사면수

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사면수, 즉 삼각형 피라미드 수는 삼각형 밑면과 삼면이 있는 피라미드를 나타내는 형상으로 사면수라 불린다.n번째 사면수인 Te는_n 첫 번째 n개의 삼각형 수를 합한 것이다. 즉,

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}}=\sum _{k=1}^{n}\왼쪽(\sum _{i=1}^{k}i\오른쪽)}$

사면체 수는 다음과 같다.

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A000292)

공식

n번째 사면수에 대한 공식은 n의 3번째 상승 요인인 3을 3의 요인인 3으로 나눈 값으로 나타낸다.

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}}=\sum _{k=1}^{n}\왼쪽(\sum _{i=1}^{k}i\right)={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}={\frac{n^{\overline{3}}{3!}}}$

사면체 숫자는 이항 계수로도 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}.}$

따라서 사면 숫자는 파스칼의 삼각형의 왼쪽 또는 오른쪽에서 네 번째 위치에서 찾을 수 있다.

수식증명서

이 증명은 n번째 삼각형 숫자가 다음과 같이 주어진다는 사실을 이용한다.

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}.}$

그것은 유도에 의해 진행된다.

베이스 케이스

${\displaystyle Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}.}$

귀납 단계

${\displaystyle {\reasoned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)\좌측값\frac{n}{6}}{{6}}{\frac{1}{1}:{2}}\우측)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3){6}}.\end{정렬}}}$

이 공식은 고스퍼의 알고리즘으로도 증명할 수 있다.

일반화

The pattern found for triangular numbers ${\displaystyle \sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{2}+1}{2}}}$ and for tetrahedral numbers ${\displaystyle \sum _{n_{2}=1}^{n_{3$$}}}\sum _{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}={\binom {n_{3}+2}{3$$}{3}{3}{3}}{3}}{3}}{3}}}{3}}}}{3}}}$$}}}$은(는) 일반화할 수 있다$$.이는 다음과 같은 공식으로 이어진다.^[1]

기하학적 해석

사면수는 구를 쌓아서 모델링할 수 있다.예를 들어 다섯 번째 사면수(Te₅ = 35)는 당구공 35개와 공 15개를 제자리에 고정하는 표준 삼각 당구공 프레임으로 모델링할 수 있다.그리고 그 위에 10개의 공이 더 쌓이고, 그 다음에 또 다른 6개가 쌓이고, 그 다음에 또 다른 3개의 공과 그 위에 있는 1개의 공이 사면체를 완성한다.

Te_n spoles에서 구축된 order-n tetrahedra를 하나의 단위로 사용할 때, 그러한 유닛으로 타일링된 공간이 n ≤ 4만큼 긴 시간 동안 가장 밀도가 높은 구체 패킹을 달성할 수 있다는 것을 보여줄 수 있다.^{[2][dubious – discuss]}

사면체 뿌리 및 사면체 수 검사

x의 큐브 루트와 유추하여 x의 (실제) 사면체 루트를 Te_n = x:와 같은 숫자 n으로 정의할 수 있다.

카르다노의 공식에 따르면동등하게, x의 실제 사면근 n이 정수라면, x는 n번째 사면근수다.

특성.

• Te_n + Te_n−1 = 1²² + 2 + 3² ... + n, 사각² 피라미드 숫자.
• A. J. Meyl은 1878년에 3개의 사면수만이 완벽한 정사각형이라는 것을 증명했다. 즉, 다음과 같다.

  Te₁ = 1² = 1

  Te₂ = 2² = 4

  Te₄₈ = 140² = 19600.

• 프레데릭 폴록 경은 모든 숫자가 최대 5개의 4면체 숫자의 합이라고 추측했다: 폴록 4면체 숫자 추측을 참조하라.
• 정사각형 피라미드 숫자인 사면체 번호는 1(Beukers, 1988)뿐이며, 역시 완벽한 입방체인 사면체 번호는 1이다.
• 사면수의 왕복의 무한 합은3/2. 텔레스코핑 시리즈를 사용하여 파생할 수 있음:

  ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\inflt }{6}{n(n+1){n+1)}}}}={\tfrac {3}{2}.}$

• 사면체 수의 동등성은 짝수-짝수-짝수 반복 패턴을 따른다.
• 사면체 수의 관측치:

  Te₅ = Te₄ + Te₃ + Te₂ + Te + Te₁

• 삼각형과 사면체 둘 다인 숫자는 이항계수 방정식을 충족해야 한다.

  ${\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}$

사면체 및 삼각형 숫자 모두(OEIS에서 순서 A027568):

Te₁ = T₁ = 1

Te₃ = T₄ = 10

Te₈ = T₁₅ = 120

Te₂₀ = T₅₅ = 1540

Te₃₄ = T₁₁₉ = 7140

대중문화

Te₁₂ = 364는 캐럴 "크리스마스 12일"의 12절 전 구절 동안 "내 진실한 사랑이 내게 보낸" 선물 총 수입니다.^[3]각 구절 이후의 누적 총 선물 수 또한 n 구절의_n Te이다.

KeyForge 3주택 조합의 개수도 4면수인 Te이고_n−2 여기서 n은 주택수다.

참고 항목

• 중심 삼각수

참조

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedral Number". MathWorld.
• Wolfram 데모 프로젝트인 Jim Delany의 4면 번호 공식의 기하학적 증명.