격자 모형(재무)

Lattice model (finance)
형평성에 대한 이항 격자, CRR 공식 포함
OAS 반환 트리(검은색 대 빨간색): 단기 환율이 상위 값이며, 채권 값의 전개에 따라 풀투파(pull-to-par)가 뚜렷하게 나타난다.

금융에서 격자모형[1] 파생상품의 가치평가에 적용되는 기법이며, 여기에서 이산시간모형이 요구된다.주식선택권의 경우, 전형적인 예는 만기 전 및 만기 전 "모든" 시점에 옵션 행사에 대한 의사결정이 요구되는 미국선택권의 가격결정일 것이다.반면에 Black-Scholes와 같은 연속적 모형은 행사가 옵션의 만기일에 있는 유럽옵션의 가치평가만을 허용할 것이다.금리파생상품의 경우, 격자는 Pull to [2]par와 같이 연속적인 모형에서 직면하는 많은 문제를 다루고 있다는 점에서 추가로 유용하다.이 방법은 또한 보상의 경로 의존성 때문몬테카를로 방법이 이 문제를 해결하기 위한 방법이 현재 존재하지만,[3] 옵션 가격 책정에 대한 최적의 결정을 고려하지 못하는 특정 이국적 옵션의 가치 평가에도 사용된다.

주식 및 상품 파생상품

주식선택권 평가목:

1. 주식 가격의 트리를 구축한다.

  • 현재 가격에 업 또는 다운 팩터(u d\d)를 적용하여 다음 기간의 은 S S u {} S n {S }가 .
  • 또는 트리가 직접 재결합하는 경우 S × - N \ S _ { n } =_ { } \ u^ { _ { u } - N _ { u{ N_}은 업틱의 n_{ {dyle n}의 수이다.

2. 대응하는 옵션트리를 만듭니다.

  • 트리의 각 최종 노드(즉, 옵션 만료 시)에서 옵션 값은 단순히 그 본질 또는 행사 값이다.
  • 이전 에서는 C - t - t ( p t , ++ ( - ) , - t}= (1+i쿼티 값

일반적으로 접근법은 현재와 옵션의 만료 사이의 시간을 N개의 개별 기간으로 나누는 것이다.특정 시간 n에서 모델은 시간 n+1에서 한정된 수의 결과를 가지며, n과 n+1 사이의 가능한 모든 세계 상태의 변화가 분기로 포착된다.이 프로세스는 n = 0과 n = N 사이의 가능한 모든 경로가 매핑될 때까지 반복됩니다.그런 다음 모든 n ~n + 1 경로에 대해 확률이 추정됩니다.결과와 확률은 현재의 옵션의 공정가치가 계산될 때까지 거꾸로 흐른다.

자본 및 재화에 대한 적용은 다음과 같습니다. 번째 단계는 옵션의 핵심 기초변수의 진화를 현재의 현물가격에서 시작하여 이 과정이 변동성과 일관되도록 추적하는 이다.[4]다음 단계는 옵션을 재귀적으로 평가하는 것이다. 즉, 최종 시간 단계에서 후퇴하여 각 노드에서 행사 값을 적용하고, 각 초기 노드에 위험 중립 평가를 적용한다. 여기서 옵션 값은 이후 시간 단계에서 업 노드와 다운 노드의 확률 가중 현재 값이다.자세한 내용은 이항 옵션 가격 설정 모델 model 방법 risk 합리적인 가격 설정 risk 논리 및 공식 도출에 대한 위험 중립 평가참조하십시오.

위에서 설명한 바와 같이, 격자 접근법은 옵션을 조기에 행사할 것인지 아니면 옵션을 보유할 것인지를 선택할 것인지를 각 개별 시간/가격 조합에서 모델링할 수 있는 미국 옵션을 평가하는 데 특히 유용하다. 이는 버미단 옵션에도 해당된다.비슷한 이유로 실물옵션과 종업원주식선택권수정된 가정에도 불구하고 격자구조를 사용하여 종종 모형화된다.이러한 경우 각각 세 번째 단계는 옵션을 행사할 것인지 보류할 것인지를 결정하고 해당 노드에 이 값을 적용하는 것입니다.장벽 옵션과 같은 일부 외래 옵션도 여기에서 쉽게 모델링할 수 있다. 다른 경로 의존 옵션의 경우 시뮬레이션이 선호될 것이다. (단, 나무 기반 방법이 개발되었다.)[5] [6] ) 。

가장 단순한 격자 모델은 이항 옵션 가격 설정 [7]모델이다. 표준("표준")[8] 방법은 1979년 Cox, Ross and Rubinstein(CRR)에 의해 제안된 것이다. 공식은 도표를 참조한다.기초 [4]가격 개발에 관해 각각 "다양한 가정 하에서 도출된" 20개 이상의 다른 방법이 [9]개발되었다.제한적으로, 시간 단계 수가 증가함에 따라, 이것들은 로그 정규 분포로 수렴되고, 따라서 블랙-숄즈와 같은 "동일한" 옵션 가격을 산출한다. 이를 달성하기 위해, 이들은 이산적으로 측정되는 각 시간 단계의 중심 순간, 원시 순간 및/또는 로그 모멘트와 일치하도록 다양하게 모색할 것이다.시간 단계 수가 변경됨에 따라 Black-Scholes에 대한 안정성을 달성할 수 있도록 추가 기능이 설계되었습니다.사실 최신 모델은 Black-Scholes와의 [9]직접 융합을 중심으로 설계되어 있습니다.

이항식의 변형은 1986년 펠림 보일에 의해 개발된 삼항식 [10][11]나무이다.여기서 주가는 시간적 단계에 걸쳐 변동이 없을 수 있으며, 옵션평가는 이후 시간적 단계에 있는 상승, 하강 및 중간 노드의 지분가치에 기초한다.이항식의 경우, 유사한(작지만) 범위의 방법이 존재합니다.삼항 모델은 모델링된 시간 단계가 적을 때 이항 모델보다 더 정확한 결과를 생성하는 것으로 간주되며[12], 따라서 계산 속도 또는 리소스가 문제가 될 수 있는 경우에 사용됩니다.바닐라 옵션의 경우 단계 수가 증가함에 따라 결과가 빠르게 수렴되고 구현이 단순하기 때문에 이항 모형이 선호됩니다.외래 옵션의 경우 단계 크기에 관계없이 삼항 모형(또는 적응)이 더 안정적이고 정확할 수 있습니다.

다양한 그리스인들은 격자 위에서 직접 추정할 수 있으며, 여기서 감도는 유한한 [13]차이를 사용하여 계산된다.델타와 감마는 가격 대비 옵션 값의 민감도이며, 동일한 시간 단계에서 옵션 가격(관련 현물과 함께) 간의 차이를 고려할 때 대략적으로 계산된다.시간에 민감한 Theta도 마찬가지로 트리의 첫 번째 노드에 대한 옵션 가격과 이후 시간 단계에서 동일한 지점에 대한 옵션 가격으로 추정됩니다.(삼항식의 경우 두 번째 시간 단계, 이항식의 경우 세 번째 시간 단계입니다.방법에 따라서는, 「다운 팩터」가 「업 팩터」의 역수가 아닌 경우, 이 방법은 정밀하지 않습니다.)rho, 금리에 대한 민감도 및 입력 변동성에 대한 민감도의 경우, 값은 이러한 입력이 약간 변경된 새로운 격자에서 두 번째로 계산되어야 하며, 여기서의 민감도는 마찬가지로 유한한 차이를 통해 반환되기 때문에 간접적인 측정이다.일반적으로 격자를 사용하여 계산되는 운동 예상 시간인 Fugit도 참조하십시오.

변동성 미소 또는 표면을 통합하는 것이 중요한 경우 암묵적인 트리를 구성할 수 있습니다.여기서 트리는 다양한 파업과 만료에 걸쳐 선택된 (모든) 시장 가격을 성공적으로 재현하도록 해결됩니다.따라서 이러한 트리는 모든 유럽 표준 옵션(파업과 만기가 트리 노드와 일치함)이 시장 가격에 맞는 이론적 가치를 갖도록 보장한다.[14]조정된 격자를 사용하여 시장에서 견적되지 않은 파업/만기 조합으로 옵션 가격을 매길 수 있으며, 이러한 가격이 관측된 변동성 패턴과 일관되도록 할 수 있다.묵시적 이항 트리(종종 Rubinstein IBTs(R-IBT))[15]와 묵시적 삼항 트리(종종 Derman-Kani-Chriss[14](DKC; DK-IBT를[16] 대체함)가 모두 존재한다.전자는 구축이 용이하지만 하나의 성숙도로만 일관됩니다.후자는 모든 시간 단계와 노드에서 알려진(또는 보간된) 가격과 일관성을 유지하지만 동시에 요구됩니다.(DKC는 사실상 이산화된 국지적 변동성 모델입니다.)

건설에 관해서는 R-IBT의 첫걸음은 현물가격의 '임시드 엔딩 리스크 중립 확률'을 회복하는 것이다.그런 다음 동일한 종료 노드로 이어지는 모든 경로가 동일한 위험 중립 확률을 갖는다고 가정하면 각 종료 노드에 "경로 확률"이 부가됩니다.그 후 "원투쓰리만큼 간단"하며, 3단계 역방향 재귀로 각 시간 단계에서 노드 확률을 복구할 수 있습니다.옵션평가는 표준으로 진행되며, 이 값은 p로 대체된다.DKC의 경우, 첫 번째 단계는 트리의 각 노드에 해당하는 상태 가격을 회복하여 관측된 옵션 가격(즉, 변동성 표면)과 일관되도록 하는 것이다.그 후 각 노드에 대해 상향, 하향 및 중간 확률을 찾아낸다. 즉, 이러한 합계는 1이다. 인접한 시간 단계별 현물 가격은 배당 수익률을 반영하여 위험을 중립적으로 진화시킨다. 주 가격은 위험 없는 [17]비율로 비슷하게 "성장"한다.(여기서 솔루션은 동시 단계가 아니라 시간 단계별로 반복됩니다.)R-IBT의 경우 옵션 평가는 표준 역방향 재귀에 의해 이루어집니다.

또는 Edgeworth 이항 트리를 사용하면 분석가가 지정한 왜곡과 현물 가격 수익의 첨도를 사용할 수 있습니다. Edgeworth 시리즈를 참조하십시오.이 접근방식은 기초가 되는 동작이 정규성에서 벗어날 때(분명히) 유용합니다.이와 관련된 용도는 변수 값의 "적절한 선택"[19]을 통해 트리를 변동성 미소(또는 표면)에 맞게 보정하는 것이다. 즉, 여기에서 가격이 매겨진 옵션은 서로 다른 암시적 휘발성을 반환한다.American 옵션의 가격 책정의 경우 Edgeworth에서 생성된 종료 분포를 R-IBT와 결합할 수 있습니다.이 접근법은 유효한 분포를 사용할 수 있는 왜도 및 첨도 쌍의 집합에 대해 제한됩니다.보다 최근의 Johnson 이항 트리는 가능한 모든 쌍을 수용할 수 있기 때문에 Johnson 분포의 "군"을 사용합니다.

여러 언더라이어의 경우 노드 수는 언더라이어의 수와 함께 기하급수적으로 증가하지만 다항식[21] 격자를 구축할 수 있다.또는 Edgeworth(또는 Johnson) 트리를 통해 "근사 분포"[22]를 사용하여 바스켓 옵션의 가격을 지정할 수 있습니다.

금리파생상품

수목기준채권옵션평가:

0. 본문에서 설명한 바와 같이 현재의 이자율 구조와 일치하는 이자율 트리를 구축한다.

1. 대응하는 채권-가격 트리를 구축한다.여기서 기초채권은 각 노드에서 "후진유도"에 의해 평가된다.

  • 최종 노드에서는 채권가치는 단순히 액면가(또는 1달러)에 해당하는 경우 쿠폰(센트)을 더한 값이다.채권일과 트리일이 일치하지 않으면 노드 고유의 쇼트 레이트를 사용하여 시간 단계 시작까지 할인된다.
  • 각 초기 노드에서, 이는 후속 시간 단계에서 노드의 할인된 기대값과 현재 시간 단계 동안의 쿠폰 지불을 더한 것으로, 시간 단계 시작과 유사하게 할인된다.

(2) 대응하는 채권옵션 트리를 구축한다.채권에 대한 옵션도 마찬가지로 평가된다.

  • 옵션 성숙도 시점의 가치는 해당 시간 단계의 모든 노드에 대한 수익성을 기반으로 합니다.
  • 이전 노드에서 값은 현재 노드의 짧은 비율로 할인된 후 단계 노드의 옵션 기대값의 함수이다. 여기서 비유럽적 값은 이것보다 크고 해당 채권 값이 주어진 행사 값이다.

일반적으로 채권옵션, 스와프션기타 이자율파생상품[23][24] 평가에 사용되는 격자는 주로 위와 같으나, 기초가 되는 이자율 트리를 구성하는 추가 단계인 0을 요구한다.다음 단계도 다르다. 즉, 여기서의 기본 가격은 "후진 유도"를 통해 형성된다. 즉, 위에서와 같이 평가일로부터 전진하는 것이 아니라, 각 노드에서 예정된 현금 흐름의 현재 가치를 축적하는 것이다.마지막 단계인 옵션 평가는 표준으로 진행됩니다.그래픽에 대해서는 상단을 참조해 주세요.설명에 대해서는 별도로 참조해 주세요.

초기 격자는 Hull-과 같은 짧은 속도 모델을 이산화하여 구축한다.화이트 또는 블랙 더먼 완구 또는 LIBOR 시장 모델 또는 HJM과 같은 선물 환율 기반 모델.형평성에 관해서는, 이러한 [25]모델에도 3항 트리를 사용할 수 있습니다.이것은 보통 Hul-White 트리의 경우입니다.

HJM에서는 [26]차익거래가 없는 조건은 선물환율의 "차익계수"에 대응하는 제한뿐만 아니라 마티게일 확률 측정이 존재한다는 것을 의미한다.이들은 차례로 선물환율의 [27]변동성에 대한 함수이다.드리프트에 대한 "단순한" 이산식은[28] 전달 속도를 이항 격자로 표현할 수 있게 한다.이러한 전진 비율 기반 모델의 경우 변동성 가정에 따라 격자는 [29][26]재결합하지 않을 수 있다.(즉, "업모브"에 이어 "다운모브"에 이어 "업모브"에 이어 "업모브"와 같은 결과를 얻을 수 없습니다.)이 경우, 래티스는 때때로 "부시"라고 불리며, 노드 수는 시간 단계 수에 따라 기하급수적으로 증가합니다.Libor Market [30]Model에서도 재조합 이항 트리 방법을 사용할 수 있습니다.

단기 요율 모델에 대해서는 평형 기반(Basicek CIR) 또는 무차익(Ho-Lee 이후)으로 더욱 분류된다.이러한 차이: 평형 기반 모델의 경우 수익률 곡선은 모델의 산출물인 반면, 차익거래가 없는 모델의 경우 수익률 곡선은 [31]모델에 대한 입력물입니다.전자의 경우, 접근법은 모델에 의해 생산되는 채권 가격이 관측된 시장 [32]가격에 가장 적합하도록 모델 매개변수를 "보정"하는 것이다.그런 다음 이들 파라미터의 함수로 트리가 구축됩니다.후자의 경우, 보정은 직접 격자 위에 있다. 즉, 금리의 당기 구조(, 수익률 곡선)와 해당 변동성 구조 모두에 적합하다.여기서 보정은 수익률 곡선을 구성하는 데 사용제로쿠폰 채권(및 기타 이자율에 민감한 유가증권)의 가격을 재현하는 것을 의미한다.정규 분포를 가정한 모델(예: Ho-Lee)의 경우 분석적으로 보정을 수행할 수 있으며, 로그 정규 모델의 경우 보정은 루트 찾기 알고리즘을 통해 이루어집니다. 예를 들어, Black-Derman - 아래의 상자 설명을 참조하십시오.장난감 모델.

여기서 변동성 구조(즉, 수직 노드 간격)는 분기 또는 기타 기간 동안의 변동성을 격자 시간 단계에 따라 반영한다(일부 분석가는 "실현된 변동성"을 사용한다. 즉, 시간 단계에 역사적으로 적용할 수 있는 비율을 사용한다. 시장 정합성이 유지되는 분석가는 일반적으로 현재의 금리사용하는 것을 선호한다.상한가격 및 각 컴포넌트 캐플릿의 Black-76-Price에 대한 암시적 변동성. 이자율 상한 § 암시적 변동성을 참조하십시오.)변동성에 대한 이러한 기능적 링크를 고려할 때, 이제 자본 암묵적 트리에 대한 건설의 결과적 차이에 주목한다. 금리의 경우, 변동성은 각 시간 단계에 대해 알려져 있으며, 노드 값(즉, 금리)은 특정 위험 중립 확률에 대해 해결되어야 한다. 반면, 형평성에 대해서는 단일 변동성이 발생할 수 있다.시간 단계별로 지정되지 않습니다. 즉, "예"가 있으며 트리는 각 노드에서 기본의 지정된 값에 해당하는 확률을 해결하여 구축됩니다.

이자율격자는 교정이 완료되면 다양한 고정수익상품과 [26]파생상품의 가치평가에 사용된다.채권옵션에 대한 접근법은 별도로 설명하며, 이 접근법은 폐쇄형 접근법에 따라 경험하는 액면인수(pull to par) 문제를 다루고 있다.스왑의 경우 1단계에서 채권으로 스왑을 대체하고 2단계에서 채권 옵션으로 스왑을 대체하는 논리는 거의 동일합니다.캡(및 플로어)의 경우 스텝1과 2를 조합합니다.각 노드에서의 값은 이후의 스텝에서의 관련 노드에 근거하고, 타임 스텝에서 성숙하는 캡렛(플로어)에 대해서는, 그 노드의 기준 레이트와 쇼트 레이트의 차이(및 대응하는 데이 카운트 비율과 교환되는 명목치를 반영)를 기본으로 합니다.callable-과putable 채권에 대해서는 3단계:에서 time-step에 각 노드.(그리고 이 같은 옵션이 서로 독점적이지 않다는 것을 주목하였고 그리하여 채권 여러가지 옵션 포함될 수 있는 채권 가격 및/또는 옵션 가격 거기에 stepping-backwards 한 time-step기 전에 임베디드 옵션의 효과를;[33]하이브리드 요구될 것이다. 의심큐리티는 다음과 같이 처리됩니다.)더 이국적인 이자율 파생상품의 경우 1단계 이후에도 비슷한 조정이 이루어진다."그리스인"에 대해서는 주로 다음 항을 참조한다.

(미국) 채권옵션, 특히 만기수익률(YTM)을 모델링하기 위한 대안적 접근법은 수정된 지분 지분매각법을 사용한다.[34]여기서 분석가는 일정한 변동성 가정을 적용하여 YTM의 CRR 트리를 구축한 다음 각 노드에서 이 수익률의 함수로 채권 가격을 계산합니다. 따라서 여기서의 가격은 동등합니다.두 번째 단계는 해당하는 DKC 트리를 구축하고(CRR 트리의 모든 2차 시간 단계에 기초함: DKC는 3항식이고 CRR은 이항식이기 때문에) 옵션 평가에 이를 사용하여 변동성의 용어 구조를 통합하는 것이다.

2007-2012년 글로벌 금융위기 이후 스와프 가격은 (일반적으로) "멀티 커브 프레임워크" 하에 있으며, 이전에는 단일 "셀프 디스카운트" 곡선에서 벗어났다. 금리 스와프 valuation 밸류에이션가격 책정을 참조한다.여기서, 보상은 해당 테너특정한 LIBOR의 함수로 설정되며, 할인은 OIS 비율이다.이를 격자 프레임워크에 수용하기 위해 OIS 비율과 관련 LIBOR 비율을 3차원 트리로 공동 모델링하고 LIBOR 스왑 비율이 [35]일치하도록 구성한다.이와 같이 제로스 스텝이 달성되면 평가는 1단계 이후를 이용하되, 여기서는 LIBOR "차원"에 기초한 현금 흐름과 OIS "차원"에서 대응하는 노드를 사용하여 할인하는 방식으로 진행된다.

하이브리드 증권

주식형 및 채권형 특성을 모두 포함하는 하이브리드 유가증권[36]나무를 사용하여 평가된다.전환사채(CB)의 경우, Tsiveriotis와 Fernandes(1998)[37]의 접근방식은 각 노드의 채권가치를 CB가 전환되는 상황에서 발생하는 "지분" 요소와 CB가 상환되는 상황에서 발생하는 "채무" 요소로 나누는 것이다.이에 대응하여 할인액이 각각 무위험율 및 신용위험 조정율인 [38]CB의 가치인 트윈 트리를 구축한다.주식형 트리와 단기율 [39]트리를 비슷하게 결합하는 다른 방법도 있다.Goldman Sachs(1994)[40]가 최초로 발표한 대안적 접근법은 구성요소를 분리하지 않으며, 오히려 할인율은 단일 나무 내에서 전환가능성가중위험과 위험가중금리로 한다.전환사채 valuation 가치평가, 조건부 전환사채참조한다.

더 일반적으로, 자본은 기업[41]대한 콜옵션으로 볼 수 있다. 즉, 기업의 가치가 미지급채무의 가치보다 작다면 주주들은 기업의 부채를 상환하지 않기로 선택할 것이고, 그렇지 않으면 청산하지 않기로 선택할 것이다(즉, 주식선택권을 행사하지 않을 것이다.격자 모형은 [42][43]특히 어려움을 겪고 있는 [44]기업과 관련하여 자본 분석을 위해 개발되었습니다.이와 관련, 기업채무가격결정과 관련하여, 지분 소유자의 유한부채와 잠재적 제11장 절차 사이의 관계도 [45]격자를 통해 모델링하였다.

이자율 파생상품에 대한 "그리스"의 계산은 자본에 대해 진행됩니다.그러나 특히 하이브리드 증권의 경우 금리 변동에 관련된 민감도를 추정하는 추가 요구사항이 있다.내재형 옵션이 있는 채권의 경우 만기기준수익률존속기간과 볼록성 계산에서는 옵션행사로 인한 이자율의 변동이 현금흐름을 어떻게 변화시키는지 고려하지 않는다.를 해결하기 위해 유효 지속시간과 -볼록성이 도입되었다.여기서 위의 rho 및 vega와 마찬가지로 수익률 곡선의 상향 평행 시프트와 하향 평행 시프트를 위해 금리 트리를 재구축하고 대응하는 채권 [46]가치의 변화에 따라 이들 척도를 수치로 계산한다.

레퍼런스

  1. ^ Staff, Investopedia (17 November 2010). "Lattice-Based Model".
  2. ^ Hull, J. C. (2006)옵션, 선물 및 기타 파생상품.Pearson Education India.
  3. ^ Cox, J. C., Ross, S. A. 및 Rubinstein, M. (1979)옵션 가격:심플한 어프로치금융경제학회보, 7(3), 229~263.
  4. ^ a b Chance, Don M. 2008년 3월 Wayback Machine에서 2016-03-04년에 보관Loggular Distributed Assets에 대한 이항 옵션 가격 모델 통합.응용금융 저널 제18권
  5. ^ 티모시 클라센입니다(2001) 아시아 옵션의 단순하고 신속하며 유연한 가격 설정, 컴퓨터 파이낸스 저널, 4(3) 89-124(2001)
  6. ^ John Hul과 Alan White. (1993) 유럽과 미국의 경로 의존적 옵션을 평가하는 효율적인 절차, Journal of Derivates, Fall, 21-31
  7. ^ 로니 베커 (N.D.)아프리카 수리과학연구소 이항모형에서의 가격결정
  8. ^ 마르쿠스 K. 브루너마이어 교수프린스턴 대학다주기 모델 옵션.
  9. ^ a b Mark s. Joshi (2008).미국 풋의 가격 책정을 위한 이항나무의 수렴
  10. ^ 마크 루빈스타인(2000).이항삼항 옵션 가격 모델의 관계에 대하여파생상품 저널, 2000년 겨울, 8 (2) 47-50
  11. ^ Zaboronski 등(2010).삼항 트리를 사용한 가격 설정 옵션.워릭 대학교
  12. ^ "Option Pricing & Stock Price Probability Calculators - Hoadley". www.hoadley.net.
  13. ^ 돈 찬스(2010) 이항모형에서의 그리스인 계산.
  14. ^ a b 에마뉴엘 더먼, 이라즈 카니, 닐 크리스(1996년).변동성의 내포된 삼항식 트리는 미소를 짓습니다.골드만삭스, 정량적 전략 연구 노트
  15. ^ 마크 루빈스타인(1994년).암시적 이항 트리입니다.재무 저널1994년 7월
  16. ^ 에마뉴엘 더먼과 이라즈 카니(1994년).변덕스러운 미소와 함축적인 나무.리서치 노트, 골드만 삭스.
  17. ^ Jim Clark, Les Clewlow 및 Chris Strickland(2008).옵션 시장 가격에 따라 나무를 보정합니다.에너지 리스크, 2008년8월 (아카이브, 2015-06-30)
  18. ^ 마크 루빈스타인(1998).Edgeworth 이항 트리입니다.파생상품 저널, 1998년 봄.
  19. ^ "Wiley: Advanced Modelling in Finance using Excel and VBA - Mary Jackson, Mike Staunton". eu.wiley.com.
  20. ^ 장가이 시모나토(2011).Johnson 이항 트리, 양적 재무, 제11권, 1165-1176페이지
  21. ^ Mark Rubinstein (January 15, 1995). "Rainbow Options". Archived from the original on 22 June 2007.{{cite web}}: CS1 maint: bot: 원래 URL 상태를 알 수 없습니다(링크).
  22. ^ 이사벨 에를리히(2012).스마일 포함 가격 설정 바스켓 옵션.논문, 임페리얼 칼리지
  23. ^ 마틴 하우(2010).용어 구조 격자 모형, 컬럼비아 대학교
  24. ^ S. 베닝가와 Z.위너(1998년).이항 용어 구조 모형, 교육 연구의 수학.제7권 제3호
  25. ^ M. 라이폴드와 Z.위너(2003)단인자 단환율 모델을 위한 3항목의 효율적인 교정
  26. ^ a b c 가격 이자율 의존형 금융 청구(옵션 특징 포함), Rendleman(2002년)의 11장 참조.
  27. ^ 루이지애나 주립 대학의 돈 챈스 교수입니다Heath-Jarrow-Morton 용어 구조 모델
  28. ^ Grant, Dwight M.; Vora, Gautam (26 February 2009). "Implementing No-Arbitrage Term Structure of Interest Rate Models in Discrete Time When Interest Rates Are Normally Distributed". The Journal of Fixed Income. 8 (4): 85–98. doi:10.3905/jfi.1999.319247. S2CID 153599970.
  29. ^ Rubinstein, Mark (1 January 1999). Rubinstein on Derivatives. Risk Books. ISBN 9781899332533 – via Google Books.
  30. ^ S. 데릭, D.스테이플턴과 R.Stapleton (2005년)리보 시장모형: 재조합 이항수법
  31. ^ Graeme West 박사(2010).금리파생상품
  32. ^ "Calibrating the Ornstein-Uhlenbeck (Vasicek) model". www.sitmo.com. Archived from the original on 2015-06-19. Retrieved 2015-06-19.
  33. ^ "embedded option, thefreedictionary.com".
  34. ^ Riskworx (2000년 경)American Bond Option 가격, riskworx.com
  35. ^ 헐과 앨런 화이트(2015).트리를 사용한 다중 곡선 모델링
  36. ^ "Pricing Convertible Bonds".
  37. ^ Tsiveriotis and Fernandes(1998)."신용위험이 있는 전환사채의 가치평가", 고정소득 저널.
  38. ^ Kurt Hess. "Description of Tree Model for the Valuation of a Convertible Bond with Credit Risk". University of Waikato. Archived from the original on 2012-03-21. Retrieved 2015-06-12.
  39. ^ D. R. Chambers, Qin Lu. "A Tree Model for Pricing Convertible Bonds with Equity, Interest Rate, and Default Risk" (PDF). Journal of Derivatives. Archived from the original (PDF) on 2016-04-21. Retrieved 31 May 2007.
  40. ^ 골드만 삭스(1994년).전환사채의 파생상품으로서의 가치평가
  41. ^ 아스왓 다모다란(2002).어려움에 처한 기업의 가치 평가
  42. ^ 그랜트 손턴(2013)."Valuation Considerations Related to Complex Financial Instruments for Investment Companies" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2015-07-09. Retrieved 2015-07-08.
  43. ^ "Not Found - Business Valuation Resources" (PDF). www.bvresources.com.
  44. ^ 아스왓 다모다란.평가 시 옵션 가격 설정 응용 프로그램
  45. ^ Mark Broadie와 Ozgur Kaya(2007).기업부채의 가격결정모델링을 위한 이항격자법 제11장 절차, 재무정량분석 저널, 제42권, 제2호
  46. ^ 참고 문헌에서 Fabozi를 참조하십시오.

참고 문헌