라플라스-벨트라미 연산자

차동 기하학에서 라플라스-벨트라미 연산자는 유클리드 공간의 서브매니폴드와 더 일반적으로 리만 및 사이비-리만 다지관에 정의된 기능에 대한 라플라스 연산자의 일반화다. 피에르 시몬 라플레이스와 유제니오 벨트라미의 이름을 따서 지은 것이다.

유클리드 공간 R에ⁿ 정의된 두 번 구별 가능한 실제 값 함수 f에 대해, 라플라스 연산자(일명 라플라시아어)는 F의 그라데이션 벡터 필드의 분산을 f로 한다. 이는ⁿ R에 대한 직교 기준의 각 벡터에 대한 f의 n 두 번째 파생물의 합이다. 라플라시안처럼 라플라스-벨트라미 연산자는 경사로의 분화로 정의되며, 기능을 함수로 하는 선형 연산자다. 운영자는 공변량 파생상품의 다양성으로 텐서 상에서 운영되도록 확장할 수 있다. 또는, 사업자를 일반화하여 발산 및 외부 파생상품을 이용하여 차등형태로 운영할 수 있다. 결과 연산자는 라플라스-데 람 연산자(Georges de Rham의 이름을 따서 명명)라고 불린다.

세부 사항

라플라스-벨트라미 연산자는 라플라시안처럼 구배 차이가 있다.

$\displaystyle \Delta f=\nabla \cdot \nabla f.}$

지역 좌표에서 명시적인 공식은 가능하다.

먼저 M이 지향적인 리만 다지관이라고 가정해 보자. 방향은 방향 좌표계 x에ⁱ 주어지는 M에 확실한 볼륨 형식을 지정할 수 있도록 한다.

${\displaystyle \x^{n} _{n}={\sqrt{g}\;dx^{1}\cdots \cdots \cdx^{n}}}}$

여기서 g :=det(g_ij)는 미터법 텐서 결정요소의 절대값이며, dx는ⁱ 프레임에 이중 프레임을 형성하는 1-102이다.

$\displaystyle \property_{i={\frac{\frac}{\reason x^{i}}}}}$

접선 번들 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ 및 $\wedge {\displaystyle }$ ${\displaystyle \wedge }$의 쐐기 제품.

그런 다음 다지관의 벡터장 X의 분산을 특성과 함께 스칼라 함수로 정의한다.

${\displaystyle(\nabla \cdot X)\operatorname {vol} _{n:=L_{X}\operatorname {vol} _{n}}$

여기서 L은_X 벡터 필드 X를 따라가는 Lie 파생 모델이다. 로컬 좌표에서 한 사람이

${\displaystyle \nabla \cdot X={\frac {1}{\sqrt{g}}\partial _{i}\{\sqrt{}\{\x^{i}\오른쪽)}}$

여기서 아인슈타인 표기법이 함축되어 있어 반복적인 지수 i가 요약된다.

스칼라 함수 ƒ의 그라데이션은 product ,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle ⟩}$ {${$ {\$displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangele}$을(를) 통해 정의할 수 있는 벡터장 gradd f이다.

${\displaystyle \langle \langlename {grad}f(x),v_{x}\angle =df(x)(v_{x}})}$

x 지점에서 다지관의 접선 공간 TM에서_x x 지점에 고정된 모든 벡터 v_x. 여기서 dƒ는 함수 ƒ의 외부 파생어로서, 인수 v를_x 취하는 1형식이다. 국부 좌표에서는 다음과 같다.

${\displaystyle \left(\displayname {grad} f\right)^{i}=\i1}f=g^{ij}\reason _{j}f}$

여기서 g는^ij 미터법 텐서 역의 성분으로, gg^ij_jk = Δⁱ_kⁱ_k with Kronecker 델타.

그라데이션과 발산성의 정의를 조합하여 스칼라 함수 ƒ에 적용되는 라플라스-벨트라미 연산자의 공식은 국부좌표상이다.

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\\sqrt{g}}\partial _{i}\partial _{j}f\right)}$

만약 M이 방향을 정하지 않는다면, 볼륨 폼이 대신 볼륨 요소(양식이 아닌 밀도)로 대체되어야 한다는 것을 제외하고, 위의 계산은 제시된 그대로 수행된다. 경사도나 차이도 실제로 방향 선택에 의존하지 않기 때문에 라플라스-벨트라미 운영자 자체는 이 추가 구조에 의존하지 않는다.

형식적 자기성숙

외부 파생 모델 d 및 -1987은 ƒ에 대해 압축적으로 지원되는 기능이라는 점에서 형식적으로 조정된 것이다.

${\displaystyle \int_{M}df(X)\operatorname {vol} _{n}=-\int_{M}f\nabla \cdot X\operatorname {vol} _{n}}}}$ (증빙)

여기서 마지막 평등은 스톡스의 정리를 응용한 것이다. 듀얼라이징은

${\displaystyle \int _{M}f\,\Delta h\,\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df, dh\rangle \,\operatorname {vol} _{n}}}}$

(2)

압축적으로 지원되는 모든 기능 ƒ 및 h. 반대로 (2) 라플라스-벨트라미 운영자는 이 속성을 가진 유일한 운영자라는 점에서 완전히 특성화한다.

그 결과, 라플라스-벨트라미 운영자는 음성이며 공식적으로 자기 적응력이 있으며, 이는 압축적으로 지원되는 기능인 ƒ과 h를 의미한다.

${\displaystyle \int _{M}f\\\Delta h\operatorname {vol} _{n}=-\int _{n}\langle df, dh\rangele \operatorname {vol} _{n}=\int _{M}h\,\delta f\operatorname {vol}.}$

라플라스-벨트라미 운영자는 이러한 방식으로 정의된 바와 같이 양성이 아니라 음성이기 때문에, 종종 반대 기호로 정의된다.

라플라스-벨트라미 연산자의 고유값(리크네로위츠-오바타 정리)

M은 경계가 없는 콤팩트한 리만 다지관을 가리킨다. 우리는 고유값 방정식을 고려하고,

$(\displaystyle -\delta u=\lambda u,}$

여기서 $\displaystyle u}$은 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$과(와) 관련된 고유함수로$,$ 위에 입증된 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$이(가) 실제라는$$ 것을 나타낼 수 있다. 다지관 M의 콤팩트함을 통해 고유값이 이산적이라는 것을 알 수 있으며, 나아가 주어진 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$},$$즉, 아이겐스페이스는 모두 유한한 차원임을 알 수 있다. 상수함수를 고유함수로 취함으로써 ${\displaystyle \mathrm{get}}$= 0 ${\displaystyle \lambda =0}$이(가) 고유값임을$$ 알 수 있다. 또한 우리가 -${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\$$displaystyle$-\$Delta$}을(를) 검토했기 때문에 부품별 통합$$ $\lambda {\displaystyle }$≥ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0$을(를) 통해 고유값 eqn을 고유함수 $u{\displaystyle }$ ${\$$displaystyty$ $u$$}$에 곱한 $결과{\displaystyle }$ eqn을(표기법 사용)$하면$ 더 정확하게 알 수 있다.${\displaystyle d}$ V${\displaystyle }$= ${\displaystyle {볼륨}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$$_{n}$ )

${\displaystyle -\int _{M}\Delta u\u\u\dV=\lambda \int _{M}u^{2}\dV}$

부품별 통합 수행 또는 왼쪽 용어의 발산 정리 사용과 동일한 것, $그리고{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle M}$에는 경계가 없기 때문에 우리는 얻는다.

$\displaystyle -\int _{M}\Delta u\u\dV=\int _{M} \nabla u ^{2}\dV}$

마지막 두 방정식을 합치면

${\displaystyle \int_{M} \nabla u ^{2}\dV=\lambda \int_{M}u^{2}\dV}$

우리는 마지막 방정식에서 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$을(를) 결론짓는다$.$

André Lichnerowicz의^[1] 기본적인 결과는 다음과 같다: $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ $[\displaystyle n\geq 2}$과 경계가 없는 컴팩트 n-차원 리만 다지관을 고려할$$때. Ricci 곡면성이 하한을 만족한다고 가정한다.

${\displaystyle \operatorname {Ric}(X,X)\geq \kappa g(X,X),\kappa >0,}$

여기서 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ ,${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle$ g$(\cdot ,\cdot )}$은 메트릭 텐서이고 X ${\displaystyle X}$은 $다지관{\displaystyle }$ M ${\displaystyle$ M$}$의 접선 벡터다$.$ 그러면 고유값 방정식의$$ 첫 번째 양의 고유값 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}가 하한을 만족한다.

${\displaystyle \lambda _{1}\geq {\frac {n}{n-1}\appa .}$

이 하한은 날카롭고 구체 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $n{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$^{$n}}$에 달성된다$.$ 실제로 S $2{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$2}}$$${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$displaystyle$ $\lambda _{1$}에$$ 대한 Eigenspace는$$ 3차원이며 좌표 함수 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$의 제한으로 확장된다$.$$playstyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ from ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ to ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$. Using spherical coordinates ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$, on ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ the two dimensional sphere, set

${\displaystyle x_{3}=\cos \phi =u_{1},}$

우리는 아래에 표시된 구형 라플라시안 공식에서 쉽게 볼 수 있다.

${\displaystyle -\Delta _{\mathb {S}^{2}}u_{1}=2u_{1}:{1}:{1}$

이리하여 리히네로비치 정리에서의 하한은 적어도 2차원에서 달성된다.

$반대$로 경계 없는 n차원 콤팩트 리만 다지관이 첫 번째 양의 고유값$$manifold 1{\$displaystyle \lambda _{1$}에$$ 대해 다음과 같은 경우, 오바타 모리오에 의해 증명되었다.^[2]

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {n}{n-1}\cappa ,}$

then the manifold is isometric to the n-dimensional sphere ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}(1/{\sqrt {\kappa }})}$, the sphere of radius ${\displaystyle 1/{\sqrt {\kappa }}}$. Proofs of all these statements may be found in the book by Isaac Chavel.^[3] 유사한 날카로운 경계는 다른 기하학적 구조와 콤팩트한 CR 다지관의 콘 라플라시안(요셉 J. 콘 이후)과 같은 기하학적 구조와 연관된 특정 퇴보한 라플라시안에도 적용된다. ${\displaystyle {}^{}}$ n . ${\displaystyle \mathb {C} ^{n}$에 이러한 CR 매니폴드가 글로벌하게 내장되는 애플리케이션.$}$ ^[4]

텐서 라플라시안

라플라스-벨트라미 연산자는 Levi-Civita 연결과 관련된 반복 공변량 파생상품의 추적(또는 수축)을 사용하여 작성할 수 있다. $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$의 헤시안(텐서)은 대칭 2-텐서입니다.

${\displaystyle \displaystyle {\mbox{Hess}}f\in \mathbf {\Gamma } ({\mathsf {T}}^{*}M\otimes {\mathsf {T}}^{*}M)}$, ${\displaystyle {\mbox{Hess}}f:$$=\cHBLA ^{2}f\equiv$ \equla$\equiv \equla \mathrm {d}f$

여기서 df는 함수 f의 (계속) 파생상품을 나타낸다.

X를_i 접선 벡터 필드의 기초가 되게 한다(좌표계에 의해 반드시 유도되는 것은 아님). 그 다음 헤스 f의 구성 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle({\mbox{Hess}f)_{ij}={\mbox}f(X_{i}},X_{j}}}=\nabla_{X_{j}}\nabla_{X_}}}{iX_}}}}}}{iX_{{iX_}X_{j}}}}}}}}}jf}}}}{jf}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

이것은_i X, X의_j 각 인수에서 선형적이기 때문에, 십상적으로 변형되는 것을 쉽게 볼 수 있다. 라플라스-벨트라미 연산자는 측정기준에 관한 헤시안 추적(또는 수축)이다.

${\displaystyle {\displaystyle \Delta }}$ f ${\displaystyle {\displaystyle :=}}$ ${\displaystyle {\displaystyle t\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{r}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \nabla \mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle d}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \in }}$ ${\displaystyle {\displaystyle {\mathsf{}}^{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle {\infty }^{\mathrm{}}}}$ (${\displaystyle {\displaystyle {}^{}}}$M${\displaystyle {\displaystyle }}$) ${\$ f$:=\mathrm {tr} \nabla \mathrm {d} f\in {C}^{\mathsf}^{\infty }(M$ .

더 정확히 말하자면, 이것은

${\displaystyle {\displaystyle \mathrm{\Delta }}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{\overset{}{f}}}}$( ${\displaystyle {\displaystyle x}}$)${\displaystyle {\displaystyle }}$= ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}}$ i${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}}$= ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle d}}$ ${\displaystyle {\displaystyle f\mathrm{}}}$( ${\displaystyle {\displaystyle X_{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle i_{}{}_{}}}$, X ${\displaystyle {\displaystyle {}_{}}}$) ${\$ ,

또는 미터법으로.

${\displaystyle \Delta f=\sum _{ij}g^{ij}({\mbox{Hess}f)_{ij}.}$

추상적 지수에서 연산자는 종종 기록된다.

$\delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f}$

이 추적이 사실 헤시안 텐서의 추적임을 암묵적으로 이해한다면.

공변량 파생상품은 표준적으로 임의 텐서까지 확장되기 때문에 라플라스-벨트라미 연산자는 다음과 같이 텐서 T에 정의된다.

${\displaystyle \Delta T=g^{ij}\왼쪽(\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_}}}{X_\nabla _{X_{i}X_{j}}}).T\right)}$

정리가 잘 되어 있다

라플라스-데 람 연산자

보다 일반적으로, 사이비-리만 다지관의 미분형 묶음 부분에 대해 라플라크 차동 연산자를 정의할 수 있다. 리만 다지관에서는 타원 연산자로, 로렌츠 다지관에서는 쌍곡선이다. Laplace-de Rham 연산자는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Delta =\d} \delta +\delta \mathrmatrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;}$

여기서 d는 외부 파생형 또는 미분형이고 Δ는 k-forms에서 (-1)∗^kn+n+1d∗로 작용하는 코드프렌더(codifferential)이며, 여기서 Δ는 호지별이다. 첫 번째 오더 연산자 $d{\displaystyle \mathrm{}}$ +${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \mathrm {d} +\delta }$은(는) Hodge-Dirac 연산자다.^[5]

스칼라 함수 f로 라플라스-벨트라미 연산자를 계산할 때 Δf = 0이 있으므로,

${\displaystyle \Delta f=\delta \,\mathrm {d} f.}$

전체적인 표지판까지, 라플라스-데 람 연산자는 스칼라 함수에 따라 행동할 때 라플라스-벨트라미 연산자의 이전 정의와 동일하다. 자세한 내용은 증거를 참조하라. 기능에서, 라플라스-데 람 연산자는 라플라스-델라미 연산자가 (형식적으로) 양적으로 확실하다는 것을 코디프추론적 정상화가 보장하고 있는 반면, 라플라스-벨트라미 연산자는 전형적으로 음성이라는 것을 보증하기 때문에 라플라스-벨트라미 연산자는 실제로 라플라스-벨라미 연산자의 음수다. 그 간판은 하나의 관습에 불과하며, 두 가지 모두 문헌에서 흔히 볼 수 있다. 라플라스-데 람 연산자는 스큐 대칭 텐더에 작용하도록 제한된 텐서 라플라시안과는 더 유의하게 다르다. 부수적인 신호와는 별도로, 두 운영자는 Ricci 곡률 텐서(tensor)를 명백히 포함하는 Weitzenböck 정체성에 의해 다르다.

예

라플라스-벨트라미 운영자의 많은 예는 명시적으로 해결할 수 있다.

유클리드 공간

유클리드 공간의 통상적인 (정통적인) 데카르트 좌표 x에서는ⁱ 측정지표가 크론커 델타까지 감소하고, ${\displaystyle 따라서}$ g${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ g =1$}. 따라서$이 경우.

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt{g}}\partial _{i}{\sqrt{}}}}{}}\partial ^{i}f=\partial ^{i}f}}$

평범한 라플라시아인이야 구형 좌표나 원통형 좌표와 같은 곡선 좌표에서는 대체 식을 얻는다.

마찬가지로 서명(+++)이 있는 민코프스키 계량계에 해당하는 라플라스-벨트라미 연산자는 달렘베르트어다.

구면 라플라시안

구면 라플라시안은 (n - 1)-sphere의 라플라스-벨트라미 연산자로, 일정한 단면 곡률 1의 표준 측정 기준이다. R에ⁿ 등축되어 있는 구를 원점 중심으로 하는 단위 구라고 보는 것이 편리하다. 그 다음ⁿ⁻¹ S의 함수 f에 대해 구면 라플라시안(Laplacian)은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Delta_{S^{n-1}f(x)=\Delta f(x/ x )}$

여기서 f(x/ x )는 함수 f를 Rⁿ - {0}까지 0으로 균일한 확장이고, $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은 주변 유클리드 공간의 라플라시안이다. 구체적으로는 구면 극좌표에서 유클리드 라플라시안의 잘 알려진 공식에 의해 암시된다.

${\displaystyle \Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial r}{\partial r1}{\partial r1}{\partial f}{\partial r}\right)+r^{{S^{n-1}f.}$

좀 더 일반적으로, 사람들은 일반적인 묶음을 사용하여 유사한 트릭을 공식화하여 리만 다지관의 라플라스-벨트라미 연산자를 유클리드 공간의 초저면으로서 등축된 어떤 리만 다지관의 라플라스-벨트라미 연산자를 정의할 수 있다.

또한 라플라스-벨트라미 운영자에 대한 내적인 설명을 일반 좌표계의 구에 제공할 수 있다. 구(區)의 특정 지점 p("북극")에 대한 구체의 구면 좌표, 즉 p에 대한 지오데틱 극좌표(geodic polar 좌표)가 되도록 한다. 여기서 ϕ은 p로부터 단위 속도 지오데틱을 따라 위도 측정을 나타내며, ξ S에서ⁿ⁻¹ 지오데틱 방향의 선택을 나타내는 파라미터를 나타낸다. 그리고 구형의 라플라시안에는 다음과 같은 형태가 있다.

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f(\xi ,\phi )=(\sin \phi )^{2-n}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left((\sin \phi )^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}\Delta _{\xi }f}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 보통 단위(n - 2)-sphere의 라플라스-벨트라미 연산자다. 특히 극좌표에 대한 표준 표기법을 사용하는 일반 2-sphere의 경우 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f(\theta ,\phi )=(\sin \phi )^{-1}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

쌍곡선 공간

쌍곡선 공간에서도 비슷한 기법이 통한다. 여기서 쌍곡선 공간 H는ⁿ⁻¹ 2차적 형태를 갖춘 실제 벡터 공간인 n차원 민코스키 공간에 삽입될 수 있다.

${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.}$

그 다음 H는ⁿ 민코프스키 공간에서의 미래 null con의 서브셋이다.

${\displaystyle H^{n}=\{x\mid q(x)=1,x_{1}1\}\,}$

그러면

${\displaystyle \Delta_{H^{n-1}f=\왼쪽.\Box f\left(x/q(x)^{1/2}\오른쪽)\right _{H^{n-1}$

여기서 ${\displaystyle f}$( x /${\displaystyle q}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 2${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle f(x/q(x)^{1/2})$는 미래 null con의 내부에 대한 f의 0도 동종 확장이고 □는 파형 연산자 입니다.

${\displaystyle \Box ={\frac {\partial ^{2}}:{\partial x_{1}^{2}}-\cdots -{\partial ^{2}}:{\partial x_{n}^{2}}.}$

조작자는 극좌표로도 쓸 수 있다. (t, ξ)은ⁿ⁻¹ H의 특정 지점 p(예를 들어 푸앵카레 디스크의 중심)에 대해 구체의 구면 좌표가 되도록 한다. 여기서 t는 p와 ξ로부터의 쌍곡선 거리를 나타내며, S에서ⁿ⁻² 지오데틱 방향의 선택을 나타내는 매개변수를 나타낸다. 그러면 쌍곡선 라플라시안은 다음과 같은 형태를 띠고 있다.

${\displaystyle \Delta _{H^{n-1}}f(t,\xi )=\sinh(t)^{2-n}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sinh(t)^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+\sinh(t)^{-2}\Delta _{\xi }f}$

여기서 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 보통 단위(n - 2)-sphere의 라플라스-벨트라미 연산자다. 특히 극좌표에 대한 표준 표기법을 사용하는 쌍곡면의 경우 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle \Delta _{H^{2}}f(r,\theta )=\sinh(r)^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\sinh(r){\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+\sinh(r)^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

참고 항목

• 공변량 파생상품
• 차동 기하학의 라플라크 연산자
• 라플라스 연산자

메모들

참조

• Flanders, Harley (1989), Differential forms with applications to the physical sciences, Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Solomentsev, E.D.; Shikin, E.V. (2001) [1994], "Laplace–Beltrami equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press