변동 미적분학의 기본 보조정리

수학에서, 특히 변동의 미적분학에서, 함수 f의 변동 Δf는 임의의 작은 간격에 집중될 수 있지만, 한 점도 집중될 수 없다.따라서 극단(기능적 파생상품은 0)의 필요조건은 임의함수 Δf와 통합된 약한 제형(변수형)으로 나타난다.변이 미적분학의 기본 보조정리법은 일반적으로 임의함수와의 통합에서 벗어나 이 약한 제형을 강한 제형(차이분 방정식)으로 변형시키는 데 사용된다.증명은 일반적으로 f가 기호를 유지하는 간격(양 또는 음)에 집중된 Δf를 선택할 수 있는 가능성을 이용한다.몇 가지 버전의 보조정리기가 사용되고 있다.기본 버전은 공식화하고 증명하기 쉽다.더 강력한 버전이 필요할 때 사용된다.

기본 버전

${\displaystyle \mathrm{열린}}$ 간격$({\displaystyle }$ $a$${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle$(a,b$)}$에서 연속 함수 f ${\$displaystyle $f}$이(가$)$ 동등성을 충족하는$$ 경우

${\displaystyle \int _{a}^{b(x)h(x)\,\mathrm {d}x=0}$

$({\displaystyle }$ , b ) ${\displaystyle (a,b)}$에서 압축적으로 지원되는 모든 매끄러운 $기능{\displaystyle }$ h$${\$displaystyle$h$\}$에 $대해{\displaystyle }$, f$${\$displaystyle f}$은${\displaystyle (}$는) 동일하게 0이다.^[1][2]

여기서 "원활한"은 "무한히 다른 것"^[1]으로 해석될 수 있지만, 종종 "두 번 연속적으로 다른 것" 또는 "계속 다른 것"으로 해석된다.^[2] 이러한 약한 진술들은 주어진 작업에 충분히 강할 수 있기 때문이다."Compactly 지원되는";오직 h{h\displaystyle}(또는 h{h\displaystyle}a[1]지만 종종 약한 성명은 혼자 쓰기에 충분한다고 가정해"일부 c{\displaystyle c}, d{\displaystyle d}를<>요리<>d<>b{\displaystyle a<, c<, d&lt을 위해 조로와 외부[c, d]{\displaystyle[c,d]};b}"의미한다그리고 많은의 d.삭제)는 엔드포인트에서 사라진다. $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$\},$ b ${\displaystyle b$^[2] 이 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$ 닫힌 ${\displaystyle \mathrm{간격}}{\displaystyle [,}$ b${\displaystyle }$]$${\$displaystyle [a,b]}$이(가) 사용된다$$.

지정된 두 함수에 대한 버전

한 쌍의 연속 함수 f, g 간격(a,b)이 동등성을 만족하는 경우

${\d}\int _{a}^{b(x)\,h(x)+g(x)\,h(x)\,\mathrm {d}x=0}$

(a,b)에서 콤팩트하게 지원되는 모든 부드러운 기능에 대해, g는 구별이 가능하며, g' = f 도처에 있다.^[3][4]

g = 0에 대한 특수 케이스는 기본 버전에 불과하다.

여기 f = 0(흔히 충분하다)에 대한 특별한 경우가 있다.

간격의 연속 함수 g(a,b)가 동등성을 만족하는 경우

${\d}x=0}{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d}x=0}$

(a,${\displaystyle b}$)의 모든 부드러운 함수 h에 대해, $h{\displaystyle }$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{h}}$ ${\displaystyle (b}$)${\displaystyle }$= 0 $(\displaystyle h(a)=h(b)=0$ 그러면 g는 일정하게 된다.^[5]

또한, g의 지속적인 차이성을 가정할 경우, 부품에 의한 통합은 두 문장을 모두 기본 버전으로 축소시킨다. 이 경우는 Joseph-Louis Lagrange에 기인하는 반면, g의 차이성 증명은 Paul du Bois-Reymond에 기인한다.

불연속 기능에 대한 버전

주어진 함수(f, g)는 (지정된 간격에 따라) 국소적으로 통합할 수 있는 경우 불연속적일 수 있다.이 경우, Lebesgue 통합을 의미하며, 결론은 거의 모든 곳(즉, 모든 연속성 점에서), g의 차별성은 (지속적 차별성이 아닌) 국부적 절대적 연속성으로 해석된다.^[6][7]때로는 주어진 기능이 단편적으로 연속적이라고 가정하기도 하는데, 이 경우 리만 통합은 충분하며, 결론은 유한한 불연속점 집합을 제외한 모든 곳에 명시된다.^[4]

상위파생상품

$연속함수{\displaystyle {}_{}}$ f 0 , ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle f_{}}$ n ${\$의 튜플이 간격(a,b)에서$$ 동등성을 만족하는 경우

${\displaystyle \int _{a}^{b}(x)\,h(x)+f_{1}\,h(x)+\,h'(x)+\,h'(x)+\,h(x)+{n(x)\, h^{n(x)\,\mathrm {d}x=0}$

(a,b)에서 콤팩트하게 지원되는 모든 부드러운 기능에 대해, 그러면 (a,b)에$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{u}}_{}}$n -$$1 {\$displaystyle u_{0},u_{$1},\$reason, u_{n-1$}, u_{n-1$},$ u_{n-1}, 이렇게 $지속적$으로 다른 기능이 존재한다.

${\displaystyle f_{0}=u'_{0},\f_{1}=u_{0}+u'{1}{1},\\\n,\f_{n-1}=u_{n-2}+u_{n-1},\\displaysty f_{n}=u_{n-1},{n-1},1},}$

도처에^[8]

통합이${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle ({}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ h ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {\prime }^{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$ + ⋯ + u +${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- 1 ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$(${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$)${\displaystyle {}^{}\prime .}$ ${\displaystyle (u_{0}h')++(u_{1}h')+\dots +(u_{n-1}h{$n-1}h^{n-1$}}})'''''''''''''''''''$이 되기 때문에 필요한 조건도 충분하다.$}$

$사례{\displaystyle }$ n =${\displaystyle {}_{}}$은 f = f 0${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ = u 0$$u {\$displaystyle f=f_{0}=u_{0$}},${\displaystyle {}_{}{f\mathrm{}}_{}}$$$${\displaystyle {}_{}}$ = {\$displaystyle f_{1}=u_{0}}}},$ $따라서$ f ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ - f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}^{}0}$= 0${\displaystyle \mathrm{.}}$ ${\displaystyle f_{0}-$f_{0}-$f_{$1}={1$}={$1}=0}=0}=0}=0}에 대한 버전일 뿐이다$.$$}$

반대로 사례 n=2는 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$- ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}\prime }$ + f ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f'_{2}=0,}$ 함수 f 2 =$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ = {\$displaystystyle f_{2$}=$u_{$1},}는 두$$번 다를 필요가 없기 때문에 관계가 없다$$.${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$- f ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ f ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= 0 ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f'_{2}=0}$의 충분한 조건은 필요하지$$ 않다.Rather, the necessary and sufficient condition may be written as ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}$ for n=2, ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}$ for n=3, and so on; in general, the brackets cannot be opened becaus불연속성의 e

벡터 값 함수

벡터 값 함수에 대한 일반화$({\displaystyle a}$ ${\displaystyle ,}$ b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$d 디스플레이 $스타일(a,b)\to \mathb {R} ^d}$은(^[10]는) 간단하다$$. 스칼라 함수에 대한 결과를 각 좌표에 개별적으로 적용하거나 처음부터 벡터 값 대소문자를 처리한다.^[9]

다변량함수

오픈 세트 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ d ${\$의 연속 다변량 함수f가 동등성을 만족하는$$ 경우

${\d}표시 스타일 \int _{\Oomega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

Ω에서 콤팩트하게 지원되는 모든 부드러운 함수에 대해, 그 다음 f는 동일한 0이다.

기본 버전과 유사하게 h가 Ω의 경계에 소멸한다고 가정할 때 Ω의 폐쇄에 대한 연속 함수 f를 고려할 수 있다.^[11]

불연속 다변량 함수에 대한 버전은 다음과 같다.

$\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$d}}$을(를) 열린$$ 집합으로 하고, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ $)$ {\$displaystyle f\$in L$^{2$}(\$Oomega )$은 동등성을 만족시킨다$$.

${\d}표시 스타일 \int _{\Oomega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

소형으로 지원되는 모든 부드러운 함수 h on Ω.그러면 f=0(L², 즉 거의 모든 곳에서).^[12]

적용들

이 보조정리기는 기능상의 극단성을 증명하기 위해 사용된다.

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{0}^{x_{1}L(t,y(t),{\dot{y}(t)\\mathrm {d}t}$

약한 용액 $y{\displaystyle }$:${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ V ${\displaystyle$ y$:[x_{0},x_{1}]\V}($적절한 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\$displaystyle $V}$의 경우)

${\partial L(t,y(t),{\dot {y}(t) \partial y}={\partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d}{d}{\partial L(t,y)(t) \partial {\\\\dot}}}} \partial {y}}}.}$

오일러-라그랑주 방정식은 고전 역학과 미분 기하학에서 두드러진 역할을 한다.

메모들

참조

• Jost, Jürgen; Li-Jost, Xianqing (1998), Calculus of variations, Cambridge University
• Gelfand, I.M.; Fomin, S.V. (1963), Calculus of variations, Prentice-Hall (이름)러시아에서 왔다.
• Hestenes, Magnus R. (1966), Calculus of variations and optimal control theory, John Wiley
• Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (1996), Calculus of Variations I, Springer