대칭화

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수학에서 대칭성은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 모든 함수를 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 대칭 함수로 변환하는 과정이다.마찬가지로 비대칭은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 모든 함수를 비대칭 함수로 변환한다.

두 변수

$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$을(를) 집합으로 하고 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 가법 아벨 그룹으로 한다$$.지도 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \times }$ S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha$:$S\time S\to A}$을(를) 대칭 지도라고 한다.

대신 대칭도라고 한다.

지도 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \times }$ S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha$:$S\time S\to A}$는 지도$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle \alpha }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \alpha }$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$.${\displaystyle$ (x$,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x$)이다$.$$}}$ 비슷하게$$ 지도 $\alpha {\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle S}$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha$:$S\time S\to A}$는 지도$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle \alpha (x}$, y${\displaystyle }$) -${\displaystyle \alpha (x}$ ,${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle(x,y)\mapsto \alpha(x,y)-\alpha(y,x$)이다$.$$}$

지도 $[\displaystyle \alpha }$의 대칭과 대칭의 합은 $2$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle 2\alpha.}$ 따라서$$ 2에서 벗어나 실제 숫자와 같이 2가 반전될 경우 2로 나누어 모든 기능을 대칭함수와 대칭함수의 합으로 표현할 수 있다.

대칭 지도의 대칭은 그것의 이중인 반면, 교대 지도의 대칭은 0인 반면, 대칭 지도의 대칭성은 0인 반면, 대칭 지도의 대칭성은 그것의 이중이다.

이선형식

이선형 지도의 대칭형과 반대칭성은 이선형이다. 따라서 2에서 벗어나면 모든 이선형식은 대칭형식과 대칭형식의 합으로 대칭형식과 대칭형식의 차이가 없다.

2에서는 모든 형태를 대칭형, 꼬치대칭형으로 분해할 수 없다.예를 들어, 정수에 걸쳐 연관된 대칭 형식(합리성 위에)은 반정수 값을 가질 수 $있지만{\displaystyle \mathbb{}}$,${\displaystyle }$Z / ${\displaystyle 2Z\mathbb{}}$ , ${\displaystyle \mathb {Z} /2\mathb {Z},$ 함수는$$ 대칭인 경우에만 스큐 대칭이다($1{\displaystyle \mathrm{}}$=${\displaystyle }$- 1 - $1 =-1}).$

이는 ε-Quadratic 형식과 ε-대칭 형식에 대한 개념으로 이어진다.

표현 이론

대표이론의 관점에서 보면:

• 변수 교환은 두 변수에서 함수의 공간에 대한 대칭 그룹의 표현을 제공한다.
• 대칭 및 비대칭 함수는 사소한 표현과 부호 표현에 해당하는 하위 표현이다.
• 대칭과 대칭성은 함수를 이러한 하위 표현으로 매핑한다. 만약 함수를 2로 나눈다면, 이러한 항복 투영 맵.

순서 2의 대칭 그룹은 순서 2의 주기적 그룹(${\displaystyle {}_{}}$2 = ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle \mathrm {S} _${2$}=\mathrm {C} _{2$}} ),$$ 순서 2의 이산 푸리에 변환에 해당한다.

n 변수

더 일반적으로,!모든 n 넘기고 하여 variables,[1]또는 antisymmetrize의{\displaystyle n!}순열!/2{\displaystyle n!/2}!/2{\displaystyl n{n\displaystyle}변수에 한 n 넘김으로써 균형 잡히게 하다 제 역할을, 심지어 순열과 모든 n에 대한 합계를 빼면 주어진다.en$!/2}$개의 이상한$$ 순열($n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle n\leq 1,}$의 순열만 짝수인 경우는 제외).

여기서 대칭함수는 $n{\displaystyle !}$ ${\displaystyle n$$!}$을(를) 곱하므로,$$ $특성{\displaystyle \mathrm{}}$ 0 ${\displaystyle 0}$ > n ${\displaystyle$ p$>n$과 같이 n$!$을(를) 변환할 수 없는 경우$$, 이러한 수율은 $n{\displaystyle !}$. ${\displaystystyle$ n$!$으로 나눌 때 예측된다.$}$

표현 이론의 관점에서, 이것들은 단지 사소한 표현과 부호 표현에 해당하는 하위 표현만을 산출하지만$,$ > ${\displaystyle n>2$}에 대해서는 다른 것이 있다 – 대칭 그룹과 대칭 다항식의 표현 이론을 참조하라.

부트스트래핑

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 변수의$$ 함수를 지정하면 변수의 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -element$$ 하위 집합에 대한 합계를 계산하여 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 변수의$$ 대칭 함수를 얻을 수 있다.통계에서 이것을 부트스트래핑이라고 하며, 관련 통계를 U-통계라고 한다.

참고 항목

• 교대 다중선 지도 – 인수가 선형적으로 종속될 때마다 0인 다중선 지도
• 비대칭 텐서 – 텐서(tensor)는 전이의 음과 같다.
• 반대칭

메모들

참조

• Hazewinkel, Michiel (1990). Encyclopaedia of mathematics: an updated and annotated translation of the Soviet "Mathematical encyclopaedia". Encyclopaedia of Mathematics. Vol. 6. Springer. ISBN 978-1-55608-005-0.