디리클레 형식

잠재적 이론(조화함수의 연구)과 기능 분석에서 디리클레트는 라플라시안(스칼라 분야의 수학 연산자)을 일반화한다.디리클레 형식은 부분파생상품을 언급할 필요 없이 모든 측정 공간에서 정의할 수 있다.이를 통해 수학자들은 프랙탈과 같은 다지관이 아닌 공간에 대한 라플라스 방정식과 열 방정식을 연구할 수 있다.이러한 공간에 대한 이점은 구배 연산자가 필요 없이 이것을 할 수 있다는 것이며, 특히 디리클레트 양식으로 시작하면 이런 식으로 "라플라시안"을 약하게 정의할 수도 있다는 것이다.

정의

$\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 작업 시 "클래식" Diriclet 양식은 다음에서 제공된다 $\mathbb {R} ^{n}$

{\mathcal {E}(u,v)=\int_{\mathb {R}^{n}\n}\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\;dx

여기서 흔히 ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ( ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ) ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ( ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ , ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ) ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ = ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ ${\$ $={\mathcal{E}(u,u)=\\nabla u\ _{2}^{2}}:$ 함수 $u(x)$ ){\ $displaystyle u(x)}$ 의 "에너지"라고 부르는 경우가 많다 ${\mathcal {E}}(u):={\mathcal {E}}(u,u)=\|\nabla u\|_{2}^{2}$ $u(x)$

보다 일반적으로 디리클레 형식은 L-공간에서² 마코비안 폐쇄 대칭 형식이다.^[1]특히 측정공간의 디리클레 형식 $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ , $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ , $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ) ${\displaystyle (X,{\mathcal{A},\mu )$ 은 $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ 이선함수다.

{\mathcal{E}:D\time D\to \mathb {R}

그런

1) $D$ $D$ 은 $D$ $($ 는) L 2 $L^{2}(\mu )$ ) {\ $displaystyle L^{2$ }(\mu $)}$ 의 조밀한 부분집합이다 $L^{2}(\mu )$

2) ${\mathcal {E}}$ ${\$ $displaystyle$ ${\mathcal {E}}$ 은 ${\mathcal {E}}$ (는) 대칭이며, 즉 ${\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)$ $u,v\in D$ , v ${\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)$ ) = $($ v ) ${\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)$ = ${\mathcal {E}}(u,v)={\mathcal {E}}(v,u)$ {\ $displaystyle {\mathcal {E}($ u $,$ $v)={\$ $mathcal$ {E $}($ $v,u)}$ 이다 $u,v\in D$

3) ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ ( ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ , ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ ${\mathcal {E}}(u,u)\geq 0$ 0 ${\displaystyle$ {\ $mathcal$ {E $}(u,$ u)\ $geq$ 0 $}$ $u\in D$ D $u\in D$ {\ $displaystyle u\in$ D $}$ .

4) The set $D$ equipped with the inner product defined by $(u,v)_{\mathcal {E}}:=(u,v)_{L^{2}(\mu )}+{\mathcal {E}}(u,v)$ is a real Hilbert space.

5) For every $u\in D$ we have that $u_{*}=\min(\max(u,0),1)\in D$ and ${\mathcal {E}}(u_{*},u_{*})\leq {\mathcal {E}}(u,u)$ .

즉, 디리클레 형식은 4)와 $L^{2}(X,\mu )$ 5)가 지탱하는 $L^{2}(X,\mu )$ $L^{2}(X,\mu )$ 처럼 L $L^{2}(X,\mu )$ $μ$ )의 $밀집$ 된 부분 집합에 정의된 비 음의 대칭 이선형 형식에 불과하다 $.$

Alternatively, the quadratic form $u\mapsto {\mathcal {E}}(u,u)$ itself is known as the Dirichlet form and it is still denoted by ${\mathcal {E}}$ , so ${\displaystyle {\mathcal {E}}(u):$ $={\mathcal{E}(u,u$

조화 함수

일정한 경계 조건이 주어지는 에너지를 최소화하는 기능을 조화라고 하며, 관련 라플라시안(약하거나 그렇지 않은 것)은 예상대로 내부가 0이 될 것이다.

예를 들어, ${\mathcal {E}}$ ${\$ 을(를) $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ H $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ ${\displaystyle u\in$ H $^1}(\mathb {R} ^{n})$ 에 $u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})$ 대해 정의된 표준 Diriclet 형식이 되도록 하십시오 ${\mathcal {E}}$ .

{\mathcal {E}(u)=\int_{\mathb {R}^{n}} \n} \nabla u ^{2}\;dx

그런 다음 표준 의미에서의 조화 함수, 즉 $\Delta u=0$ $\Delta u=0$ = 0 $\Delta u=0$ 이 $\Delta u=0$ ${\mathcal {E}}(u)=0$ = ${\mathcal {E}}(u)=0$ ${\displaystyle {\mathcal {\mathcal}{E}=$ 0}이 $(가$ )가 부품별 통합과 함께 표시된다 ${\mathcal {E}}(u)=0$ .

대안으로 표준 그래프 디리클레 형식은 다음과 같이 제시된다.

{\mathcal {E}_{G}(u,v)=\sum _{x\sim y}(u(x)-u(y))(v(x)-v(y)))

여기서 $x\sim y$ ~ $x\sim y$ $x\sim y$ 은 $x \sim y$ (는) 에지에 의해 연결되었음을 의미한다.정점 집합의 부분 집합을 선택하도록 하고 이를 그래프의 경계라고 한다.디리클레 경계 조건 할당(각 경계 정점에 대한 실제 숫자 선택)그래프에너지를 최소화하는 기능을 찾을 수 있고, 조화롭게 된다.In particular, it will satisfy the averaging property, which is embodied by the graph Laplacian, that is, if $u_{G}(x)$ is a graph harmonic then $\Delta _{G}u_{G}(x)=\sum _{y\sim x}(u_{G}(y)-u_{G}(x))=0$ which is equi평균 속성 $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ ) $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ = $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ { $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ : $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ : $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ ~ x $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ y ~ x $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ G ( $u_{G}(x)={\frac {1}{|\{y:y\sim x\}|}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)$ ) ${\displaystyle u_{G}(x)={\frac$ {1 $}{{y:y\sim x\}}}}}}\sum _{y\sim x}u_{G}(y)}}.$

기술적으로 그러한 물체는 고전적인 디리클레의 원리에 기초하여 추상적인 잠재력 이론으로 연구된다.디리클레 형식 이론은 디리클레 공간에 대한 버링과 거부(1958, 1959년)의 작품에서 비롯되었다.

일체형 커널

디리클레 양식의 다른 예는 다음과 같다.

{\mathcal {E}(u)=\iint _{\mathb {R} ^{n}\time \mathb {R} ^{n}(u)(y)-u(x))^{2}k(x,y)\,\mathrm {d}x\,\mathrm {d} y

여기서 $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ : $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $k:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ → R ${\$ k $:\mathb {R} ^{n}\timees \mathb {R}\$ mathb { $R}to \mathb {R}}$ 은 $k:{\mathbb R}^{n}\times {\mathbb R}^{n}\to {\mathbb R}$ 음이 아닌 대칭 적분 커널이다.

If the kernel $k$ satisfies the bound $k(x,y)\leq \Lambda x-y ^{-n-s}$ , then the quadratic form is bounded in ${\dot {H}}^{s/2}$ . If moreover, ${\displaystyle \lambda x-$ $y ^{-n-s}\leq k(x,y)}$ , then the form is comparable to the norm in ${\dot {H}}^{s/2}$ squared and in that case the set $D\subset L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ defined above is given by $H^{s/2}(\mathbb {R} ^{n})$ $H^{s/2}(\mathbb {R} ^{n})$ 따라서 디리클레 형식은 디리클레 통합의 자연적 일반화다.

{\daystyle {\mathcal {E}(u)=\int(A\nabla u,\nabla u)\;\mathrm {d} x,}

여기서 $A(x)$ ( $A(x)$ ) $A(x)$ 은 $A(x)$ 양의 대칭 행렬이다.디리클레 형태의 오일러-라그랑주 방정식은 산란 형태의 타원 방정식의 국소적 아날로그식이다.이러한 유형의 방정식은 변동 방법을 사용하여 연구되며 유사한 특성을 만족시킬 것으로 예상된다.^[2]^[3]^[4]

참조

^ 후쿠시마, M, 오시마, Y, & 다케다, M. (1994년)디리클레 형식과 대칭 마코프 프로세스.Walter de Gruyter & Co , ISBN 3-11-011626-X
^ Barlow, Martin T.; Bass, Richard F.; Chen, Zhen-Qing; Kassmann, Moritz (2009), "Non-local Dirichlet forms and symmetric jump processes", Transactions of the American Mathematical Society, 361 (4): 1963–1999, arXiv:math/0609842, doi:10.1090/S0002-9947-08-04544-3, ISSN 0002-9947, S2CID 14411096
^ Kassmann, Moritz (2009), "A priori estimates for integro-differential operators with measurable kernels", Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 34 (1): 1–21, doi:10.1007/s00526-008-0173-6, ISSN 0944-2669, S2CID 122914875
^ Caffarelli, Luis; Chan, Chi Hin; Vasseur, Alexis (2011), "Regularity theory for parabolic nonlinear integral operators", Journal of the American Mathematical Society, 24 (3): 849–869, doi:10.1090/S0894-0347-2011-00698-X, ISSN 0894-0347

Beurling, Arne; Deny, J. (1958), "Espaces de Dirichlet. I. Le cas élémentaire", Acta Mathematica, 99 (1): 203–224, doi:10.1007/BF02392426, ISSN 0001-5962, MR 0098924
Beurling, Arne; Deny, J. (1959), "Dirichlet spaces", Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 45 (2): 208–215, Bibcode:1959PNAS...45..208B, doi:10.1073/pnas.45.2.208, ISSN 0027-8424, JSTOR 90170, MR 0106365, PMC 222537, PMID 16590372
Fukushima, Masatoshi (1980), Dirichlet forms and Markov processes, North-Holland Mathematical Library, vol. 23, Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-85421-6, MR 0569058
Jost, Jürgen; Kendall, Wilfrid; Mosco, Umberto; Röckner, Michael; Sturm, Karl-Theodor (1998), New directions in Dirichlet forms, AMS/IP Studies in Advanced Mathematics, vol. 8, Providence, RI: American Mathematical Society, p. xiv+277, ISBN 978-0-8218-1061-3, MR 1652277.
"Abstract potential theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] 후쿠시마, M, 오시마, Y, & 다케다, M. (1994년)디리클레 형식과 대칭 마코프 프로세스.Walter de Gruyter & Co , ISBN 3-11-011626-X

[BBCK-2] Barlow, Martin T.; Bass, Richard F.; Chen, Zhen-Qing; Kassmann, Moritz (2009), "Non-local Dirichlet forms and symmetric jump processes", Transactions of the American Mathematical Society, 361 (4): 1963–1999, arXiv:math/0609842, doi:10.1090/S0002-9947-08-04544-3, ISSN 0002-9947, S2CID 14411096

[K-3] Kassmann, Moritz (2009), "A priori estimates for integro-differential operators with measurable kernels", Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 34 (1): 1–21, doi:10.1007/s00526-008-0173-6, ISSN 0944-2669, S2CID 122914875

[CCV-4] Caffarelli, Luis; Chan, Chi Hin; Vasseur, Alexis (2011), "Regularity theory for parabolic nonlinear integral operators", Journal of the American Mathematical Society, 24 (3): 849–869, doi:10.1090/S0894-0347-2011-00698-X, ISSN 0894-0347

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