L-이론

수학에서 대수 L-이론은 2차 형태의 K-이론이다; 이 용어는 C에 의해 만들어졌다. T. C. 월, K 뒤에 L이 글자로 쓰이고 있다. "Hermitian K-이론"으로도 알려진 대수 L-이론은 수술 이론에서 중요하다.^[1]

정의

비자발적 R이 있는 모든 링에 대해 L-그룹을 정의할 수 있다: 2차 L-그룹 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}R}$) ${\displaystyle L_{*}(R)}($월) 및 대칭 $L-그룹{\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle {}^{}R)}$ ${\displaystyle$ L$^{*(R)}($Mishchenko, Ranicki)).

짝수 치수

짝수차원 L-그룹 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2k}}_{}R}$) ${\displaystyle L_{$${\displaystyle \mathrm{2k}}$$}(R)}$은 $ϵ{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle k^{}}$ ${\$ = (-$1)^{k}}}$ 보다 정확하게는 링 R 위에 놓인 ε-quadratic 형식의 Wit 그룹으로 정의된다$.$

${\displaystyle L_{2k}(R)}$

기본 ${\displaystyle \mathrm{R-module}}$ F가 finally 생성되지 않은 $ε-quadratic$ 형식 $\psi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {ϵ}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}F}$ $){\epsi \in Q_{\epsilon }(F)}$의 동등성 등급${\displaystyle }$아벨 그룹이다$.$ 등가관계는 쌍곡선 ε-Quadratic 형식에 대한 안정화에 의해 주어진다.

${$$displaystyle$긴 왼쪽 오른쪽 $화살표 n,n'\in {\mathb {N}{0}_{0}:\psi \oplus H_{{1}^{k}(R)^{n$}{$n}\cong \$psi '\$oplus$ H_${(-$1)^{$k}(R)^{n$

$L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2k}}_{}}$( ${\displaystyle R}$) ${\displaystyle L_{2k}(R)}$의 추가는 다음에 의해 정의된다$$.

$[\displaystyle [\displaystyle _{1}]+[\display _{2}]:=[\cHB _{1}\oplus \cHB _{2}].}$

$0{\displaystyle }$ 원소는 N${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ $0$${\$$displaystyle$ $H_{{(1)^{k}(R)^{$$n}}{n}}$에 대해$$ $H{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$-${\displaystyle {{}^{}}_{}}$$1$ ) ${\displaystyle {k^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}^{}}_{}R}$$)$ ${\displaystyle n^{}}$으로 표시된다$.$ [${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\psi ]}$의 역은${\displaystyle }$[ - ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [-\psi ]}$이다$.$

홀수 치수

홀수차원 L-그룹 정의는 더욱 복잡하다. 자세한 내용과 홀수차원 L-그룹 정의는 아래 언급한 참조에서 확인할 수 있다.

예제 및 응용 프로그램

The L-groups of a group ${\displaystyle \pi }$ are the L-groups ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$ of the group ring ${\displaystyle \mathbf {Z} [\pi ]}$. In the applications to topology ${\displaystyle \pi }$ is the fundamental group ${\displaystyle \pi _{1}(X$$공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$의 $)\}.$ 2차 L-그룹 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$(${\displaystyle Z\mathbf{}}$ [${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle L_{*}(\$$mathbf$ ${$$Z}[\$$pi ])$은 $치수{\displaystyle }$ >의 호모토피$$ 타입의 수술 분류와 노비코프 추측의 형성에 중심 역할을 한다$$

상위 지수와 하위 지수로 표시되는 대칭 L-그룹과 2차 L-그룹 사이의 구별은 그룹 호몰로지 및 코호몰로지에서의 사용을 반영한다. The group cohomology ${\displaystyle H^{*}}$ of the cyclic group ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$ deals with the fixed points of a ${\displaystyle \mathbf {Z} _{2}}$-action, while the group homology ${\displaystyle H_{*}}$ deals with the orbits of a ${\displaystyle \mathb$$f {Z} _{2}}-$action$$; 상/하 지수 표기법에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ X ${\displaystyle G^{}}$ ${\$ X$^{G}($고정 지점)와 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G{}_{}}$= X${\displaystyle }$/ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X_{G}=X/G}($궤도, 지수)를 비교한다.

The quadratic L-groups: ${\displaystyle L_{n}(R)}$ and the symmetric L-groups: ${\displaystyle L^{n}(R)}$ are related by a symmetrization map ${\displaystyle L_{n}(R)\to L^{n}(R)}$ which is an isomorphism modulo 2-torsion, and which corresponds to the polarization identities.

2차 L-그룹과 대칭 L-그룹들은 4배 주기적이다(대칭 L-그룹 비주기성에 대한 Ranicki, 페이지 12의 언급은 "짧은 콤플렉스"를 사용하여 정의된 다른 유형의 L-그룹을 참조한다.

In view of the applications to the classification of manifolds there are extensive calculations of the quadratic ${\displaystyle L}$-groups ${\displaystyle L_{*}(\mathbf {Z} [\pi ])}$. For finite ${\displaystyle \pi }$ algebraic methods are used, and mostly geometric methods (e.g. controlled topology) are 무한 확장 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$에 사용됨$.$

보다 일반적으로 라니키(섹션 1)에서와 같이 체인 이중성을 가진 모든 가법 범주에 대해 L-그룹을 정의할 수 있다.

정수

단순하게 연결된 L-그룹도 $L{\displaystyle (e}$ ) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle L(}$ ${\displaystyle Z\mathbf{}}$[ ${\displaystyle e]}$) = ${\displaystyle L(Z\mathbf{}}$ ) ${\displaystyle L(e):$$=L(\mathbf {Z} [e])$$=$$(\displaystyle L})$ = $L{\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle$ L$^{*}}$ 또는$$ $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$. ${\displaystyle L_{*}}}}$ 이차성 L 그룹의 경우 이러한$$ 수술$$ 장애물이 단순히 연결된 수술에 해당한다.

정수의 2차 L 그룹은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}/8\\L_{4k+1}(\mathbf {Z} )&=0\\L_{4k+2}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{Arf invariant}}\\L_{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{정렬}}}$

짝수 치수(4k)에서 2차 L 그룹은 서명을 감지하고, 짝수 치수(4k+2)에서는 L 그룹이 아르프 불변제(위상적으로 케르베어 불변제)를 탐지한다.

정수의 대칭 L 그룹은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{4k}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} &&{\text{signature}}\\L^{4k+1}(\mathbf {Z} )&=\mathbf {Z} /2&&{\text{de Rham invariant}}\\L^{4k+2}(\mathbf {Z} )&=0\\L^{4k+3}(\mathbf {Z} )&=0.\end{정렬}}}$

2차 L-그룹과 마찬가지로 대칭 L-그룹인 치수(4k)에서 2차적 L-그룹에서, 치수(4k+1)에서 L-그룹에서 데 라함 불변성분을 검출한다.

참조

• Lück, Wolfgang (2002), "A basic introduction to surgery theory" (PDF), Topology of high-dimensional manifolds, No. 1, 2 (Trieste, 2001), ICTP Lect. Notes, vol. 9, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, pp. 1–224, MR 1937016
• Ranicki, Andrew A. (1992), Algebraic L-theory and topological manifolds (PDF), Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 102, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-42024-2, MR 1211640
• Wall, C. T. C. (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ed.), Surgery on compact manifolds (PDF), Mathematical Surveys and Monographs, vol. 69 (2nd ed.), Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388