린데만-바이어스트라스 정리

초월수론에서, 린데만-Weierstrass 정리는 수의 초월성을 확립하는 데 매우 유용한 결과입니다. 다음과 같이 기술되어 있습니다.

즉, 확장 필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}({}^{}}$ ${\displaystyle {{\alpha 1\mathrm{}}_{}}^{}\dots ,}$ ${\displaystyle {e{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {n_{}}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q}(e^{\alpha_{1}},\dots,e^{\alpha_{n}}}$는 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 초월도 n을 갖습니다$.$

동등한 공식(Baker 1990, Chapter 1, Theorem 1.4)은 다음과 같습니다.

이 등가성은 인수가 모두 서로의 공액인 대칭 다항식이 유리수를 제공한다는 사실을 사용하여$$ 대수적 숫자에 대한 선형 관계를 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 대수적 관계로 변환합니다.

이 정리는 페르디난트 폰 린데만과 카를 바이에르스트라스의 이름을 따서 지어졌습니다. 린데만은 1882년 e가 0이 아닌 모든 대수적 수 α에 대하여 초월적이라는 것을 증명하였고, 따라서 π이 초월적이라는 것을 증명하였습니다(아래 참조). Weierstrass는 위의 보다 일반적인 진술을 1885년에 증명했습니다.^[2]

이 정리는 겔폰드-슈나이더 정리와 함께 베이커의 정리에 의해 확장되며,^[3] 이 모든 것은 샤누엘의 추측에 의해 더욱 일반화될 것입니다.

명명 규칙

이 정리는 에르미트-린데만 정리와 에르미트-린데만 정리로도 다양하게 알려져 있습니다.위어스트라스 정리. 찰스 에르미트(Charles Hermite)는 α_i 지수가 유리 정수여야 하고 선형 독립성이 유리 정수보다 보장되어야 하는 더 간단한 정리를 처음으로 증명했으며,^[4][5] 이 결과를 때때로 에르미트 정리라고 합니다.^[6] 비록 그것이 위의 정리의 특별한 경우로 보이지만, 일반적인 결과는 이 단순한 경우로 환원될 수 있습니다. 린데만은 1882년 에르미트의 연구에 대수적 숫자를 처음으로 허용했습니다.^[1] 얼마 지나지 않아 바이어스트라스는 완전한 결과를 얻었고,^[2] 특히 데이비드 힐버트와^[7] 폴 고단에 의해 더 많은 단순화가 이루어졌습니다.^[8]

e와 transcend의 초월성

e와 π의 초월성은 이 정리의 직접적인 상관관계입니다.

α가 0이 아닌 대수적 수라고 가정하면, {α}는 유리수 위에 일차적으로 독립적인 집합이고^α, 따라서 {e} 정리의 첫 번째 공식에 의해 대수적으로 독립적인 집합이거나, 즉 e는^α 초월적인 집합입니다. 특히 e = e는 초월적입니다. (e가 초월적이라는 더 기본적인 증거는 초월수에 관한 글에서 설명합니다.)

또는 정리의 두 번째 공식에 의해, 만약 α가 0이 아닌 대수적 수이면, {0, α}는 별개의 대수적 수들의 집합이므로, 집합 {e, e} = {1, e}는 대수적 수들에 대해 선형적으로 독립적이며, 특히 e는 대수적일 수 없으므로 초월적입니다.

π가 초월적이라는 것을 증명하기 위해, 우리는 그것이 대수적이지 않다는 것을 증명합니다. 만약 π가 대수적이라면, π디 역시 대수적일 것이고, 린데만에 의해서-Weierstrass 정리 e = -1 (오일러의 항등식 참조)은 초월적이며 모순입니다. 따라서 π은 대수적이지 않으며, 이는 그것이 초월적이라는 것을 의미합니다.

같은 증명에서 약간의 변형은 α가 0이 아닌 대수적 수이면 sin(α), cos(α), tan(α) 및 쌍곡 대응물도 초월적이라는 것을 보여줍니다.

p-아딕 추측

모듈러 추측

모듈 함수 j를 포함하는 정리의 유사체는 1997년 Daniel Bertrand에 의해 추측되었고, 여전히 미해결 문제로 남아 있습니다.^[9] 이름의 제곱에 대해 q = e, j(τ) = J(q)를 쓰면 다음과 같은 추측이 됩니다.

린데만-바이어스트라스 정리

증명

증명은 두 개의 예비 레마에 의존합니다. 렘마 B 자체는 이미 린데만의 원래 진술을 추론하기에 충분하다는 것을 주목하십시오.위어스트라스 정리.

예비레마

보조정리 A의 증명. 표기 집합을 단순화하려면:

${\displaystyle {\begin{aligned}&n_{0}=0,&\&\&n_{i}=\sum \nolimits _{k=1}^{i}m(k),&&i=1,\ldots ,r\\&n=n_{r},&&\\&\alpha _{n_{i-1}+j}=\gamma (i)_{j},&&1\leq i\leq r,\ 1\leq j\leq m(i)\\&\beta _{n_{i-1}+j}=c(i).\end{align}}}$

그러면 그 진술은

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\neq 0.}$

p를 소수라고 하고 다음 다항식을 정의합니다.

${\displaystyle f_{i}(x)={\frac {\ell ^{np}(x-\alpha_{1})^{p}\cdots(x-\alpha_{n})^{p}}{(x-\alpha_{i}}}$

여기서 ℓ는 0이 아닌 ${\displaystyle {정수}_{}}$이므로${\displaystyle }$ℓ${\displaystyle {}_{}}$α 1, …, ℓ α n {\$displaystyle \ell \alpha_{1},\$ldots,\ell \alpha_{n}는 모두 대수적 정수입니다. 정의^[11]

${\displaystyle I_{i}(s)=\int _{0}^{s}e^{s-x}f_{i}(x)\,dx.}$

도착하는 부품별 통합 사용

${\displaystyle I_{i}(s)=e^{s}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(s),}$

$여기$서 n ${\displaystyle p}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle np-1}$은 ${\displaystyle {fi}_{}}$ ${\$의 정도이고$,$ ${\displaystyle {fi}_{}^{}}$(${\displaystyle {j)}_{}^{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {fi}_{}}$ ${\$의 j번째 도함수입니다$.$ 이것은 또한 s 복소(이 경우 적분은 등고선 적분으로 의도되어야 함, 예를 들어 0에서 s까지의 직선 세그먼트를 따라)에도 적용됩니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

${\displaystyle -e^{s-x}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(x)}$

는 s${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle x^{}}$ ${\displaystyle {fi}_{}}$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle e^{s-x}f_{i}(x)}$의 원시입니다$.$

다음의 합을 생각해 보세요.

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\[5pt]&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\[5pt]&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\[5pt]&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}}$

마지막 줄에서 우리는 보조정리의 결론이 거짓이라고 가정했습니다. 증명을 완료하기 위해서는 모순에 도달해야 합니다. ${\displaystyle 우리}$는 ${\displaystyle J_{}}$1 ⋯ $Jn$ {\$displaystyle J_{1}\$cdots J_{n}을 두 가지 다른 방법으로 추정함으로써 그렇게 할 것입니다.

First ${\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})}$ is an algebraic integer which is divisible by p! for ${\displaystyle j\geq p}$ and vanishes for ${\displaystyle j<p}$ unless ${\displaystyle j=p-1}$ and ${\displaystyle k=i}$, in which case it equals

${\displaystyle \ell^{np}(p-1)!\prod _{k\neq}(\alpha_{i}-\alpha_{k})^{p}$

이것은 p가 충분히 크면 p로 나눌 수 없습니다. 그렇지 않으면 put.

${\displaystyle \delta _{i}=\prod _{k\neqi}(\ell \alpha_{i}-\ell \alpha_{k})}$

(0이 아닌 대수적 정수입니다.) 그리고$\mathbb$ {Z}에서 $di$∈ Z ${\displaystyle$d_{i}\를 그 켤레들의 곱(아직 0이 아닌)이라고 부르며, 우리는 p가${\displaystyle {}^{}}$ℓ p(${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1)를 나눈다는 것을 얻을 것입니다!$dip {\displaystyle$ \ell $^\{$p$}($p-1)!d_{i}^{p}}, 이는 거짓입니다.

$따라서{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Ji}_{}}$ ${\$는 (p - 1)로 나눌 수 있는 0이 아닌 대수적 정수입니다! 지금이다

${\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=0}^{np-1}\sum _{t=1}^{r}c(t)\left(f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})\right).}$

각 ${\displaystyle f_{}}$(${\displaystyle x}$) ${\displaystyle f_{i}(x)}$는 정수 계수를 가진 고정 다항식을${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$- α ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle ($x -$\alpha _{i})}$로 나누면 다음과 같은 형태를 갖으므로$,$

${\displaystyle f_{i}(x)=\sum _{m=0}^{np-1}g_{m}(\alpha _{i})x^{m},}$

$여기$서 ${\displaystyle {gm}_{}}$ ${\$은 i와 무관한 다항식(정수 계수 포함)입니다. 도함수 ${\displaystyle f_{}^{}}$(${\displaystyle {j)}_{}^{}}$(${\displaystyle x)}$ ${\displaystyle f_{i}^{(j)}(x)}$도 마찬가지입니다$.$

따라서 대칭 다항식의 기본 정리에 의해,

${\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})}$

는 ${\displaystyle {\alpha i}_{}}$ ${\displaystyle \alpha_{i}}$에서 평가된 유리 계수를 갖는 고정 다항식입니다(이것은 ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$- 1${\displaystyle {{}_{}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ …${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {n_{}}_{}}$ ${\displaystyle \alpha_{n_{t-1}+1},\$dots,$\alpha_{n_{t}}$ 전개에$$ 나타나서 이 대수적 수들이 완전한 켤레 집합이라는 사실을 이용합니다. $따라서{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Ji}_{}}$ ${\$도 마찬가지입니다$.$ 즉, $G{\displaystyle ({\alpha }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ G$(\alpha_{i}}$와 같으며$,$ 여기서 G는 i와 무관한 유리 계수를 갖는 다항식입니다.

$마지막$으로 J ${\displaystyle 1_{}}$ ⋯ J n =$G$ ($α$1) ⋯ G (α n) {\$displaystyle$ J_{1}\cdots J_{n}= G(\alpha_{1})\cdots G(\alpha_{n}}는 유리수이며 (다시 대칭 다항식의 기본 정리에 의해) (p - 1)로 나눌$$수 있는 0이 아닌 대수적 정수입니다! n {\displaystyle (p-1)!$^{n}}$ $$(${\displaystyle {Ji}_{}}$ ${\$ 가 대수적 정수이므로 (${\displaystyle p}$- ${\displaystyle (p-1)!})$로 나뉩니다. 그러므로

${\displaystyle J_{1}\cdots J_{n} \geq (p-1)!^{n}}$

하지만 분명한 것은 다음과 같습니다.

${\displaystyle I_{i}(\alpha_{k}) \leq \alpha_{k} e^{ \alpha_{k} F_{i}( \alpha_{k}),}$

여기서 F는_i 계수가 off의_i 절대값인 다항식입니다(이는 ${\displaystyle {Ii}_{}}$ (${\displaystyle s)}$ ${\displaystyle I_{i}(s)}$의 정의에서 직접 따옴).$$ 따라서

${\displaystyle J_{i} \leq \sum _{k=1}^{n}\left \beta _{k}\alpha _{k}\right e^{ \alpha _{k} F_{i}\left(\left \alpha _{k}\right \right)}$

$따라서$ ${\displaystyle {fi}_{}}$ ${\displaystyle f_{i$의 구성에 의해 우리는 p와 독립적으로 충분히 큰 ${\displaystyle C}$에 ${\displaystyle {대해}_{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$1 ⋯ ${\displaystyle J^{}}$ $n$ ≤ C p {\$displaystyle J_{1}\cdots J_{n}$ \leq C^{p}}를 갖게 되며, 이는 이전의 부등식과 모순됩니다. 이것은 렘마 A. proves를 증명합니다.

보조정리 증명 B: 가정

${\displaystyle b(1)e^{\gamma(1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma(n)}=0,}$

우리는 모순을 유도하여 보조정리 B를 증명할 것입니다.

$($ {\$displaystyle \gamma($k$)\}$의 모든 γ에서 사라지는 정수 계수를 가진 다항식을 $선택$하고${\displaystyle ,}$γ${\displaystyle }$(${\displaystyle 1),}$ …,$$γ (n), γ (n + 1), …, γ (N) {\displaystyle \gamma(1),\ldots,\gamma(n),\gamma(n+1),\ldots,\gamma(N)}를 모두 별개의 근이라고${\displaystyle \mathrm{합니다}}$. Let b(n + 1) = ... = b(N) = 0.

다항식

${\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{N})=\prod _{\sigma \in S_{N}}(b(1)x_{\sigma (1)}+\cdots +b(N)x_{\sigma (N)})}$

${\displaystyle {}^{}}$에 ${\displaystyle {\mathrm{의해}}^{}}$(e${\displaystyle }$γ ($1),$ …, e γ (N) {\displaystyle (e^{\gamma (1)},\dots,e^{\gamma (N))}에서 사라집니다$.$ 제품이 대칭이기 때문에, for any ${\displaystyle \tau \in S_{N}}$ the monomials ${\displaystyle x_{\tau (1)}^{h_{1}}\cdots x_{\tau (N)}^{h_{N}}}$ and ${\displaystyle x_{1}^{h_{1}}\cdots x_{N}^{h_{N}}}$ have the same coefficient in the expansion of P.

따라서 $($γ${\displaystyle }$(1${\displaystyle ),{}^{}}$…,${\displaystyle e^{}}$γ (N)${\displaystyle$ P$(e^{\gamma (1)},\dots,$e^{\gamma (N))}를 그에 맞게 확장하고 항들을 동일한 지수로 그룹화하면, 결과 지수 h $1{\displaystyle }$γ ($1$ + ⋯ + h N γ (N) {\display h_{1}\gamma (1)+\dots + h_{N}\gamma (N)}가 완전한 결합 집합을 형성하고 두 항이 결합 지수를 가지면 동일한 계수를 곱한다는 것을 알 수 있습니다.

그래서 우리는 보조금 A의 상황에 있습니다. 모순에 도달하려면 계수 중 적어도 하나가 0이 아님을 확인하는 것으로 충분합니다. 이것은 C에 사전 순서를 적용하고 이 순서에 따라 최대 지수를 갖는 0이 아닌 계수를 갖는 항을 곱의 각 요인에 대해 선택함으로써 알 수 있습니다. 이러한 항의 곱은 팽창에서 0이 아닌 계수를 가지며 다른 항에 의해 단순화되지 않습니다. 이것은 렘마 B를 증명합니다.

마무리단계

이제 우리는 정리를 증명하기 위해 돌아봅니다. a(1), ..., a(n)을 0이 아닌 대수적 수라 하고, α(1), ..., α(n)를 구별하는 대수적 수라 합니다. 그렇다면 다음과 같이 가정해 보겠습니다.

${\displaystyle a(1)e^{\alpha(1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha(n)}=0.}$

우리는 이것이 모순으로 이어지고 따라서 정리를 증명한다는 것을 보여줄 것입니다. 이 증명은 보조정리 B의 증명과 매우 유사합니다. 단, 이번에는 a(i)의 증명보다 선택이 더 많습니다.

모든 i개의 ∈ {1, ..., n}에 대하여 a(i)는 대수적이므로, 차수 d(i)의 정수 계수를 갖는 기약 다항식의 근입니다. 이 다항식 a(i), ..., a(i)의 뚜렷한 근을 a(i) = a(i)로 나타내자.

S를 각 수열 (1, ..., d(1)), (1, ..., d(2)), (1, ..., d(2)), (1, ..., d(n)) 중에서 하나의 원소를 선택하는 함수 σ라고 하자. 즉, 모든 1 ≤ i ≤ n일 때 σ(i)는 1과 d(i) 사이의 정수입니다. 변수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {11}_{}\dots ,}$ x ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {(1}_{}\dots ,}$ x ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}\dots ,}$ x ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$(${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$에서 다항식을 형성합니다.

${\displaystyle Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right).}$

곱은 가능한 모든 선택 함수 σ에 걸쳐 있으므로, Q는 모든 i에 대해${\displaystyle {}_{}{1}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {\dots ,\mathrm{xid}}_{}}$(i) {\$displaystyle$x_{$i1},\dots,x_${id(i)}에서 대칭입니다. 따라서 Q는 위 변수들의 기본 대칭 다항식에서 정수 계수를 갖는 다항식으로, 모든 i에 대하여, 그리고 변수_i y에 대하여입니다. $후자$의 각 대칭 다항식은 a${\displaystyle {}_{}i}$)${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{},}$ ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle a_{}(i{}_{}}$ d${\displaystyle {(i)}_{}}$ ${\$ a$(i)_{1},\dots, a(i)_{d(i)}}$에서 평가될 때 유리수입니다$.$

평가된 다항식 $Q{\displaystyle (a(1_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle a(n{}_{}}$ ${\displaystyle {d(n}_{}}$ ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {(1}^{}\dots ,}$ ${\displaystyle e^{}}$ α${\displaystyle Q(a(1)_{1},\dots,$ a$(n)_{d(n)},$ e$^{\alpha(1)},\$dots, e^{\$alpha($n)}}는 위의 가정에 따라 해당 인자가 사라지는 선택 중 하나이기 때문에 사라집니다. 따라서, 평가된 다항식은 다음과 같은 형태의 합입니다.

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(N)e^{\beta (N)}=0,}$

같은 지수를 가진 항을 이미 그룹화했습니다. 따라서 좌변에서는 각각의 값이 여전히 대수적(대수적 수의 합)이고 $계수$ b${\displaystyle (1),\dots ,}$ ${\displaystyle b(N)}$ ∈ Q {\$displaystyle$b(1$),\dots,$b(N)\$in \mathbb$ $\{$Q}에서 서로 다른 값을 갖습니다. 그 합은${\displaystyle }사소하지$ 않습니다: ${\displaystyle \mathrm{만약}}$α (i) ${\displaystyle \$alpha(i)}가 사전 순서에서 최대라면${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {eS}^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$(${\displaystyle {i)}^{}}$ ${\$ S $\alpha (i)}}$의 계수는$$ a(i)_j의 (반복 가능성이 있는) 곱일 뿐이며, 이는 0이 아닙니다.

적절한 정수 인자에 방정식을 곱하면 이제 b(1), ..., b(N)가 모두 정수라는 것을 제외하고는 동일한 방정식을 얻을 수 있습니다. 따라서 보조정리 B에 따르면 평등은 유지될 수 없으며, 우리는 모순에 이끌려 증명을 완성합니다.

보조정리 A는 e가 무리수임을 증명하기에 충분합니다. 그렇지 않으면 p와 q가 모두 0이 아닌 정수인 e = p / q를 쓸 수 있지만 보조정리 A에 의해 q - p ≠ 0을 가질 수 있으므로 이는 모순입니다. 보조정리 A는 또한 π가 비합리적이라는 것을 증명하기에 충분합니다. 그렇지 않으면 π = k / n을 쓰고 ±i π는 nx + k = 0의 근이므로 2 - 1 - 1 = 2e + e + e ≠ 0입니다. 그러나 이것은 거짓입니다.

마찬가지로, 보조정리 B는 e가 초월적이라는 것을 증명하기에 충분한데, 보조정리 B는 a₀, ..., a가_n 모두 0이 아닌 정수라면,

${\displaystyle a_{n}e^{n}+\cdots +a_{0}e^{0}\neq 0.}$

보조정리 B는 또한 π가 초월적이라는 것을 증명하기에 충분합니다. 그렇지 않으면 우리는 1 + e ≠ 0을 가질 것이기 때문입니다.

두 문장의 동등성

베이커의 정리 공식은 분명히 첫 번째 공식을 의미합니다. 실제로, 만약 $\alpha {\displaystyle }$(${\displaystyle 1),\dots ,}$ ${\displaystyle \alpha }$(${\displaystyle n)}$ ${\displaystyle \alpha (1),\ldots,\alpha (n)}$가 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대해 선형적으로 독립적인 대수적 숫자라면$,$

${\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}$

는 유리 계수를 갖는 다항식이고, 그러면 우리는

${\displaystyle P\left(e^{\alpha(1)},\dots,e^{\alpha(n)}\right)=\sum b_{i_{1},\dots,i_{n}}e^{i_{1}\alpha(1)+\codots +i_{n}\alpha(n)}$

$그리고$ α${\displaystyle (1),\dots ,}$ ${\displaystyle \alpha (n)}$ ${\displaystyle \alpha(1$${\displaystyle ),\backslash }$$ldots,\alpha(n)}$는 유리수에 대해 선형적으로 독립적인 대수적 숫자이므로, $(n$)${\displaystyle }${\$displaystyle i_$1$}\alpha(1)+\cdots$+ $i_${n$}\alpha$(n)}는 대수적인 숫자이며 별개의 ${\displaystyle {n-}_{}}$tup에 대해 구별됩니다(i 1, …,${\displaystyle {}_{}}$에서 ${\displaystyle (i_{1},$${$n})}. 따라서 베이커의 정리 공식으로부터 우리는 모든 n개의${\displaystyle t_{}}$up(i 1, …, ) {\displaystyle b_{i_{1},\ldots,i_{n${\displaystyle {\}}_{}}$}=0}을 얻습니다.

이제 정리의 첫 번째 공식이 성립한다고 가정합니다. $n$ = {\$displaystyle$n=1}일 때, ${\displaystyle 베이커}$의 공식은 사소하므로$,$ n > 1 {\displaystyle n> 1이라고 가정하고, a (1), …, a (n) {\displaystyle a(1),\ldots, a(n)}를 0이 아닌 대수적 수라고 가정하고, α (1), …, α (n) {\displaystyle \alpha (1),\ldots,\alpha (n)}개의 구별 대수적 수를 다음과 같이 정의합니다.

${\displaystyle a(1)e^{\alpha(1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha(n)}=0.}$

앞 절에서 본 바와 같이, 그리고 거기서 사용된 동일한 표기법으로, 다항식의 값을

${\displaystyle Q(x_{11},\ldots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right),}$

에

${\displaystyle \left(a(1)_{1},\ldots,a(n)_{d(n)},e^{\alpha(1)},\ldots,e^{\alpha(n)}\right)}$

형태의 표현이 있습니다.

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}$

동일한 지수를 가진 지수를 그룹화했습니다. 여기서 위에서 증명된 바와 같이 b(${\displaystyle 1),\dots ,}$ b${\displaystyle (M)}$ ${\displaystyle$ b$(1),\ldots,$ b$(M)}$는 유리수이며, 각 지수 $\beta {\displaystyle (m)}$ ${\displaystyle \beta(m)}$는 $정수{\displaystyle }$ 계수를 가진 α$$${\displaystyle (i)}$ ${\displaystyle \alpha(i)}$의 선형 조합입니다. Then, since ${\displaystyle n>1}$ and ${\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}$ are pairwise distinct, the ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-vector subspace ${\displaystyle V}$ of ${\displaystyle \mathbb {C} }$ generated by ${\displaystyle \alpha (1),\dots ,}$${\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}$ is not trivial and we can pick ${\displaystyle \alpha (i_{1}),\ldots ,\alpha (i_{k})}$ to form a basis for ${\displaystyle V.}$ For each ${\displaystyle m=1,\dots ,M}$, we have

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta (m)=q_{m,1}\alpha (i_{1})+\cdots +q_{m,k}\alpha (i_{k}),&&q_{m,j}={\frac {c_{m,j}}{d_{m,j}}};\qquad c_{m,j},d_{m,j}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

$각각$의 j =$,$ …, k$,$ {\$displaystyle$ j = 1,\$ldots,$ k,}에 대해 j {\displaystyle d_{j}는 모든 dm 중 최소공통배수이고, j {\displaystyle d_{m,j}는 m = 1, …, M {\displaystyle m = 1,\ldots, M}, ${\displaystyle {vj}_{}}$ = $dj$ α (ij) {\displaystyle v_{j} = {\tfrac {1} {d_{j}}\alpha (i_{j}}}을(를) 넣었습니다. 그러면 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 대수적 수이고$,$ $이들$은 V {\$displaystyle$ V$}$의 기저를 이루며$,$ 각 $\beta {\displaystyle }$(${\displaystyle m)}$ ${\displaystyle \beta(m)}$는 정수 계수를 $가진$ v ${\displaystyle j_{}}$ ${\$의 선형 조합입니다$$. 관계를 곱하여

${\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}$

${\displaystyle e^{}}$(${\displaystyle {v_{}}^{}}$ ${\displaystyle {1_{}}^{}}$+ ⋯ +$$v $k$ ) ${\displaystyle e$^{N($v_${1$}+\cdots$ +v_$\{$k}}}에 의해, N {\displaystyle N}은 충분히 큰 양의 정수이며, ev 1, ⋯, ev {\displaystyle e^{v_{1}},\cdots, e^{v_{k}}, 그 정리의 첫 번째 공식에 반대하여

관련결과

린데만의 변형-대수적 숫자가 초월적 리우빌 숫자(또는 일반적으로 U 숫자)로 대체되는 바이에르스트라스 정리도 알려져 있습니다.^[12]

참고 항목

• 겔폰드-슈나이더 정리
• 베이커 정리; 겔폰드-슈나이더 정리의 확장
• 만약 증명된다면, 그것은 겔폰드-슈네이더 정리와 린데만-을 모두 의미할 것입니다.바이어스트라스 정리

메모들

참고문헌

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• Hilbert, D. (1893), "Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π.", Mathematische Annalen, 43 (2–3): 216–219, doi:10.1007/bf01443645, S2CID 179177945, archived from the original on 2017-10-06, retrieved 2018-12-24
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더보기

• Baker, Alan (1990), Transcendental number theory, Cambridge Mathematical Library (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-39791-9, MR 0422171
• Bertrand, D. (1997), "Theta functions and transcendence", The Ramanujan Journal, 1 (4): 339–350, doi:10.1023/A:1009749608672, S2CID 118628723
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외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Hermite-Lindemann Theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Lindemann-Weierstrass Theorem". MathWorld.