가우스의 법칙

물리학(특히 전자기학)에서 가우스의 법칙(Gauss's law) 또는 가우스의 플럭스 정리(Gauss's flux theorem)는 맥스웰 방정식 중 하나입니다. 그것은 전하의 분포와 결과적인 전기장을 연관시킵니다.

정의.

적분 형태에서 임의의 닫힌 표면에서 나오는 전기장의 플럭스는 전하가 어떻게 분포하는지에 관계없이 표면에 둘러싸인 전하에 비례한다고 말합니다. 비록 법칙만으로는 전하 분포를 둘러싼 표면에 걸쳐 전기장을 결정하기에는 불충분하지만, 대칭이 필드의 균일성을 요구하는 경우에는 가능할 수 있습니다. 그러한 대칭이 존재하지 않는 곳에서는 전기장의 발산이 전하의 국소 밀도에 비례한다는 가우스의 법칙이 미분 형태로 사용될 수 있습니다.

이 법칙은 1773년 조셉-루이 라그랑주에 의해 처음으로^[1] 공식화되었고,^[2] 1835년 칼 프리드리히 가우스에 의해 그 뒤를 이었습니다.^[3] 둘 다 타원체의 인력의 맥락에서. 맥스웰 방정식 중 하나로 고전전기역학의 기초를 형성합니다.^{[note 1]} 가우스의 법칙은 쿨롱의 법칙을 유도하는 데 사용될 수 있고,^[4] 그 반대의 경우도 가능합니다.

정성적 기술

가우스의 율법은 다음과 같습니다.

가상의 닫힌 표면을 통과하는 순전하는 해당 닫힌 표면에 둘러싸인 순전하의 1/

ε 배와 같습니다. 닫힌 표면은 가우시안 표면이라고도 합니다.^[5]

가우스의 법칙은 자기에 대한 가우스의 법칙과 중력에 대한 가우스의 법칙과 같은 물리학의 다른 분야의 많은 법칙들과 수학적으로 밀접한 유사성을 가지고 있습니다. 사실 모든 역제곱 법칙은 가우스의 법칙과 유사한 방식으로 공식화될 수 있습니다: 예를 들어, 가우스의 법칙 자체는 본질적으로 쿨롱의 법칙과 동일하고, 가우스의 중력 법칙은 본질적으로 뉴턴의 중력 법칙과 동일하며, 둘 다 역제곱 법칙입니다.

그 법칙은 적분 형태와 미분 형태의 벡터 미적분학을 사용하여 수학적으로 표현할 수 있습니다. 둘 다 가우스 정리라고도 불리는 발산 정리에 의해 관련되기 때문에 동등합니다. 이러한 각 형태는 다음과 같은 두 가지 방법으로 표현할 수도 있습니다. 전기장 $E$ 와 총 전하량 사이의 관계, 또는 전기 $변위장$ D와 자유 전하량 사이의 관계.^[6]

$E$ 필드를 포함하는 방정식

가우스의 법칙은 전기장 $E$ 나 전기변위장 $D$ 를 이용하여 진술할 수 있습니다. $이$ 섹션에서는 E가 있는 형태의 일부를 보여줍니다. $D$ 가 있는 형태는 아래와 같고 $E$ 가 있는 다른 형태도 마찬가지입니다.

적분형태

임의의 표면을 통과하는 전기 플럭스는 표면에 둘러싸인 총 전하량에 비례합니다.

구는 전하를 포함하지 않습니다. 표면을 통과하는 전기 플럭스는 0입니다.

가우스의 법칙은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.^[6]

\Phi_{E}={\frac {Q}{\varepsilon_{0}}

$여기$ 서 φ는 $부피$ V를 둘러싸는 $닫힌$ 표면 S를 통과하는 전기 플럭스, Q는 $V$ $내$ 에 둘러싸인 총 전하량, ε는 전기 상수입니다. $전기$ 플럭스 φ는 전기장의 표면 적분으로 정의됩니다.

\Phi _{E}=

$\oiint$

\scriptstyle _{S}

\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A

$여기$ 서 E는 전기장이고, $dA$ 는 표면의 면적의 무한소 요소를 나타내는 벡터이며 $, [note 2]$ ·는 두 벡터의 도트 곱을 나타냅니다.

곡선 시공간에서 닫힌 표면을 통과하는 전자기장의 플럭스는 다음과 같이 표현됩니다.

\Phi _{E}=c

$\oiint$

\scriptstyle _{S}

F^{\kappa 0}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} S_{\kappa}

where $c$ is the speed of light; $F^{\kappa 0}$ denotes the time components of the electromagnetic tensor; $g$ is the determinant of metric tensor; $\mathrm {d} S_{\kappa }=\mathrm {d$ $S^{ij$ } $=$ \ $mathrm$ $i,j,\kappa =1,2,3$ { $d}$ x^{i}\mathrm {d} x^{j}}는 전하 Q {\displaystyle Q}를 둘러싸는 2차원 표면의 직교 요소입니다. 인덱스 i, j, $κ$ $=$ 1, 2, 3 {\displaystyle i, j,\kappa $=$ 1, 2, 3} 이 서로 일치하지 않습니다.

플럭스는 전기장의 적분으로 정의되기 때문에, 가우스 법칙의 이 표현을 적분 형태라고 부릅니다.

알려진 전위로 설정된 전도체와 관련된 문제에서, 그것들로부터 멀어지는 전위는 분석적으로 또는 수치적으로 라플라스 방정식을 풀어서 얻어집니다. 그런 다음 전기장은 전위의 음의 기울기로 계산됩니다. 가우스의 법칙은 전하의 분포를 구하는 것을 가능하게 합니다. 전기장을 적분하여 면이 도체 표면에 수직인 작은 상자를 통과하는 플럭스를 찾고, 전기장이 표면에 수직이고 도체 내부가 0이라는 점에 주목하여 도체의 주어진 영역의 전하를 추론할 수 있습니다.

전하 분포를 알고 전기장을 계산해야 하는 역 문제는 훨씬 더 어렵습니다. 주어진 표면을 통과하는 총 플럭스는 전기장에 대한 정보를 거의 제공하지 않으며 임의로 복잡한 패턴으로 표면을 들락날락 할 수 있습니다.

예외는 전기장이 표면을 균일한 방식으로 통과하도록 강요하는 문제에 약간의 대칭성이 있는 경우입니다. 그러면 전체 플럭스를 알면 모든 지점에서 필드 자체를 추론할 수 있습니다. 가우스의 법칙을 따르는 대칭의 일반적인 예로는 원통 대칭, 평면 대칭, 구면 대칭이 있습니다. 이러한 대칭이 전기장을 계산하는 데 이용되는 예는 가우스 표면을 참조하십시오.

미분형식

발산 정리에 의해 가우스의 법칙은 미분 형식으로 대신 쓸 수 있습니다.

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}

$여기$ 서 ∇ · E는 $전기장$ 의 발산, ε는 진공 $유전율$ , ε r ${\displaystyle$ \varepsilon_{r}는 $상대$ 유전율, ρ는 부피 전하 밀도(단위 부피당 전하량)입니다.

적분 형식과 미분 형식의 등가성

적분 형식과 미분 형식은 발산 정리에 의해 수학적으로 동등합니다. 좀 더 구체적인 주장은 다음과 같습니다.

증명개요

가우스의 법칙의 본질적인 형태는 다음과 같습니다.

$\oiint$

{\scriptstyle _{S}}

\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A

={\frac {Q}{\varepsilon_{0}}

전하 $Q$ 를 포함하는 닫힌 표면 $S$ 에 대해. 발산 정리에 의해 이 방정식은 다음과 같습니다.

\iiint_{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}

전하 $Q$ 를 포함하는 모든 볼륨 $V$ 에 대해. 전하와 전하 밀도 사이의 관계에 의해 이 방정식은 다음과 같습니다.

\iiint_{V}\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\,\mathrm {d} V

어떤

V권에 대해서도. 이 방정식이

가능

한 모든 부피 V에 대해 동시에 참이 되기 위해서는 적분값이 모든 곳에서 같아지는 것이 필요합니다. 따라서 이 식은 다음과 같습니다.

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

따라서 적분 형태와 미분 형태는 같습니다.

$D$ 필드를 포함하는 방정식

무료, 바운드, 총 요금

가장 단순한 교과서적 상황에서 발생하는 전하는 "자유 전하"로 분류됩니다. 예를 들어, 정전기로 전송되는 전하 또는 축전기 판의 전하입니다. 반대로, "결합된 전하"는 유전체(분극성) 물질의 맥락에서만 발생합니다. (모든 물질은 어느 정도 분극성을 갖습니다.) 그런 물질들이 외부 전기장에 놓이면 전자들은 각자의 원자에 묶여 있지만, 전기장에 반응하여 미세한 거리를 이동시켜서 원자의 한쪽에 다른 쪽보다 더 많이 있게 됩니다. 이러한 모든 미시적인 변위는 거시적인 순전하 분포를 제공하며, 이는 "결합된 전하"를 구성합니다.

미시적으로 모든 전하가 근본적으로 동일하지만, 결합된 전하를 무료 전하와 다르게 취급하려는 현실적인 이유가 있는 경우가 많습니다. $그$ 결과 E(위)로 볼 때, 보다 근본적인 가우스의 법칙이 $D$ 와 무상으로만 볼 때, 아래와 동등한 형태로 들어가는 경우가 있습니다.

적분형태

가우스 법칙의 이 공식은 총 과금 형태를 다음과 같이 기술하고 있습니다.

\Phi _{D}=Q_{\mathrm {free}}

$여기$ 서 φ는 $부피$ $V$ 를 둘러싸는 $표면$ S를 통과하는 D-필드 플럭스이고 Q는 $V$ 에 포함된 자유 전하입니다. $플럭스$ φ는 $전기장$ $E$ 에서 S까지의 플럭스 φ와 유사하게 정의됩니다.

\Phi _{D}=

$\oiint$

{\scriptstyle _{S}}

\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A

미분형식

무상만을 포함하는 가우스 법칙의 차등 형식은 다음과 같습니다.

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free}}

$여기$ 서∇ · D는 전기 $변위장$ 의 발산이고 ρ는 자유 전하 밀도입니다.

총과 무료 명세서의 등가성

무상에 관한 가우스 법칙의 공식이 총전하를 포함하는 공식과 동일하다는 증거.

이 증명에서 우리는 방정식이

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\dfrac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

는 다음과 같은 방정식입니다.

\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {free}}

우리는 적분 형식이 아닌 미분 형식만을 다루고 있지만, 미분 형식과 적분 형식은 각각의 경우에 발산 정리에 의해 동등하므로 충분합니다.

$우리$ 는 E와 $D$ 와 다음과 같은 관계가 있는 편광 밀도 $P$ 를 소개합니다.

\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}

그리고 다음과 같은 한계 전하와 관련이 있습니다.

\rho_{\mathrm {bound} =-\nabla \cdot \mathbf {P}

이제 세 방정식을 생각해 보세요.

{\begin{aligned}\rho_{\mathrm {bound}}&=\nabla \cdot (-\mathbf {P})\\rho _{\mathrm {free}}&=\nabla \cdot \mathbf {D} \\\rho &=\nabla \cdot (\varepsilon_{0}\mathbf {E})\end{aligned}

핵심 통찰력은 첫 번째 두 방정식의 합이 세 번째 방정식이라는 것입니다. 이렇게 하면 증명이 완료됩니다. 첫 번째 방정식은 정의상 참이고, 따라서 두 번째 방정식은 세 번째 방정식이 참일 경우에만 참입니다. 따라서 두 번째와 세 번째 방정식은 동등하며, 이것이 우리가 증명하고자 했던 것입니다.

선형 재료에 대한 방정식

균질한 등방성, 비분산, 선형 재료에서 $E$ 와 $D$ 사이에는 간단한 관계가 있습니다.

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}

$여기$ 서 ε는 물질의 유전율입니다. 진공(자유공간)의 경우, ε = ε. 이러한 상황에서 가우스의 법칙은 다음과 같이 변합니다.

\Phi_{E}={\frac {Q_{\mathrm {free}}}{\varepsilon}

적분 형식에 대하여, 그리고

\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\mathrm {free} }}{\varepsilon }}

미분 형식의 경우.

쿨롱의 법칙과의 관계

쿨롱의 법칙으로부터 가우스의 법칙 도출

엄밀히 말하면, 쿨롱의 법칙은 개별적인 정전점 전하에만 의해 전기장을 주기 때문에, 쿨롱의 법칙만으로는 가우스의 법칙을 유도할 수 없습니다. 그러나 전기장이 중첩원리를 따른다고 가정한다면, 가우스의 법칙은 쿨롱의 법칙으로부터 증명될 수 있습니다. 중첩 원리는 결과 장이 각 입자에 의해 생성된 장의 벡터 합(또는 전하가 공간에 원활하게 분포하는 경우 적분)이라고 말합니다.

증명개요

쿨롱의 법칙에 따르면 정지점 전하에 의한 전기장은 다음과 같습니다.

\mathbf {E}(\mathbf {r})={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}{\frac {\mathbf {e}_{r}}{r^{2}

어디에

$e$ 는_r 방사 단위 벡터입니다.
$r$ 은 반지름, $r$ ,
$ε$ 는 전기 상수이고,
$q$ 는 원점에 위치한 것으로 추정되는 입자의 전하입니다.

쿨롱의 법칙에서 나온 표현을 사용하여, 우리는 적분을 사용하여 공간의 $서로$ 다른 점에서 무한소 전하에 의한 $r$ 에서의 장의 합을 구하고, 다음을 제공함으로써 $r$ 에서의 전체 장의 합을 구합니다.

\mathbf {E}(\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int {\frac {\rho(\mathbf {s})(\mathbf {r} -\mathbf {s} ^{3}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s

여기

서 ρ은 전하 밀도입니다. r에 대하여 이 방정식의 양변의 미분을 취하면, 다음과 같은 정리를^[9] 이용할 수 있습니다.

{\displaystyle \nabla \cdot \left ({\frac {\mathbf {r} {\mathbf {r} ^{3}}\right) = 4\pi \delta (\mathbf {r} )

여기서

δ(r)은 디랙 델타 함수이며, 결과는

\nabla \cdot \mathbf {E}(\mathbf {r})={\frac {1}{\varepsilon _{0}}\int \rho(\mathbf {s})\,\delta(\mathbf {r} -\mathbf {s})\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {s

Dirac 델타 함수의 "시프팅 특성"을 사용하여, 우리는 다음에 도달합니다.

\nabla \cdot \mathbf {E}(\mathbf {r})={\frac {\rho(\mathbf {r})}{\varepsilon _{0}}

그것은 가우스의 법칙의 차등적인 형태입니다, 원하는 대로 말입니다.

쿨롱의 법칙은 정지 전하에만 적용되기 때문에, 이 유도만으로 이동 전하에 대해 가우스의 법칙이 성립할 것으로 기대할 이유는 없습니다. 사실, 가우스의 법칙은 움직이는 전하에 대해 성립하며, 이 점에서 가우스의 법칙은 쿨롱의 법칙보다 더 일반적입니다.

증명(디랙 델타 없음)

ω $\Omega \subseteq R^{3}$ ⊆ $R$ 3 ${\displaystyle$ \ $Omega \$ subseteq R^{3}}을 유계 열린집합이라 하고,

\mathbf {E}_{0}(\mathbf {r})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int_{\Omega}\rho(\mathbf {r}'){\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} '}{\left\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\^{3}}\mathrm {d} '\equiv {\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\int _{\Omega}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '}){\mathrm {d} \mathbf {r} '

ρ

\rho (\mathbf {r} ')

r')

{\displaystyle \rho(\mathbf {

r

}')}

가 연속 함수(전하 밀도)인 전기장입니다.

모든 $\mathbf {r} \neq \mathbf {r'}$ ≠ r' ${\displaystyle \mathbf$ {r} \n에 대하여 참입니다. $\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0$ $\mathbf {r'} ∇$ r $⋅$ e $(r$ , $\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0$ ') $=$ 0 {\displaystyle \n $abla_{\mathbf$ { $r}}\cdot \mathbf$ { $e} (\mathbf$ {r $,r'})=$ 0}입니다 $\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0$

Consider now a compact set $V\subseteq R^{3}$ having a piecewise smooth boundary $\partial V$ such that $\Omega \cap V=\emptyset$ . It follows that ${\displaystyle e(\mathbf {r,$ $\mathbf {r} '})\in$ C $^{1}(V\times \Omega )}$ 이므로 $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ , 발산 정리의 경우:

\point_{\partial V}\mathbf {E}_{0}\cdot d\mathbf {S} =\int_{V}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}\,dV

$그러나$ $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ ( $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ r $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ ∈ $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ C $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ (V $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ × ω) ${\display$ e $(\mathbf$ {r $,\mathbf {r}$ '})\ $in$ C^{1} $($ V $e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} )\in C^{1}(V\times \Omega )$ times \Omega )},

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega }\nabla_{\mathbf {r}}\cdot(\mathbf {r,\mathbf {r}'}){\mathrm {d} \mathbf {r}'}=0

위의 인수에 대해 (ω

\Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'}

∩

\Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'}

= ∅ ⟹ ∀ r ∈

\Omega \cap V=\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \forall \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \mathbf {r} \neq \mathbf {r'}

∀ r ∈ r' ≠ ω r'

{\

displaystyle \Omega \cap V =\emptyset \implies \forall \mathbf {r} \in V\ \ \all \mathbf {r'} \in \Omega \ \ \ \ \ \ \ \mathbf {r} \n

\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0

\mathbf {r'}

∇

\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0

⋅

e (r,

displaystyle \n

abla_{\mathbf

{

r}}\cdot \mathbf

{

e} (\mathbf

{r

,r'})=

0

\nabla _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {e} (\mathbf {r,r'} )=0

따라서 외부(표면)의 전하 밀도에 의해 생성된 닫힌 표면을 통한 플럭스는 null입니다.

이제 \Omega }에서 $\mathbf {r} _{0}\in \Omega$ $\mathbf {r} _{0}\in \Omega$ ∈ ω ${\$ displaystyle $\mathbf {r}$ _ $\mathbf {r} _{0}\in \Omega$ 0}\를 고려합니다. $B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega$ $B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega$ $B_{R}(\mathbf {r} _{0})\subseteq \Omega$ ⊆ ω {\displaystyle B_ ${R}(\$ mathbf {r} $_$ {0 $})\$ subseteq \Omega}를 R {\displaystyle \mathbf {r} _{0}}에서 중심이 되는 구로 설정합니다(Omega }는 ω {\displaystyle \Omega }이(가) 열린 집합이기 때문에 존재합니다).

$\mathbf {E} _{B_{R}}$ ${\$ 와 $\mathbf {E} _{B_{R}}$ $\mathbf {E} _{C}$ ${\$ 를 $\mathbf {E} _{C}$ 각각 구 내부와 외부에서 생성된 전기장이라고 합니다. 그리고나서,

\mathbf {E} _{B_{R}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}

,

\mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}

\mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}

{\displaystyle \mathbf {E}_

}={\

frac

\mathbf {E} _{B_{R}}+\mathbf {E} _{C}=\mathbf {E} _{0}

{

1}{4\pi

\varepsilon_{0

}}\int_{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r}_{0})e(\mathbf {r

}

_{r}}){\mathrm {d} \mathbf {r} '} 및 EB R +

\mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}

C = E 0 {\displaystyle \mathbf {E}_{B_{R}}+\mathbf {E}_

\mathbf {E} _{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})}e(\mathbf {r,\mathbf {r} '} ){\mathrm {d} \mathbf {r} '}

C}=\mathbf {E}_{0}

\Phi(R)=\point _{\partial B_{R}(\mathbf {r}_{0})}\mathbf {E}_{0}\cdot d\mathbf {S} =\point _{\partial B_{R}(\mathbf {r}_{0}}\mathbf {E}_{B_{R}\cdot d\mathbf {S} +\point _{\partial B_{R}(\mathbf {r}_{0})}\cdot d\mathbf {S} =\point _{\partial B_{R}(\mathbf {r}_{0})\cdot d\mathbf {S

마지막 등식은 $(\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset$ (ω ∖ B R $(\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset$ ( $(\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset$ 0 $(\Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0}))\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset$ ) ∩ $B$ R (r 0 ) ∅ = \ ${\displaystyle (\$ Omega \setminus B_{R}(\mathbf {r} _{0})\cap B_{R}(\mathbf {r} _{0})=\emptyset}, 위의 인수를 관찰하는 것으로 이어집니다.

RHS는 대전된 구에 의해 생성되는 전기 플럭스이며, 따라서 다음과 같습니다.

\Phi (R)={\frac {Q(R)}{\varepsilon _{0}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{B_{R}(\mathbf {r} _{0})}\rho (\mathbf {r} '){\mathrm {d} \mathbf {r} '}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} '_{c}) B_{R}(\mathbf {r} _{0})

r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})

r'_{c}\in \ B_{R}(\mathbf {r} _{0})

∈

r

0)

{\display r'_{c}\in

\B_{

R}(\mathbf {

r}_{0})}와 함께

마지막 등식이 적분에 대한 평균값 정리로 이어지는 경우. 스퀴즈 정리와 $\rho$ ρ {\displaystyle $\rho$ \rho}의 연속성을 사용하면 다음을 얻을 수 있습니다.

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} _{0}(\mathbf {r} _{0})=\lim _{R\to 0}{\frac {1}{ B_{R}(\mathbf {r} _{0}) }}\Phi (R)={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} _{0})