벡터 미분 연산자
이 글은 수학에 대한 델의 사용에 관한 것이다. 기호 자체에 대한 자세한 내용은 나블라 기호 를 참조하십시오. 델 , 또는 나블라 는 벡터 미분학 연산자 로 수학(특히 벡터 미적분학에서)에서 사용 되는 연산자로, 보통 나블라 기호 ∇ 으로 표현된다. 1차원 영역에 정의된 함수 에 적용하면 미적분학 에 정의된 함수의 표준 파생물 을 나타낸다. 필드 (다차원 영역에 정의된 함수)에 적용할 때, 적용되는 방법에 따라 세 가지 연산자 중 하나를 나타낼 수 있다: 스칼라 필드 의 경사도 또는 (로컬하게) 경사도(또는 Navier 에서와 같이 벡터 필드 의 경사도) -스토크 방정식); 벡터장의 발산 ; 또는 벡터장의 컬 (회전)
엄밀히 말하면 델은 특정 연산자가 아니라, 많은 방정식을 쓰고 기억하기 쉽게 만드는 그 세 연산자에 대한 편리 한 수학 표기법이다. 델 기호(또는 나블라)는 부분파생상품 연산자의 벡터로 해석할 수 있으며, 그 세 가지 가능한 의미(중간성, 발산성, 컬)는 분야와 각각 "델 연산자"의 스칼라, 도트 제품 , 교차 제품 을 갖는 상품 으로 공식적으로 볼 수 있다. 이러한 정식 제품이 반드시 다른 운영자나 제품과 통근 하는 것은 아니다. 아래에 자세히 설명된 이 세 가지 용도는 다음과 같이 요약된다.
그라데이션: grad f = ∇ f {\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f} 다이버전스: div v → = div \vc{ v } = div \vc{nabla \cdot {\v}}} Curl : curl → v → = × × v → {\displaystyle \operatorname {curl} {\v}=\nabla \times {\vc{v}}}}
정의 In the Cartesian coordinate system R n with coordinates ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})} and standard basis { e → 1 , … , e → n } {\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\}} , del is defined in terms of partial derivative operators as
∇ = ∑ i = 1 n e → i ∂ ∂ x i = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) {\displaystyle \chla =\sum_{i=1}^{n}{\vec{e}_{i}{{i}}{\cHB\over \cHB_{{1}=\ldots,{\ldown \ldots \{n_}}}}}}}}}}{\readdown}}}}} In three-dimensional Cartesian coordinate system R 3 with coordinates ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} and standard basis or unit vectors of axes { e → x , e → y , e → z } {\displaystyle \{{\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}\}} , del is written as
∇ = e → x ∂ ∂ x + e → y ∂ ∂ y + e → z ∂ ∂ z = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{x}{\partial \over \partial x}+{\vec {e}}_{y}{\partial \over \partial y}+{\vec {e}}_{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)} 예: f ( x , y , z ) = x + y + z {\displaystyle f(x,y,z)=x+y+z} ∇ f = e → x ∂ f ∂ x + e → y ∂ f ∂ y + e → z ∂ f ∂ z = ( 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle \cla f={\vec{e}_{x}{\c}{e}}{\c{e}}{\cHBFF \over y}+{\vec{e}}{z}{\cHBFF \over z}=\(1,1\오른쪽)} 델은 다른 좌표계에서도 표현할 수 있다. 예를 들어 원통형 및 구형 좌표에서 델 을 참조한다.
공칭적 용법 델은 많은 긴 수학적 표현을 단순화하기 위한 속기 형태로 사용된다. 구배 , 발산 , 컬 , 방향 파생 및 라플라크 의 표현을 단순화하는 데 가장 많이 사용된다.
그라데이션 스칼라 필드 f {\displaystyle f} 의 벡터 파생물을 그라데이션 이라고 하며 , 다음과 같이 나타낼 수 있다.
등급을 매기다 f = ∂ f ∂ x e → x + ∂ f ∂ y e → y + ∂ f ∂ z e → z = ∇ f {\displaystyle \chostname {grad}f={\bec{e}}{x}+{\bec}{e}}+{y}+{\bec}{{z}=\bla f} \overf \cHBFF} 항상 f {\displaystyle f } 의 최대 증가 방향 을 가리키며, 표준 파생상품과 마찬가지로 지점의 최대 증가율과 동일한 크기를 가진다 . 특히 힐이 평면 h ( x , y ) {\displaystyle h(x,y)} 에 대한 높이 함수로 정의되는 경우, 주어진 위치에서의 구배는 가장 가파른 방향을 따라 가리키는 xy 평면의 벡터가 된다(지도상의 화살표로 볼 수 있음). 경사의 크기는 이 가장 가파른 경사의 값이다.
특히 이 표기법은 그라데이션 제품 규칙이 1d-파생 사례와 매우 유사하게 보이기 때문에 강력하다.
∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f \displaystyle \nabla (fg)=f\f\nabla g+g\nabla f} 그러나 다음과 같이 도트 제품 의 규칙은 간단하지 않다.
∇ ( u → ⋅ v → ) = ( u → ⋅ ∇ ) v → + ( v → ⋅ ∇ ) u → + u → × ( ∇ × v → ) + v → × ( ∇ × u → ) {\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})} 발산 The divergence of a vector field v → ( x , y , z ) = v x e → x + v y e → y + v z e → z {\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}} is a scalar function that can be represented as:
칸막이하다 v → = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z = ∇ ⋅ v → {\displaystyle \vecname {div}{\v}={\beca v_{x} \over \cHB_{y} \over \buffa y}+{\buffa v_{z} \overbuffa z}=\cdot {\v}}}}}}}}}} 그 차이는 대략 그것이 가리키는 방향에서 벡터장의 증가를 측정하는 척도지만, 더 정확히 말하면 그것은 어떤 점으로 수렴하거나 혹은 어떤 점으로부터 이탈하는 그 분야의 경향을 측정하는 척도다.
델 표기법의 힘은 다음과 같은 제품 규칙으로 표시된다.
∇ ⋅ ( f v → ) = ( ∇ f ) ⋅ v → + f ( ∇ ⋅ v → ) {\displaystyle \cdot(f{\vec{v}})=(\bla f)\cdot {\v}+f(\vla \cdot {\v})} 벡터 제품 의 공식은 약간 덜 직관적이다. 왜냐하면 이 제품은 다음과 같이 대응적이지 않기 때문이다.
∇ ⋅ ( u → × v → ) = ( ∇ × u → ) ⋅ v → − u → ⋅ ( ∇ × v → ) {\displaystyle \cdot({\vec}\cdot{\vc{v}}}}=(\vc\vec {\vc}})\cdot {\v}-{\vec}\cdot (\vla \vcdot {\v})} 컬 The curl of a vector field v → ( x , y , z ) = v x e → x + v y e → y + v z e → z {\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}} is a vector function that can be represented as:
곱슬곱슬하게 하다 v → = ( ∂ v z ∂ y − ∂ v y ∂ z ) e → x + ( ∂ v x ∂ z − ∂ v z ∂ x ) e → y + ( ∂ v y ∂ x − ∂ v x ∂ y ) e → z = ∇ × v → {\displaystyle \propertyname {\vc}=\left v_{z} \over \cHBY}-{\cHB v_{y} \over \cHB\right) {\vec{e}_{x}+\left v_{x} \over \cover z}-{\remit v_{z} \over \cover x}\right) {\vec{e}_{e}+\left v_y}\reft v_y} \over \cover x}-{\reft v_{x} \over \reft y}\right) {\vec{e}_{z}=\bla \becc{v}}} 한 지점에서의 컬은 작은 바람개비가 그 지점에서 중심을 맞춘다면 받게 될 온 축 토크에 비례한다.
벡터 제품 작동은 의사 결정체 로 시각화할 수 있다.
∇ × v → = e → x e → y e → z ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z v x v y v z {\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left {\begin{matrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right } 다시 표기법의 힘은 제품 규칙에 의해 나타난다.
∇ × ( f v → ) = ( ∇ f ) × v → + f ( ∇ × v → ) {\displaystyle \bec {v}=(\bec {v})=(\bec f)\bec{v}+f(\vla \bec{v})} 불행히도 벡터 제품의 규칙은 간단하지 않다.
∇ × ( u → × v → ) = u → ( ∇ ⋅ v → ) − v → ( ∇ ⋅ u → ) + ( v → ⋅ ∇ ) u → − ( u → ⋅ ∇ ) v → {\displaystyle \nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}} 방향파생상품 The directional derivative of a scalar field f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} in the direction a → ( x , y , z ) = a x e → x + a y e → y + a z e → z {\displaystyle {\vec {a}}(x,y,z)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}} is defined as:
a → ⋅ 등급을 매기다 f = a x ∂ f ∂ x + a y ∂ f ∂ y + a z ∂ f ∂ z = a → ⋅ ( ∇ f ) {\displaystyle {\vec}\cdot \cdot 이름 {grad}f=a_{x}{\data f \over x}+a_{y}{\dataf \over y}+a_{z}{\cdownf \over z}={\vecdot(\la f)} 이는 필드 f {\ displaystyle {\vec {a } 의 방향으로 필드 f {\ displaystyle {\vec { a }의 크기를 → {\ displaystyle{a}} 의 크기에 따라 확장되는 변화율을 제공한다. 연산자 표기법에서 괄호 안의 요소는 하나의 일관된 단위로 간주될 수 있다. 유체역학 에서는 이 관례를 광범위하게 사용한다. 유체의 "움직이는" 유체의 "움직이는" 파생물인 대류파생물 을 자극한다.
(→ ⋅ ∇ ) {\displaystyle({\vec {a}\cdot \nabla )} 은 스칼라를 스칼라로 가져가는 연산자임을 유의한다. 그것은 벡터에서 작동하도록 확장될 수 있으며, 각각의 구성 요소에서 분리하여 작동할 수 있다.
라플라시안 라플라스 연산자 는 벡터 또는 스칼라 필드 중 하나에 적용할 수 있는 스칼라 연산자로, 데카르트 좌표계의 경우 다음과 같이 정의된다.
Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 {\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \partial z^{2}}=\nabla \cdatabla =\nabla ^{2}}: 더 일반적인 좌표계에 대한 정의는 벡터 라플라시안(Vector Laplacian)으로 주어진다.
라플라시안은 현대 수학 물리학 전반에 어디서나 볼 수 있으며, 예를 들어 라플레이스의 방정식 , 포아송의 방정식 , 열 방정식 , 파동 방정식 , 슈뢰딩거 방정식 에서 나타난다.
헤시안 행렬 ∇ 2 {\ displaystyle \nabla ^{2 }는 보통 라플라시아인 을 나타내며, 때로는 ∇ 2 {\ displaystyle \nabla ^{2}} 도 헤시안 행렬 을 나타낸다. 전자는 ∇{\displaystyle \nabla } 의 내부 제품을 가리키고, 후자는 ∇ {\displaystyle \nabla } 의 다이오드 제품을 가리킨다.
∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ T {\ displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T }}. 따라서 ∇ 2 {\ displaystyle \nabla ^{2 }}이 라플라시안 매트릭스를 가리키는지 아니면 헤시안 매트릭스를 가리키는지 여부는 맥락에 따라 달라진다.
텐서 파생상품 델은 또한 벡터장에도 적용될 수 있으며 결과는 텐서(tensor )이다. 벡터 필드 v → {\ displaystyle {\vec{v}}( 3차원)의 텐서 파생상품 은 9기 2순위 텐서(즉, 3×3 매트릭스)이지만 단순히 v v → {\displaysty \nabla \otimes {\v} 로 나타낼 수 있으며, 여기서 ⊗{\displaystytime} 은 dydiodiodiodiodiodyproduct 를 나타낸다 . 이 양은 우주에 관한 벡터장의 자코비안 행렬 의 전치량과 같다. 벡터장의 발산성은 이 행렬의 흔적 으로 표현될 수 있다.
작은 변위 Δ r → {\ displaystyle \delta {\vec{r }} 의 경우 벡터 필드의 변화는 다음과 같다.
δ v → = ( ∇ ⊗ v → ) T ⋅ δ r → {\displaystyle \bec {v}=(\bla \otimes {\vec{v})^ {T}\cdot \delta {\vec{r}}
제품 규칙 벡터 미적분학 의 경우:
∇ ( f g ) = f ∇ g + g ∇ f ∇ ( u → ⋅ v → ) = u → × ( ∇ × v → ) + v → × ( ∇ × u → ) + ( u → ⋅ ∇ ) v → + ( v → ⋅ ∇ ) u → ∇ ⋅ ( f v → ) = f ( ∇ ⋅ v → ) + v → ⋅ ( ∇ f ) ∇ ⋅ ( u → × v → ) = v → ⋅ ( ∇ × u → ) − u → ⋅ ( ∇ × v → ) ∇ × ( f v → ) = ( ∇ f ) × v → + f ( ∇ × v → ) ∇ × ( u → × v → ) = u → ( ∇ ⋅ v → ) − v → ( ∇ ⋅ u → ) + ( v → ⋅ ∇ ) u → − ( u → ⋅ ∇ ) v → {\displaystyle{\begin{정렬}\nabla(fg)&, =f\nabla g+g\nabla f\\\nabla({\vec{너}}\cdot{\vec{v}})&, ={\vec{너}}\times(\nabla \times{\vec{v}})+{\vec{v}}\times(\nabla \times{\vec{너}})+({\vec{너}}\cdot \nabla){\vec{v}}+({\vec{v}}\cdot \nabla){\vec{너}}\\\nabla\cdot(f{\vec{v}})&, =f(\nabla \cdot{\vec{v}})+{\vec{v}}\cdot(\na.bla f)\\\nab 라 \cdot({\vec{너}}\times{\vec{v}})&, ={\vec{v}}\cdot}(\nabla \times{\vec{너}})-{\vec{너}, =(f\nabla)\times{\vec{v}(\nabla \times{\vec{v}})\\\nabla \times(f{\vec{v}})& \cdot}+f(\nabla \times{\vec{v}})\\\nabla \times, ={\vec{너}}\,(\nabla \cdot{\vec{v}})-{\vec{v}}\,(\nabla \cdot{\vec{너}})+({\v({\vec{너}}\times{\vec{v}})&.ec{v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}-({\vec {u}\cdot \cdot \cdla )\,{\vc {v}\ended}}}}} 매트릭스 미적분 (u → ⋅ v → {\ displaystyle {\vec}\cdot {\v}}}) 의 경우 u → T v → {\ displaystyle {\vec}^{\text {\text} T}{\vec{v}} }:
( A ∇ ) T u → = ∇ T ( A T u → ) − ( ∇ T A T ) u → {\displaystyle {\begin{aigned}\left(\mathbf {A}\nabla \right)^{\text{ T}{{\vec{u}}&=\나블라 ^{\text{ T}}\왼쪽(\mathbf {A}) ^{\text{ T}{{\vec{u}\오른쪽)-\왼쪽(\nabla ^{\text{ T}}\mathbf {A} ^{\text{ T}\오른쪽) {\vec{u}\end{aigned}} 다른 관심 관계(예: 참조) 오일러 방정식 )는 다음과 같으며, 여기서 u → ⊗ v → {\ displaystyle {\vec{u}\otimes{\vec{v}}} 는 외부 제품 텐서:
∇ ⋅ ( u → ⊗ v → ) = ( ∇ ⋅ u → ) v → + ( u → ⋅ ∇ ) v → {\displaystyle{\cdot}\cdot({\vec}}\cdot {\v})=(\becc\cdot{\vc}}{\vec}+({\vec}}\vcdot \cdot \cd}{v}}}}}}}}}}}}}}" 제2파생상품 DCG 관리도: 두 번째 파생상품과 관련된 모든 규칙을 설명하는 간단한 관리도. D, C, G, L, CC는 각각 발산, 컬, 컬, 컬, 그라데이션, 라플라시안, 컬을 의미한다. 화살표는 두 번째 파생상품의 존재를 나타낸다. 가운데에 있는 파란색 원은 컬을 나타내고, 다른 두 개의 빨간색 원은 DD와 GG가 존재하지 않는다는 것을 의미한다. 델이 스칼라나 벡터에 작용하면 스칼라나 벡터가 반환된다. 벡터 제품(scalar, dot, cross)의 다양성 때문에 델을 한 번 응용하면 이미 그라데이션(scalar product), 다이버전스(dot product), 컬(curl)의 3대 파생상품이 나온다. 이 세 가지 종류의 파생상품을 서로 다시 적용하면 스칼라장 f 또는 벡터장 v 에 대해 가능한 다섯 가지 두 번째 파생상품이 제공된다. 스칼라장 라플라시안 및 벡터장 라플라시안 사용은 다음 두 가지를 더 제공한다.
칸막이하다 ( 등급을 매기다 f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) 곱슬곱슬하게 하다 ( 등급을 매기다 f ) = ∇ × ( ∇ f ) Δ f = ∇ 2 f 등급을 매기다 ( 칸막이하다 v → ) = ∇ ( ∇ ⋅ v → ) 칸막이하다 ( 곱슬곱슬하게 하다 v → ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v → ) 곱슬곱슬하게 하다 ( 곱슬곱슬하게 하다 v → ) = ∇ × ( ∇ × v → ) Δ v → = ∇ 2 v → {\displaystyle{\begin{정렬}\operatorname{div}(\operatorname{대학원}f)&, =\nabla \cdot(f\nabla)\\\operatorname{ 곱슬곱슬하게 하다.}(\operatorname{대학원}f)&, =\nabla(f\nabla)\\\Delta f& \times, =\nabla ^{2}f\\\operatorname{졸업생}(\operatorname{div}{\vec{v}})&, =\nabla(\nabla \cdot{\vec{v}})\\\operatorname{div}(\operatorname{ 곱슬곱슬하게 하다.}{\ve.c{v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})\\\Delta {\vec {v}}&=\nabla ^{2}{\vec {v}}\end{aligned}}} 이것들은 서로 항상 독특하거나 독립적이지 않기 때문에 주로 흥미롭다. 기능 이[clarification needed ] 얌전하기만 하면, 그 중 두 가지는 항상 0이다.
곱슬곱슬하게 하다 ( 등급을 매기다 f ) = ∇ × ( ∇ f ) = 0 칸막이하다 ( 곱슬곱슬하게 하다 v → ) = ∇ ⋅ ( ∇ × v → ) = 0 {\displaystyle {\becc{v}}\regedname {grad}f)&#=\div}(\becc{v}}})&#la \cdot(\bla \vla \vc}}=0\end}}} 그 중 두 가지는 항상 동일하다.
칸막이하다 ( 등급을 매기다 f ) = ∇ ⋅ ( ∇ f ) = ∇ 2 f = Δ f {\displaystyle \operatorname {div}(\operatorname {grad}f)=\nabla \cdot(\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f} 나머지 3개의 벡터 파생상품은 다음 방정식에 의해 관련된다.
∇ × ( ∇ × v → ) = ∇ ( ∇ ⋅ v → ) − ∇ 2 v → {\displaystyle \cla \left(\vla \vc{v}\right)=\bla(\vla \cdot {\v})-\bla ^{\vc{\v}}}}} 그리고 그 중 하나는 기능이 잘 갖춰져 있다면 텐서 제품으로 표현될 수도 있다.
∇ ( ∇ ⋅ v → ) = ∇ ⋅ ( v → ⊗ ∇ ) {\displaystyle \cdot {\vc}=\cdot({\v}}\otimes \cdla )}
주의사항 위의 벡터 속성(예: 제품 규칙 등 델의 차등 특성에 명시적으로 의존하는 것은 제외)은 대부분 기호 재배열에만 의존하며, 델 기호가 다른 벡터로 대체되는 경우 반드시 보유해야 한다. 이것은 이 연산자를 벡터로서 합리적으로 대표하여 얻어야 할 값의 일부분이다.
흔히 델을 벡터로 대체하고 벡터 정체성을 얻어 그 정체성을 연상시킬 수 있지만, 델이 일반적으로 통근하는 것은 아니기 때문에 그 반대의 경우도 반드시 믿을 수 있는 것은 아니다 .
델의 통근 실패에 의존하는 대범한 예:
( u → ⋅ v → ) f ≡ ( v → ⋅ u → ) f ( ∇ ⋅ v → ) f = ( ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z ) f = ∂ v x ∂ x f + ∂ v y ∂ y f + ∂ v z ∂ z f ( v → ⋅ ∇ ) f = ( v x ∂ ∂ x + v y ∂ ∂ y + v z ∂ ∂ z ) f = v x ∂ f ∂ x + v y ∂ f ∂ y + v z ∂ f ∂ z ⇒ ( ∇ ⋅ v → ) f ≠ ( v → ⋅ ∇ ) f {\displaystyle{\begin{정렬}({\vec{너}}\cdot{\vec{v}})f&, \equiv({\vec{v}}\cdot{\vec{너}})f\\(\nabla \cdot{\vec{v}})f&, =\left({\frac{\partial v_{x}}{\partial x}}와{\frac{\partial v_{y}}{y}\partial}와{\frac{\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac{\partial v_{)}}{x\partial}}f+{\frac{\partial v_{y}}{이\partial}}f+{\frac{\parti.알 v_{z} }{z\partial}}f\\({\vec{v}}\cdot \nabla)f&, =\left(v_{x}{{}\partial{\partial x}}+v_{y}{\frac{}\partial{\partial는 y}}+v_{z}{{}\partial{\partial z}\frac}\frac \right)f=v_{)}{\frac{\partial f}{x\partial}}+v_{y}{\frac{\partial f}{이\partial}}+v_{z}{\frac{\partial f}{z\partial}}\\\Rightarrow(\nabla \cdot{\vec{v}})f&, \neq({\vec{v}}\c.점 \nab la )f\\\end{aigned}} 델의 차등 특성에 의존하는 counterexample:
( ∇ x ) × ( ∇ y ) = ( e → x ∂ x ∂ x + e → y ∂ x ∂ y + e → z ∂ x ∂ z ) × ( e → x ∂ y ∂ x + e → y ∂ y ∂ y + e → z ∂ y ∂ z ) = ( e → x ⋅ 1 + e → y ⋅ 0 + e → z ⋅ 0 ) × ( e → x ⋅ 0 + e → y ⋅ 1 + e → z ⋅ 0 ) = e → x × e → y = e → z ( u → x ) × ( u → y ) = x y ( u → × u → ) = x y 0 → = 0 → {\displaystyle{\begin{정렬}(\nabla))\times, =\left({\vec{e}}_{x}{{)\partial}\frac{\partial x}}와{\vec{e}}_{}y{\frac{)\partial}{\partial는 y}}와{\vec{e}}_{z}{{)\partial}{\partial z}\frac}\right)\times \left({\vec{e}}_{)}{\frac{이\partial}{x\partial}}+{\vec{e}}_{y}{\frac{이\partial}{이\partial}}+{\vec{e}}_{z}{\frac{\par(\nabla y)&.tial Y}{z\partial}}\right)\\&, =({\vec{e}}_{}x\cdot 1+{\vec{e}}_{}y\cdot 0+{\vec{e}}_{z}\cdot 0)\times({\vec{e}}_{x}\cdot 0+{\vec{e}}_{y}\cdot 1+{\vec{e}}_{z}\cdot 0)\\&, ={\vec{e}}{\vec{e}}_{y}\\& _{)}\times, ={\vec{e}}({\vec{너}}y)& _ᆳ\\({\vec{너}}))\times, =xy({\vec{너}}\times{\vec{너}})\\&, =xy{\vec{0}}\\&, ={\vec{0}}\end.{정렬}}} 이러한 구별의 중심은 델이 단순한 벡터가 아니라 벡터 연산자 라는 사실이다. 벡터는 크기와 방향을 모두 가진 물체인 반면, 델은 함수에 작용하기 전까지는 크기나 방향을 갖지 않는다.
그 때문에 델을 수반하는 정체성은 제품 규칙과 같은 벡터 아이덴티티 와 차별화 아이덴티티를 모두 사용하여 주의 깊게 도출해야 한다.
참고 항목
참조 윌러드 깁스 & 에드윈 비드웰 윌슨 (1901) 벡터 분석 , 예일 대학 출판부 , 1960: 도버 출판사 Schey, H. M. (1997). Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus . New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5 . Miller, Jeff. "Earliest Uses of Symbols of Calculus" . Arnold Neumaier (January 26, 1998). Cleve Moler (ed.). "History of Nabla" . NA Digest, Volume 98, Issue 03. netlib.org. 외부 링크