헬름홀츠 방정식

수학에서 라플라스 연산자의 고유값 문제는 헬름홀츠 방정식으로 알려져 있다. 이는 선형 부분 미분 방정식에 해당한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}f=-k^{2}f}$

여기서 ∇²은 라플라스 연산자(또는 "Laplacian"), k는² 고유값, f는 (유전)함수다. 이 방정식이 파도에 적용될 때 k는 파동 번호로 알려져 있다. 헬름홀츠 방정식은 파동방정식과 확산방정식을 비롯한 물리학 분야에서는 다양한 용도를 가지고 있으며, 다른 과학 분야에서도 용도를 가지고 있다.

동기부여 및 사용

헬름홀츠 방정식은 종종 공간과 시간 모두에서 부분 미분 방정식(PDE)과 관련된 물리적 문제에 대한 연구에서 발생한다. 파동 방정식의 시간 독립적 형태를 나타내는 헬름홀츠 방정식은 변수의 분리 기법을 적용하여 분석의 복잡성을 줄인 결과물이다.

예를 들어, 파동 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle \left(\mathbf {r},t)=0=0}{\frac {1}{c^{1}{\frac{\frac {1}{\frc^{2}}}}}{\precip t^{2}}}\오른쪽)}$

변수 분리는 파형 함수 u(r, t)가 사실상 분리가 가능하다고 가정하는 것으로 시작된다.

${\displaystyle u(\mathbf {r},t)=A(\mathbf {r} )T(t)}$

이 형태를 파동 방정식으로 대체한 다음 단순화하면 다음과 같은 방정식을 얻게 된다.

${\displaystyle {\frac {\bla ^{2}A}{A}={\frac {1}{c^{2}}T}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}.}$

왼쪽의 표현은 r에만 의존하는 반면 오른쪽 표현은 t에만 의존한다는 점에 유의한다. 결과적으로, 이 방정식은 방정식의 양쪽이 상수 값과 동일한 경우에만 일반적인 경우에 유효하다. 이 주장은 변수의 분리에 의한 선형 부분 미분 방정식을 푸는 기법의 핵심이다. 이 관측치를 통해 우리는 A(r)에 대해 한 개, T(t)에 대해 다른 두 개의 방정식을 얻는다.

${\displaystyle {\frac {\bla ^{2}A}{A}=-k^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}T}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}=-k^{2},}$

일반성을 잃지 않고 상수 값에 대해 -k라는² 표현을 선택한 경우. (모든 상수 k를 분리 상수로 사용하는 것이 동등하게 유효하며, -k는² 결과 해결책의 편의를 위해서만 선택된다.)

첫 번째 방정식을 재정렬하여 헬름홀츠 방정식을 구한다.

${\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}$

마찬가지로 치환 Ω = kcs, 여기서 k는 파동 번호, Ω은 각진 주파수를 만든 후 두 번째 방정식이 된다.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}+\omega ^{2}T=\왼쪽({\frac {\mathrm {d}^{2}}:{\mathrm {d} t^{2}}+\omega^{2}\오른쪽)T=0.}$

우리는 지금 공간 변수 r에 대한 헬름홀츠의 방정식과 제시간에 2차 일반 미분 방정식을 가지고 있다. 시간 내 해결책은 사인 함수와 코사인 함수의 선형 조합으로, 정확한 형태는 초기 조건에 의해 결정되는 반면, 공간 내 해결책의 형태는 경계 조건에 따라 달라진다. 또는 라플라스 또는 푸리에 변환과 같은 적분 변환은 쌍곡선 PDE를 헬름홀츠 방정식의 형태로 변환하는 데 종종 사용된다.

파동 방정식과의 관계 때문에 헬름홀츠 방정식은 전자기 복사, 지진학, 음향학 등의 연구와 같은 물리학 분야의 문제에서 발생한다.

변수 분리를 이용한 헬름홀츠 방정식 해결

공간 Helmholtz 방정식에 대한 해결책:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A}$

변수의 분리를 이용하여 간단한 기하학적 구조를 얻을 수 있다.

진동막

진동 스트링의 2차원 아날로그는 진동하는 막으로 가장자리가 움직이지 않도록 고정되어 있다. 헬름홀츠 방정식은 1829년 시메온 데니스 포아송의 직사각형 막, 1852년 가브리엘 라메의 등각형 삼각형, 1862년 알프레드 클레브슈의 원형 막 등 19세기에 여러 가지 기본적인 형상으로 해결되었다. 타원형 드럼 헤드는 에밀 마티외가 연구한 것으로 마티외는 미분 방정식으로 이어졌다.

모양의 가장자리가 직선 세그먼트인 경우, 경계 조건을 만족하는 평면파의 유한한 선형 결합(즉, 경계에서 0, 막이 고정됨)으로 표현 가능한 경우에만 폐쇄형 형태로 통합되거나 알 수 있다.

도메인이 반경 a의 원이라면 극좌표 r과 θ을 도입하는 것이 적절하다. 헬름홀츠 방정식은 형태를 취한다.

${\displaystyle A_{rr}+{\frac {1}{r}}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}A_{\theta \theta }+k^{2}}A=0.}$

r = a가 소멸하는 경계 조건을 부과할 수 있다. 따라서

$A(a,\theta )=0.}$

변수의 분리방법은 양식의 시험적 해결로 이어진다.

$A(r,\theta )=R(r)\세타(\theta ),}$

여기서 θ은 2π의 주기적이어야 한다. 이 되다

${\displaystyle \theta'+n^{2}\테타 =0,}$

${\displaystyle r^{2}R'+r'+r^{2}k^{2}R-n^{2}R=0.}$

그것은 다음과 같은 주기적 조건으로부터 온다.

$\displaystyle \theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta ,}$

그리고 그 n은 정수여야 한다. 방사형 구성 요소 R은 형태를 가지고 있다.

${\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho ),\,}$

여기서 Besel 함수_n J(iiii)는 Besel의 방정식을 만족한다.

${\displaystyle \rho ^{2}J_{n}'+\rho J_{n}+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}$

및 ρ = kr. 방사 함수 J는_n n의 각 값에 대해 무한히 많은 뿌리를 가지며, ρ으로_m,n 나타낸다. A가 소멸하는 경계조건 r = a는 해당 wavennumer가 다음에 의해 주어질 경우 충족된다.

${\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}\rho_{m,n}.}$

그런_n 다음 일반 솔루션 A는 J(kr_m,n)의 제품과 nθ의 사인(또는 코사인)을 포함하는 일반화된 푸리에 시리즈 용어의 형태를 취한다. 이러한 해결책은 원형 드럼헤드의 진동 방식이다.

3차원 해법

구형 좌표에서 해결책은 다음과 같다.

${\displaystyle A(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{m=-\el }^{m=-\ell }^{\el }j_{\ell }j_{\ell }+{\ell m}y_{}\ell }\ri(k)\ri)\rig)\right)Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

이 용액은 파동방정식과 확산방정식의 공간용액에서 발생한다. 여기서 j_ℓ(kr)와_ℓ y(kr)는 구면 베셀함수, Y^m
_ℓ(θ, φ)는 구면 고조파(Abramowitz and Stegun, 1964)이다. 이러한 양식은 일반적인 해결책이며 특정 경우에 사용할 수 있도록 경계 조건을 지정해야 한다는 점에 유의하십시오. 무한 외부 영역의 경우 방사선 조건도 필요할 수 있다(Sommerfeld, 1949).

쓰기₀ r = (x, y, z) 함수 A(r₀)에는 점근법이 있다.

${\displaystyle A(r_{0})={\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}}{r_{0}}},k,u_{0}\right)+o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right){\text{ as }}r_{0}\to \infty }$

여기서 함수 f를 산란 진폭이라고 하며 u₀(r₀)는 각 경계점 r에서₀ A의 값이다.

근사치

헬름홀츠 방정식의 근사치에서 복합 진폭 A는 다음과 같이 표현된다.^[1]

${\displaystyle A(\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )e^{ikz}}$

여기서 u는 지수 인수로 대표되는 사인파 평면파를 변조하는 복합값 진폭을 나타낸다. 적절한 가정 하에, 대략적으로

${\displaystyle \perla _{\perp }^{2}u+2ik{\frac {\frac}{\preason z}}=0,}$

where ${\textstyle \nabla _{\perp }^{2}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}$ is the transverse part of the Laplacian.

이 방정식은 전자기파(빛)의 전파를 파라볼로이드파 또는 가우스 빔의 형태로 기술하는 해결책을 제공하는 광학과학에서 중요한 응용을 가지고 있다. 대부분의 레이저들은 이런 형태를 띠는 빔을 방출한다.

근사치가 유효한 가정은 진폭 함수 u의 z 파생상품이 z의 천천히 변화하는 함수라는 것이다.

${\displaystyle \frac \\frac {\property ^{2}u}{\n2}}\right \ll \left k{\frac }{\frac }{\put z}\right .}$

이 조건은 파동 벡터 k와 광축 z 사이의 각도 θ이 작다고 말하는 것과 같다: θ ≪ 1.

헬름홀츠 방정식의 근축 형태는 복합 진폭에 대해 상술한 식을 헬름홀츠 방정식의 일반적인 형태로 대체하여 다음과 같이 찾아낸다.

${\displaystyle \nabla ^{2}(u\left(x,y,z\right)e^{ikz}+k^{2}u\left(x,y,z\right)e^{ikz}=0.}$

확장 및 취소는 다음을 산출한다.

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)u(x,y,z)e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)\right)e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik{e^{ikz}}=0.}$

위에서 말한 근축불평등 때문에 ∂²u/∂z² 용어는 k/∂u/∂z 용어와 비교하여 무시된다. 이것은 근축 헬름홀츠 방정식을 산출한다. u(r) = A(r) e를^−ikz 대체하면 원래 복합 진폭 A에 대한 근축 방정식이 제공된다.

${\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}=0.}$

프레스넬 회절 적분은 근축 헬름홀츠 방정식의 정확한 해법이다.^[2]

불균형 헬름홀츠 방정식

균질하지 않은 헬름홀츠 방정식은 방정식이다.

${\displaystyle \nabla ^{2}A(x)+k^{2}A(x)=-f(x)\{\text{{}}}}}}}$

여기서 ƒ : Rⁿ → C는 콤팩트 서포트가 있는 함수로서 n = 1, 2, 3이다. 이 방정식은 선별된 포아송 방정식과 매우 유사하며, 더하기 기호(k 항 앞)를 마이너스 부호로 전환하면 동일하다.

이 방정식을 고유하게 풀기 위해서는 무한대의 경계 조건을 명시할 필요가 있는데, 이는 전형적으로 소머펠트 방사선 조건이다.

${\displaystyle \lim _{r\to \inflt }r^{\frac {n-1}{2}}\좌측값\frac{\n1}{\cHB r}-ik\오른쪽)A(r{\hat{x}}=0}$

$x{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 ${\displaystyle x\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\x}$ =1$}이(가$) 균일하게 표시되며$,$ 여기서 수직 막대는 유클리드 규범을 나타낸다.

이 조건과 함께, 비균형 헬름홀츠 방정식의 해결책은 콘볼루션이다.

${\displaystyle A(x)=(G*f)(x)=\int_{\mathb {R}^{n}\!G(x-y)f(y)\,\mathrm {d}y}$

(f는 콤팩트한 지지를 가지고 있기 때문에, 이 적분은 실제로 유한 지역에 걸쳐 있다.) 여기서 G는 이 방정식의 Green 함수, 즉 Dirac 델타 함수와 동일한 ƒ을 갖는 비균형 헬름홀츠 방정식에 대한 해법이기 때문에 G는 만족한다.

$\displaystyle \nabla ^{2}G(x)+k^{2}G(x)=-\delta(x)\in \mathb {R}^{n}\,}$

그린의 함수에 대한 표현은 공간의 치수 n에 따라 달라진다. 가지고 있다

${\displaystyle G(x)={\frac {ie^{ik x }}{2k}}}$

n = 1에 대해,

${\displaystyle G(x)={\frac {i}{4}}}H_{0}^{(1)}(k x )}$

n = 2에 대해⁽¹⁾
₀, 여기서 H는 Hankel 함수이며,^[3]

${\displaystyle G(x)={\frac {e^{ik x }}{4\pi x }}$

n = 3에 대해. green의 기능이 x → ∞의 발신파라는 경계조건을 선택했다는 점에 유의한다.

참고 항목

• 라플레이스의 방정식(헬름홀츠 방정식의 특정 사례)
• 웨일 팽창

메모들

참조

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, eds. (1964). Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.

• Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2002). "Chapter 19". Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89067-0.

• Riley, K. F. (2002). "Chapter 16". Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5.

• Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl (1991). "Chapter 3". Fundamentals of Photonics. Wiley Series in Pure and Applied Optics. New York: John Wiley & Sons. pp. 80–107. ISBN 978-0-471-83965-1.

• Sommerfeld, Arnold (1949). "Chapter 16". Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press. ISBN 978-0126546569.

• Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63320-8.

외부 링크

• EqWorld의 헬름홀츠 방정식: 수학 방정식의 세계.
• "Helmholtz equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 울프램 시연 프로젝트 샘 블레이크의 진동 원형 막.
• 2차원 무한 영역에서의 파동, 헬름홀츠, 포아송 방정식 등에 대한 그린의 함수