채권기간

금융에서 채권과 같이 고정현금흐름으로 구성된 금융자산의 기간은 고정현금흐름을 수취할 때까지의 가중평균이다. 자산의 가격이 수익률의 함수로 간주되는 경우, 기간은 또한 수익률에 대한 가격 민감도, 수익률에 대한 가격 변동 비율 또는 수익률의 병렬적 변동으로 인한 가격 변동 비율도 측정한다.^[1]^[2]^[3]

상환까지의 가중평균시간과 가격변동률 모두 '기간'이라는 단어를 이중으로 사용하는 것은 혼란을 야기하는 경우가 많다. 엄밀히 말하면 맥컬리 지속시간은 현금흐름을 수취할 때까지 가중평균시간에 부여된 이름으로, 연도로 측정된다. 수정한 기간은 가격 민감도에 부여된 명칭으로 단위 수율 변화에 따른 가격 변동 비율이다.^{[citation needed]}

두 척도 모두 '만성'이라 불리며, 같은 (또는 거의 같은) 숫자 값을 가지지만, 그들 사이의 개념적 차이를 유념하는 것이 중요하다.^[4] 맥컬리 지속기간은 단위기간(년)을 기준으로 한 기간으로, 현금흐름이 고정된 금융상품에만 해당된다. 표준채권의 경우 맥컬리 존속기간은 0~만기 사이가 된다. 채권이 제로쿠폰 채권이라면 만기와 맞먹는다.

반면 수정기간은 수학적 파생상품(변동률)으로 수율에 관한 가격변동률을 측정한다.(수율에 관한 가격 민감도는 절대(달러 또는 유로 등) 단위로도 측정할 수 있으며, 절대 민감도는 흔히 달러(유로) 지속기간이라고 한다. DV01, BPV 또는 델타(Δ 또는 Δ) 위험. 변경된 기간의 개념은 비고정현금흐름을 가진 이자율 민감 금융상품에 적용할 수 있으므로 맥컬레이 기간보다 더 광범위한 금융상품에 적용할 수 있다. 현대 금융에서는 맥컬리 기간보다 변경된 기간이 더 자주 사용된다.^{[citation needed]}

매일 사용하는 경우, 맥컬레이와 변형된 지속시간 값의 동일성(또는 거의 동일성)은 직관에 유용한 도움이 될 수 있다. 예를 들어, 표준 10년 만기 쿠폰 채권의 경우 매컬레이 기간이 10년 이상일 것이며, 이를 통해 변경된 기간(가격 민감도)도 10% 이상일 것이라고 유추할 수 있다. 마찬가지로, 2년 만기 쿠폰 채권은 맥컬레이 기간이 2년 미만이고 변경된 기간이 2%^{[citation needed]} 미만일 것이다.

맥컬리 기간

개념을 도입한 프레드릭 맥컬레이를 위해 명명된 맥컬리 지속기간은 현금흐름의 가중평균만기로, 각 지급의 수령시간이 해당 지급의 현재가치로 가중된다. 분모는 가중치를 합한 것으로, 정확하게는 채권의 가격이다.^[5] 고정 현금 흐름의 일부를 고려하십시오. 이러한 현금흐름의 현재가치는 다음과 같다.

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}

맥컬리 지속시간은 다음과 같이 정의된다.^[1]^[2]^[3]^[6]

(1)

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

=

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

=

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

=

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i = 1n

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i =

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

V

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

=

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i P V I =

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i =

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

=

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

i = 1n i

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

MacD={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{PV_{i}}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}PV_{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_{i}}{V}}

{\

displaystyle MacD={ni=1}^{n_{

n}{

i}{

i}}}

PV_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{

PV_{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{t_{i}}

PV_{{i}}}{V}}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {PV_}{V}}}}}

여기서:

$i$ 는 현금흐름을 지수화한다 $i$ $.$
$PV_{i}$ $PV_{i}$ $PV_{i}$ ${\$ $displaystyle PV_$ ${i}}$ 은 $PV_{i}$ $i$ (는 $)$ 자산으로부터의 현금 $i$ 의 현재 값이다.
$t_{i}$ $t_{i}$ ${\$ 은(는 $)$ i {\ $displaystyle i}$ t의 $i$ 지급을 받을 때까지 수 년 동안입니다 $t_{i}$ .
$V$ $V$ 은 $V$ (는) 자산으로부터의 모든 미래 현금 지급의 현재 가치다.

두 번째 표현식에서 부분적인 용어는 총 PV에 대한 $PV_{i}$ 현금흐름 $PV_{i}$ $PV_{i}$ $PV_{i}$ ${\$ 의 비율이다. 이 항은 1.0에 추가되며 가중 평균의 가중치 역할을 한다. 따라서 전체 표현은 현금흐름 지급까지의 시간의 가중평균으로, ${\frac {PV_{i}}{V}}$ P ${\frac {PV_{i}}{V}}$ ${\frac {PV_{i}}{V}}$ ${\$ 는 $현금흐름$ i $i$ 로 인한 자산 현재가치의 비율이다 ${\frac {PV_{i}}{V}}$ $i$

모든 포지티브 고정현금흐름 집합의 경우 가중평균은 0(최소 시간) 또는 $t_{1}$ 정확하게 $t_{1}$ 1 ${\$ 스타일 $t_{1}($ 최초 지급 시점)과 최종 현금흐름의 시간 사이에 떨어진다. 맥컬리 기간은 만기에 단일 지불이 있는 경우에만 최종 만기와 같을 것이다. 기호에서 현금 흐름이 순서대로 ( $(t_{1},...,t_{n})$ 1, $(t_{1},...,t_{n})$ . $(t_{1},...,t_{n})$ . , $(t_{1},...,t_{n})$ t $(t_{1},...,t_{n})$ ) ${\displaystyle (t_{1$ }, $..., t_{n}}$ 인 경우 $(t_{1},...,t_{n})$ 다음 작업을 수행하십시오.

t_{1}\leq MacD\leq t_{n}

단 하나의 현금흐름이 없는 한 불평등이 엄중한 가운데. (현금흐름이 고정되고 플러스인) 표준채권의 관점에서, 이는 맥컬레이 기간이 제로쿠폰 채권에 대해서만 채권 만기와 동일하다는 것을 의미한다.

맥컬리 지속시간은 그림 1에 나타낸 도해적 해석을 가지고 있다.

그림 1: 맥컬레이 기간

이는 아래 사례에서 논의된 채권을 20%의 쿠폰과 3.9605%의 연속적으로 복합된 수익률로 2년 만기를 나타낸다. 동그라미는 현재 지급가치를 나타내며, 향후 쿠폰 지급액이 점점 줄어들고, 쿠폰 지급액과 최종 원금 상환액 모두를 포함한 최종 고액 지급액도 포함된다. 이러한 원을 밸런스 빔에 놓으면 빔의 풀크럼(균형 중심)은 가중 평균 거리(지급 시간)를 나타내며 이 경우 1.78년이다.

대부분의 실제 계산을 위해 맥컬레이 지속시간은 수율에서 성숙까지를 사용하여 $PV(i)$ $PV(i)$ ( $PV(i)$ ) ${\displaystyle PV(i$ 을 계산한다.

(2)

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

=

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

i

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

=

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

i

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

=

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

i

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

= 1n C

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

e

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

-

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}

{\

PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}

CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}

(3)

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

d =

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

i =

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

i

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

e - y

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

e -

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

⋅ t

MacD=\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}}}{V}}

{\

{

CF_{i

}\

cdot e^{-y\cdot

t_

}{V}}}}}}}{V

}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.

여기서:

$i$ 는 현금흐름을 지수화한다 $i$ $.$
$PV_{i}$ $PV_{i}$ $PV_{i}$ ${\$ $displaystyle PV_$ ${i}}$ 은 $PV_{i}$ $i$ (는 $)$ 자산으로부터의 현금 $i$ 의 현재 값이다.
$CF_{i}$ $CF_{i}$ $CF_{i}$ ${\$ 은(는) 자산에서 지급되는 $i$ $i$ 의 $i$ 현금 흐름이다 $CF_{i}$ .
$y$ $[\displaystyle y}$ 은 $y$ (는) 자산의 만기까지의 수익률이다(계속 복합).
$t_{i}$ $t_{i}$ ${\$ 은(는 $)$ i {\ $displaystyle i}$ t의 $i$ 지급을 받을 때까지 수 년 동안입니다 $t_{i}$ .
$V$ $V$ 은 $V$ (는) 자산에서 만기까지 모든 현금 지급의 현재 가치다.

맥컬레이는 두 가지 대안을 제시했다.

표현 (1)은 제로쿠폰 채권 가격을 할인 요인으로 사용하는 Fisher-Weil 기간이다.
표현 (3) 채권 수익률을 만기까지 사용하여 할인 인자를 계산한다.

두 기간 사이의 주요 차이점은 Fisher-Weil 지속시간이 경사진 수익률 곡선의 가능성을 허용하는 반면, 두 번째 형태는 기간에 따라 지급에 따라 달라지지 $y$ 않는 수익률 $y$ $y$ 의 상수 값에 기초한다는 것이다. 컴퓨터의 사용으로, 두 형태 모두 계산될 수 있지만, 수율이 일정하다고 가정하는 표현식 (3)은 수정 기간 적용으로 인해 더 널리 사용된다.

기간 대 가중 평균 수명

맥컬레이 기간과 가중 평균 수명의 값과 정의가 모두 유사할 경우 두 개의 목적과 계산이 혼동될 수 있다. 예를 들어 5년 만기 고정금리 이자 전용 채권은 가중 평균 수명이 5이고 맥컬레이 기간은 매우 가까워야 한다. 주택담보대출도 비슷하게 작용한다. 둘의 차이는 다음과 같다.

맥컬리 지속기간은 고정기간 현금흐름, 모든 주요 현금흐름의 가중평균 수명인자만을 측정한다. 따라서 Fixed Period Hybrid ARM 담보대출의 경우, 모델링 목적으로 전체 고정기간은 마지막 고정지급일 또는 재설정 전 달에 종료된다.
맥컬리 기간은 모든 현금흐름을 상응하는 자본 비용으로 할인한다. 가중 평균 수명은 할인되지 않는다.
맥컬리 기간은 현금흐름을 가중시킬 때 원금과 이자를 모두 사용한다. 가중 평균 수명은 본인만 사용한다.

수정기간

맥컬리 기간과 대조적으로, 변경된 기간(때로는 약칭 MD)은 가격 민감도 측정치로, 수익률에 관한 가격의 백분율 파생상품(수익률에 관한 채권 가격의 로그파생상품)으로 정의된다. 변경된 기간은 채권이나 그 밖의 자산을 수익률의 함수로 간주할 때 적용한다. 이 경우 수율에 대한 로그 파생상품을 측정할 수 있다.

ModD(y)\equiv -{\frac {1}{V}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}=-{\partial \ln(V)}{\partial y}}}}

수율이 연속적으로 복합적으로 표현될 때 맥컬리 지속시간과 수정된 지속시간은 수치적으로 동일하다. 이를 보기 위해, 가격 또는 현재 가치의 파생상품(표현 (2))을 연속적으로 복합된 수익률 $y$ $y$ 과 관련하여, 다음과 $y$ 같은 것을 확인할 수 있다.

{\frac {\partial V}{\partial y}=-\sum _{i}{nt_{i}\cdot CF_{i}\cdot e^{-y\cdot t_{i}=-MacD\cdot V,}

즉, 연속적으로 복합적으로 표현되는 수율의 경우,

ModD=MacD

ModD=MacD

ModD=MacD

=

ModD=MacD

ModD=MacD

ModD=MacD

ModD=MacD

ModD=MacD

^[1].

여기서:

$i$ 는 현금흐름을 지수화한다 $i$ $.$
$t_{i}$ $t_{i}$ ${\$ 은(는 $)$ i {\ $displaystyle i}$ t의 $i$ 지급을 받을 때까지 수 년 동안입니다 $t_{i}$ .
$V$ $V$ 은 $V$ (는) 자산으로부터의 모든 현금 지급의 현재 가치다.

주기적으로 컴포넌트

금융시장에서 수익률은 일반적으로 지속적으로 증가하지 않고 정기적으로 (연간 또는 반기별로) 복합적으로 표현된다. 그러면 식 (2)는 다음과 같이 된다.

V(y_{k}=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}}{{{(1+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}

MacD=\sum _{i=1}^{n}{\frac {t_{i}}}{V(y_{k}}}}}}}}}\cdot {\frac {CF_{i}}{{{+y_{k}/k)^{k\cdot t_{i}}

수정된 기간을 찾기 위해 주기적으로 조합된 수율과 관련하여 $V$ V $값$ $V$ 의 파생 모델을 사용할 때

{\frac {\partial y_{k}}}=-{\frac {1}{1}{{1}{k}/k)}\cdot \sum _{i=1}^{n1}t_{n}\cdot {\cFrac {\i1+y_{k}/k}}/k)^{k\cdot t_{i}}=-{\frac {MacD\cdot V(y_{k}}}}{{k}/k)}}}

재배열(양측을 -V로 나누기)은 다음을 제공한다.

{\frac {MacD}{{k}/k}}}}}=-{\frac {1}{V(y_{k}}}}}}}\cdot {\partial V}{\partial y_{k}}}\equiv ModD

수정된 기간과 Macaulay 기간 사이에 잘 알려진 관계:

ModD={\frac {MacD}{(1+y_{k}/k)}}}

여기서:

$i$ 는 현금흐름을 지수화한다 $i$ $.$
$k$ $k$ 은 $k$ (연간 1회, 반자동 2회, 월 12회, 주간 52회 등) 연간 복합 빈도수다.
$CF_{i}$ $CF_{i}$ $CF_{i}$ ${\$ 은(는) 자산에서 지급되는 $i$ $i$ 의 $i$ 현금 흐름이다 $CF_{i}$ .
$t_{i}$ $t_{i}$ ${\$ 은(는 $)$ i {\ $displaystyle$ i $}$ t가 $i$ 지급될 때까지(예: 2년 세미콜론은 $t_{i}$ .5 $,$ 1.0, 1.5 및 2. $0$ 의 t i {\displaysty t_ ${i}$ 인덱스로 $t_{i}$ 나타남) 년)의 $t_{i}$ 시간이다.
$y_{k}$ $y_{k}$ ${\$ 은(는) 자산의 만기까지의 수익률이며 $y_{k}$ , 주기적으로 복합된다.
$V$ $V$ 은 $V$ (는) 자산으로부터의 모든 현금 지급의 현재 가치다.

이것은 위에서 인용한 맥컬리 기간과 수정된 기간 사이에 잘 알려진 관계를 제공한다. 맥컬리 지속시간과 변형된 지속시간이 밀접하게 연관되어 있더라도 개념적으로 구별된다는 점을 기억해야 한다. 맥컬리 지속시간은 상환까지의 가중평균시간(연도와 같은 시간단위로 측정)이며, 수정 지속시간은 수율함수로 취급될 때의 가격 민감도 측정치로서 수율에 관한 가격의 변화율이다.

단위

맥컬리 지속시간은 몇 년으로 측정된다.

변경된 기간은 1개 단위(백분율점)당 연간 수익률 변화율(예: 수익률은 연 8%(y = 0.08)에서 연 9%(y = 0.09)로 측정한다. 이렇게 하면 수정된 지속시간은 맥컬레이 지속시간에 가까운 수치값을 얻을 수 있을 것이다(그리고 요율이 계속적으로 합산될 때 동일하다).

공식적으로, 변경된 지속기간은 탄력성이 아니라 단위 수율변화에 대한 가격변동률인 반탄성성으로, 입력률변동에 대한 생산량의 비율변동이다. 변경된 기간은 수익률 변화율, 즉 수익률 변화당 가격 변화율이다.

비고정현금흐름

변경된 기간은 비고정현금흐름이 있는 금융상품으로 연장할 수 있으며, 맥컬레이 기간은 고정현금흐름상품에만 적용된다. 변경된 기간은 수익률과 관련하여 가격의 로그파생상품으로 정의되며, 그러한 정의는 현금흐름이 고정되어 있든 없든 수익률에 의존하는 금융상품에 적용될 것이다.

유한수율변동

변형된 기간은 위에서 파생상품으로 정의되며(용어가 미적분과 관련됨) 따라서 극소수의 변화에 기초한다. 변경된 기간은 한정된 이자율(즉 수익률) 이동에 대한 채권 시장가격의 민감도 측도로도 유용하다. 수율의 작은 변화 $\Delta y$ $\Delta y$ $\Delta y$ ,

ModD\ ask -{\frac {1}{V}{\frac {\Delta V}{\Delta y}\Rightarrow \Delta V\ask -V\cdot ModD\cdata y

따라서 변경된 기간은 주어진 유한한 수익률 변동에 대한 가격 변동 비율과 거의 같다. 따라서 매컬레이 기간이 7년인 15년 채권은 약 7년의 수정기간을 가지며 금리가 1%포인트 상승한다면 (7%에서 8%로) 약 7%의 가치가 떨어질 것이다.^[8]

피셔-윌 기간

Fisher-Weil 지속시간은 맥컬레이의 지속시간을 개선한 것으로, 이자율의 기간 구조를 고려한다. Fisher-Weil 지속기간은 각 만기별 쿠폰 수익률 0을 사용하여 관련 현금흐름의 현재가치(더 엄격하게)를 계산한다.^[9]

기율기간

키 속도 지속 시간(부분 DV01 또는 부분 지속이라고도 함)은 총 수정 지속시간의 자연적인 연장선으로 수율 곡선의 다른 부분의 이동에 대한 민감도를 측정한다. Key rate durations might be defined, for example, with respect to zero-coupon rates with maturity '1M', '3M', '6M', '1Y', '2Y', '3Y', '5Y', '7Y', '10Y', '15Y', '20Y', '25Y', '30Y'. 토마스 호(1992)는 기준금리 지속기간이라는 용어를 도입했다. Reitano는 1991년 초 다요소 수익률 곡선 모델을 다루었고 최근 리뷰에서 이 주제를 다시 찾았다.^[12]

기준금리 기간에는 수익률 곡선에서 벗어난 금융상품을 가치 있게 평가해야 하며 수익률 곡선을 구축해야 한다. 호씨의 원래 방법론은 0 또는 현물 수익률 곡선을 기준으로 금융상품의 가치를 평가하는 것에 기초했으며 "기준 비율" 사이의 선형 보간법을 사용했지만, 이 아이디어는 선도 비율, 액면 비율 등에 근거한 수익률 곡선에 적용할 수 있다. 기준 총 수정 기간 동안 발생하지 않는 키 레이트 기간(부분 DV01s)에 대해서는 많은 기술적 문제가 발생하는데, 이는 기준 레이트 기간이 금융상품의 가치평가에 사용되는 수익률 곡선의 특정 유형에 의존하기 때문이다(Coleman, 2011 참조).

공식

반기별로 고정된 채권이 있는 표준채권의 경우 채권기간 폐쇄형식은 다음과 같다.^{[citation needed]}

{\text{Dur}}={\frac {1}{P}}\left(C{\frac {(1+ai)(1+i)^{m}-(1+i)-(m-1+a)i}{i^{2}(1+i)^{(m-1+a)}}}+{\frac {FV(m-1+a)}{(1+i)^{(m-1+a)}}}\right)

FV = 파 값
C = 기간별 쿠폰 지급(반년)
i = 기간별 할인율(반년)
a = 다음 쿠폰 지급까지 남은 기간의 일부
m = 만기까지 전체 쿠폰 기간 수
P = 채권가격(금리 i로 할인된 현금흐름의 현재가치)

쿠폰 주파수 $k$ $k$ 이 $k$ (가) 정수 기간(분할 지급 기간이 없음)을 가진 채권의 경우, 수식은 다음과 같이 단순화된다.

MacD=\왼쪽[{\frac {(1+y/k)}{y/k}-{\frac {100(1+y/k)+m(c/k-100y/k)}{(c/k)[(1+y/k))^{m}-1]+100y/k}}\오른쪽]/k

어디에

y = 항복(연간, 백분율),
c = 쿠폰(연간, 십진수 형식)
m = 쿠폰 기간 수입니다.

예

액면가 100달러의 2년 만기 채권, 연 20%의 반년 만기 쿠폰, 4%의 수익률을 고려해 보십시오. 총 PV는 다음과 같다.

V=\sum _{i=1}^{n}PV_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{i}}{{{{(1+y/k)^{k\cdot t_{i}}}}}{{i}}}}{{i}}}{\frac {10}{(1+.04/2)}}}}{\frac {100}{(1+.04/2)^{4}}}}}}}}}:{4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

=9.804+9.612+9.423+9.238+92.385=130.462

맥컬리 기간은 그 다음이다.

{\text{MacD}}=0.5\cdot {\frac {9.804}{130.462}}+1.0\cdot {\frac {9.612}{130.462}}+1.5\cdot {\frac {9.423}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {9.238}{130.462}}+2.0\cdot {\frac {92.385

{130.462}}=1.777\,{\text{년

위의 간단한 공식은 다음과 같다(y/k =.04/2=.02, c/k = 20/2 = 10).

{\displaystyle{\textD}=\왼쪽[{\frac {(1.02)}{0.02}-{0.02}-{100(1.02)+4(10-2)}{10[(1.02)^{4}-1]+2}}\오른쪽]/2=1.777\,{\years{}}}}}}}}}}

수익률의 1% 포인트당 가격 변동률로 측정되는 변경된 기간은 다음과 같다.

{\displaystyle {\text{ModD}={\frac {\text{MacD}}{{+y/k)

}}}={\frac{1.777}{(1+.04/2)}}}=1.

742

}(

수익률 1% 포인트당 가격 변동률)

{\text{ModD}}={\frac {\text{MacD}}{(1+y/k)}}={\frac {1.777}{(1+.04/2)}}=1.742

수익률 1% 포인트 변동을 위해 100달러 명목 채권의 가격 변동으로 측정된 DV01은

{\displaystyle {\text{

DV01}={\frac {{\text{ModD}\cdot 130.462}{100}=2.27}$(

수율 1% 포인트 변화당)

여기서 100으로 나눈 값은 변경된 지속 시간이 백분율 변화로 인한 것이다.

단계별 예

^[14] 액면가 1,000달러, 쿠폰 이자율 5%, 연수익률 6.5%의 채권을 5년 만기로 고려한다. 지속시간을 계산하는 단계는 다음과 같다.

1. 채권가치를 추정하라 쿠폰은 1, 2, 3, 4년에 50달러가 될 것이다. 그 후, 5년차에, 그 채권은 총 1050달러의 쿠폰과 원금을 지불할 것이다. 현재가치를 6.5%로 할인하면 채권가치는 937.66달러다. 자세한 내용은 다음과 같다.

1년차: $50 / (1 + 6.5%) ^ 1 = 46.95

2년차: $50 / (1 + 6.5%) ^ 2 = 44.08

3년차: $50 / (1 + 6.5%) ^ 3 = 41.39

4년차: $50 / (1 + 6.5%) ^ 4 = 38.87

5년차: $1050 / (1 + 6.5%) ^ 5 = 766.37

2. 각 현금흐름을 받는 시간을 곱하고, 현재가치를 곱한다.

1년차: 1 * $46.95 = 46.95

2년차: 2 * $44.08 = 88.17

3년차: 3 * $41.39 = 124.18

4년차: 4 * $38.87 = 155.46

5년차: 5 * 766.37 = 3831.87

합계: 4246.63

3. 2단계의 총액과 채권가치(1단계)를 비교한다.

맥컬레이 지속시간: 4246.63 / 937.66 = 4.53

화폐기간

미국에서는 달러화 지속시간 또는 DV01이라고도 불리는 화폐 지속시간 또는 기준시점 가치 또는 블룸버그 위험은^{[citation needed]} 수익률과 관련하여 가치의 파생상품에 대해 음수로 정의된다.

D_{\$}=DV01=-{\frac {\partial V}{\partial y}}.

^{[필요하다]}

변경된 기간과 가격(값)의 산물이 되도록 한다.

{\displaystyle D_{\$}=

PV=V\cdot ModD/100}$(

수익률 1% 포인트 변화당)

또는

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

=

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

=

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

D

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

/

D_{\$}=DV01=V\cdot ModD/10000

{\displaystyle D_{\$}=

DV01

=V\cdot ModD/10000}$(

수익률의 1 베이시스 포인트 변화당)

DV01은 파생상품가격의 델타 ("그리스어" 중 하나)와 유사하다. DV01은 투입변수의 단위변동(수익의 기준점)에 대한 산출물(달러)의 가격변동 비율이다. 달러 지속시간 또는 DV01은 달러 단위의 가격 변동이지 백분율 단위가 아니다. 그것은 수익률의 단위 변화당 채권 가치의 달러 변동을 제공한다. 종종 1 베이시스 포인트 당 측정된다 - DV01은 "달러 값 01" (또는 1 베이시스 포인트)의 줄임말이다. BPV(basis point value) 또는 블룸버그의 "Risk"라는 명칭도 사용되는데, 종종 100bp의 수익률 변화에 대해 달러화 변동에 적용되어 지속 기간과 동일한 단위를 제공한다. PV01이 더 정확하게 1달러 또는 1 베이시스 포인트 연금 값을 가리키지만, PV01(현재 가치 01)이 때때로 사용된다. (파 채권과 평탄한 수익률 곡선의 경우, DV01은 수익률.r.t.와 1달러 연금 값인 PV01의 파생상품은 실제로 동일한 가치를 가진다.)^{[citation needed]} DV01 또는 달러 지속시간은 이자율스왑과 같이 선행가치가 영(0)인 금융상품에 사용할 수 있다.

위험 부담에 대한 애플리케이션(VaR)

달러 지속시간 $D_{\$}$ ${\$ 는 일반적으로 위험(VaR) 계산에 사용된다 $D_{\$}$ . 포트폴리오 리스크 관리에 대한 애플리케이션을 설명하기 $r_{1},\ldots ,r_{n}$ , r $r_{1},\ldots ,r_{n}$ , $r_{1},\ldots ,r_{n}$ … , $r_{1},\ldots ,r_{n}$ ${\$ 이자율에 의존하는 증권 포트폴리오를 리스크 $r_{1},\ldots ,r_{n}$ 요인으로 간주하고, 다음과 같이 한다.

V=V(r_{1},\ldots ,r_{n}\,},

그러한 포트폴리오의 가치를 나타낸다. 그러면 노출 벡터 ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$ = ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$ 1 ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$ , ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$ … , ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$ n ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots,\omega _{n})$ 에 성분이 있다 ${\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{1},\ldots ,\omega _{n})$ .

\omega _{i}=-D_{\$,i}={\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}.

따라서 포트폴리오의 가치변동은 다음과 같이 근사하게 추정할 수 있다.

\Delta r_{i=1}^{n}\omega_{i}\,\Delta r_{i}+\delta r_{i}+\\delta r_n}O(\Delta r_{i}\delta r_{j}),}}}

즉, 이자율에서 선형인 구성요소에 오차항이 더해져 최소한 2차인 것이다. 이 공식은 상위 순서의 항을 무시하여 포트폴리오의 VaR을 계산하는 데 사용할 수 있다. 일반적으로 세제곱 이상의 항이 잘린다. 이차 항을 포함하면 (다변수) 결합 볼록성 단위로 표현할 수 있다. 이자율의 공동분포에 대해 가정을 한 다음 몬테카를로 시뮬레이션에 의해 VaR을 계산할 수도 있고, 일부 특별한 경우(예: 선형 근사치를 가정하는 가우스 분포)에서도 분석적으로 계산할 수도 있다. 이 공식은 포트폴리오의 DV01(아래 cf) 계산에도 사용할 수 있으며 금리 이상의 위험요인을 포함하도록 일반화할 수 있다.

위험 – 이자율 민감도로 지속 기간

기간(변경된 기간)의 주된 용도는 이자율 민감도 또는 익스포저를 측정하는 것이다. 이자율이나 수익률의 관점에서 위험을 생각하는 것은 매우 유용하다. 왜냐하면 그것은 그렇지 않으면 상이한 금융상품에 걸쳐 정상화하는 데 도움이 되기 때문이다. 예를 들어, 각각 10년의 최종 만기가 있는 다음의 네 가지 상품을 고려해보자.

설명	쿠폰(연간 $)	최초 가격(100달러당 개념)	최종 원금 재결제	양보	맥컬리 기간(년)	수정 기간(100bp yld ch 당 %)	BPV 또는 DV01($100bp yld ch 당)
5% 반액 쿠폰 채권	$5	$100	$100	5%	7.99년	7.79%	$7.79
5%반액연금	$5	$38.9729	$0	5%	4.84년	4.72%	$1.84
무배당채권	$0	$61.0271	$100	5%	10년 전	9.76%	$5.95
5% 고정 변동 스왑, 수신 고정	$5	$0	$0	5%	NA	NA	$7.79

네 사람 모두 만기가 10년인데 금리에 대한 민감성, 즉 리스크는 다를 것이다: 제로쿠폰은 민감도가 가장 높고 연금은 가장 낮다.^{[citation needed]}

우선 각각에 100달러의 투자를 고려해보라. 이것은 3개의 채권(쿠폰 채권, 연금, 제로쿠폰 채권-초기 투자가 없는 이자율스왑은 이치에 맞지 않는다)에 대해 타당하다. 변경된 기간은 세 가지에 걸쳐 이자율 민감도를 비교하는 데 유용한 척도다. 제로쿠폰 채권은 수익률 변화 100bp당 9.76%의 비율로 변하면서 감도가 가장 높을 것이다. 이는 수율이 5%에서 5.01%(1bp 상승)로 올라가면 가격이 약 0.0976% 하락하거나 100달러당 61.0271달러에서 약 60.968달러로 가격 변동이 발생해야 한다는 것을 의미한다. 당초 투자한 100달러는 약 99.90달러로 떨어질 예정이다. 연금은 제로쿠폰 채권의 약 절반인 민감도가 가장 낮으며, 수정기간은 4.72%이다.

그 대신에, 우리는 각 계기에 대해 100달러를 고려할 수 있다. 이 경우 BPV 또는 DV01(달러 값 01 또는 달러 지속시간)이 더 자연스러운 측정이다. 표의 BPV는 100bp의 수익률 변화에 대한 100달러의 가격 변동이다. BPV는 3개의 채권뿐만 아니라 (변화된 기간이 정의되지 않은) 이자율스왑에도 이치에 맞을 것이다.

변경된 기간은 이자율 민감도의 크기를 측정한다. 때때로 우리는 기계가 수익률 곡선의 어느 부분에 민감하게 반응하는지 측정한다고 착각할 수 있다. 결국 수정기간(가격변동률)은 맥컬레이 기간(만기까지 가중평균연도의 일종)과 거의 같은 수치다. 예를 들어 위의 연금은 맥컬레이 기간이 4.8년으로 5년 수익률에 민감하다고 생각할 수 있다. 그러나 10년까지의 현금흐름이 있기 때문에 10년 수익률에 민감할 것이다. 수익률 곡선의 일부에 대한 민감도를 측정하려면 기준금리 기간을 고려해야 한다.

현금흐름이 고정된 채권의 경우 가격변동은 다음 두 가지 출처에서 발생할 수 있다.

시간의 흐름(파로의 수렴). 이것은 물론 완전히 예측 가능하고 따라서 위험하지 않다.
수확량의 변화. 이는 벤치마크 수익률의 변화 및/또는 수익률 스프레드의 변화 때문일 수 있다.

수익률-가격 관계는 역행이며, 변경된 지속기간은 수익률에 대한 가격 민감도의 매우 유용한 척도를 제공한다. 첫 번째 파생상품으로서 선형 근사치를 제공한다. 큰 수율 변화의 경우 볼록도를 추가하여 2차 또는 2차 근사치를 제공할 수 있다. 대안으로, 그리고 종종 더 유용하게, 수율 변화에 따라 수정된 지속시간이 어떻게 변하는지 측정하기 위해 볼록도를 사용할 수 있다. 옵션 시장에서 사용되는 유사한 위험 조치(1차 및 2차 순서)는 델타 및 감마선이다.

변동기간과 이자율 민감도 측정치로서 DV01은 옵션과 같이 변동하거나 우발적인 현금흐름이 있는 금융상품과 유가증권에도 적용할 수 있기 때문에 유용하다.

포함된 옵션 및 유효 기간

풋가능채권과 콜러블채권과 같이 옵션이 내재된 채권의 경우, 변경된 기간은 수익률의 만기까지의 변동에 대한 가격 이동의 정확한 근사치를 나타내지 못할 것이다.^{[citation needed]}

내장된 풋옵션이 있는 채권을 고려한다. 예를 들어, 채권 만기 전 언제든지 액면가로 보유자가 상환할 수 있는 1,000달러짜리 채권(즉, 미국 풋옵션)을 예로 들 수 있다. 아무리 금리가 높아져도 채권 가격은 결코 1000달러(상대방 리스크 무시) 아래로 내려가지 않을 것이다. 금리변동에 대한 이 채권의 가격 민감도는 다른 방법으로 동일한 현금흐름을 가진 풋가능하지 않은 채권과 다르다.

이러한 채권의 가격을 책정하기 위해서는 옵션 가격을 사용하여 채권의 가치를 결정해야 하며, 그 다음 기간인 델타(따라서 람다)를 계산할 수 있다. 유효기간은 이 후자에 대한 개별적인 근사치로서 옵션가격결정모형을 요구한다.

{\text{유효기간}={\frac {V_{-\Delta y}-V_{+\Delta y}}{2(V_{0})\델타 y}

where Δ y is the amount that yield changes, and $V_{-\Delta y}{\text{ and }}V_{+\Delta y}$ are the values that the bond will take if the yield falls by y or rises by y, respectively. (A "parallel shift"; note that this value may vary depending on the value used for Δ y.)

이러한 값은 일반적으로 나무 기반 모형을 사용하여 계산되며, 전체 수익률 곡선에 대해 구축되며, 따라서 옵션 수명 중 각 지점에서 시간과 이자율의 함수로 행사 행동을 포착한다. 자세한 내용은 격자 모형(금융) § 금리 파생상품을 참조하십시오.

스프레드 지속시간

속도 지속은 옵션 조정 스프레드(OAS)의 변화에 대한 채권 시가의 민감도다. 따라서 지수, 즉 기저 수익률 곡선은 변동이 없다. 지수에 벤치마킹되고 정기적으로 재설정되는 변동금리부 자산(1개월 또는 3개월 LIBOR 등)은 유효기간이 0에 가깝지만 다른 동일한 고정금리부 채권과 비슷한 스프레드 기간을 갖는다.^{[citation needed]}

평균기간

채권 뮤추얼 펀드 등 채권 포트폴리오가 금리 변화에 민감하게 반응하는 것도 중요할 수 있다. 포트폴리오에 포함된 채권의 평균 기간은 종종 보고된다. 포트폴리오의 존속기간은 포트폴리오 내 모든 현금흐름의 가중평균만기와 같다. 만약 각 채권의 수익률이 만기까지 동일하다면, 이는 포트폴리오 채권의 존속 기간에 대한 가중 평균과 같으며, 채권 가격에 비례하는 가중치를 가진다.^[1] 그렇지 않으면 채권의 존속기간에 대한 가중평균은 좋은 근사치에 불과하지만, 여전히 이자율의 변동에 대응하여 포트폴리오의 가치가 어떻게 변할지 추론하는 데 사용될 수 있다.^{[citation needed]}

볼록도

기간은 이자율 변화에 따라 채권 가격이 어떻게 변하는지 보여주는 선형적인 척도다. 금리가 바뀌면 가격이 선형적으로 바뀌는 게 아니라 오히려 금리의 볼록한 기능이다. 볼록성은 금리가 변함에 따라 채권 가격이 어떻게 변하는지 곡률적으로 보여주는 척도다. 구체적으로는 해당 금리에 관한 채권의 가격함수의 제1차 파생상품으로, 제2차 파생상품으로서의 볼록성을 제1차 파생상품으로 할 수 있다.^{[citation needed]}

볼록함은 또한 미래의 현금흐름의 확산에 대한 아이디어를 준다. (기간 동안 할인된 평균 항이 주어지듯이, 볼록성은 할인된 표준 편차, 즉 수익률 계산에 사용될 수 있다.)

볼록도는 양수 또는 음수일 수 있다는 점에 유의하십시오. 긍정적인 볼록성을 가진 채권은 콜 특성을 갖지 않을 것이다. 즉, 발행자는 만기에 채권을 상환해야 한다. 즉, 금리가 하락함에 따라 채권의 존속 기간과 가격이 모두 상승할 것이라는 것을 의미한다.

반면에 콜 특성이 있는 채권(즉, 발행자가 채권을 조기 상환할 수 있는 경우)은 옵션파업에 가까워질 때 음의 볼록성을 갖는 것으로 간주되는데, 이는 금리가 하락함에 따라 기간이 감소하고 따라서 가격이 빠르게 상승할 것이라는 것을 의미한다. 발행자가 높은 쿠폰으로 기존 채권을 상환하고 낮은 금리로 새 채권을 재발행할 수 있어 발행자에게 귀중한 옵션성을 제공할 수 있기 때문이다. 위와 유사하게, 이 경우 효과적인 볼록도를 계산하는 것이 더 정확할 수 있다.

미국식 15년 또는 30년 만기 고정금리 주택담보대출을 담보로 한 담보부 증권(통과형 주택담보대출 원금 중도상환)이 콜러블 채권의 예다.

셔먼 비율

'서먼 비율'은 더블라인 캐피털의 최고 투자책임자인 제프리 셔먼의 이름을 딴 채권 존속기간 단위당 제시된 수익률이다.^[15] '본드 시장의 가장 무서운 게이지'로 불리며 미국 회사채 지수의 0.1968로 사상 최저치를 기록했다.^[16] 그 비율은 단순히 제시된 수익률(백분율)을 채권 존속기간(연)으로 나눈 것이다.^[17]

참고 항목

메모들

참조

^ ^a ^b ^c ^d Hull, John C. (1993), Options, Futures, and Other Derivative Securities (Second ed.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., pp. 99–101
^ ^a ^b Brealey, Richard A.; Myers, Stewart C.; Allen, Franklin (2011), Principles of Corporate Finance (Tenth ed.), New York, NY: McGraw-Hill Irwin, pp. 50–53
^ ^a ^b ^c Coleman, Thomas. "A Guide to Duration, DV01, and Yield Curve Risk Transformations". Social Science Research Network. SSRN 1733227. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)
^ 수율이 연속적으로 복합된 맥컬리 지속시간과 수정된 지속시간은 수치로 동일할 것이다. 수율을 주기적으로 컴파일할 때 맥컬레이와 수정 기간은 약간 다를 것이며, 둘 사이에는 간단한 관계가 있다.
^ Fabozzi, Frank J. (2015-10-23). Capital Markets: Institutions, Instruments, and Risk Management. MIT Press. ISBN 978-0-262-33159-3.
^ Marrison, Chris (2002), The Fundamentals of Risk Measurement, Boston, MA: McGraw-Hill, pp. 57–58
^ Berk, Jonathan; DeMarzo, Peter (2011), Corporate Finance (Second ed.), Boston, MA: Prentice Hall, pp. 966–969
^ '울프램 데모 프로젝트' 피오나 맥클라클란의 '맥컬레이 지속시간'
^ "금리 변동의 위험성을 감안: 순진하고 최적의 전략에서 채권 보유자에게 돌아오는 것" 로렌스 피셔와 로마 L. Weil; Journal of Business, 1971, 44(4), 페이지 408-31. JSTOR 2352056
^ Ho, Thomas S.Y. (September 1992). "Key Rate Durations: Measures of Interest Rate Risks". Journal of Fixed Income. 2 (2): 29–44. doi:10.3905/jfi.1992.408049. S2CID 154576274.
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^ Reitano, Robert R. (2008). Fabozzi, Frank J. (ed.). "Yield Curve Risk Management". Handbook of Finance. Hoboken, NJ: John Wiley and Sons. 3: 215.
^ Bodie; Kane; Marcus (1993), Investments (Second ed.), p. 478
^ 로하스 아르주, J. & Roca, 플로렌시아, 리스크 관리 및 파생상품 설명, 초판, 아마존 킨들 다이렉트 출판, 2018, 페이지 41
^ Chipata, Brian (2 January 2020). "This Is the Scariest Gauge for the Bond Market". Bloomberg. Retrieved 15 February 2021.
^ Chippata, Brian (14 January 2021). "Bond Market's Scariest Gauge Is Worse Than Ever". Bloomberg. Retrieved 15 February 2021.
^ Sherman, Jeffrey. "The Sherman Ratio" (PDF). DoubleLine Capital. Retrieved 15 February 2021.

추가 읽기

Fabozzi, Frank J. (1999), "The basics of duration and convexity", Duration, Convexity, and Other Bond Risk Measures, Frank J. Fabozzi Series, 58, John Wiley and Sons, ISBN 9781883249632
Mayle, Jan (1994), Standard Securities Calculation Methods: Fixed Income Securities Formulas for Analytic Measures, 2 (1st ed.), Securities Industry and Financial Markets Association, ISBN 1-882936-01-9. 미국 증권에 적용되는 규약에 대한 표준 참조.

Rojas Arzú, Jorge; Roca, Florencia (December 2018), Risk Management and Derivatives Explained, Amazon Kindle Direct Publishing, pp. 43–44, ISBN 9781791814342

외부 링크

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[Hull-1] Hull, John C. (1993), Options, Futures, and Other Derivative Securities (Second ed.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., pp. 99–101

[Brealey-2] Brealey, Richard A.; Myers, Stewart C.; Allen, Franklin (2011), Principles of Corporate Finance (Tenth ed.), New York, NY: McGraw-Hill Irwin, pp. 50–53

[Coleman-3] Coleman, Thomas. "A Guide to Duration, DV01, and Yield Curve Risk Transformations". Social Science Research Network. SSRN 1733227. Cite 저널은 필요로 한다. journal= (도움말)

[4] 수율이 연속적으로 복합된 맥컬리 지속시간과 수정된 지속시간은 수치로 동일할 것이다. 수율을 주기적으로 컴파일할 때 맥컬레이와 수정 기간은 약간 다를 것이며, 둘 사이에는 간단한 관계가 있다.

[5] Fabozzi, Frank J. (2015-10-23). Capital Markets: Institutions, Instruments, and Risk Management. MIT Press. ISBN 978-0-262-33159-3.

[Marrison-6] Marrison, Chris (2002), The Fundamentals of Risk Measurement, Boston, MA: McGraw-Hill, pp. 57–58

[Berk-7] Berk, Jonathan; DeMarzo, Peter (2011), Corporate Finance (Second ed.), Boston, MA: Prentice Hall, pp. 966–969

[8] '울프램 데모 프로젝트' 피오나 맥클라클란의 '맥컬레이 지속시간'

[9] "금리 변동의 위험성을 감안: 순진하고 최적의 전략에서 채권 보유자에게 돌아오는 것" 로렌스 피셔와 로마 L. Weil; Journal of Business, 1971, 44(4), 페이지 408-31. JSTOR 2352056

[10] Ho, Thomas S.Y. (September 1992). "Key Rate Durations: Measures of Interest Rate Risks". Journal of Fixed Income. 2 (2): 29–44. doi:10.3905/jfi.1992.408049. S2CID 154576274.

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[15] Chipata, Brian (2 January 2020). "This Is the Scariest Gauge for the Bond Market". Bloomberg. Retrieved 15 February 2021.

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