정상(기하학)

기하학에서 법선은 주어진 물체에 수직인 선, 광선 또는 벡터와 같은 물체입니다.예를 들어, 주어진 점에서 평면 곡선에 대한 법선(normal line)은 해당 점의 곡선에 대한 접선에 수직인 (무한) 선입니다.법선 벡터는 길이 1(단위 벡터)을 가질 수 있고, 그 길이는 물체의 곡률(곡률 벡터)을 나타낼 수 있으며, 대수 부호는 변(내부 또는 외부)을 나타낼 수 있다.

3차원에서$P점{\displaystyle }$({$displaystyle$ P$$})에 대한 표면 법선 또는 단순 법선은 P점(\displaystyle P$)$의 표면 접면에 수직인 벡터이다."정상"이라는 단어는 형용사로도 사용됩니다: 평면에 수직인 선, 힘의 수직 성분, 법선 벡터 등.정규성의 개념은 직교각(직각)으로 일반화됩니다.

그 개념은 유클리드 공간에 내장된 임의의 차원의 미분 가능한 다양체로 일반화되었다.$P점의$$$다지관의 법선 벡터 공간 또는 법선 공간은${\displaystyle }P점$의 접선 공간에 직교하는 벡터 집합입니다$.\\displaystyle$ P$.}$ 법선$$ 벡터는 부드러운 곡선과 매끄러운 표면의 경우 특히 중요합니다.

노멀은 3D 컴퓨터 그래픽(단수 노멀만 정의되므로 단수)에서 평평한 음영에 대한 표면의 방향 또는 퐁 음영이 있는 곡면을 모방하기 위해 표면의 각 모서리(수직) 방향을 결정하기 위해 자주 사용됩니다.

곡선 또는 표면까지의 점 Q의 정규 거리는 Q와 물체에 대한 수직 투영 사이의 유클리드 거리입니다(정규에 Q가 포함된 물체의 점 P).정규 거리는 점에서 선까지의 거리 및 점에서 평면까지의 거리를 일반화하는 수직 거리 유형입니다.원곡선 피팅 및 간격띄우기 표면을 정의하는 데 사용할 수 있습니다.

3D 공간의 표면에 대해 정상입니다.

지표면 정규 분포 계산

볼록 폴리곤(예: 삼각형)의 경우 표면 법선은 폴리곤의 두(비평행) 모서리의 벡터 교차곱으로 계산할 수 있습니다.

a ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle b}$y + ${\displaystyle c}$z + ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle =0}$, {\$displaystyle$$$ax$+by+cz+d=0,}$ $등식$으로 주어진 평면의 경우, $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ n ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle a}$,${\displaystyle b}$ ,${\displaystyle }$c$$) {\$displaystyle$ \$mathbf${n} = ($a$, $b$, c )는$$ 정규값이다.

파라메트릭 형식으로 방정식이 주어진 평면의 경우

${\displaystyle {}_{}}$서 r 0$(\$은 평면상의 $점$이고 p$(\displaystyle$ $\$$mathbf$${p$$} ,\mathbf$${$$q}$})는 평면을 따라 포인팅하는 비표준 벡터이며, 평면에 대한 법선은 p$(\$$displaystyle$ \$mathbf$$${p$$$})$ 및${\displaystyle }$q$}$에 대해 모두 법선인 벡터입니다$.$und는 ${\displaystyle \mathbf{}}$ n ${\displaystyle =p\mathbf{}}$ ×${\displaystyle q\mathbf{}}$. { $displaystyle \mathbf {n$} = \$mathbf {p}$ \$times \mathbf {q}$ .

(비평탄하지 않은) ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$R3의 $(\displaystyle$ \$mathbb {R}$^{$3}})$ $표면{\displaystyle }$S {\$displaystyle$ S$}$가 곡선 $좌표계{\displaystyle \mathbf{}}$r (${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle t}$) ${\displaystyle =}$ (${\displaystyle x}$ (${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle }$t ) , ${\displaystyle y}$(${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle t}$) , ${\displaystyle z}$(${\displaystyle s}$ ,${\displaystyle t}$) , t ) , \ $displaystyle \mathbfx =$s , t )$（$t } , s , t } , t 、 s , t } , t 、 t 、 t 、 t 、 t 、 t 、 t $）$ 、 t $${\$displaystyle$ t$}$ 실수$$ 변수, 그러면 S에 대한 법선은 부분 도함수의 교차곱에 의해 주어지는 탄젠트 평면에 대한 법선이다$.$

$표면{\displaystyle }$ S$({displaystyle$ S$}$가 F${\displaystyle (x,}$ y${\displaystyle ,z}$) $=$ $,$ {$displaystyle$$$F$(x,y,z$)= $0,}$을 만족하는$$${\displaystyle }$ 점${\displaystyle }$세트(${\displaystyle x}$$,$$y$로서 암묵적으로 주어지는 경우, 해당 표면에서 점$,z)$의 법선이 주어집니다.

임의의 지점에서 기울기가 레벨 ${\displaystyle }$S에 수직이기 때문이다$.$ {\$displaystyle$ S$}$

${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $z{\displaystyle }$$$${\displaystyle =f}$ ( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$)$$, { $displaystyle$$$z $= f$ ($x$ , $y$) , {3$}$의 $표면{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$$$S { $displaystyle$ $S$$$} 의$$$$ 경우, $파라메타리제이션{\displaystyle \mathbf{}r}$(${\displaystyle x}$, y )${\displaystyle =}$(${\displaystyle x}$, $y$)${\displaystyle }$、 \$$ )$$$、$ )${\displaystyle }$、부여

또는 암묵적 $형식{\displaystyle }$ F${\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle y,z}$) ${\displaystyle =z}$ -$($ $=$ $,$ {\$displaystyle$$$F($x,y$)= $0,}$에서 n$$${\displaystyle \mathrm{}f}$ F${\displaystyle (\frac{x}{},}$ ${\displaystyle y,z}$) ${\displaystyle =}$( - ${\displaystyle \partial \frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{f}{}}$x${\displaystyle }$,${\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$- f ${\displaystyle \mathrm{display}\frac{}{}}$y ), display 1${\displaystyle }$\$mathb$ style$).$} 표면은$$ 단수점에 탄젠트 평면을 가지지 않기 때문에, 예를 들면 원뿔의 정점 등, 그 점에 명확한 법선이 없다$.$일반적으로 Lipschitz 연속된 표면에 대해 거의 모든 곳에서 법선을 정의할 수 있습니다.

표준 선택

(하이퍼) 표면의 법선은 보통 단위 길이를 가지도록 축척되지만, 그 반대쪽도 단위 법선이기 때문에 고유한 방향을 가지지 않습니다.3차원 집합의 위상경계인 면에 대해서는 내측점 법선과 외측점 법선을 구별할 수 있다.지향성 표면의 경우 통상적인 값은 오른쪽 규칙 또는 더 높은 차원의 아날로그에 의해 결정됩니다.

법선이 탄젠트 벡터의 교차곱(위 텍스트에서 설명됨)으로 구성된 경우 유사 벡터입니다.

규범 변환

표면에 변환을 적용할 때 원래 노멀에서 결과 표면에 대한 규범을 도출하는 것이 종종 유용합니다.

구체적으로는 3×3 $변환행렬{\displaystyle \mathbf{}}$ M$,$ {\$displaystyle\mathbf$ {M$$$}$이 주어진 경우$,$ 접선평면에 $수직$인 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$n(\$displaystyle\mathbf {n})$을 $벡터{\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ n$(\$$\mathbf {t$$})$으로 변환하는 $행렬{\displaystyle \mathbf{}}$W(\$displaystyle\$displaystyle\$mathbf {W})$를 결정할 수 있습니다${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$$athbf {n}^{\prime }}:$ 변환된 $접선{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle \mathbf{평면}}$M t에 수직$$$,$ ${\displaystyle \mathbf${Mt$$$},}:$ 다음 논리에 의해.

n을 ${\displaystyle \mathbf{W}}$n으로 $.\displaystyle \mathbf {Wn$$displaystyle \mathbf {W}$를 찾아야 합니다$.$

${\displaystyle {W\mathrm{}}^{}}$$T$ ${\displaystyle M^{}}$ $=$ $,$ {\$displaystyle$ W$^{\mathrm {T}$M${\displaystyle =}$$I,}$ $또는$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle =(}$M${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{}^{1\mathrm{}}}$) T$,$ {\$displaystyle$$W=($$M^{-1})^{\mathrm {T}}$를 선택하면 $위$의 방정식이 충족됩니다$.$$,$ 또는$$ 필요에 따라 t${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$에 $수직$인 n$$′(\$displaystyle$ \$mathbf {n$$$$}$ ^{\prime $}$ ） $、$ { \ displaystyle $\mathbf {t}$^ { \ $prime$} 。

따라서 표면 법선을 변환할 때는 선형 변환의 역 전치법을 사용해야 합니다.행렬이 직교 정규 행렬인 경우, 즉 스케일링이나 전단 없이 순수하게 회전하는 경우 역 전치 행렬은 원래 행렬과 같습니다.

n차원 공간의 하이퍼서페이스

$({\displaystyle n}$ -${\displaystyle 1}$) { $displaystyle$($$n -$$1 ) n차원$$ 하이퍼플레인의 $경우{\displaystyle }$ n$${ $displaystyle$n$$} - $차원$ ${\displaystyle {}^{}}$ R$$n { \ $displaystyle$ \$mathbb${ R$}^$ { $n$ } { for 。

$여기$서 p $(\$${p}$ $_$${0$$})$은 하이퍼플레인 상의 $점$이고, p$i$${\displaystyle =1}$,${\displaystyle \dots ,n}$ -$$(\$displaystyle$$$i$=1,\ldots, n-1)$은 하이퍼플레인 상에서 가리키는 선형 독립 벡터이며, 하이퍼플레인에 대한 일반은 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ n$\$.매트릭스 P)[p1⋯ pn− 1]의 null공간{\displaystyle P={\begin{bmatrix}\mathbf{p}_{1}&\cdots.},}의미 P와 0 일고 있다..}모든 면내 벡터에 즉, 어떤 벡터 orthogonal \mathbf{p}_{n-1}\end{bmatrix}{\displaystyle P\mathbf{n}=\mathbf{0}& 정의에 의해 표면.rmal.$또는{\displaystyle \mathbb{}}$ 하이퍼플레인이 1 x $1{\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {\theta }_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ x ${\displaystyle {}_{}}$ $=$ c$,$ {${\displaystyle \mathrm{style}}$ ${\displaystyle {a\_\mathrm{}}_{}}$${1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n$}=${\displaystyle c{}_{}}$$,$ 단일 선형 $방정식$의 솔루션$$ 집합으로 $정의$되어 있는 경우 벡터 n = (1,${\displaystyle \dots ,}$ $)${$mathbbbb}$ {$1\a$} (왼쪽$)$

3차원 공간에서의 노멀의 ${\displaystyle {}^{}}$는 R${\displaystyle {}^{}}$n$$.\$displaystyle \mathbb${R}$^{$$n$}의 (${\displaystyle n}$-${\displaystyle 1}$)$$\$displaystyle$ ($n-1)$ -차원$$ 하이퍼페이스로 확장할 수 있습니다$.{\displaystyle }$} 하이퍼서페이스는$$ $방정식{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}(x_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{}_{}}$${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle }$2, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$n${\displaystyle )}$를 만족하는${\displaystyle }$점 $($${\displaystyle {}_{}}$ 1,$x$2, x {2$}, \ldots, x_{$n})로서$$ 암시적으로 정의할 수 있습니다${\displaystyle .}$= 0$$, \ $displaystyle$ F$(x_1}, x_{$n}, {$dots$},F$(\displaystyle$ F$)$가 연속적으로 미분 가능한 $경우{\displaystyle }$, 하이퍼서페이스는 경사가 0이 아닌 지점 근처에서 미분 가능한 다양체입니다.이러한 지점에서는 법선 벡터가 그라데이션에 의해 주어집니다.

일반 선은 기본이${\displaystyle }${${\displaystyle n\mathbf{}\}}$인 1차원 부분 공간입니다$.$ {\$displaystyle \{\mathbf {n} \}.$$}$

n차원 공간의 암묵적 방정식에 의해 정의된 다양성

$n{\displaystyle }${\$displaystyle$ n$}$ 차원$$ $공간{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ R$$ {\$displaystyle \mathbb {R}$^{$n}}$의 암묵적 방정식에 의해 정의되는 미분 다양성은$$n {\$displaystyle$ n$$$}$ $변수$에서 미분 가능한 유한 집합의 공통 0 집합이다.

Jacobian 행렬은 k ×$$ $displaystyle$ k$\times$ n) $행렬$이며$,$ $i$ $(\displaystyle$ i${\displaystyle {}_{}}$ - 행은 ${\displaystyle {fi}_{}}$ (\$displaystyle f_{$$i$)의 그라데이션입니다$.$} 암묵적 함수정리에 따르면, 품종은 야코비 행렬이${\displaystyle }$랭크$$k를$$ $갖는{\displaystyle }$ 점 근방의 $다양체$이다${\displaystyle .}$ $({displaystyle$$$k$$}) P의 $점$에서 ({displaystyle$$P}) 정규 벡터 공간은 ${\displaystyle {fi}_{}}$의 $경사{\displaystyle {}_{}}$ 벡터의 P$({displaystyle$P$$})의 값에 의해 생성되는 벡터 공간이다$.$$.$$i$$}$

즉, 다양성은 k$\displaystyle$k의 $하이퍼{\displaystyle }$ 인터페이스의$$ 교차점으로 정의되며, 한 점의 정규 벡터 공간은 해당 점의 하이퍼 인터페이스의 정규 벡터에 의해 생성된 벡터 공간입니다.

다양성의 점$P{\displaystyle }$(\$displaystyle$ P$)$의 정규(아핀) 공간은 P$(\$$displaystyle$ P$)$를 통과하는 아핀 부분 공간이며 P$.\displaystyle$ P.의 정규 벡터 공간에 의해 생성됩니다$.$

이러한 정의는 다양성이 다양성이 아닌 지점까지 확장될 수 있다.

예

V는 방정식에 의해 3차원 공간에서 정의된 다양성이라고 하자.

이 품종은$x축$과$y축$의 결합입니다.

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ )$$, {\$displaystyle$$( a$ ,$0$ , $0$) $。{$ $displaystyle$( a${\displaystyle }$, 0 , ${\displaystyle 0}$ ) $。{$ $displaystyle$ ($0$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle \mathrm{1<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; (a,0,0),\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/c15831931b8ce05012e962ac347c457270e6cc4a"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.079ex;\; height:2.843ex;">}}$${\displaystyle }$)$$。{ $displaystyle$(${\displaystyle 0}$$$,$$$0$,$$$0$)$}$ 。$$ 따라서 정규 아핀 공간은 $방정식{\displaystyle }$ x ${\displaystyle =a}$ $.\displaystyle$ x$=a의$평면입니다.} 마찬가지로${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$가$0$이면${\displaystyle }$($0,$ $,$ 0$$$$)의 정규${\displaystyle }$평면이$=$ b . \$displaystyle$ $y$= b . \ $displaystyle$y$$= b }의 평면이 된다$.$$}$

( ${\displaystyle 0}$,${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ )$${ $displaystyle$$$($0$ ,$0$ , $0$) }${\displaystyle }$the$$$$ at 、 Jacobian matrix （${\displaystyle 0}$ ,$0$ , ${\displaystyle 1}$） { $displaystyle$( 0 , 0 ,$$1 ) $\}{\displaystyle }$ ( ( ( ( 、${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 0}$ .${\displaystyle \mathrm{display}}$ $style ( 0$ , 0 , 0 , 0 )$。$} 따라서$$ 법선 벡터 공간과 법선 아핀 공간은 치수 1이며, 법선 아핀 공간은$z$ {\$displaystyle$z$$} $-축이다{\displaystyle }$$.$

사용하다

• 표면 규범은 벡터 필드의 표면 적분을 정의하는 데 유용합니다.
• 표면 노멀은 조명 계산을 위해 3D 컴퓨터 그래픽에서 일반적으로 사용되며(Lambert의 코사인 법칙 참조), 종종 정규 매핑에 의해 조정됩니다.
• 표면 법선 정보를 포함하는 렌더 레이어를 디지털 합성에서 사용하여 렌더링된 ^{[citation needed]}요소의 외관 조명을 변경할 수 있습니다.
• 컴퓨터 시각에서 3D 물체의 모양은 광도계 ^[1]스테레오를 사용하여 표면 규범으로부터 추정됩니다.

기하학적 광학에서 정규

일반 광선은 특정 ^[2]지점에서 광학 매체의 표면에 수직인 바깥쪽을 가리키는 광선입니다.빛의 반사에 있어서 입사각과 반사각은 각각 (입사면상의) 법선과 입사선의 각도와 법선과 반사선의 각도다.

「 」를 참조해 주세요.

• 이중 공간 – 수학에서 선형 형식의 벡터 공간
• 타원체 법선 벡터
• 일반 번들
• 의사 벡터 – 부적절한 회전으로 부호가 변화하는 물리량
• 정점 법선

레퍼런스

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Normal Vector". MathWorld.
• Microsoft MSDN의 정규 벡터 설명
• 삼각형 또는 폴리곤에서 표면 법선을 계산하기 위한 의사 코드를 지웁니다.