결합 볼록성

금융에서 채권 볼록성은 이자율에 대한 채권 가격의 두 번째 파생상품인 채권 가격과 이자율 변동의 비선형 관계에 대한 척도이다(만기는 첫 번째 파생상품이다.일반적으로 기간이 길수록 채권 가격은 금리 변동에 민감해진다.결합 볼록은 금융에서 가장 기본적이고 널리 사용되는 볼록의 형태 중 하나이다.볼록성은 라이홍페이(Lai Hon-Fei Lai)의 작품을 바탕으로 스탠리 딜러(Stanley Diller)^[1]에 의해 대중화되었다.

볼록도 계산

지속기간은 이자율 변화에 따라 채권 가격이 어떻게 변동하는지에 대한 선형 측정치 또는 첫 번째 파생상품이다.금리가 변동함에 따라 가격은 선형적으로 변동하는 것이 아니라 일부 곡선의 이자율 함수에 따라 변동한다.채권의 가격 함수가 곡선이 많을수록 이자율 민감도의 척도로서 지속기간이 부정확해진다.

볼록성은 이자율에 따라 채권 가격이 어떻게 변동하는지, 즉 이자율이 변동함에 따라 채권 지속기간이 어떻게 변화하는지에 대한 곡률 또는 2차 도함수 측정값이다.구체적으로 채권 존속기간 동안 이자율이 일정하고 이자율 변동이 고르게 발생한다고 가정한다.이러한 가정을 이용하여 지속기간은 해당 이자율에 대한 채권의 가격함수의 첫 번째 파생상품으로 공식화할 수 있다.그러면 볼록성은 이자율에 관한 가격함수의 두 번째 파생상품이 될 것이다.

실제 시장에서는 일정한 금리와 심지어 변동에 대한 가정이 정확하지 않으며, 실제로 채권의 가격을 매기기 위해서는 더 복잡한 모델이 필요하다.그러나 이러한 단순화 가정을 통해 이자율 변동에 대한 채권가격의 민감도를 설명하는 요소를 빠르고 쉽게 계산할 수 있다.

볼록성은 채권가치와 이자율 사이의 관계가 선형이라고 가정하지 않는다.금리 변동폭이 큰 경우에는 ^[2]기간보다 더 좋은 척도이다.

결합 볼록이 다를 수 있는 이유

이자율의 용어구조의 병렬변화에 대한 가격 민감도는 제로쿠폰 채권이 가장 높고 상각 채권이 가장 낮다(지급금이 선불된 경우).상각채권과 제로쿠폰채권은 같은 만기에 민감도가 다르지만, 최종 만기가 달라서 같은 만기가 되면 민감도가 동일하게 된다.즉, 소형 1차(및 병렬) 수익률 곡선 이동에 따라 가격이 동일하게 영향을 받습니다.그러나, 지급일과 금액이 다르기 때문에, 병렬 요율이 추가로 증가할 때마다, 그들은 다른 금액으로 변화하기 시작할 것이다.

액면가액, 이자율 및 만기가 동일한 두 채권의 경우, 볼록성이 가격수익률 곡선의 어느 지점에 위치하느냐에 따라 달라질 수 있다.

둘 다 현재 동일한 가격수익률(p-y) 조합을 가지고 있다고 가정하고 발행인의 프로파일, 등급 등을 고려해야 합니다.이것들이 다른 사업체에 의해 발행된다고 가정해 봅시다.두 결합은 동일한 p-y 조합을 가지지만 결합 A는 결합 B에 비해 p-y 곡선의 보다 탄력적인 세그먼트에 위치할 수 있다.이는 수익률이 더 증가하면 채권 A의 가격이 급격히 하락하는 반면 채권 B의 가격은 변하지 않을 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 채권 B의 보유자는 언제라도 가격이 상승할 것으로 예상하여 매각하기를 꺼리는 반면 채권 A의 보유자는 추가적인 가격 하락을 예상하여 처분할 준비가 되어 있다.

이것은 채권 B가 채권 A보다 더 나은 등급을 가지고 있다는 것을 의미한다.

따라서 발행자의 등급이나 신뢰도가 높을수록 볼록성이 낮아지고 리스크 리턴 게임이나 전략에서 얻는 이득이 낮아진다.볼록성이 낮으면 가격 변동성이나 위험이 줄어들고, 위험이 낮으면 수익률이 감소한다.

수학적 정의

균일 변동금리가 r이고 채권가격이 B인 경우 볼록도 C는 다음과 같이 정의된다.

C=black {1}{B}}{\flac {d^{2}\left(B(r)\right)}{dr^{2}}}.

C를 표현하는 또 다른 방법은 변경된 기간 D:

{\displaystyle\frac{dr}B(r)=-DB}

그러므로,

CB=flac {d(-DB)}{dr}=flacD)(-DB)+\left(-{\flac {D}{dr}}}\right)(B),},

떠나는

(\displaystyle C=D^{2}-{\frac {d}{dr})}

여기서 D는 변경된 기간입니다.

이자율 변동에 따라 채권 존속기간이 어떻게 변화하는가

변경된 기간의 표준 정의로 돌아갑니다.

D=param frac {1}{1+r}\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(i)t(i)}{B}}

여기서 P(i)는 쿠폰 i의 현재 가치이고 t(i)는 미래 지급일이다.

이자율이 상승함에 따라 장기지급금의 현재가치는 조기지급금과 후기지급금 사이의 할인율에 따라 감소한다.그러나 금리가 상승할 때 채권가격도 하락하지만 각 쿠폰의 현재가치에 타이밍(합계의 분자)을 곱한 변동은 채권가격의 변동(합계의 분모)보다 크다.따라서 r의 증가는 지속시간을 감소시킬 필요가 있다(또는 제로쿠폰 결합의 경우 수정되지 않은 지속시간을 일정하게 유지한다).변경 기간 D는 1/1+r(위의 그림)의 계수에 따라 정규 기간과 다릅니다.이 계수는 r이 증가할수록 감소합니다.

(\displaystyle\frac {dD}{dr}}\leq 0 . )

위의 볼록성과 지속 시간 사이의 관계를 고려할 때, 기존의 결합 볼록성은 항상 양의 값이어야 한다.

볼록성의 긍정성은 기본금리증권에 대해서도 분석적으로 입증될 수 있다.예를 들어, 평탄한 수익률 곡선을 가정할 때 쿠폰 보유 채권의 가치는 $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ B $r$ ) $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ i $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ i - $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ i \ $displaystyle$ \ $scriptstyle B$ (r)\ = \ $sum$ _ { $i=1$ }^{ $i}$ e $^{-$ rt_i $\scriptstyle B(r)\ =\ \sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}$ 로 쓸 수 있다. 여기서_i c_ ${i$ } e^{- $rt_{i$ }}는 c의 지급 시점이다_i.그러면 쉽게 알 수 있다

{d^{2}B}{dr^{2}}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}e^{-rt_{i}}t_{2}^{2}\geq 0.

이는 $\scriptstyle dB/dr\ =\ -DB$ 로 d B $\scriptstyle dB/dr\ =\ -DB$ / $\scriptstyle dB/dr\ =\ -DB$ $\scriptstyle dB/dr\ =\ -DB$ $=$ - $\scriptstyle dB/dr\ =\ -DB$ $(\$ =\ - $DB$ 를 미분함으로써 지속시간의 도함수를 의미합니다.

볼록성 적용

볼록성은 파생상품 위험관리에서 '감마'가 사용되는 방식과 유사하게 사용되는 위험관리 수치이며, 채권 포트폴리오가 노출되는 시장위험을 관리하기 위해 사용되는 수치이다.거래 장부의 볼록성과 지속시간이 높으면 위험도 커진다.그러나 결합된 볼록성과 지속기간이 낮으면 장부가 회피되고 상당한 이자 변동이 발생하더라도 손실이 거의 없을 것이다(수익률 곡선의 평행).
금리변동으로 인한 채권가격 변동의 2차 근사치는 볼록성을 사용한다.

\displaystyle \Delta B=B\left[{\frac {C}{2}(\Delta r\right)]}

유효 볼록함

내재형 옵션이 있는 채권의 경우, 만기수익률에 기초한 볼록성(및 존속기간) 계산에서는 옵션 행사로 인한 수익률 곡선의 변동이 현금흐름을 어떻게 변화시키는지 고려하지 않는다.이를 해결하려면 유효 볼록성을 수치로 계산해야 합니다.유효볼록성은 이자율의 함수로서 채권가치의 2차 도함수에 대한 이산적 근사치이다.

{\displaystyle {\text{Effective colvesity}}=blac {V_{-\Delta y}-2V+V_{+\Delta y}}{(V_{0})\델타 y^{2}}}}}:

여기서V {\ $displaystyle$ V $}$ 는 $V$ 옵션 가격 모델을 사용하여 계산한 채권 값이고, $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ y는 변동 금액이며, $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ V - $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ y 및 $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ + $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ y ${\$ y $}{\text{$ 및 }} $V_{+\Delta$ y}는 $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ y가 y가 상승하거나 y가 하락할 경우 채권 값입니다.

이러한 값은 일반적으로 전체 수익률 곡선에 대해 구축된 나무 기반 모형을 사용하여 찾을 수 있으며, 따라서 옵션 수명의 각 지점에서 시간과 이자율의 함수로 행사 행동을 포착한다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Diller, Stanley(1991), Datatreya의 고정 수입 증권 파라메트릭 분석(ed.) 고정 수입 분석:Probus Publishing의 최첨단 부채 분석 및 평가 모델링
^ Rojas Arzu, J., Roca, F., 리스크 관리 및 파생상품 설명, 초판, Amazon Kindle Direct Publishing, 2018, 페이지 44

추가 정보

Frank Fabozi, 고정수입증권 핸드북, 뉴욕, 제7판: McGrow Hill, 2005.
Fabozzi, Frank J. (1999). "The basics of duration and convexity". Duration, Convexity, and Other Bond Risk Measures. Frank J. Fabozzi Series. Vol. 58. John Wiley and Sons. ISBN 9781883249632.
미국 증권에 적용되는 조약의 표준 참조Mayle, Jan (1994), Standard Securities Calculation Methods: Fixed Income Securities Formulas for Analytic Measures, vol. 2 (1st ed.), Securities Industry and Financial Markets Association, ISBN 1-882936-01-9.

외부 링크

[1] Diller, Stanley(1991), Datatreya의 고정 수입 증권 파라메트릭 분석(ed.) 고정 수입 분석:Probus Publishing의 최첨단 부채 분석 및 평가 모델링

[2] Rojas Arzu, J., Roca, F., 리스크 관리 및 파생상품 설명, 초판, Amazon Kindle Direct Publishing, 2018, 페이지 44

[1]

[2]

v t 채권시장
유대 사채 고정수입
발행자별 채권 종류	대리점채 사채 선순위채무 후순위채무 부채고민 신흥 시장 부채 국채 인프라스트럭처 채권 지방채
지급별 채권 유형	발생채권 경매율 담보 상환사채 상업용지 콘솔 조건부 전환사채 전환사채 교환사채 연장사채 고정금리채 변동환율어음 고수익채무 인플레이션지수채권 역변동환율어음 복권채권 영구채권 풋테이블본드 역전환증권 제로쿠폰본드
채권평가	클린 프라이스 볼록함 쿠폰 크레디트 스프레드 현재수익률 더러운 가격 지속 I-spread 주택담보대출수익률 명목수익률 옵션 조정 스프레드 무위험채권 가중평균수명 수율 곡선 수율 스프레드 만기수익률 Z 스프레드
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목차

볼록도 계산

결합 볼록이 다를 수 있는 이유

수학적 정의

이자율 변동에 따라 채권 존속기간이 어떻게 변화하는가

볼록성 적용

유효 볼록함

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