델

델, 또는 나블라는 벡터 미분학 연산자로 수학(특히 벡터 미적분학에서)에서 사용되는 연산자로, 보통 나블라 기호 ∇으로 표현된다. 1차원 영역에 정의된 함수에 적용하면 미적분학에 정의된 함수의 표준 파생물을 나타낸다. 필드(다차원 영역에 정의된 함수)에 적용할 때, 적용되는 방법에 따라 세 가지 연산자 중 하나를 나타낼 수 있다: 스칼라 필드의 경사도 또는 (로컬하게) 경사도(또는 Navier에서와 같이 벡터 필드의 경사도)-스토크 방정식); 벡터장의 발산; 또는 벡터장의 컬(회전)

엄밀히 말하면 델은 특정 연산자가 아니라, 많은 방정식을 쓰고 기억하기 쉽게 만드는 그 세 연산자에 대한 편리한 수학 표기법이다. 델 기호(또는 나블라)는 부분파생상품 연산자의 벡터로 해석할 수 있으며, 그 세 가지 가능한 의미(중간성, 발산성, 컬)는 분야와 각각 "델 연산자"의 스칼라, 도트 제품, 교차 제품을 갖는 상품으로 공식적으로 볼 수 있다. 이러한 정식 제품이 반드시 다른 운영자나 제품과 통근하는 것은 아니다. 아래에 자세히 설명된 이 세 가지 용도는 다음과 같이 요약된다.

• 그라데이션: ${\displaystyle \mathrm{grad}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$= ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {grad}$ f$=\nabla f}$
• 다이버전스: ${\displaystyle \mathrm{div}}$ ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$→ = div $\vc{$ =$div \vc{nabla \cdot${\$v}}}$
• ${\displaystyle Curl\stackrel{}{}:}$ ${\displaystyle \mathrm{curl}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ v → =${\displaystyle \mathrm{}\times }$ ${\displaystyle \stackrel{}{\times }}$ ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$→ {\$displaystyle \operatorname$ {$curl} {\v}=\nabla \times {\vc{v}}}}$

정의

In the Cartesian coordinate system Rⁿ with coordinates ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ and standard basis ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\}}$, del is defined in terms of partial derivative operators as

${\displaystyle \chla =\sum_{i=1}^{n}{\vec{e}_{i}{{i}}{\cHB\over \cHB_{{1}=\ldots,{\ldown \ldots \{n_}}}}}}}}}}{\readdown}}}}}$

In three-dimensional Cartesian coordinate system R³ with coordinates ${\displaystyle (x,y,z)}$ and standard basis or unit vectors of axes ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}\}}$, del is written as

${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{x}{\partial \over \partial x}+{\vec {e}}_{y}{\partial \over \partial y}+{\vec {e}}_{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

예:

${\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z}$

${\displaystyle \cla f={\vec{e}_{x}{\c}{e}}{\c{e}}{\cHBFF \over y}+{\vec{e}}{z}{\cHBFF \over z}=\(1,1\오른쪽)}$

델은 다른 좌표계에서도 표현할 수 있다. 예를 들어 원통형 및 구형 좌표에서 델을 참조한다.

공칭적 용법

델은 많은 긴 수학적 표현을 단순화하기 위한 속기 형태로 사용된다. 구배, 발산, 컬, 방향 파생 및 라플라크의 표현을 단순화하는 데 가장 많이 사용된다.

그라데이션

스칼라 필드 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 벡터 파생물을 그라데이션이라고 하며$$, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \chostname {grad}f={\bec{e}}{x}+{\bec}{e}}+{y}+{\bec}{{z}=\bla f} \overf \cHBFF}$

항상 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$의 최대 증가 방향을 가리키며, 표준 파생상품과 마찬가지로 지점의 최대 증가율과 동일한 크기를 가진다. 특히 힐이 평면 $h{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x,y)}$에 대한 높이 함수로 정의되는 경우$,$ 주어진 위치에서의 구배는 가장 가파른 방향을 따라 가리키는 xy 평면의 벡터가 된다(지도상의 화살표로 볼 수 있음). 경사의 크기는 이 가장 가파른 경사의 값이다.

특히 이 표기법은 그라데이션 제품 규칙이 1d-파생 사례와 매우 유사하게 보이기 때문에 강력하다.

$\displaystyle \nabla (fg)=f\f\nabla g+g\nabla f}$

그러나 다음과 같이 도트 제품의 규칙은 간단하지 않다.

${\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}$

발산

The divergence of a vector field ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$ is a scalar function that can be represented as:

${\displaystyle \vecname {div}{\v}={\beca v_{x} \over \cHB_{y} \over \buffa y}+{\buffa v_{z} \overbuffa z}=\cdot {\v}}}}}}}}}}$

그 차이는 대략 그것이 가리키는 방향에서 벡터장의 증가를 측정하는 척도지만, 더 정확히 말하면 그것은 어떤 점으로 수렴하거나 혹은 어떤 점으로부터 이탈하는 그 분야의 경향을 측정하는 척도다.

델 표기법의 힘은 다음과 같은 제품 규칙으로 표시된다.

${\displaystyle \cdot(f{\vec{v}})=(\bla f)\cdot {\v}+f(\vla \cdot {\v})}$

벡터 제품의 공식은 약간 덜 직관적이다. 왜냐하면 이 제품은 다음과 같이 대응적이지 않기 때문이다.

${\displaystyle \cdot({\vec}\cdot{\vc{v}}}}=(\vc\vec {\vc}})\cdot {\v}-{\vec}\cdot (\vla \vcdot {\v})}$

컬

The curl of a vector field ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$ is a vector function that can be represented as:

${\displaystyle \propertyname {\vc}=\left v_{z} \over \cHBY}-{\cHB v_{y} \over \cHB\right){\vec{e}_{x}+\left v_{x} \over \cover z}-{\remit v_{z} \over \cover x}\right){\vec{e}_{e}+\left v_y}\reft v_y} \over \cover x}-{\reft v_{x} \over \reft y}\right){\vec{e}_{z}=\bla \becc{v}}}$

한 지점에서의 컬은 작은 바람개비가 그 지점에서 중심을 맞춘다면 받게 될 온 축 토크에 비례한다.

벡터 제품 작동은 의사 결정체로 시각화할 수 있다.

${\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left {\begin{matrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right }$

다시 표기법의 힘은 제품 규칙에 의해 나타난다.

${\displaystyle \bec {v}=(\bec {v})=(\bec f)\bec{v}+f(\vla \bec{v})}$

불행히도 벡터 제품의 규칙은 간단하지 않다.

${\displaystyle \nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}}$

방향파생상품

The directional derivative of a scalar field ${\displaystyle f(x,y,z)}$ in the direction ${\displaystyle {\vec {a}}(x,y,z)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}}$ is defined as:

${\displaystyle {\vec}\cdot \cdot 이름 {grad}f=a_{x}{\data f \over x}+a_{y}{\dataf \over y}+a_{z}{\cdownf \over z}={\vecdot(\la f)}$

이는 $필드{\displaystyle \stackrel{}{}}$ $f{\displaystyle }$${\${$a$$}$의 방향으로 필드$$ f ${\$displaystyle {\$vec {$$a$}의 크기를 ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ $\{\backslash$$displaystyle{a}}$의 크기에 따라 확장되는 변화율을 제공한다$.$ 연산자 표기법에서 괄호 안의 요소는 하나의 일관된 단위로 간주될 수 있다. 유체역학에서는 이 관례를 광범위하게 사용한다.유체의 "움직이는" 유체의 "움직이는" 파생물인 대류파생물을 자극한다.

$(\to {\displaystyle \stackrel{}{}\cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$) ${\displaystyle({\vec {a}\cdot \nabla )}$은 스칼라를 스칼라로 가져가는 연산자임을$$ 유의한다. 그것은 벡터에서 작동하도록 확장될 수 있으며, 각각의 구성 요소에서 분리하여 작동할 수 있다.

라플라시안

라플라스 연산자는 벡터 또는 스칼라 필드 중 하나에 적용할 수 있는 스칼라 연산자로, 데카르트 좌표계의 경우 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \partial z^{2}}=\nabla \cdatabla =\nabla ^{2}}:$

더 일반적인 좌표계에 대한 정의는 벡터 라플라시안(Vector Laplacian)으로 주어진다.

라플라시안은 현대 수학 물리학 전반에 어디서나 볼 수 있으며, 예를 들어 라플레이스의 방정식, 포아송의 방정식, 열 방정식, 파동 방정식, 슈뢰딩거 방정식에서 나타난다.

헤시안 행렬

$\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}는 보통$$ 라플라시아인을 나타내며, 때로는 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$도 헤시안 행렬을 나타낸다. 전자는 $∇{\displaystyle \nabla$ $\}$의 내부 제품을 가리키고, 후자는 $\nabla {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \nabla }$의 다이오드 제품을 가리킨다$.$

${\displaystyle {\mathrm{\nabla }}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \nabla }$ ⋅ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\$

따라서 $\nabla {\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}이$$라플라시안 매트릭스를 가리키는지$$ 아니면 헤시안 매트릭스를 가리키는지 여부는 맥락에 따라 달라진다.

텐서 파생상품

델은 또한 벡터장에도 적용될 수 있으며 결과는 텐서(tensor)이다. 벡터 $필드{\displaystyle \stackrel{}{}}$ v${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$3차원)의 텐서 파생상품은 9기 2순위 텐서(즉, 3×3 매트릭스)이지만 단순히${\displaystyle v\stackrel{}{}}$v →$${\$displaysty \nabla$\$otimes$${\v}$로 나타낼 수 있으며$,$ 여기서$⊗{\displaystytime}$은 dydiodiodiodiodiodyproduct를 나타낸다$$. 이 양은 우주에 관한 벡터장의 자코비안 행렬의 전치량과 같다. 벡터장의 발산성은 이 행렬의 흔적으로 표현될 수 있다.

작은 변위 $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→ ${\$의 경우 벡터 필드의 변화는 다음과 같다.

${\displaystyle \bec {v}=(\bla \otimes {\vec{v})^{T}\cdot \delta {\vec{r}}$

제품 규칙

벡터 미적분학의 경우:

${\displaystyle{\begin{정렬}\nabla(fg)&, =f\nabla g+g\nabla f\\\nabla({\vec{너}}\cdot{\vec{v}})&, ={\vec{너}}\times(\nabla \times{\vec{v}})+{\vec{v}}\times(\nabla \times{\vec{너}})+({\vec{너}}\cdot \nabla){\vec{v}}+({\vec{v}}\cdot \nabla){\vec{너}}\\\nabla\cdot(f{\vec{v}})&, =f(\nabla \cdot{\vec{v}})+{\vec{v}}\cdot(\na.bla f)\\\nab라 \cdot({\vec{너}}\times{\vec{v}})&, ={\vec{v}}\cdot}(\nabla \times{\vec{너}})-{\vec{너}, =(f\nabla)\times{\vec{v}(\nabla \times{\vec{v}})\\\nabla \times(f{\vec{v}})& \cdot}+f(\nabla \times{\vec{v}})\\\nabla \times, ={\vec{너}}\,(\nabla \cdot{\vec{v}})-{\vec{v}}\,(\nabla \cdot{\vec{너}})+({\v({\vec{너}}\times{\vec{v}})&.ec{v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}-({\vec {u}\cdot \cdot \cdla )\,{\vc {v}\ended}}}}}$

매트릭스 미적분($u{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle v\stackrel{}{}}$→ ${\$의 경우 $u$ → ${\displaystyle T^{}}$ v${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\${\text$}$$T}{\vec{v}}$ }:$$

${\displaystyle {\begin{aigned}\left(\mathbf {A}\nabla \right)^{\text{T}{{\vec{u}}&=\나블라 ^{\text{T}}\왼쪽(\mathbf {A}) ^{\text{T}{{\vec{u}\오른쪽)-\왼쪽(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}\오른쪽){\vec{u}\end{aigned}}$

다른 관심 관계(예: 참조) 오일러 방정식)는 다음과 같으며, 여기서 $u{\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \otimes }$ v${\displaystyle \stackrel{}{}}$→ ${\$는 외부 제품 텐서:

${\displaystyle{\cdot}\cdot({\vec}}\cdot {\v})=(\becc\cdot{\vc}}{\vec}+({\vec}}\vcdot \cdot \cd}{v}}}}}}}}}}}}}}"$

제2파생상품

델이 스칼라나 벡터에 작용하면 스칼라나 벡터가 반환된다. 벡터 제품(scalar, dot, cross)의 다양성 때문에 델을 한 번 응용하면 이미 그라데이션(scalar product), 다이버전스(dot product), 컬(curl)의 3대 파생상품이 나온다. 이 세 가지 종류의 파생상품을 서로 다시 적용하면 스칼라장 f 또는 벡터장 v에 대해 가능한 다섯 가지 두 번째 파생상품이 제공된다. 스칼라장 라플라시안 및 벡터장 라플라시안 사용은 다음 두 가지를 더 제공한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{div}(\operatorname{대학원}f)&, =\nabla \cdot(f\nabla)\\\operatorname{ 곱슬곱슬하게 하다.}(\operatorname{대학원}f)&, =\nabla(f\nabla)\\\Delta f& \times, =\nabla ^{2}f\\\operatorname{졸업생}(\operatorname{div}{\vec{v}})&, =\nabla(\nabla \cdot{\vec{v}})\\\operatorname{div}(\operatorname{ 곱슬곱슬하게 하다.}{\ve.c{v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})\\\Delta {\vec {v}}&=\nabla ^{2}{\vec {v}}\end{aligned}}}$

이것들은 서로 항상 독특하거나 독립적이지 않기 때문에 주로 흥미롭다. 기능이^{[clarification needed]} 얌전하기만 하면, 그 중 두 가지는 항상 0이다.

${\displaystyle {\becc{v}}\regedname {grad}f)&#=\div}(\becc{v}}})&#la \cdot(\bla \vla \vc}}=0\end}}}$

그 중 두 가지는 항상 동일하다.

${\displaystyle \operatorname {div}(\operatorname {grad}f)=\nabla \cdot(\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

나머지 3개의 벡터 파생상품은 다음 방정식에 의해 관련된다.

${\displaystyle \cla \left(\vla \vc{v}\right)=\bla(\vla \cdot {\v})-\bla ^{\vc{\v}}}}}$

그리고 그 중 하나는 기능이 잘 갖춰져 있다면 텐서 제품으로 표현될 수도 있다.

${\displaystyle \cdot {\vc}=\cdot({\v}}\otimes \cdla )}$

주의사항

위의 벡터 속성(예: 제품 규칙 등 델의 차등 특성에 명시적으로 의존하는 것은 제외)은 대부분 기호 재배열에만 의존하며, 델 기호가 다른 벡터로 대체되는 경우 반드시 보유해야 한다. 이것은 이 연산자를 벡터로서 합리적으로 대표하여 얻어야 할 값의 일부분이다.

흔히 델을 벡터로 대체하고 벡터 정체성을 얻어 그 정체성을 연상시킬 수 있지만, 델이 일반적으로 통근하는 것은 아니기 때문에 그 반대의 경우도 반드시 믿을 수 있는 것은 아니다.

델의 통근 실패에 의존하는 대범한 예:

${\displaystyle{\begin{정렬}({\vec{너}}\cdot{\vec{v}})f&, \equiv({\vec{v}}\cdot{\vec{너}})f\\(\nabla \cdot{\vec{v}})f&, =\left({\frac{\partial v_{x}}{\partial x}}와{\frac{\partial v_{y}}{y}\partial}와{\frac{\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac{\partial v_{)}}{x\partial}}f+{\frac{\partial v_{y}}{이\partial}}f+{\frac{\parti.알 v_{z}}{z\partial}}f\\({\vec{v}}\cdot \nabla)f&, =\left(v_{x}{{}\partial{\partial x}}+v_{y}{\frac{}\partial{\partial는 y}}+v_{z}{{}\partial{\partial z}\frac}\frac \right)f=v_{)}{\frac{\partial f}{x\partial}}+v_{y}{\frac{\partial f}{이\partial}}+v_{z}{\frac{\partial f}{z\partial}}\\\Rightarrow(\nabla \cdot{\vec{v}})f&, \neq({\vec{v}}\c.점 \nabla )f\\\end{aigned}}$

델의 차등 특성에 의존하는 counterexample:

${\displaystyle{\begin{정렬}(\nabla))\times, =\left({\vec{e}}_{x}{{)\partial}\frac{\partial x}}와{\vec{e}}_{}y{\frac{)\partial}{\partial는 y}}와{\vec{e}}_{z}{{)\partial}{\partial z}\frac}\right)\times \left({\vec{e}}_{)}{\frac{이\partial}{x\partial}}+{\vec{e}}_{y}{\frac{이\partial}{이\partial}}+{\vec{e}}_{z}{\frac{\par(\nabla y)&.tial Y}{z\partial}}\right)\\&, =({\vec{e}}_{}x\cdot 1+{\vec{e}}_{}y\cdot 0+{\vec{e}}_{z}\cdot 0)\times({\vec{e}}_{x}\cdot 0+{\vec{e}}_{y}\cdot 1+{\vec{e}}_{z}\cdot 0)\\&, ={\vec{e}}{\vec{e}}_{y}\\& _{)}\times, ={\vec{e}}({\vec{너}}y)& _ᆳ\\({\vec{너}}))\times, =xy({\vec{너}}\times{\vec{너}})\\&, =xy{\vec{0}}\\&, ={\vec{0}}\end.{정렬}}}$

이러한 구별의 중심은 델이 단순한 벡터가 아니라 벡터 연산자라는 사실이다. 벡터는 크기와 방향을 모두 가진 물체인 반면, 델은 함수에 작용하기 전까지는 크기나 방향을 갖지 않는다.

그 때문에 델을 수반하는 정체성은 제품 규칙과 같은 벡터 아이덴티티와 차별화 아이덴티티를 모두 사용하여 주의 깊게 도출해야 한다.

참고 항목

• 원통형 및 구형 좌표 분석
• 분화 표기법
• 벡터 미적분학 정체성
• 맥스웰 방정식
• 나비에-스토크스 방정식
• 수학 기호 표
• 콰블라 연산자

참조

• 윌러드 깁스 & 에드윈 비드웰 윌슨(1901) 벡터 분석, 예일 대학 출판부, 1960: 도버 출판사
• Schey, H. M. (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus. New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
• Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Calculus".
• Arnold Neumaier (January 26, 1998). Cleve Moler (ed.). "History of Nabla". NA Digest, Volume 98, Issue 03. netlib.org.

외부 링크

• 벡터 분석에서 ∇의 부적절한 사용에 대한 조사 (1994) 타이, 첸