Hyperbolic 편미분 방정식

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수학에서는, n{n\displaystyle}의 쌍곡선 편미분 방정식은 편미분 방정식(결심 및 실행)그, 대충 말하면, 첫번째 n− 1{\displaystyle n-1}파생 상품에 대한 제대로 제시된 초기 값 문제가 있다.더 자세하게, 코시 문제 지역적으로 임의의 초기 데이터에 대한non-characteristic 초곡면을 따라 해결될 수 있다.역학의 방정식 중 많은 그래서 과장된 방정식을 연구하는 실질적인 현댄 관심이 부분은 과장되었다.그 모델 쌍곡형 방정식은 파동 방정식.한차원의 공간에 있어서, 이것은.

${\displaystyle{\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}.$

그 방정식은, 만약 너와 그 처음 독창적이지 임의로 0( 충분한 매끄러운 속성을 가지고) 일고, 때를 해결할 선을 t에 초기 데이터 지정된톤는 속성을 갖

쌍곡 방정식의 해결책"wave-like" 있다.우주의 모임이라면 교란은 과장된 미분 방정식의 초기 데이터에서 만들어진다, 그때마다 점 한번에 소동을 느낀다.일정한 시간 좌표에 비해서, 장애들은 한정된 전파 속도가 제한되어 있다.그들은 방정식의 특성을 따라 여행한다.이 기능은 쌍곡 방정식을 타원 편미분 방정식 및 포물선 편미분 방정식과 질적으로 구분합니다.타원 또는 포물선 방정식의 초기(또는 경계) 데이터의 섭동은 기본적으로 도메인 내의 모든 점에 의해 한 번에 감지된다.

쌍곡선의 정의는 기본적으로 질적인 것이지만, 고려 중인 특정 종류의 미분 방정식에 의존하는 정확한 기준이 있습니다.Lars Görding에 의해 마이크로 로컬 분석의 맥락에서 선형 미분 연산자에 대한 잘 개발된 이론이 있다.비선형 미분 방정식은 고딩의 의미에서 선형화가 쌍곡선이라면 쌍곡선이다.보존 법칙의 체계에서 나온 방정식의 1차 체계에 대해서는 다소 다른 이론이 있다.

정의.

부분적인 미분 방정식{P\displaystyle}은 코시 문제 독특한 P{P\displaystyle}이 이웃에 초기 데이터는non-characteristic 초곡면 P{P\displaystyle}.[1]을 통해 여기에 통과한 규정한 초기 데이터 모든(로 구성되어 있기 위해 풀 수 있는 경우는 P점에서 과장된 것.transverse) 미분방정식의 차수보다 1 적게 표면에 있는 함수의 도함수.

예

변수의 선형 변경에 의해 형식의 방정식은

$\displaystyle A {\frac {\partial ^{2}u} {\frac {\partial ^{2}u} + C {\frac {\partial ^{2}u} {\frac {\partial ^{2}} + {\text{\partial } (파생 순서)}}=0}$

와 함께

${\displaystyle B^{2}-AC>0}$

는 방정식의 ^{[2]: 400} 질적 이해에 필수적인 저차 항을 제외하고 파동 방정식으로 변환할 수 있다.이 정의는 평면 쌍곡선의 정의와 유사합니다.

1차원 파동 방정식:

${\displaystyle {\frac ^{2}u} {\frac ^{2}u} {\frac x^{2} = 0}$

는 쌍곡선 방정식의 예입니다.2차원 및 3차원 파동 방정식도 쌍곡 PDE 범주에 속합니다.이러한 유형의 2차 쌍곡선 편미분 방정식은 1차 미분 ^{[2]: 402} 방정식의 쌍곡선 시스템으로 변환될 수 있습니다.

편미분 방정식의 쌍곡선 체계

다음은$$ 알 수 없는 $함수$$$${\displaystyle \to }$ ( ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle u_{}}$s$$) {$displaystyle$$$${u}$$=$($u_{1},$ \$ldots,u_{s}),$$u{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle u\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ (${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ , $)$ {$displaystyle {cve}u}$에 $대한{\displaystyle }$$1차$ 편미분 방정식의 $시스템$입니다.$re{\displaystyle \stackrel{}{}}$ x ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$\$style {\display$ {x}\$in$ \mathbb {$R}$^{$d$ :

$\displaystyle {\vec {u} {\vec t} + \sum _{j=1}^{d} {\frac x_{j}} {\vec {f^{j}} {\vec {u}} = 0,}$

(표준)

$여기$서 ${\displaystyle \stackrel{}{f^{}}}$ j ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ C${\displaystyle {}^{}{1\mathrm{}}^{}}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$s , ${\displaystyle {}^{}}$) , ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle =1}$, ${\displaystyle ...}$ , $d$\ $display$ { style {$vec$ { f ^ { $s }$ , \$mathbb${$R }$ , \ $mathbb${ R$}$ , j$$= 1, $\ldots$ ,$$d } $은$ 비선형에서 연속적으로 사용할 수 있는 함수입니다.

$다음$으로 각 ${\displaystyle \stackrel{}{{fj}^{}}}$ $→$ {\$style {f^{j}}}$에 대해 s${\displaystyle }$×$$ {\$style$ s$\times$s} Jacobian 행렬을 $정의$합니다.

${\displaystyle A^{j}:= pmatrix {\frac {\frac f_{1}^{j} {\cdots {\frac f_{1} {\cdots {\frac u_{j}} {\vdots &\vdots } {\frac {f_{{s}} {\frac f_{{{1}} {\cdots} {\cdots}$

$모든{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ d$δ$R ${\displaystyle \alpha _{1},\$ldots,\alpha _{$d$}\$in \mathbb {R}$ 행렬 A : ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ A${\displaystyle {}^{}}$1 +${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ +$$ d A d {\ $displaystyle$ A : = \ $alpha _1}A + {\cdots$ } 행렬 A {\cdots }에 대해 시스템(\$cd$)은 쌍곡선이다.$A^{d}}$은(는) 실제 고유값만 가지며 대각선화할 수 있습니다.

$행렬{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$에 고유한 실제 고유값이 있으면 대각선화가 가능합니다.이 경우, 시스템(θ)은 엄밀하게 쌍곡선이라고 불립니다.

$행렬{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$)$가 대칭이면 대각선화가 가능하며 고유값이 실재합니다.이 경우 시스템(θ)을 대칭 쌍곡선이라고 합니다.

쌍곡선과 보존 법칙

쌍곡선과 보존 법칙 사이에는 연관성이 있다.하나의 알 수 없는 $함수{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle =}$u ( ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \to }$ ,${\displaystyle t}$) {$display u= uvec {x},$ t$\}\}$에 대한 하나의 편미분 방정식의 쌍곡선을 가정합니다. 그러면 시스템(가변)은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

${\displaystyle {\frac u} {\frac {\frac u} {\frac x_{j}} {\f^{j}}(u)= 0.}$

（ ∗ ( ）

$여기$서$u{displaystyle$u}는$$ f$$ (${\displaystyle f^{}}$ 1, $...$ , f d ) { displaystyle {f$}$=$(f^{$1}, $\ldots, f^{d$에 의해 $주어진{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 플럭스에 따라 이동하는 양으로 해석할 수 있습니다.$$u {$displaystyle$$$u}이 보존되고 있는지 확인하기 위해 \displaystyle$u$는 \displaystyle u의 영역 $위$에 통합됩니다.

$\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\int t}},d\Omega +\int _{\Omega }\cdot {f}}(u),d\Omega = 0.}$

u$\displaystyle$$$u와$$ $→{$이 충분히$$ 매끄러운 $함수$라면 발산정리와 적분순서를 변경하여$$u\$displaystyle$에 대한 보존법칙을 일반형태로 구할 수 있다.

${\displaystyle {frac {d}{dt}}\int _{\Omega }u,d\Omega +\int _{\vec {f}}(u)\cdot {vec {n},d\Gamma = 0,}$

즉, 도메인$\omega {\displaystyle \mathrm{}}$(\$displaystyle$ \$Omega)$에서$$${\displaystyle \mathrm{u}}$$(\displaystyle$ \displaystyle u)의 변화율은$$$}(\$displaystyle \$partial \Omega$의 경계$display$(\displaystyle \$Omega{\displaystyle }$ ）의$$ 순유속도와 같으며, $u{\displaystyle \mathrm{}}$$(\displaystyle$u)는$$ 동등하기 때문에 } 내에서 $보존$된다고 할 수 있습니다.$\displaystyle \Omega$ $\}.$

「 」를 참조해 주세요.

• 타원 편미분 방정식
• 저자극 연산자
• 포물선 편미분 방정식

레퍼런스

추가 정보

• A. D. Polyanin, 엔지니어와 과학자를 위한 선형 편미분 방정식 핸드북, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.ISBN 1-58488-299-9

외부 링크

• "Hyperbolic partial differential equation, numerical methods", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• EqWorld에서의 선형 쌍곡선 방정식:수학 방정식의 세계.
• EqWorld에서의 비선형 쌍곡선 방정식:수학 방정식의 세계.