단면(기하학)

압축 씰의 단면도

기하학 및 과학에서, 단면이란 3차원 공간에서 평면 또는 고차원 공간에서 유추체가 비어 있지 않은 교차점입니다.객체를 슬라이스로 자르면 많은 평행 단면이 생성됩니다.2개의 축에 평행한 3차원 공간의 단면 경계, 즉 이들 축에 의해 결정되는 평면에 평행한 평면을 등고선이라고 부르기도 한다.예를 들어 평면이 지면에 평행한 융기된 부조 지도의 산을 절단하는 경우, 그 결과는 2차원 공간의 등고선이다.고도가 같은 산의 지표면에 있는 점들.

기술도면에서 단면은 물체를 교차하는 평면에 투영하는 것으로서 3차원 물체의 내부 배치를 2차원으로 묘사하는 데 사용되는 일반적인 도구이다.이것은 전통적으로 사용되는 재료의 종류를 나타내는 크로스 해칭 스타일과 교차되어 있습니다.

컴퓨터 축 단층 촬영으로 컴퓨터는 X선 데이터에서 단면을 구성할 수 있습니다.

정의.

평면이 솔리드(3차원 물체)와 교차하는 경우 평면과 솔리드 공통 영역을 ^[1]솔리드 단면이라고 합니다.고체의 단면을 포함한 평면을 절단면이라고 해도 좋다.

솔리드 단면의 모양은 솔리드 절단면의 방향에 따라 달라질 수 있습니다.예를 들어 공의 모든 단면이 ^[2]원반인 반면, 큐브의 단면은 큐브와 절단면이 어떻게 관련되어 있는지에 따라 달라집니다.절삭면이 입방체의 마주보는 두 면의 중심을 연결하는 선에 수직인 경우 단면은 정사각형이지만, 절삭면이 반대 정점을 연결하는 입방체의 대각선에 수직인 경우 단면은 점, 삼각형 또는 육각형 중 하나가 될 수 있다.

평면 단면

관련 개념은 평면 단면이며,^[3] 평면과 평면 간의 교차 곡선입니다.따라서 평면 단면은 절단면에서 솔리드 단면의 경계이다.

3차원 공간의 표면이 두 변수( $즉$ , z = $f (x,$ $y)$ 의 함수에 의해 정의되는 경우, 좌표 평면(두 개의 좌표 축에 의해 결정되는 평면)에 평행한 평면 부분을 수평 곡선 또는 ^[4]등각선이라고 한다.보다 구체적으로, z = $k$ (xy-평면에 평행한 형태)의 방정식이 있는 절단면은 적용 영역에서 종종 등고선이라고 불리는 평면 단면을 생성합니다.

단면 및 평면 단면의 수학적 예

색상 영역은 솔리드 콘의 단면입니다.경계(검은색)는 명명된 평면 단면입니다.

다면체의 단면은 다각형이다.

원뿔 섹션(원, 타원, 포물선 및 하이퍼볼라)은 왼쪽 다이어그램과 같이 다양한 각도로 절단면이 있는 원뿔의 평면 섹션입니다.

타원체의 중심을 통과하는 단면은 타원 영역을 형성하고, 대응하는 평면 단면은 그 표면에 타원 영역을 형성한다.절삭면이 대칭 축에 수직인 경우 이 값은 각각 디스크와 원으로 퇴화됩니다.일반적으로 4차원 평면 섹션은 원뿔 ^[5]섹션입니다.

솔리드 실린더 단면

2개의 베이스 사이에 연재하는 입체 우측 원형 실린더의 단면은 실린더의 베이스와 평행하면 원반, 베이스와 평행하지 않으면 타원영역(오른쪽 그림 참조)이다.절단면이 베이스에 수직인 경우 실린더에 접하지 않는 한 직사각형(표시되지 않음)으로 구성됩니다(이 경우 단일 선분임).

실린더라는 용어는 솔리드 실린더의 측면 표면을 의미할 수도 있습니다(원통(기하학) 참조).실린더를 이러한 의미로 사용하는 경우, 위의 단락은 다음과 같습니다.길이 유한한^[6] 우측 원형 실린더의 평면부는 절삭면이 실린더의 대칭축에 수직인 경우에는 원이고, 평행하지 않은 경우에는 타원이다.절단면이 축에 평행한 경우 절단면이 실린더에 접하지 않는 한 평면 섹션은 한 쌍의 평행선 세그먼트로 구성됩니다. 이 경우 평면 섹션은 단일 선 세그먼트입니다.

z

= x 2

+

xy

+

y 2

그래프

입니다.(1, 1, 3)에서 y를 일정하게

유지

하는 편도함수의 경우 해당 접선은 xz

평면에 평행합니다.

위 그래프의 평면 섹션은 y =

1

에서 xz-평면의

레벨 곡선을 보여줍니다.

평면 섹션은 함수의 인수 중 하나에 대한 편도함수를 시각화하기 위해 사용할 수 있다.z = $f (x,$ $y)$ 라고 $가정$ 합니다.x에 $대한$ f $(x,$ $y)$ 의 편도함수를 취할 때 함수 $f$ 의 $평면구간$ 을 y의 고정값으로 $취하여$ x에 $대한$ z의 수준곡선만을 그릴 수 있으며, x에 $대한$ 편도함수는 결과 2차원 그래프의 기울기이다.

면적 및 볼륨

Cavalieri의 원리는 동일한 면적의 대응하는 단면을 가진 고체는 동일한 부피를 갖는다고 말한다.

특정 각도에서 보았을 때 물체의 단면적( $A$ \ displaystyle A $A'$ 은 해당 각도에서 물체의 맞춤 투영 총면적입니다.예를 들어 높이 h 및 반지름 r의 실린더는 중심축을 따라 볼 때 A $A'=\pi r^{2}$ $A'=\pi r^{2}$ r $A'=\pi r^{2}$ {\ $displaystyle$ A' = \ $pi$ r $^{2}}$ 이고 $A'=\pi r^{2}$ $A'=2rh$ 직교 방향에서 볼 때 A $A'=2rh$ $A'=2rh$ $A'=2rh$ {\ $displaystyle$ A' = $2rh$ 반지름 r의 구면에는 임의의 각도에서 볼 때 A $A'=\pi r^{2}$ = $= {\$ $A'=\pi r^{2}$ $A'=\pi r^{2}$ ({ $displaystyle$ A'=\ $pi$ r $^{2})$ 가 $A'=\pi r^{2}$ 있다. $보다$ 일반적으로 A ${\$ { $style$ A}는 $A'$ 다음과 같은 표면 적분을 평가하여 계산할 수 있습니다.

\displaystyle A'=\iint \mathrm {top} d\mathbf {A} \cdot \mathbf {r} ,

$\mathbf {\hat {r}}$ 서 r $^$ {\ $displaystyle \mathbf {r}}$ 은 $\mathbf {\hat {r}}$ 뷰어를 향해 향하는 단위 벡터, $d\mathbf {A}$ {\ $displaystyle$ d $\mathbf {A}}$ 는 $d\mathbf{A}$ 바깥쪽을 가리키는 법선을 가진 표면 요소이며 적분은 맨 위 표면에서만 "보이는" 표면입니다.보는 사람의 감흥분명히.볼록한 물체의 경우, 보는 사람의 관점에서 물체를 통과하는 각 광선은 단지 두 개의 표면을 교차합니다.이러한 객체의 경우 정수 $\mathbf {\hat {r}}$ r $^\$ 에 적용되는 발산정리에 의해 요구되는 바와 같이 적분(객체의 "위"와 "아래"가 감산되지 않도록)의 절대값을 취함으로써 전체 표면(\ $displaystyle$ A $A$ 에 적분을 취할 수 있습니다.)를 2로 나눕니다.

A'=matfrac {1}{2}}\iint _{A} d\mathbf {A} \cdot \mathbf {r}

고차원으로

고체의 단면과 마찬가지로 n차원 공간에서의 n차원 물체의 단면은 초평면( $n - 1$ )과 비어 있지 않은 물체의 교차점이다.이 개념은 때때로 고차원 ^[7]공간의 측면을 시각화하는 데 사용됩니다.예를 들어, 4차원 물체가 3차원 공간을 통과한다면, 우리는 4차원 물체의 3차원 단면을 볼 수 있을 것이다.특히 3개의 공간을 통과하는 4개의 볼(하이퍼스피어)은 과도기 동안 최대까지 늘어났다가 크기가 줄어든 3개의 볼로 나타난다.이 동적 객체(3공간 관점에서)는 4-볼의 단면 시퀀스입니다.

과학의 예

지구 내부의 개략적인 단면도

상부 콜리큘러스 레벨의 중뇌 단면.

사우스캐롤라이나 주 셰로우의 연륜을 보여주는 피너스 타에다 단면.

지질학에서, 행성 내부의 구조는 종종 오른쪽 지구의 단면처럼 행성의 중심을 통과하는 행성의 단면도를 사용하여 설명된다.

단면은 왼쪽과 같이 기관의 내부 구조를 설명하기 위해 해부학에서 자주 사용됩니다.

나무 줄기의 단면은 왼쪽과 같이 나무의 나이와 환경의 시간적 특성을 찾는 데 사용할 수 있는 성장 고리를 드러냅니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 스워코프스키 1983, 페이지 296
^ 좀 더 기술적인 언어로, 3개의 공의 단면은 2개의 공이다.
^ 알버트 2016, 페이지 38
^ 스워코프스키 1983, 페이지 716
^ 알버트 2016, 페이지 117
^ 이 실린더는 열려 있고, 베이스가 들어 있지 않다
^ 스튜어트 2001, 59페이지

레퍼런스

Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
Stewart, Ian (2001), Flatterland / like flatland, only more so, Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X
Swokowski, Earl W. (1983), Calculus with analytic geometry (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7

[1] 스워코프스키 1983, 페이지 296

[2] 좀 더 기술적인 언어로, 3개의 공의 단면은 2개의 공이다.

[3] 알버트 2016, 페이지 38

[4] 스워코프스키 1983, 페이지 716

[5] 알버트 2016, 페이지 117

[6] 이 실린더는 열려 있고, 베이스가 들어 있지 않다

[7] 스튜어트 2001, 59페이지

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정의.

평면 단면

단면 및 평면 단면의 수학적 예

관련 과목에서

면적 및 볼륨

고차원으로

과학의 예

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