푸앵카레 부등식

수학에서 푸앵카레 불평등은^[1] 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레의 이름을 딴 소볼레프 공간 이론의 결과물이다. 불평등은 그 파생상품의 한계와 그 정의 영역의 기하학을 이용하여 함수의 한계를 얻을 수 있게 한다. 그러한 경계는 현대적이고 직접적인 변화 미적분법에서 매우 중요하다. 매우 밀접하게 연관된 결과는 프리드리히스의 불평등이다.

부등식 성명

고전적인 푸앵카레 불평등

p, 1 direction p < ∞과 Ω이 적어도 한 방향에서 경계를 이루도록 한다. 그 다음, Ω과 p에만 의존하는 상수 C가 존재하므로, 0-추적(경계의 0) 함수의 소볼레프 공간 W₀^1,p(Ω)의 모든 함수 u에 대해,

${\displaystyle \ \u\ _{L^{p}(\Oomega )}\leq C\\\nabla u\ _{L^{p}(\Oomega )}.}$

푸앵카레-웨터링거 부등식

1 p p ∞ ∞이고 Ω이 립스키츠 경계와 함께 n차원 유클리드 공간 R의ⁿ 경계로 연결된 열린 부분집합이라고 가정한다(즉, Ω은 립스키츠 도메인이다). 그 다음, Ω과 p에만 의존하는 상수 C가 존재하여, 소볼레프 공간 W(Ω)의^1,p 모든 함수 u에 대해,

${\displaystyle \ \u-u_{\Oomega }\{L^{p}(\Oomega )}\leq C\\nabla u\ _{L^{p}(\Oomega )}}}}$

어디에

${\displaystyle u_{\Oomega }={\frac {1}{\Oomega }}}\int_{\Oomega }u(y)\\\mathrm {d}y}}}$

Ω 이상 u의 평균값이며, Ω은 도메인 Ω의 Lebesgue 측정을 위한 Ω이다. Ω이 공일 때는 위의 불평등을 a (p,p)-pincaré 불평등이라고 하며, 보다 일반적인 도메인 Ω의 경우에는 위의 불평등은 소볼레브 불평등이라고 더 잘 알려져 있다.

일반화

미터법 측정 공간(예: 하위 리만 다지관)의 맥락에서, 그러한 공간은 상수 C와 상수 1이$$ 경우 약 , < p < {\$displaystyle$ $1\leq,p<\infty$ $}$에 대해 a (q,p)-$Pincare$ 불평등을 지원하여 공간 내 각 B에 대해 상수$$ 있다.

${\displaystyle \mu (B)^{-{\frac {1}{q}}}\left\ u-u_{B}\right\ _{L^{q}(B)}\leq C\operatorname {rad} (B)\mu (B)^{-{\frac {1}{p}}}\ \nabla u\ _{L^{p}(\lambda B)}.}$

미터법 측정 공간의 맥락에서 ${\displaystyle \nabla \mathrm{}}$ ${\displaystyle u}$ $displaystyle \nabla u}$은 하인노넨과 코스켈라[J. 하인노넨과 P]의 의미에서 u의 최소 p-weak 상부 구배다. Koskela, Kuasiconformal maps in metric space with controlled 기하학, Acta Math. 181 (1998년), 1–61년

푸앵카레 불평등에 대한 다른 일반화가 다른 소볼레프 공간에 존재한다. 예를 들어, 다음의 (가로니 & 뮐러(2005년)는 소볼레프^1/2 공간² H(T)에 대한 푸앵카레 불평등, 즉 푸리에 변환 û을 만족하는 유닛 torus T의²² L 공간에 있는 함수 u의 공간이다.

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T}^{2})^{2}=\sum _{k\in {mathbf {Z}^{2}} k \좌측 {\hat {u}(k)\우측 ^{2}<+\inflt :}$

오픈 세트 E ⊆ T에² u가 동일하게 0인 모든 h^1/2 H(T²)에 대해 상수 C가 존재한다.

${\displaystyle \int _{\mathbf {T}^{2}} u(x) ^{2}\\\mathrm {d}x\leq C\left(1+{\frac {1}{\operatorname {cap})(E\times \{0\}}}\right)[u]{H^{1/2}(\mathbf {T}^{2})^{2},}$

여기서 cap(E × {0})은 R의³ 하위 집합으로 생각할 때 E × {0}의 고조파 용량을 나타낸다.

푸앵카레 상수

푸앵카레 불평등에서 최적의 상수 C는 때때로 도메인 Ω에 대한 푸앵카레 상수로 알려져 있다. 푸앵카레 상수를 결정하는 것은 일반적으로 p의 값과 도메인 Ω의 기하학에 따라 달라지는 매우 어려운 작업이다. 그러나 어떤 특별한 경우는 다루기 쉽다. For example, if Ω is a bounded, convex, Lipschitz domain with diameter d, then the Poincaré constant is at most d/2 for p = 1, ${\displaystyle d/\pi }$ for p = 2 (Acosta & Durán 2004; Payne & Weinberger 1960), and this is the best possible estimate on the Poincaré constant in terms of the diameter alone. 원활한 기능의 경우, 이것은 기능의 수준 집합에 대한 등측 불평등을 적용한 것으로 이해할 수 있다. [1] 한 차원에서는 기능에 대한 웨팅거의 불평등이다.

단, 특수한 경우 상수 C를 구체적으로 결정할 수 있다. 예를 들어, p = 2의 경우, 단위 이등변수 직각 삼각형 영역 위에 C = 1/4($여기$서 d${\displaystyle }$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$이 있다는 것은 잘 알려져 있다(예를 들어, 키쿠치 & 류(2007) 참조).

부드러운 껑충 뛰어 도메인 더욱이Ω{\displaystyle \Omega}, 이는 라플라스 연산자에 대한 공간에서 레일리 몫 W01,2(Ω){\displaystyle W_{0}(\Omega)}은 고유 함수는(부정적인)Laplacian는 최소한의 고유치 λ1에 해당하는으로써 최소화된다, 그것은 단순한 결과, for 임의 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ W ${\displaystyle 0_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}}$2${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$) ${\displaystyle u\in W_{0}^{1,2}(\Oomega$ $)\},$

${\displaystyle \ \u\ _{L^{2}}:}\leq \lambda _{1}-1}{1}-1}\좌측\\\\nabla u\우측\ \{L^{L^{2}}^{2}}:}$

그리고 더 나아가 상수 λ이₁ 최적이라는 것이다.

참고 항목

• 프리드리히스의 부등식
• 코른의 부등식

참조