기생수

Parasitic number

n-기수(기본값 10)는 소수점 표시의 가장 오른쪽 숫자를 앞쪽으로 이동하여 n을 곱할 수 있는 양의 자연수다.여기서 n은 그 자체로 한 자릿수 양의 자연수다.즉, 소수점 표시는 한 자리씩 우회적으로 순환하는 과정을 거친다.예를 들어 4•128205=512820이므로 128205는 4-기생충이다.대부분의 저자들은 선행 0을 사용하는 것을 허용하지 않으며, 이 기사는 그러한 관례를 따른다.그래서 4•025641=1025644라고 해도 숫자 025641은 4-기생성이 아니다.

파생

n-기생학 숫자는 가장 오른쪽(단위) 위치에 있는 숫자 k(n 또는 그 이상이어야 함)로 시작하여 한 번에 한 자리씩 작업함으로써 도출할 수 있다.예를 들어, n = 4 및 k = 7의 경우

4•7 = 28
4•87 = 348
4•487 = 1948
4•9487 = 37948
4•79487 = 317948
4•179487 = 717948.

그래서 179487은 4-기생 수치로 숫자 7이다.기타 179487179487, 179487179487179487 등이 있다.

반복 십진법

그러므로,

일반적으로 n-기생수(n-parasic number)는 다음과 같이 찾을 수 있다.k ≥n과 같은 한 자리 정수 k를 선택하고, 반복적인 소수점 k/(10n-1)의 기간을 취한다.이 값은 - 1 m- ) 10이며 여기서 m은 기간의 길이, 즉 10 modulo(10n - 1)의 곱셈 순서다.

또 다른 예로, n = 2인 경우 10n - 1 = 19이고 1/19에 대한 반복 십진행이다.

따라서 2/19의 경우 다음과 같은 두 배가 된다.

이 기간의 길이 m은 10 modulo 19의 순서와 같은 18이므로 2 × (1018 - 1)/19 = 105263157894736842이다.

105263157894736842 × 2 = 210526315789473684의 마지막 자리 105263157894736842를 전면으로 옮긴 결과다.

부가정보

위에서 설명한 단계별 파생 알고리즘은 훌륭한 핵심 기법이지만 모든 n-기생학 숫자를 찾지는 못할 것이다.파생된 숫자가 파생된 소스와 같을 때 무한 루프에 고착될 것이다.그 예는 n = 5이고 k = 5일 때 발생한다.42자리의 n-parasic 번호는 102040816326530612244897959183673469387755이다.아래 표 1의 단계를 확인하십시오.알고리즘은 15단계에 도달할 때까지 오른쪽에서 왼쪽으로 쌓기 시작한다. 그러면 무한 루프가 발생한다.16번과 17번 선은 아무것도 변하지 않는다는 것을 보여주는 사진이다.이 문제에 대한 해결책이 있으며, 이 알고리즘을 적용하면 베이스 10에서 모든 n-기생학 숫자를 찾을 뿐만 아니라 베이스 8과 베이스 16에서도 찾을 수 있다.표 2의 15번 줄을 보십시오.이 조건이 확인되고 n-기생학 숫자를 찾지 못한 경우 수정은 단순히 곱셈에서 제품을 옮기지 않고 그대로 사용하고, n(이 경우 5)을 끝까지 추가하는 것이다.42단계를 거치면 제대로 된 기생수가 발견된다.

표 1

1. 5. × 5 = 25 - 시프트 = 55
2. 5. × 55 = 275 - 시프트 = 755
3. 5. × 755 = 3775 - 시프트 = 7755
4. 5. × 7755 = 38775 - 시프트 = 87755
5. 5. × 87755 = 438775 - 시프트 = 387755
6. 5. × 387755 = 1938775 - 시프트 = 9387755
7. 5. × 938755 = 46938775 - 시프트 = 6938755
8. 5 × 6938755 = 346938775 - 시프트 = 469387755
9. 5 × 46938755 = 2346938775 - 시프트 = 3469387755
10. 5 × 346938755 = 17346938775 - 시프트 = 73469387755
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 - 시프트 = 673469387755
12. 5 × 67346938775 = 3367346938775 - 시프트 = 3673469387755
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 - 시프트 = 83673469387755
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 - 시프트 = 183673469387755
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - 시프트 = 183673469387755
16. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - 시프트 = 183673469387755
17. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - 시프트 = 183673469387755

표 2

1. 5. × 5 = 25 - 시프트 = 55
2. 5. × 55 = 275 - 시프트 = 755
3. 5. × 755 = 3775 - 시프트 = 7755
4. 5. × 7755 = 38775 - 시프트 = 87755
5. 5. × 87755 = 438775 - 시프트 = 387755
6. 5. × 387755 = 1938775 - 시프트 = 9387755
7. 5. × 938755 = 46938775 - 시프트 = 6938755
8. 5 × 6938755 = 346938775 - 시프트 = 469387755
9. 5 × 46938755 = 2346938775 - 시프트 = 3469387755
10. 5 × 346938755 = 17346938775 - 시프트 = 73469387755
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 - 시프트 = 673469387755
12. 5 × 67346938775 = 3367346938775 - 시프트 = 3673469387755
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 - 시프트 = 83673469387755
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 - 시프트 = 183673469387755
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - 시프트 = 9183673469387755
16. 5 × 9183673469387755 = 45918367346938775 - 시프트 = 59183673469387755
17. 5 × 59183673469387755 = 295918367346938775 - 시프트 = 95918367346938775

이 알고리즘으로 작업할 때 유의해야 할 조건이 하나 더 있는데, 선행 0을 잃어버리면 안 된다.변속 번호가 생성되면 위치상 중요하며 다음 단계를 통해 이동해야 하는 선행 0을 포함할수 있다.계산기와 컴퓨터 수학 방법은 선행 0을 제거할 것이다.n = 4 및 k = 4에 대한 파생 단계를 표시하는 아래 표 3을 참조하십시오.4단계 02564에서 생성된 Shift 번호는 5단계로 공급되는 선행 0을 가지고 있어 선행 0 제품을 만든다.4로 끝나는 4-기생학 번호가 102564임을 증명하는 제품을 보여주는 6단계에 Shift 결과가 입력된다.

표 3

1. 4. 4 × 4 = 16 - 시프트 = 64
2. 4. × 64 = 256 - 시프트 = 564
3. 4. × 564 = 2256 - 시프트 = 2564
4. 4. × 2564 = 10256 - 시프트 = 02564
5. 4. × 02564 = 010256 - 시프트 = 102564
6. 4 × 102564 = 410256 - 시프트 = 102564

최소 n-기생수

2005년 프리먼 다이슨

가장 작은 n-parasic 수치는 프리먼 다이슨이 제기한 숫자에 관한 퍼즐을 거쳐 다이슨 번호로도 알려져 있다.[1][2][3]다음과 같다: (선행 0은 허용되지 않음) (OEIS의 순서 A092697)

n 최소 n-기생수 숫자 기간
1 1 1 1/9
2 105263157894736842 18 2/19
3 1034482758620689655172413793 28 3/29
4 102564 6 4/39
5 142857 6 7/49 = 1/7
6 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966 58 6/59
7 1014492753623188405797 22 7/69
8 1012658227848 13 8/79
9 10112359550561797752808988764044943820224719 44 9/89

일반주

일반적으로 선행 0을 허용하도록 규칙을 완화하면 각 n에 대해 9개의 n-parasic 숫자가 있다.그렇지 않으면, k n n의 경우에만 숫자가 0으로 시작되지 않고 따라서 실제 정의에 부합한다.

다른 n-기생 정수는 결합에 의해 만들어질 수 있다.예를 들어 179487은 4-기생수이기 때문에 179487179487, 179487179487 등이다.

기타 베이스

2진법 시스템에서 가장 작은 n-기생학 숫자는 다음과 같다: (각각 10과 11에 대해 반전 2와 3 사용) (선행 0은 허용되지 않음)

n 최소 n-기생수 숫자 기간
1 1 1 1/Ɛ
2 10631694842 Ɛ 2/1Ɛ
3 2497 4 7/2Ɛ = 1/5
4 10309236ᘔ88206164719544 1Ɛ 4/3Ɛ
5 1025355ᘔ9433073ᘔ458409919Ɛ715 25 5/4Ɛ
6 1020408142854ᘔ997732650ᘔ18346916306 2Ɛ 6/5Ɛ
7 101899Ɛ864406Ɛ33ᘔᘔ15423913745949305255Ɛ17 35 7/6Ɛ
8 131ᘔ8ᘔ 6 ᘔ/7Ɛ = 2/17
9 101419648634459Ɛ9384Ɛ26Ɛ533040547216ᘔ1155Ɛ3Ɛ12978ᘔ399 45 9/8Ɛ
ᘔ (10) 14Ɛ36429ᘔ7085792 14 12/9Ɛ = 2/15
Ɛ (11) 1011235930336ᘔ53909ᘔ873Ɛ325819Ɛ9975055Ɛ54ᘔ3145ᘔ42694157078404491Ɛ 55 Ɛ/ᘔƐ

엄격한 정의

엄밀한 정의에서, m의 가장 왼쪽 숫자 1을 오른쪽 끝으로 이동시키는 것만으로 지수 m/n을 얻는 1로 시작하는 최소 숫자 m은 다음과 같다.

1, 105263157894736842, 1034482758620689655172413793, 102564, 102040816326530612244897959183673469387755, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1014492753623188405797, 1012658227848, 10112359550561797752808988764044943820224719, 10, 100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321, 1008403361344537815125042016806722689075630252, ...(OEIS의 후속 A128857)

그것들은 n/(10n - 1)의 기간이며, decadium 정수 -n/(10n - 1)의 기간이기도 하다.

자릿수는 다음과 같다.

1, 18, 28, 6, 42, 58, 22, 13, 44, 2, 108, 48, 21, 46, 148, 13, 78, 178, 6, 99, 18, 8, 228, 7, 41, 6, 268, 15, 272, 66, 34, 28, 138, 112, 116, 179, 5, 378, 388, 18, 204, 418, 6, 219, 32, 48, 66, 239, 81, 498, ... (sequence A128858 in the OEIS)

참고 항목

메모들

  1. ^ Dawidoff, Nicholas (March 25, 2009), "The Civil Heretic", New York Times Magazine.
  2. ^ Tierney, John (April 6, 2009), "Freeman Dyson's 4th-Grade Math Puzzle", New York Times.
  3. ^ Tierney, John (April 13, 2009), "Prize for Dyson Puzzle", New York Times.

참조