원통 좌표계

원점

O

, 극축

A

및 종축

L

이 있는 원통형 좌표계. 점은 반지름 거리

ρ

=

4

, 각도 좌표

φ

=

130°,

높이

z =

4

의 점이다.

원통형 좌표계란 선택된 기준 축으로부터의 거리, 선택된 기준 방향에 상대적인 축으로부터의 방향, 그리고 축에 수직인 선택된 기준 평면으로부터의 거리로 점 위치를 지정하는 3차원 좌표계다. 후자의 거리는 기준면의 어느 쪽이 점을 향하느냐에 따라 양수 또는 음수로 주어진다.

계통의 기원은 세 좌표를 모두 0으로 줄 수 있는 지점이다. 이것은 기준면과 축의 교차점이다. 축은 원통형 또는 종축이라고 다양하게 불리며, 원점에서 시작하여 기준면을 가리키는 광선인 극축과 구별된다. 세로축에 수직인 다른 방향을 방사선이라고 한다.

축으로부터의 거리는 반지름 거리 또는 반지름이라고 할 수 있는 반면, 각도 좌표는 각 위치 또는 방위각이라고 부르기도 한다. 반지름과 방위각을 함께 극좌표라고 하는데, 이는 기준면에 평행한 지점을 통해 평면의 2차원 극좌표계에 해당하기 때문이다. 세 번째 좌표는 높이 또는 고도(기준면이 수평으로 간주되는 경우), 세로 위치 ^[1]또는 축 위치라고 할 수 있다.^[2]

원통형 좌표는 종축에 대해 어느 정도 회전 대칭이 있는 물체와 현상과 관련하여 유용하며, 예를 들어 원형 단면이 있는 직선 파이프에서의 물 흐름, 금속 실린더에서의 열 분포, 길고 직선 와이어에서의 전류에 의해 생성된 전자기장, 우주비행사의 디스크와 같은 것이다.내, 등등.

그것들은 때로 "실린드 극좌표"^[3]와 "극원통 좌표"^[4]라고 불리며, 은하 내 별들의 위치("갈락성 원통형 극좌표")^[5]를 지정하는 데 쓰이기도 한다.

정의

점 $P$ 의 세 좌표( (, $φ$ , $z$ )는 다음과 같이 정의된다.

축 거리 또는 방사상 거리 $ρ$ 은 z축에서 P $지점$ 까지의 유클리드 거리이다.
방위각 $φ$ 은 선택한 평면의 기준 방향과 평면의 원점에서 $P$ 의 투영까지의 선 사이의 각이다.
축 좌표 또는 높이 $z$ 는 선택한 평면으로부터 점 $P$ 까지의 서명된 거리이다.

고유 원통 좌표

극좌표에서와 같이 원통형 좌표 $($ $ρ$ , $φ$ $,$ z $)$ 가 있는 동일한 지점에는 (initely, equivalent ± n $\times360°,$ z $)$ 및 ( $(-,$ $φ,$ ± $n$ ± ( $2n$ + 1 $)\times 180$ °, z $)$ 등가 무한히 $많다$ . 여기서 n은 임의의 정수다. 더구나 반경 $ρ$ 이 0이면 방위각은 자의적이다.

각 점에 대해 고유한 좌표 세트를 원하는 경우, 반경( $반경)$ 을 $음$ 이 아닌(negative ( 0)으로 제한하고 방위각 $φ$ 은 [- $180°$ 와 같이 360°에 걸친 특정 간격으로 눕도록 제한할 수 있다. $+180°]$ 또는 $[0,360°]$

관습

원통형 좌표에 대한 표기법은 균일하지 않다. ISO 표준 31-11은 (1998 $, ρ,$ $z)$ 를 권장하며 여기서 $ρ$ 은 방사형 좌표, $φ$ 방위각 및 z $높이$ 를 권장한다. 그러나 반지름은 r $또는$ $s$ , 방위각은 $θ$ 또는 $t$ , 세 번째 좌표는 h $또는$ (원통형 축이 수평으로 간주되는 경우) $x$ 또는 문맥별 문자로 표시되기도 한다.

원통형 좌표의 좌표면

(ρ

,

φ,

z

)

빨간색 실린더는

points

=

2

로 포인트를 나타내고, 파란색 평면은

z

=

1

로 포인트를 표시하며, 노란색 반평면은

φ

=

-60°

로 포인트를 표시한다. z축은 수직이고 x축은 녹색으로 강조되어 있다. 세 개의

표면

은 P 지점에서 그 좌표(검은 구상으로 표시됨)와 교차한다.

P

의 데카르트 좌표는 대략(1.0, -1.732, 1.0)이다.

원통형 좌표면. orth(녹색),

φ

(빨간색),

z

(파란색)의 세 직교 성분은 각각 일정한 비율로 증가한다. 점은 세 가지 색 표면 사이의 교차점에 있다.

구체적인 상황과 많은 수학적 그림에서 양의 각도 좌표는 양의 높이를 가진 어떤 지점에서 보듯이 시계 반대방향으로 측정된다.

좌표계 변환

원통형 좌표계는 많은 3차원 좌표계 중 하나이다. 이들 사이의 변환에는 다음 공식을 사용할 수 있다.

데카르트 좌표, 평행 좌표.

원통형 좌표와 데카르트 좌표 사이의 변환에 대해서는 전자의 기준면이 데카르트 xy-plane(방정식 $z$ = $0$ )이고, 원통형 축이 데카르트 z-축이라고 가정하는 것이 편리하다. 그러면 z 좌표는 두 계통에서 모두 동일하며, 원통형 $(ρρ, φ, z)$ 과 카르테시안 $(x, y, z)$ 사이의 대응은 극좌표, 즉 극좌표와 동일하다.

{\displaysty}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\ended}}}

한 방향으로, 그리고

{\displaysty}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\varphi &={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\mbox{if }}x\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}

다른 쪽에서는 은 사인 함수의 arcsin 기능은 선의 정반대, 그리고 범위의 각도를 반환한 것으로 추정되는 경우에는−.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}π/2,+π/2]-경우 −90°,. $+90°].$ 이 공식은 $[-90°]$ 범위에서 방위각 $φ$ 을 산출한다. $+270°]$ 다른 공식은 극좌표 기사를 참조한다.

많은 현대 프로그래밍 언어는 위와 같은 사례 분석을 수행할 필요 없이 x와 y가 주어진 범위 $(-ㄴ,$ ㄴ, ㄴ $)$ 에서 $올바른$ 방위각 compute을 계산하는 기능을 제공한다. 예를 들어, 이 함수는 다음에 의해 호출된다. C 프로그래밍 언어의 atan2(y,x) 및 Common Lisp의 atan(y,x).

구형좌표

구형 좌표(반경 $r$ , 고도 또는 경사 $θ$ , 방위 $φ$ )는 다음과 같이 원통형 좌표로 변환할 수 있다.

$θ$ 은 표고:	$θ$ 는 성향:
${\regated}\rho &=r\cos \theta \\\\varphi &=\z&=r\sin \theta \end{arged}}}$	${\regated}\rho &=r\sin \theta \\\varphi &=\z&=r\coses \theta \ended{arged}}}$

원통형 좌표는 다음과 같이 구면 좌표로 변환할 수 있다.

$θ$ 은 표고:	$θ$ 는 성향:
${\displaysty}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}\\\theta &=\arctan \left \frac {z}{\rho }}\\varphi &=\varphi \end{aigned}}}}$	${\displaysty}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}}\\\theta &=\arctan \left\tfrac {\rho }{z}\오른쪽)\\\varphi &=\varphi \ended}}}$

선 및 볼륨 요소

원통형 좌표의 체적 통합에 대한 자세한 내용은 다중 적분, 벡터 미적분 공식의 경우 원통형 및 구형 좌표의 델을 참조하십시오.

원통형 극좌표와 관련된 많은 문제에서 선과 부피 요소를 아는 것이 유용하다; 이것들은 경로와 부피와 관련된 문제를 해결하기 위해 통합에 사용된다.

선 요소는

\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} .

볼륨 요소는

{\d}V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}

일정한 반지름 surface(수직 $실린더$ ) 표면의 표면 요소는 다음과 같다.

{\d}s_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}

상수 방위각 $φ$ (수직 반평면) 표면의 표면 요소는 다음과 같다.

{\daystyle \mathrm {d}S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}

일정한 높이 $z$ (수평면) 표면의 표면 요소는

{\daystyle \mathrm {d}S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}

이 시스템의 델 연산자는 그라데이션, 발산, 컬 및 라플라시안 등에 대해 다음과 같은 표현으로 이어진다.

{\displaystyle{\begin{정렬}\nabla f&, ={\frac{\partial f}{\rho\partial}}{\boldsymbol{\hat{\rho}}}+{\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial f}{\varphi\partial}}{\boldsymbol{\hat{\varphi}}}+{\frac{\partial f}{z\partial}}\mathbf{\hat{z}}\\[8px]\nabla \cdot{\boldsymbol{A}}&={\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial}{\rho\partial}}\lef.t(A\rho_{\rho}\right)+{\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial A_{\varphi}}{\varphi\partial}}+{\frac{\partial A_{z}}{z\partial}}\\[8px]\nabla \times};=\left({\frac{1}{\rho}}{{\partial A_{z}}{\partial \varphi}}\frac-{\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial z}}\right){\boldsymbol{\hat{\rho}}}+\left(}{\frac{\partial A_{\rho}{\par 및{\boldsymbol{A}.tial Z}}-{\frac{\partial A_{z}}{\rho\partial}}\right){\boldsymbol{\hat{\varphi}}}+{\frac{1}{\rho}}\left({\frac{}\partial{\partial \rho}}\left(\rho A_{\varphi}\right)-{\frac{\partial A_{\rho}}{\varphi\partial}}\right)\mathbf{\hat{z}}\\[8px]\nabla ^{2}f&, ={\frac{1}{\rho}}{\frac{\partial}{\rho\partial}}\left(\rho{\frac{\partia.나는 f}}{\frac \rho }}}}{\frac {1}{\rho ^{2}}:{\frac {\blaim ^{2}}+{\fract \barphi ^{2}f}{\flaim z^{2}}}}}}\ed{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

원통 고조파

원통형 대칭이 있는 시스템에서 라플라스 방정식의 용액을 원통형 고조파라고 한다.

참고 항목

참조

^ Krafft, C.; Volokitin, A. S. (1 January 2002). "Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves". Physics of Plasmas. 9 (6): 2786–2797. Bibcode:2002PhPl....9.2786K. doi:10.1063/1.1465420. ISSN 1089-7674. Archived from the original on 14 April 2013. Retrieved 9 February 2013. ...in cylindrical coordinates $(r, θ, z)$ ... and $Z = v bz t$ is the longitudinal position...
^ Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). "Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow". Physical Review Letters. 78 (8): 1460–1463. arXiv:patt-sol/9610008. Bibcode:1997PhRvL..78.1460G. doi:10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID 54814721. ...where $r$ , $θ$ , and $z$ are cylindrical coordinates ... as a function of axial position...
^ Szymanski, J. E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers: models and applications. Tutorial Guides in Electronic Engineering (no. 16). Taylor & Francis. p. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
^ Nunn, Robert H. (1989). Intermediate Fluid Mechanics. Taylor & Francis. p. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
^ Sparke, Linda Siobhan; Gallagher, John Sill (2007). Galaxies in the Universe: An Introduction (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 37. ISBN 978-0-521-85593-8.

추가 읽기

Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York City: McGraw-Hill. pp. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515.
Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York City: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York City: McGraw-Hill. pp. 174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7.
Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York City: Springer-Verlag. p. 95. LCCN 67025285.
Zwillinger, Daniel (1992). Handbook of Integration. Boston: Jones and Bartlett Publishers. p. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023.
Moon, P.; Spencer, D. E. (1988). "Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z)". Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions (corrected 2nd ed.). New York City: Springer-Verlag. pp. 12–17, Table 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

외부 링크

"Cylinder coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
MathWorld의 원통형 좌표 설명
원통형 좌표 Frank Wattenberg가 원통형 좌표를 보여주는 애니메이션

[1] Krafft, C.; Volokitin, A. S. (1 January 2002). "Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves". Physics of Plasmas. 9 (6): 2786–2797. Bibcode:2002PhPl....9.2786K. doi:10.1063/1.1465420. ISSN 1089-7674. Archived from the original on 14 April 2013. Retrieved 9 February 2013. ...in cylindrical coordinates $(r, θ, z)$ ... and $Z = v bz t$ is the longitudinal position...

[2] Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). "Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow". Physical Review Letters. 78 (8): 1460–1463. arXiv:patt-sol/9610008. Bibcode:1997PhRvL..78.1460G. doi:10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID 54814721. ...where $r$ , $θ$ , and $z$ are cylindrical coordinates ... as a function of axial position...

[3] Szymanski, J. E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers: models and applications. Tutorial Guides in Electronic Engineering (no. 16). Taylor & Francis. p. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.

[4] Nunn, Robert H. (1989). Intermediate Fluid Mechanics. Taylor & Francis. p. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.

[5] Sparke, Linda Siobhan; Gallagher, John Sill (2007). Galaxies in the Universe: An Introduction (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 37. ISBN 978-0-521-85593-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

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삼차원	카르테시안 원통형 구면 포물선 파라볼로이드 스피로이드 주 프롤레이트 스피로이드 타원숭이 타원형 원통형 토로이드 구면체 양극 원통형 원뿔형 6-sphere

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