급성 및 둔탁 삼각형

급성 삼각형(또는 급성 각도 삼각형)은 세 개의 급성 각도(90° 미만)를 가진 삼각형이다. 둔각 삼각형(또는 둔각 삼각형)은 한 둔각(90°보다 큼)을 갖는 삼각형이다. 그리고 두 개의 예각. 유클리드 기하학에서 삼각형의 각도는 180°에 합해져야 하기 때문에 유클리드 삼각형은 하나 이상의 둔각을 가질 수 없다.

급성 삼각형과 둔탁 삼각형은 서로 다른 두 종류의 사선 삼각형이다. 즉, 90° 각도가 없기 때문에 직삼각형이 아닌 삼각형이다.

맞다	둔해.	급성
	${\displaystyle \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad }{}}}}}$
	경사

특성.

모든 삼각형에서, 중심(각각 중위수와 반대편의 중간점을 연결하는 중위수들의 교차점)과 장려자(내부적으로 세 변 모두에 접하는 원의 중심)는 삼각형의 내부에 있다. 그러나, 직교점과 원곡선은 급성 삼각형의 내부에 있는 반면, 둔탁한 삼각형의 외부에 있다.

직교점은 삼각형의 세 고도의 교차점이며, 각 고도는 한 면을 반대 정점에 수직으로 연결한다. 급성 삼각형의 경우, 이 세 부분 모두 삼각형의 내부에 완전히 놓여 있어, 그 안에서 교차한다. 그러나 둔탁한 삼각형의 경우, 두 개의 급성 각도에서 나온 고도는 반대편의 연장만 교차한다. 이러한 고도는 삼각형 바깥쪽으로 완전히 떨어져 서로 교차하는 결과를 낳으며(따라서 둔각으로 휘어진 정점으로부터의 연장 고도와 함께) 삼각형의 바깥쪽에서 발생한다.

마찬가지로 삼각형의 원곡선 - 3개의 정점을 모두 통과하는 원의 중심인 3면 수직 이등분선의 교차점 - 급성 삼각형 안이지만 둔탁한 삼각형 바깥으로 떨어진다.

오른쪽 삼각형은 중간인 경우로, 그것의 원곡선과 직사각형은 둘 다 그것의 경계 위에 있다.

어떤 삼각형에서든, a와 b의 반대편에 있는 두 각도 측정치 A와 B는 각각 다음과^{[1]: p. 264} 같이 관련되어 있다.

${\displaystyle A>B\quad {\text{if and only if}\quad a>b.}$

이것은 둔부 삼각형에서 가장 긴 쪽이 둔부 각이 있는 정점 반대쪽이라는 것을 암시한다.

급성 삼각형에는 세 개의 정사각형이 새겨져 있는데, 각 정사각형은 삼각형의 한 면과 일치하고 나머지 두 면에는 정사각형의 다른 두 정점과 일치한다. (직각 삼각형에서는 이것들 중 두 개가 같은 정사각형으로 병합되므로, 두 개의 뚜렷한 새겨진 정사각형만이 있을 뿐이다.) 그러나 둔탁한 삼각형에는 하나의 정사각형만 새겨져 있는데, 그 중 하나의 정사각형은 삼각형의 가장 긴 면의 일부와 일치한다.^{[2]: p. 115}

오일러 선이 한쪽에 평행한 모든 삼각형은 급성이다.^[3] 이 속성은${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{태닝}}$ ${\displaystyle }$ B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{태닝}c}$ ${\displaystyle C}$)${\displaystyle \mathrm{}}$= 3. ${\displaystyle$(\$tan B)(\tan$ C$)=3$인 경우에만 측면 BC를 유지한다$.$$}$

불평등

옆면

만약 각도 C가 둔하다면, 옆면 a, b, c는 우리가 가지고^{[4]: p.1, #74} 있다.

${\displaystyle {\frac{c^{2}}:<a^{2}+b^{2}}}<c^{2}}$

왼쪽 불평등이 이등변 삼각형의 꼭지점 각도가 180°에 근접할 때에만 한계의 평등에 접근하고 오른쪽 불평등은 둔각 90°에 근접할 때에만 평등에 접근한다.

만약 삼각형이 급하다면

${\displaystyle a^{2}+b^{2}}}>c^{2},\c^b^{2}+c^{2}}}>a^{2},\cHB c^{2}+a^{2}>b^{2}.}$

고도

C가 가장 큰 각도이고 h가_c 꼭지점 C로부터의 고도인 경우, 급성 삼각형의^{[4]: p.135, #3109} 경우

${\displaystyle {\frac {1}{h_{c}^{2}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}}}}}$

C가 둔하면 반대 불평등과 함께.

미디안

다른 면으로부터 가장 긴 측면 c와 중간자 m과_a m을_b 가지고,^{[4]: p.136, #3110}

${\displaystyle 4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}}:$

급성 삼각형이지만 둔탁한 삼각형에 대해 불평등이 역전된 경우.

가장 긴 쪽에서 나온 중위수 m은_c 각각 급성 또는 둔탁 삼각형의 경우 원곡선보다 크거나 작다.^{[4]: p.136, #3113}

$[\displaystyle m_{c}]R}$

급성 삼각형의 경우, 둔탁한 삼각형의 경우 그 반대의 경우.

면적

오노의 A 지역에서의 불평등,

${\displaystyle 27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}^{2}(a^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6}}}}}}$

모든 급성 삼각형에 대해 고정되지만 모든 둔부 삼각형에 대해서는 고정되지 않는다.

삼각함수

급성 삼각형의 경우 A, B, C 각도의 ^{[4]: p.26, #954} 경우

${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,}$

역불평등이 둔부 삼각형을 유지하며

할라디우스 R이 있는 급성 삼각형의 경우,^{[4]: p.141, #3167}

${\displaystyle a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}:}}$

그리고^{[4]: p.155, #S25}

$\displaystyle \cos ^{3}}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}.}$

급성 삼각형의 ^{[4]: p.115, #2874} 경우

${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,}$

둔탁한 삼각형의 역불평등과 함께.

급성 삼각형의 ^{[4]: p178, #241.1} 경우

$\displaystyle \sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}}$

어떤 삼각형에서든 3중 접선 ID는 각도의 접선의 합이 그들의 제품과 동일하다고 말한다. 급성 각도는 양의 탄젠트 값을 갖는 반면 둔각은 음의 탄젠트 값을 가지기 때문에 탄젠트의 곱에 대한 표현은 다음을 나타낸다.

$\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan C>0}$

급성 삼각형의 경우, 불평등의 반대 방향은 둔탁한 삼각형의 경우 유지된다.

우리는^{[4]: p.26, #958} 가지고 있다.

$\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)}$

급성 삼각형 및 둔탁 삼각형 역삼각형.

모든 ^{[4]: p.40, #1210} 급성 삼각형에는

${\displaystyle (\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}}$

인라디우스 r과 할라디우스 R이 있는 모든 급성 삼각형에 대해,^{[4]: p.53, #1424}

$A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.}$

영역 K가 있는 급성 삼각형의 경우,

${\displaystyle({\sqrt{\cot A}}+{\sqrt{\cot C}}}^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}}}.}$

콘라디우스, 인라디우스, 엑스트라디우스

급성 삼각형에서, 회음부 R과 인라디우스 r의 합은 가장 짧은 면 a와 b의 합계의 절반 미만이다.^{[4]: p.105, #2690}

${\displaystyle R+r<{\frac {a+b}{2}},}$

역불평등은 둔탁한 삼각형을 유지하는 반면

중위수 m_a , m_b , m , m_c 그리고 calreadius R이 있는 급성 삼각형을 위해, 우리는^{[4]: p.26, #954}

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}}$

반대편 불평등이 둔한 삼각형을 유지하는 동안.

또한, 급성 삼각형이 만족한다^{[4]: p.26, #954} .

${\displaystyle r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},}$

역불평등이 둔부 삼각형을 유지한 상태에서 다시 excle radi r_a, r, r, r의_bc 관점에서.

반퍼미터의 급성 삼각형의 ^{[4]: p.115, #2874} 경우

$(\displaystyle s-r>2R,}$

역불평등은 둔탁한 삼각형을 유지한다.

영역 K가 있는 급성 삼각형의 경우,^{[4]: p.185, #291.6}

${\displaystyle ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt{3}}.}$

삼각형 중심을 포함하는 거리

급성 삼각형의 경우 원곡선 O와 직교점 H 사이의 거리가 충족됨^{[4]: p.26, #954}

$OH(Displaystyle OH,)$

반대편 불평등이 둔감한 삼각형을 지탱하고 있다.

급성 삼각형의 경우 근친 중심 I과 직교점 H 사이의 거리가 충족됨^{[4]: p.26, #954}

${\displaystyle IH{\sqrt{2},}$

여기서 r은 둔각 삼각형의 역불평등을 갖는 인라디우스다.

내접정사각형

만약 급성 삼각형의 새겨진 정사각형 중 하나가 측면 길이_a x를 가지고 있고, 다른 정사각형은 측면 길이_b x를_a x < x를_b 가지고 있다면, 그러면^{[2]: p. 115}

${\displaystyle 1\geq {\x_{a}{x_{b}}\geq {2{\sqrt{2}}{3}}}}{3}\약 0.94.}$

삼각형 두 개

두^{[4]: p.29, #1030} 개의 둔부 삼각형이 각각 가장 긴 면(a, b, c)과 (p, q, r)을 가진 경우,

$app+bq.}$

예

특수 이름이 있는 삼각형

칼라비 삼각형은 내부에 맞는 가장 큰 사각형이 세 가지 방법 중 하나로 위치할 수 있는 유일한 비등변 삼각형이며, 기본 각도가 39.1320261인 둔각과 이소체...° 및 세 번째 각도 101.7359477...°

60° 각도가 3개인 정삼각형은 급성이다.

몰리 삼각형은 그것의 인접한 각도 삼지각의 교차점에 의해 어떤 삼각형으로부터도 형성되는 등각형이며, 따라서 급격하다.

황금 삼각형은 이소체 삼각형으로, 밑면에 대한 중복 변의 비율이 황금 비율과 같다. 각도가 36도, 72도, 72도인 급성인데, 1:2:2 비율의 각도가 있는 유일한 삼각형이 된다.^[5]

옆면이 측면과 일치하고, 대각선이 짧고, 일반 헵타의 길이가 긴$$헵타의 삼각형은 둔탁하며, 각도는$\pi {\displaystyle }$/ ${\displaystyle 7\mathrm{}}$,${\displaystyle 2}$ $/$ / ${\displaystyle 7\mathrm{},}$ ${\displaystyle \pi /7,$ $4$ ${\displaystyle \pi }$/ 7.${\displaystyle 4\pi /$7. {\displaystystysty4\pi /7.$}$

정수 변이 있는 삼각형

고도와 옆면에 연속 정수를 가진 유일한 삼각형은 급성이며, 옆면(13,14,15)과 옆면 14로부터의 고도가 12와 같다.

산술수열에서 정수 면이 있는 가장 작은 밀리미터 삼각형과 구별되는 면이 있는 가장 작은 밀리미터 정수 변 삼각형은 둔하다. 즉, 변이 있는 삼각형(2, 3, 4)이다.

한 각도가 다른 두 개의 삼각형이고 산술적 진행에서 정수 면이 있는 유일한 삼각형은 급성이다. 즉, (4,5,6) 삼각형과 그 곱셈이다.^[6]

면적 = 둘레가 있는 급성 정수측 삼각형은 없지만, 면^[7](6,25,29), 면(7,15,20), 면(9,10,17)이 있는 둔한 삼각형이 세 개 있다.

3개의 합리적인 중위수가 있는 가장 작은 정수측 삼각형은 옆면이^[8] 있는 급성이다(68, 85, 87).

왜가리 삼각형에는 정수와 정수의 면적이 있다. 둘레가 가장 작은 사선 헤론 삼각형은 옆면(6, 5, 5)이 있는 급성이다. 가장 작은 면적을 공유하는 두 개의 사선 헤론 삼각형은 옆면이 있는 예리한 삼각형(6, 5, 5)과 옆면이 있는 둔한 삼각형(8, 5, 5)이며, 각각 면적이 12이다.

참조

• Weisstein, Eric W. "Acute triangle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Obtuse triangle". MathWorld.