},\dots ,\xi ^{(N)},\xi ^{(N+1)}\in \mathbb {R} ^{n_{\xi }}}$. Based on the first ${\textstyle N}$ samples, we define the empirical mean as ${\textstyle \mu _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\xi ^{(i)}}$ and the unbiased empirical covariance as ${\mathrm{\Sigma }}_N=\frac{1}{N}\underset{}{\overset{}{}}$${\textstyle \Sigma _{N}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(\xi ^{(i)}-\mu _{N})(\xi ^{(i)}-\mu _{N})^{\top }}$. If ${\displaystyle \Sigma _{N}}$ is nonsingular, then for all ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ then

${\displaystyle {\begin{aigned}&P^{N+1}\좌(\xi ^{{{{N})-\mu _{{N}^{{N}^{{N}}}}{N}^{n}}-}-\ci ^{{{N}lamba ^{{2}우)\\[8pt]\leq {}&\min \left\{1,{\frac {1}{N+1}}\left\lfloor {\frac {n_{\xi }(N+1)(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\rfloor \right\}.\end{정렬}}}$

언급

일변량(${univariate}_{}$의 경우, 즉 $style$ = 1 {\textstyle $n_{\xi }=$1$\},$ 이 불평등은 Saw 등으로부터의 불평등에 해당한다.^[27]게다가 우측은 그 논거에 의해 바닥기능을 상경함으로써 단순화할 수 있다.

${\displaystyle P^{N+1}\left((\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})^{\top }\Sigma _{N}^{-1}(\xi ^{(N+1)}-\mu _{N})\geq \lambda ^{2}\right)\leq \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }(N^{2}-1+N\lambda ^{2})}{N^{2}\lambda ^{2}}}\right\}.}$

As ${\textstyle N\to \infty }$, the right-hand side tends to ${\textstyle \min \left\{1,{\frac {n_{\xi }}{\lambda ^{2}}}\right\}}$ which corresponds to the multivariate Chebyshev inequality over ellipsoids shaped according to ${\textstyle \Sigma }$ and centered in ${\textstyle \mu$$}$.

예리한 한계

체비셰프의 불평등은 어떤 분배에도 적용가능하기 때문에 중요하다.그 일반성으로 인해 랜덤 변수의 분포를 알 수 있는 경우 사용할 수 있는 대안적 방법만큼 날카로운 바운드를 제공하지 않을 수 있다(일반적으로 제공하지 않는다).체비셰프의 불평등에 의해 제공되는 범위의 날카로움을 개선하기 위해 많은 방법이 개발되었다. 복습은 예를 참고하라.^[9][34]

칸텔리의 부등식

프란체스코 파올로 칸텔리에 의한 칸텔리의 불평등은^[35] 평균(μ)과 분산(μ²)을 갖는 실제 랜덤 변수(X)에 대해 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle P(X-\mu \geq a)\leq {\frac {\sigma ^{2}}:{\sigma ^{2}+a^{2}}}}}$

여기서 ≥ 0.

이 불평등은 체비셰프가 k > 0과^[36] 불평등하는 하나의 꼬리가 있는 변종을 증명하는 데 사용될 수 있다.

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {1}{1}{1+k^{2}}.}$

한쪽 꼬리 변종의 바운드는 날카롭다고 알려져 있다.이를 확인하려면 값을 갖는 랜덤 변수 X를 고려하십시오.

${\displaystyle X}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle X=1}$ 확률$$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ 2${\displaystyle \frac{}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\${\$sigma$^{$2}}:{1+\sigma$^{$2}}:$

${\displaystyle X}$= -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}: 확률$$ ${\displaystyle \frac{1\mathrm{}}{}}$+ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$. ${\displaystyle {\frac$ {$1}{1+\sigma ^{2}}.$$}$

그러면 E(X) = 0, E(X²) = σ², P(X < 1) = 1 / (1 + σ²)

응용 프로그램: 평균과 중위수 사이의 거리

단측 변형은 기대값과 중위수를 갖는 확률 분포의 경우 평균과 중위수가 둘 이상의 표준 편차로 서로 결코 다를 수 없다는 명제를 입증하는 데 사용될 수 있다.이것을 기호로 표현하려면 μ, μ, μ, μ를 각각 평균, 중위수 및 표준 편차로 한다.그러면

$\displaystyle \left \mu -\nu \right \leq \lema .}$

분산이 무한하면 이 불평등이 사소한 사실이기 때문에 분산이 유한하다고 볼 필요는 없다.

그 증거는 다음과 같다.일방적인 불평등에 대한 성명에서 k = 1을 설정하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq \sigma )\leq {1}{1}{1}{1}\implies \Pr(X\geq \mu +\sigma )\leq {\frac {1}{2}.}$

X와 μ의 기호를 바꾸면

${\displaystyle \Pr(X\leq \mu -\sigma )\leq {\frac {1}{2}.}$

중위수는 정의상 불평등을 만족시키는 실제 숫자 m이다.

${\displaystyle \operatorname {P}(X\leq m)\geq {1}\geq {1}{1}{1}{1}:{2}}:\operatorname {P}(X\geq m)\geq {\frac {1}{1}:{2}}:}$

이는 중위수가 평균의 한 표준 편차 내에 있음을 의미한다.젠센의 불평등을 이용한 증거도 존재한다.

바타차리야의 부등식

바타차리야는^[37] 분배의 세 번째와 네 번째 순간을 이용하여 칸텔리의 불평등을 확장시켰다.

μ = 0과 μ를² 분산으로 한다.γ = E(X³)/σ³, κ = E(X⁴)/σ로⁴ 한다.

k² - kγ - 1 > 0일 경우

${\displaystyle P(X>k\sigma )\leq {\frac {\kappa -\gamma ^{2}-1}{{2}-1}{{2+k^{2}}+(k^{2}-k\gamma -1)}}.}$

k² - kγ - 1 > 0의 필요성은 k가 상당히 클 것을 요구한다.

$E{\displaystyle }$ [${\displaystyle }$X ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E[X^{3}]=0}$의 경우 이렇게 하면$$

${\displaystyle P(X)k\sigma )\leq {\frac {\cappa -1}{\capa \left(k^{2}+1\right)-2}}\quad{\text{{{}}}}}{}}}}}}.}$

Since ${\displaystyle {\frac {\kappa -1}{\kappa \left(k^{2}+1\right)-2}}={\frac {1}{2}}-{\frac {\kappa (k-1)}{2(\kappa -1)}}+O\left((k-1)^{2}\right)}$ for k close to 1, this bound improves slightly over Cantelli's bound ${\displaystyle \frac{1}{2}}$${\displaystyle -}$ ${\displaystyle k\frac{}{}}$- ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2}$+ O${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ( k${\displaystyle }$- 1 )${\displaystyle {}^{2\mathrm{}}}$) ${\$을(를) right > 1로$$ 한다.

체비셰프의 불평등에 대해 2인자를 얻는다.

가우스의 부등식

1823년 Gauss는 0에서 고유한 모드를 갖는 분포의 경우,^[38]

${\displaystyle P(X \geq k)\leq {4\operatorname {E}(X^{2})}{9k^{2}}}\쿼드 {\text{if}}\quad k^{2}\geq{4}{3}}\operatorname {E}(X^{2}),}}}$

${\displaystyle P(X \geq k)\leq 1-{\frac {k}{{\sqrt{3}}{{3}}}{\sqrad k^{2}}}}\quad k^{\frac{4}{3}}\operatorname {E}(X^{2})}$

비소찬스키-페투닌 불평등

비소찬스키-페투닌 불평등은 일변량 분포의 방식에서 편차만을 고수하는 가우스의 불평등을 평균, 또는 보다 일반적으로 어떤 중심에서 편차로 일반화한다.^[39]X가 평균 μ와 분산 variance을² 갖는 단측 분포라면 불평등은 다음과 같이 명시한다.

${\displaystyle P(X-\mu \geq k\sigma )\leq {4}{9k^{2}}:\quad {\text{if}\quad k\geq{\sqrt{8/3},},}$

${\displaystyle P(X-\mu \geq k\sigma )\leq {4}{3k^{2}}-{{3}-{\frac {1}{1}}}\prad{\text}}\quad k\leq {8/3}}.}$

대칭적인 단변 분포의 경우 중위수와 모드는 같기 때문에 비소찬스키-페투닌 불평등과 가우스의 불평등은 모두 동일한 중심에 적용된다.또한 대칭 분포의 경우 단측 한계를 알아봄으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle P(X-\mu \geq k\sigma )=P(X-\mu \leq -k\sigma )={\frac {1}{1}{2}}P(X-\mu \geq k\sigma)=P(X-\mu \geq k\sigma).}$

이러한 꼬리 경계 내에 존재하는$$ $[\displaystyle 4/9]$의 추가 분율은 체비셰프의 불평등보다 더 나은 신뢰 구간으로 이어진다.예를 들어, 대칭적인 단일 분포의 경우 Vysochanskij-Petunin 불평등은 분포의 4/81(약 4.9%)이 모드의 3 표준 편차 밖에 있다고 명시한다.

특정 분포의 한계

DasGupta는 분포가 정상인^[40] 것으로 알려진 경우

${\displaystyle P(X-\mu \geq k\sigma )\leq {1}{3k^{2}}.}$

DasGupta의 불평등에서 정규 분포의 경우 최소 95%가 평균의 약 2.582 표준 편차 내에 있다는 것을 따른다.이는 실제 수치(평균의 약 1.96 표준 편차)보다 덜 예리하다.

• DasGupta는 이 불평등에 대한 정규 분포에 대해 가능한 최선의 한계 집합을 결정했다.^[40]
• 스텔리가와 스지날은 이러한 한계를 파레토 분포까지 확장했다.^[41]
• 그레추크 외 연구진은 체비셰프의 모든 분포 계열에 대한 불평등과 표준 편차 대신 편차 위험 측정에서 가능한 최선의 한계를 도출하기 위한 일반적인 방법을 개발했다.특히, 그들은 로그 콘케이브 밀도를 가진 분포에 대한 체비셰프 불평등을 도출했다.^[42]

관련불평등

몇몇 다른 관련 불평등도 알려져 있다.

팰리-지그문트 불평등

Paley-Zygmund 불평등은 상한을 주는 체비셰프의 불평등과는 반대로 꼬리 확률을 낮춘다.^[43] 무작위 변수의 제곱에 적용하면

${\displaystyle \Pr(Z)\theta {E[Z^{2}]}}}\geq {\frac {(1-\theta ^{2})^{2}E[Z^{2}]^{2}}{E[Z^{4}}}}}}}}.}$

할데인의 변신

Chebyshev의 애플리케이션 불평등의 한 가지 용도는 분포를 알 수 없는 변수에 대한 신뢰 구간을 만드는 것이다.Haldane은 ^[44]Kendall이 도출한 방정식을 사용하여 변수(x)가 평균이 0이고 단위 분산이 0이며 유한 왜도( and)와 첨도( kurt)가 모두 있는 경우 변수는 정규 분포 표준 점수(z)로 변환될 수 있다고 지적했다.^[45]

${\displaystyle z=x-{\frac {\frac{2}-1)+{6}(x^{x}{x}{x}}{72}}[2\frac ^{2}-7)-3\kappa (x^{2}-3)+\codots }}}}}}}}$

이러한 변환은 체비셰프의 불평등에 대한 대안으로 또는 분포를 알 수 없는 변수에 대한 신뢰 구간을 도출하는 데 추가적으로 유용할 수 있다.

이 변환은 적당히 치우쳐 있거나 커트 분포에 유용할 수 있지만, 분포가 현저하게 치우쳐 있거나 커트 분포일 때는 성능이 떨어진다.

그와 장과 장의 부등식

n개의 음수가 아닌 독립 랜덤 변수 X의_i 모든 집합에 대해 기대값 1

${\displaystyle \Pr \left({\frac {\\sum _{i=1}X_{i}}}{n}}}{n1}-1\geq {\frac {1}{n}\rig)\leq {\frac {7}{8}}.}$

체비셰프 일체 부등식

체비셰프의 이름을 딴 두 번째(잘^[47] 알려지지 않은) 불평등이 있다.

f, g : [a, b] → R이 동일한 단조함수의 두 단조함수라면,

${\displaystyle {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)g(x)\,dx\geq \left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!f(x)\,dx\right]\left[{\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\!g(x)\,dx\right].}$

만약 f와 g가 반대 단조로움을 가지고 있다면, 위의 불평등은 역방향으로 작용한다.

이러한 불평등은 젠센의 불평등,^[48] 칸토로비치의 불평등,^[49] 헤르미트-하다마르트의 불평등^[49], 월터의 추측과 관련이 있다.^[50]

기타불평등

체비셰프와 관련된 많은 다른 불평등도 있다.

• 체비셰프의 합계 불평등
• 체비셰프-마르코프-스티엘트제스 불평등

메모들

환경보호청은 체비셰프의 신뢰구간 추정에 대한 불평등 사용에 대한 모범 사례를 제시했다.^[51]

참고 항목

• 다차원 체비셰프의 부등식
• 농도 불평등 – 무작위 변수에 대한 미행의 요약.
• 코니시-피셔 확장
• 이튼의 부등식
• 콜모고로프의 부등식
• 체비셰프의 불평등을 이용한 대수의 약한 법칙의 증거
• 르캄의 정리
• 팰리-지그문트 불평등
• Vysochanskiï-Petunin 불평등 - 단일 확률 분포에 적용할 수 있는 더 강력한 결과
• 렝글라트 부등식
• 버크홀더-데이비스-건디 불평등

참조

추가 읽기

• A. 파풀리스(1991), 확률, 무작위 변수 및 확률적 프로세스, 3차 개정.맥그로-힐ISBN 0-07-100870-5. 페이지 113–114.
• G. 그리메트와 D.Strezaker(2001), 확률과 무작위 프로세스, 3차 개정.옥스퍼드 대학ISBN 0-19-857222-0섹션 7.3.

외부 링크

위키미디어 커먼즈에는 체비셰프의 불평등과 관련된 미디어가 있다.

• "Chebyshev inequality in probability theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 미자르 시스템에서의 공식적인 증거.