언쇼 정리

Earnshaw의 정리는 점전하들의 집합이 전하들의 정전기적 상호작용만으로 안정적인 정적 평형 구성으로 유지될 수 없다는 것을 말합니다. 이것은 1842년 영국 수학자 새뮤얼 언쇼에 의해 처음으로 증명되었습니다. 보통 자기장을 참고하여 인용하지만, 정전기장에 처음 적용되었습니다.

Earnshaw의 정리는 고전적인 역제곱 법칙 힘(전기력과 중력)에도 적용되며, 자석이 딱딱할 경우 영구 자석의 자기력에도 적용됩니다(자석이 외부장에 따라 세기가 달라지지 않음). Earnshaw의 정리는 많은 일반적인 상황에서 자기 부상을 금지합니다.

재료가 단단하지 않은 경우 브라운벡의 확장은 상대 투자율이 1보다 큰 재료(파라마그네틱)가 더 불안정하지만 투과율이 1보다 작은 재료(다이아마그네틱 재료)가 안정적인 구성을 허용한다는 것을 보여줍니다.

설명.

비공식적으로 임의의 정전기장에서 점전하가 발생하는 경우는 가우스 법칙의 단순한 결과입니다. 입자가 안정적인 평형 상태에 있기 위해서는 어느 방향으로든 입자에 작은 섭동("push")이 평형을 깨지 않아야 합니다. 입자는 "뒤로" 떨어져야 합니다. 이것은 입자의 평형 위치 주변의 힘장선이 모두 안쪽, 즉 그 위치를 가리켜야 한다는 것을 의미합니다. 주변의 모든 필드 라인이 평형점을 가리키면 해당 지점의 필드 발산은 음수여야 합니다(즉, 해당 지점이 싱크 역할을 합니다). 그러나 가우스의 법칙은 어떤 가능한 전기력장의 발산은 자유 공간에서 0이라고 말합니다. 수학적 표기법에서 퍼텐셜 $U (r)$ 로부터 유도된 $전기력$ F $(r)$ 는 항상 발산이 없습니다(라플라스 방정식을 만족합니다).

\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot (-\nabla U)=-\nabla^{2}U=0.

따라서 자유 공간에는 필드 전위의 로컬 최소값이나 최대값이 없으며 안장점만 있습니다. 입자의 안정적인 평형은 존재할 수 없으며 어떤 방향에서는 불안정성이 존재해야 합니다. U의 2차 도함수가 모두 null인 경우 이 인수로는 충분하지 않을 수 있습니다.^[1]

엄밀하게 말하면, 안정점의 존재가 모든 이웃 힘 벡터가 안정점을 정확히 가리킬 필요는 없습니다. 예를 들어, 힘 벡터는 안정점을 향해 나선형으로 들어갈 수 있습니다. 이를 처리하기 위한 한 가지 방법은 발산 외에도 자유 공간에서 모든 전기장의 컬이 0이라는 사실을 나타냅니다(자기 전류가 없는 경우).

이 정리를 정적 자기 쌍극자에 대한 힘/에너지 방정식(아래)에서 직접 증명할 수도 있습니다. 그러나 직관적으로 정리가 단일 점전하에 대해 성립한다면 서로 연결된 두 개의 반대 점전하에 대해서도 성립할 가능성이 있습니다. 특히 다이폴 모멘트를 유지하면서 전하 사이의 거리가 0으로 감소하는 한계를 유지합니다. 즉, 전기 다이폴을 유지합니다. 그러나 이 정리가 전기 쌍극자에 대해 성립한다면, (정적인) 힘/에너지 방정식이 전기 쌍극자와 자기 쌍극자 모두에 대해 동일한 형태를 취하기 때문에 자기 쌍극자에 대해서도 성립합니다.

실제적인 결과로서, 이 정리는 또한 자력이 중력보다 더 강할 때에도 중력에 대항하여 안정적으로 물체를 공중 부양시킬 수 있는 강자성체의 정적 구성이 가능하지 않다는 것을 말합니다.

언쇼의 정리는 확장된 물체의 일반적인 경우에 대해서도 입증되었으며, 반자성이 반자성이 아니라면 유연하고 전도하더라도 반자성은 (작은) 반발력을 구성하지만 인력은 없기 ^[2]^[3]때문입니다.

그러나 규칙의 가정에는 자기 부상을 허용하는 몇 가지 예외가 있습니다.

허점

Earnshaw의 정리는 움직이지 않는 영구 철 자석에 대해서는 예외가 없습니다. 그러나 Earnshaw의 정리는 움직이는 강자성체,^[4] 특정 전자기 시스템, 의사 부상 및 반자성체에 반드시 적용되는 것은 아닙니다. 따라서 이것들은 예외로 보일 수 있지만 실제로는 정리의 제약을 이용합니다.

스핀 안정 자기 부상: 회전하는 강자성체(예: 레비트론)는 영구 강자성체만을 사용하여 회전하면서 자기적으로 부상할 수 있으며, 이 시스템은 자이로스코프 힘을 추가합니다.^[4] (회전하는 강자성체는 "움직이지 않는 강자성체"가 아닙니다.

전자석 또는 전자석 시스템의 극성을 전환하면 지속적인 에너지 소비로 시스템이 활성화될 수 있습니다. 자기부상열차는 하나의 응용 프로그램입니다.

유사 부상은 보통 어떤 형태의 테더나 벽을 사용하여 자석의 움직임을 제한합니다. 이것은 그 정리가 불안정성이 있을 방향이 있다는 것만 보여주기 때문에 작동합니다. 해당 방향으로 이동을 제한하면 이동에 사용할 수 있는 전체 3차원보다 적은 양으로 공중부양이 가능합니다(정리는 1D 또는 2D가 아닌 3차원에서 증명됨에 유의하십시오).

반자성체는 자기장에 대한 반발력만 보이기 때문에 예외인 반면, 정리는 반발력과 인력을 동시에 가진 물질을 필요로 합니다. 이것의 예로는 유명한 공중부양 개구리(반자성 참조)가 있습니다.

물리학에 미치는 영향

꽤 오랫동안 언쇼의 정리는 왜 물질이 안정적이고 결합되어 있는지에 대한 놀라운 질문을 던졌는데, 이는 정전기적 구성의 불안정성이 입증되었음에도 불구하고 물질이 전자기적으로 결합되어 있다는 많은 증거가 발견되었기 때문입니다. 언쇼의 정리는 정지한 전하에만 적용되기 때문에, 나가오카의 토성 모형(1904년)과 러더퍼드의 행성 모형(1911년)처럼 점전자가 중심에 있는 양의 점전하를 돌고 있는 행성 모형을 이용하여 원자의 안정성을 설명하려는 시도가 있었습니다. 그러나 그러한 행성 모델의 안정성에 대해서는 즉시 의문이 제기되었습니다: 전자는 원을 따라 이동할 때 0이 아닌 가속도를 가지므로 고정되지 않은 전자기장을 통해 에너지를 복사합니다. 1913년 보어의 모델은 이 방사선의 부재에 대한 설명 없이 이 방사선을 공식적으로 금지했습니다.

반면 Earnshaw의 정리는 포인트 전하에만 적용되며 분산 전하에는 적용되지 않습니다. 이것은 1904년 J. J. Thomson의 플럼 푸딩 모델로 이어졌습니다. 여기서 음점 전하(전자 또는 플럼)는 분산된 양전하 "퍼딩"에 포함되어 고정되거나 원을 따라 이동할 수 있습니다. 이것은 비점 양전하(비고정 음전하)인 구성입니다. Earnshaw의 정리에 포함되지 않았습니다. 결국 이것은 1926년 슈뢰딩거의 모델로 이어졌는데, 여기서 전자가 한 점이 아니라 오히려 분포된 전하 밀도를 갖는 비방사성 상태의 존재는 위의 난제를 근본적인 수준에서 해결합니다: Earnshaw의 정리에 모순이 없었을 뿐만 아니라, 그러나 결과적인 전하 밀도와 전류 밀도는 고정되어 있으며, 그에 상응하는 전자기장도 마찬가지이며, 더 이상 에너지를 무한대로 복사하지 않습니다. 이것은 원자의 안정성에 대한 양자역학적 설명을 제공했습니다.

좀 더 실질적인 차원에서 볼 때, 파울리 배제 원리와 이산 전자 궤도의 존재는 벌크 물질을 경직시키는 역할을 한다고 할 수 있습니다.

자기 쌍극자에 대한 증명

서론

보다 일반적인 증명이 가능할 수 있지만, 여기서는 세 가지 구체적인 경우를 고려합니다. 첫 번째 케이스는 빠른(고정된) 방향을 갖는 일정한 크기의 자기 쌍극자입니다. 두 번째와 세 번째 경우는 외부 자기장의 필드 라인과 평행하거나 반평행으로 정렬된 상태를 유지하도록 방향이 변경되는 자기 쌍극자입니다. 상자성 재료와 반자성 재료에서 쌍극자는 각각 필드 라인에 평행 및 반평행으로 정렬됩니다.

배경

여기서 고려되는 증명은 다음과 같은 원리에 기초하고 있습니다.

외부 자기장 B에서 자기 쌍극자 모멘트 M을 갖는 자기 쌍극자의 에너지 U는 다음과 같이 주어집니다.

{\displaystyle U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).

쌍극자는 에너지가 최소인 지점에서만 안정적으로 부상합니다. 에너지는 에너지의 라플라시안이 0보다 큰 지점에서만 최소값을 가질 수 있습니다. 즉, 어디에

\n블라^{2}U={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}>0.

마지막으로 자기장의 발산과 컬이 모두 0이기 때문에(전류가 없거나 변하는 전기장의 경우) 자기장의 개별 성분의 라플라시안은 0입니다. 그것은,

\nabla ^{2}B_{x}=\nabla ^{2}B_{y}=\nabla ^{2}B_{z}=0.

이는 전체적인 증거를 이해하는 데 핵심적이기 때문에 이 기사의 맨 끝에서 입증됩니다.

증명 요약

고정된 방향(및 일정한 크기)의 자기 쌍극자의 경우 에너지는 다음과 같이 제공됩니다.

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),

여기서_x M_y, M, M은_z 일정합니다. 이 경우 에너지의 라플라시안은 항상 0이고,

\n블라^{2}U=0,

따라서 쌍극자는 에너지 최소값도 최대값도 가질 수 없습니다. 즉, 자유 공간에서 쌍극자가 모든 방향에서 안정적이거나 모든 방향에서 불안정한 점이 없습니다.

외부 장에 비례하는 쌍극자의 크기로 외부 장에 평행하거나 반 평행하게 정렬된 자기 쌍극자는 각각 상자성 물질과 반자성 물질에 해당합니다. 이 경우 에너지는 다음에 의해 제공됩니다.

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right),

여기서 k는 상자성 물질의 경우 0보다 크고 반자성 물질의 경우 0보다 작은 상수입니다.

이 경우 다음과 같이 표시됩니다.

\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\geq 0,

상수

k

와 결합하면 상자성 물질은 에너지 최댓값을 가질 수 있지만 에너지 최솟값을 가질 수 없고 반자성 물질은 에너지 최솟값을 가질 수 있지만 에너지 최댓값을 가질 수 없음을 보여줍니다. 즉, 상자성체는 모든 방향에서 불안정할 수 있지만 모든 방향에서 안정하지 못하고 반자성체는 모든 방향에서 안정할 수 있지만 모든 방향에서 불안정하지는 않습니다. 물론 두 재료 모두 안장 포인트가 있을 수 있습니다.

마지막으로 자기장에 평행 또는 반평행으로 정렬된 강자성 물질(영구 자석)의 자기 쌍극자는 다음과 같이 주어집니다.

\mathbf {M} = k{\mathbf {B} \over \mathbf {B}}

그래서 에너지는 다음에 의해 주어질 것입니다.

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{\frac {\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} }{ \mathbf {B}  }}=-k{\frac { \mathbf {B}  ^{2}}{ \mathbf {B}  }}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)^{\frac {1}{2}};

그러나 이것은 위에서 논의한 상자성체와 반자성체의 에너지의 제곱근일 뿐이며, 제곱근 함수는 단조적으로 증가하기 때문에 상자성체와 반자성체의 최소 또는 최대는 여기서도 최소 또는 최대가 됩니다. 그러나 안정적으로 공중 부양하는 영구 자석의 알려진 구성이 없기 때문에 (적어도 회전 없이는 아니지만) 자기장에 반대 방향으로 영구 자석을 유지할 수 없는 다른 이유가 여기에서 논의되지 않을 수 있습니다. 스핀 안정 자기 부상을 참조하십시오.

상세 증명

Earnshaw의 정리는 원래 점전하 집합의 안정적인 구성이 없음을 보여주기 위해 정전기(점전하)에 대해 공식화되었습니다. 여기서 개별 쌍극자에 대해 제시된 증명은 가산적인 에너지 측면에서 공식화되므로 자기 쌍극자의 집합으로 일반화할 수 있어야 합니다. 그러나 이 주제에 대한 엄격한 취급은 현재 이 기사의 범위를 벗어납니다.

고정 방향 자기 쌍극자

그것은 자유 공간의 모든 지점에서 증명될 것입니다.

\nabla \cdot (\nabla U)=\n블라^{2}U={\partial ^{2}U \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial z}^{2}}=0.

외부 자기장 B에 있는 자기 쌍극자 M의 에너지 U는 다음과 같이 주어집니다.

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-M_{x}B_{x}-M_{y}B_{y}-M_{z}B_{z}.

라플라시안은

\nabla ^{2}U=-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}\left(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}\right)

우리가 가진 항들을 확장하고 재배열하는 것(그리고 쌍극자 M은 일정하다는 것을 주목하는 것)

{\begin{aligned}\nabla ^{2}U&=-M_{x}\left({\부분 ^{2}B_{x} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over {\partial z}^{2}}\right)-M_{y}\left({\부분 ^{2}B_{y} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\partial y}^{2}+{\partial ^{2}B_{y} \over {\ z}^{2}}\right)-M_{z}\left({\부분 ^{2}B_{z} \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}B_{z} \over {\partial z}^{2}\right)\[3pt]&=-M_{x}\nabla ^{2}B_{x}-M_{y}\nabla ^{2}B_{y}-M_{z}\nabla ^{2}B_{z}\end{aligned}}

하지만 자기장의 개별 성분에 대한 라플라시안은 자유 공간에서 0이고(전자파 복사를 세지 않음), 그래서

\nabla ^{2}U=-M_{x}0-M_{y}0-M_{z}0=0,

증명이 완료되었습니다.

외부 필드 라인과 정렬된 자기 쌍극자

상자성 또는 반자성 쌍극자의 경우를 먼저 고려합니다. 에너지는 다음에 의해 주어집니다.

U=-k \mathbf {B}  ^{2}=-k\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right).

용어를 확장하고 재배치하는 것,

{\begin{aligned}\nabla ^{2} \mathbf {B}  ^{2}&=\nabla ^{2}\left(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}\right)\\&=2\left( \n)abla B_{x} ^{2}+ \nabla B_{y} ^{2}+ \nabla B_{z} ^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{align}

하지만 자기장의 각 성분의 라플라시안은 0이므로,

\nabla ^{2} \mathbf {B}  ^{2}=2\left( \nabla B_{x} ^{2}+ \nabla B_{y} ^{2}+ \nabla B_{z} ^{2}\right);

그리고 규모의 제곱은 항상 양수이기 때문에,

\nabla ^{2} \mathbf {B}  ^{2}\geq 0.

위에서 논의한 바와 같이, 이것은 상자성 물질의 에너지의 라플라시안이 절대 양수가 될 수 없고(안정적인 부상 없음) 반자성 물질의 에너지의 라플라시안이 절대 음수가 될 수 없음(모든 방향에서 불안정성 없음)을 의미합니다.

또한 외부 장과 정렬된 고정된 크기의 쌍극자에 대한 에너지는 위 에너지의 제곱근이 되기 때문에 동일한 분석이 적용됩니다.

자기장의 개별 성분들의 라플라시안

여기서 자기장의 각 개별 성분의 라플라시안이 0이라는 것이 증명됩니다. 이것은 자유 공간에서 자기장의 발산이 항상 0이고 자기장의 컬이 0이라는 자기장의 특성을 불러올 필요가 있음을 보여줍니다. (즉, 전류가 없거나 전기장이 변화하는 경우) 자기장의 이러한 성질에 대한 더 자세한 설명은 맥스웰 방정식을 참조하십시오.

자기장의 x 성분에 대한 라플라시안을 고려합니다.

{\begin{aligned}\nabla ^{2}B_{x}&={\frac {\partial ^{2}B_{x}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}+{\partial z^{2}}\&={\frac {\partial}{\x}}{\frac {\partial B_{x}}}+{\frac {\partial }}{\frac}{\frac {B_{x}}}+{\frac {\frac}}{\partial y}}+{\frac {\frac B_{x}}}+{\frac {\frac {\frac {{2}}}+{\frac {\frac {{2}}}}+{\frac {\frac}}{\frac {B_{x}}}+{\frac {\frac}}{\frac {b_{x}}}+{\frac {b_{x}}}+{\frac {b_partial}} }{\partial z}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}

B의 컬이 0이기 때문에,

{\frac {\partial B_{x}}{\partial}}={\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}

그리고.

{\frac {\partial B_{x}}{\partial z}}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}

그래서 저희가.

\nabla ^{2}B_{x}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial B_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial  z}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}}{\partial x}}

하지만 B는_x 연속적이기 때문에, 미분의 순서는 주는 것이 중요하지 않습니다.

\nabla ^{2}B_{x}={\부분 \partial x}\좌측 ({\partial B_{x} \오버 \partial x}+{\partial B_{y} \오버 \partial y}+{\partial B_{z} \오버 \partial z}\우측)={\partial \오버 \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B}).

B의 발산은 0이고,

\nabla \cdot \mathbf {B} =0,

그렇게

\nabla ^{2}B_{x}={\부분 \partial x} 위(\n)abla \cdot \mathbf {B})=0.

자기장 B의_y y 성분의 라플라시안과 자기장 B의_z z 성분의 라플라시안을 유사하게 계산할 수 있습니다. 또는 ID를 사용할 수 있습니다.

\nabla ^{2}\mathbf {B} =\nbla \left(\n)abla \cdot \mathbf {B} \right)-\nbla \times \left (\n)bla \times \mathbf {B} \right),

괄호 안의 두 용어가 모두 사라집니다.

참고 항목

참고문헌

^ Weinstock, Robert (1976). "On a fallacious proof of Earnshaw's theorem". American Journal of Physics. 44 (4): 392–393. Bibcode:1976AmJPh..44..392W. doi:10.1119/1.10449.
^ Gibbs, Philip; Geim, Andre. "Levitation Possible". High Field Magnet Laboratory. Archived from the original on 2012-09-08. Retrieved 2021-05-26.
^ Earnshaw, S (1842). "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminferous ether". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 7: 97–112.
^ ^a ^b Simon, Martin D.; Heflinger, Lee O.; Ridgway, S.L. (1996). "Spin stabilized magnetic levitation". American Journal of Physics. 65 (4): 286–292. doi:10.1119/1.18488.

Scott, W. T. (1959). "Who Was Earnshaw?". American Journal of Physics. 27 (6): 418–419. Bibcode:1959AmJPh..27..418S. doi:10.1119/1.1934886.

외부 링크

"Levitation Possible", Earnshaw의 정리와 그 결과를 전자기장으로 공중 부양하는 몇 가지 방법에 대한 논의

[1] Weinstock, Robert (1976). "On a fallacious proof of Earnshaw's theorem". American Journal of Physics. 44 (4): 392–393. Bibcode:1976AmJPh..44..392W. doi:10.1119/1.10449.

[2] Gibbs, Philip; Geim, Andre. "Levitation Possible". High Field Magnet Laboratory. Archived from the original on 2012-09-08. Retrieved 2021-05-26.

[3] Earnshaw, S (1842). "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminferous ether". Transactions of the Cambridge Philosophical Society. 7: 97–112.

[:0-4] Simon, Martin D.; Heflinger, Lee O.; Ridgway, S.L. (1996). "Spin stabilized magnetic levitation". American Journal of Physics. 65 (4): 286–292. doi:10.1119/1.18488.

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