압축불가 흐름

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유체역학 또는 보다 일반적으로 연속역학에서, 불압축유동(소산화유동)은 유체구획 내에서 물질 밀도가 일정하게 유지되는 유량(유동 속도에 따라 움직이는 극소량)을 말한다. 비압축성을 암시하는 등가문은 유속의 차이가 0(아래 파생 참조)이라는 것이다(이러한 조건이 등가인 이유를 알 수 있다).

압축할 수 없는 흐름은 액체 자체가 압축할 수 없다는 것을 의미하지는 않는다. (적절한 조건 하에서) 압축 가능한 유체조차 양호한 근사치까지 압축할 수 없는 흐름으로 모델링할 수 있다는 것은 아래 도출에서 알 수 있다. 압축 불가능한 흐름은 유속이 흐르는 유체의 구획 내에서 밀도가 일정하게 유지됨을 의미한다.

파생

압축 불가능한 흐름에 대한 기본적인 요구사항은 밀도인 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho$}이$($가) 작은 원소 체적 dV 내에서 일정하며 u 유속에서 이동한다는 것이다. 수학적으로, 이 제약조건은 밀도의 물질적 파생상품(아래에서 설명됨)이 없어져야만 압축이 풀릴 수 있음을 의미한다. 이 제약을 도입하기 전에 필요한 관계를 생성하기 위해 질량 보존을 적용해야 한다. 질량은 밀도에 통합된 부피 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$에 의해 계산된다$.$

${\displaystyle {m}={\iint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d}V}$

질량의 보존을 위해서는 제어 체적 내 질량의 시간 파생물이 그 경계를 가로지르는 질량 플럭스 J와 같아야 한다. 수학적으로, 우리는 표면 적분 측면에서 이 제약을 나타낼 수 있다.

$\displaystyle {\displaym \over t}=-}$ $(\displaystyle S)$ ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

위의 표현에서 음의 기호는 표면적 벡터가 바깥쪽을 가리키는 관례를 사용하여 외부 흐름이 시간에 따라 질량의 감소를 초래한다는 것을 보장한다. 이제, 발산 정리를 이용하여 우리는 밀도의 유동과 부분 시간 파생 사이의 관계를 도출할 수 있다.

${\displaystyle {\iint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\\mathrm {d}V}={-\iint \limits _{V}\vla \cdot \mathbf {J}\,\mathrmat {d}V}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

따라서:

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J}}$

시간에 대한 밀도의 부분적 파생은 압축할 수 없는 흐름을 보장하기 위해 사라질 필요가 없다. 시간에 관한 밀도의 부분적 파생에 대해 언급할 때, 우리는 고정된 위치의 제어 볼륨 내에서 이 변화율을 언급한다. 밀도의 부분적 시간 유도체를 0이 아닌 것으로 함으로서, 유체가 제어 부피를 통해 흐를 때 밀도가 고정된 위치에서 관찰되는 대로 변할 수 있기 때문에, 우리는 스스로를 압축 불가능한 유체에 제한하지 않고 있다. 이 접근방식은 일반성을 유지하며, 밀도 소멸의 부분적 시간 파생상품이 압축 가능한 유체가 여전히 압축 불가능한 흐름을 겪을 수 있음을 증명할 필요는 없다. 우리에게 흥미로운 것은 흐름 속도에 따라 움직이는 제어 부피의 밀도 변화, u이다. 유속은 다음 기능을 통한 유속과 관련이 있다.

${\displaystyle {\mathbf {J}}={\rho \mathbf {u}}}$

따라서 질량의 보존은 다음을 함축한다.

${\displaystyle {\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.}$

이전의 관계(적절한 제품 규칙을 사용한 곳)를 연속성 방정식이라고 한다. 이제 밀도의 총 파생상품에 대해 다음과 같은 관계가 필요하다(사슬 규칙을 적용하는 위치).

${\displaystyle {\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.}$

따라서 유체와 동일한 속도로 이동하는 제어 볼륨(예: (dx/dt, dy/dt, dz/dt) = u)을 선택하는 경우 이 표현은 재료 파생 모델로 단순화된다.

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u}}}}$

위에서 도출한 연속성 방정식을 사용하여 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle {D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.}$

시간이 지남에 따라 밀도의 변화는 유체가 압축되거나 팽창되었음을 의미할 것이다(또는 우리의 일정한 체적인 dV에 포함된 질량이 변화하였음을 의미하며, 이는 우리가 금지한 것이다. 그런 다음 밀도의 물질적 파생물이 사라지도록 요구해야 하며 0이 아닌 밀도의 경우 균등하게 분포해야 한다. 따라서 흐름 속도의 차이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\bla \cdot \mathbf {u}=0.}$

따라서 질량의 보존과 유동체 체적 내의 밀도가 일정하게 유지되는 제약으로부터 시작하여, 압축 불가능한 흐름에서 요구되는 등가조건은 유속의 분기가 사라지는 것으로 나타났다.

압축성과의 관계

일부 분야에서는 흐름의 비압력성 측정이 압력 변동에 따른 밀도 변화다. 이것은 압축성 측면에서 가장 잘 표현된다.

${\displaystyle \cHB ={\frac {1}{\rho}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d}p}}.}$

압축성이 허용 가능할 정도로 작으면 흐름은 압축할 수 없는 것으로 간주된다.

솔레노이드 장과의 관계

압축 불가능한 흐름은 솔레노이드 흐름 속도 장으로 설명된다. 그러나 솔레노이드 장에는 영분산 외에 0이 아닌 컬(즉, 회전 구성 요소)을 갖는다는 추가적인 의미도 있다.

그렇지 않으면, 압축할 수 없는 흐름도 0의 컬을 가지고 있어서 역시 비회전적이라면, 유속장은 사실상 라플라시안이다.

소재와의 차이

앞에서 정의한 바와 같이, 압축할 수 없는(이소) 흐름은 다음과 같은 흐름이다.

${\displaystyle \cdot \mathbf {u} =0.\,}$

라고 말하는 것이나 다름없다.

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}={\frac {\partial \rho }{\partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0}$

즉, 밀도의 물질적 파생상품은 0이다. 따라서 물질적 요소를 따를 경우 질량 밀도는 일정하게 유지된다. 재료 파생상품은 두 가지 용어로 구성된다. 첫 번째 용어 $\partial {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\rho }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$은 재료 원소의 밀도가 시간에 따라 어떻게 변하는지 설명한다$$. 이 용어는 불안정한 용어로도 알려져 있다. 두 번째 용어인 $u{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathrm{\cdot }}$ ρ ${\displaystyle \rho }${ {\$displaystyle \mathbf {u$} \$cdot \nabla \rho }$은 재료 원소가 한 지점에서 다른 지점으로 이동함에 따른 밀도의 변화를 설명한다$$. 이것은 붙임 용어(스칼라 필드의 결합 용어)이다. 유량이 비압축성을 갖는 것으로 간주되려면, 이 용어의 첨가 합은 0 sancro-soxt가 되어야 한다.

반면에, 균질하고, 압축할 수 없는 물질은 전체적으로 일정한 밀도를 가지고 있는 물질이다. $이러한{\displaystyle }$ 재료의 경우 ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle \text{상수}}$ ${\$ 이것은,

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{}}$ ${\displaystyle \frac{\rho }{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\frac$ {\frac ${\fract \rho$}{\$propert t}=0$$}$ 및

${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \nabla \rho =0}$ 독립적으로.

연속성 방정식에서 그것은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}={\frac {\partial \rho}{\partial t}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rhrightarrow \nabla \mathbf {u}=0}$

그러므로 균질한 물질은 항상 압축할 수 없는 흐름을 겪지만, 그 반대는 사실이 아니다. 즉, 압축성 물질은 흐름에서 압축을 경험하지 않을 수 있다.

관련 흐름 제약 조건

유체 역학에서 유속 간격이 0이면 유량을 압축할 수 없는 것으로 간주한다. 단, 모델링되는 흐름 시스템에 따라 관련 제형을 사용할 수 있는 경우도 있다. 일부 버전은 아래에 설명되어 있다.

1. 압축할 수 없는 흐름: ${\displaystyle \nabla }$ u${\displaystyle \mathrm{u}}$ = 0 ${\$ 이것은 일정한 밀도(강성 불압력) 또는 변화된 밀도 흐름을 가정할 수 있다. 다양한 밀도 세트는 밀도, 압력 및/또는 온도 영역의 작은 동요를 포함하는 해결책을 수용하며, 영역 내 압력 층화를 허용할 수 있다.
2. 비탄성 흐름: $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \cdot }$ (${\displaystyle \mathrm{\rho }}$ ${\displaystyle o_{}{}_{}\mathbf{}}$ )${\displaystyle }$= 0 ${\$ 주로 대기 과학 분야에서 사용되는 비탄성 제약조건은 비압성 흐름 유효성을 층 밀도 및/또는 온도로 확장한다. 이를 통해 열역학 변수는 예를 들어 기상학 분야에서 사용될 때 낮은 대기권에서 볼 수 있는 '대기권' 기저 상태로 이완할 수 있다. 이 조건은 다양한 천체물리학적 시스템에도 사용될 수 있다.^[1]
3. 낮은 마하수 흐름 또는 유사 압축성:${\displaystyle \mathrm{}\nabla (\alpha u\mathbf{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \nabla \nabla$\cdot \$left(\alpha \mathbf$ {u$} \right$)=\beta $\}.$ 낮은 마하수 구속조건은 비차원 수량의 척도 분석을 사용하여 압축성 오일러 방정식에서 도출할 수 있다. 이 절의 앞부분과 마찬가지로 구속장치는 음향파를 제거할 수 있지만 밀도 및/또는 온도에서 큰 동요도 허용한다. 이 가정은 그러한 제약을 사용하는 용액이 유효할 경우 흐름이 마하 수 제한치(보통 0.3 미만) 내에 유지된다는 것이다. 다시 말하지만, 모든 압축 불가능한 흐름에 따라 압력 편차는 압력 베이스 상태에 비해 작아야 한다.^[2]

이러한 방법들은 흐름에 대해 서로 다른 가정을 하지만, 모두 일반 흐름 종속 함수 $\alpha {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$$\nabla \cdot \left(\alpha$$\mathbf$ ${u}$$$$\right)=\$$beta }$의 제약 조건의 일반적인 형태를 고려한다$.$

수치 근사

압축할 수 없는 흐름 방정식의 엄격한 성질은 이를 해결하기 위해 구체적인 수학 기법이 고안되었다는 것을 의미한다. 이러한 방법 중 일부는 다음과 같다.

1. 투영 방법(근사적이고 정확한)
2. 인공압축성기법(대략)
3. 압축성 프리컨디셔닝

참고 항목

• 베르누이의 원리
• 오일러 방정식(유체 역학)
• 나비에-스토크스 방정식

참조