서클 그룹

수학에서 $\mathbb {T}$ ${\$ $\mathbb {S}$ S ${\$ 로 표시된 원 그룹은 절대값 1을 가진 모든 복잡한 숫자의 곱셈 그룹, 즉 복잡한 평면에 있는 단위 원 또는 단순히^[1] 단위 복합 번호의 곱셈 그룹이다 $\mathbb {S}$ ¹

\displaystyle \mathb {T} =\{z\in \mathb {C} : z =1\}~}

원 그룹은

\mathbb {C} ^{\times }

0이 아닌 복잡한 숫자의 곱셈

그룹

인 C

×

{\displaystyle

\mathb {C}

^{\

times

\mathbb {C} ^{\times }

의 하위 그룹을 형성한다.

\mathbb {C} ^{\times }

\mathbb {C} ^{\times }

{\

은

\mathbb {C} ^{\times }

(는) 아벨리안이기

\mathbb {T}

에 T

\mathbb {T}

{\

displaystyle \mathb {T}

도 마찬가지인

\mathbb {T}

것이다. 서클 그룹은 또한 1×1 복합값 단일

{\mbox{U}}(1)

의

{\mbox{U}}(1)

{\mbox{U}}(1)

U (

){\displaystyle

{\

mbox{U}(

1) 그룹이며, 이들은 원점을 중심으로 회전하여 복합 평면에 작용한다. 원 그룹은

\theta

\theta

의

\theta

각도로 파라메트리할 수 있다.

\displaystyle \theta \mapsto z=e^{i\theta }=\coses \theta +i\sin \theta.}

이것은 원 그룹에 대한 지수 지도 입니다.

서클 그룹은 폰트랴긴 이원화, 그리고 리 그룹 이론에서 중심적인 역할을 한다.

원 그룹에 대한 $\mathbb {T}$ $\mathbb {T}$ ${\$ 표기법은 표준 위상(아래 참조)과 함께 원 그룹이 1토러스라는 사실에서 유래한다. $보다$ 일반적으로 $\mathbb {T} ^{n}$ $\mathbb {T} ^{n}$ ${\$ $displaystyle$ $\mathb$ ${$ $T}$ $^{n}}($ 자체 $n$ $n$ 회 $n$ $)$ 는 $\mathbb T$ $\mathbb {T}$ 으로 n {\ $displaystyle n}$ -torus이다 $n$ .

기초소개

원 그룹의 곱셈은 각도의 덧셈과 같다.

원 그룹에 대해 생각해 볼 수 있는 한 가지 방법은 0°와 360° 사이의 각도만 허용되는 각도 추가 방법을 설명하는 것이다. 예를 들어 다이어그램은 150° ~ 270°를 추가하는 방법을 보여준다. 답은 150° + 270° = 420°여야 하지만, 서클 그룹 차원에서 생각할 때는 서클을 한 번 감쌌다는 사실을 '잊어버릴' 필요가 있다. 따라서 420° = 60°(mod 360°)를 주는 360°로 답변을 조정한다.

또 다른 설명은 0과 1 사이의 숫자만 허용되는 일반적인 덧셈의 관점에서 설명된다(완전 회전에 해당하는 1과 함께). 이를 위해서는 소수점 이전에 발생하는 숫자를 버려야 할지도 모른다. 예를 들어 0.784 + 0.925 + 0.446을 운동할 때 정답은 2.155가 되어야 하는데 선두 2는 버리기 때문에 (서클 그룹에서) 답은 0.155에 불과하다.

위상학적 및 분석적 구조

서클 그룹은 추상적인 대수적 대상 그 이상이다. 복잡한 평면의 하위 공간으로 간주될 때 자연적인 위상이 있다. 곱셈과 역행은 $\mathbb {C} ^{\times }$ $\mathbb {C} ^{\times }$ ${\$ 에 대한 연속 함수이므로 원 그룹은 위상학 그룹의 구조를 갖는다 $\mathbb {C} ^{\times }$ 더구나 단위 원은 복잡한 평면의 닫힌 부분집합이기 때문에 원 그룹은 $\mathbb {C} ^{\times }$ $\mathbb {C} ^{\times }$ ${\$ 자체 위상학적 그룹으로 간주됨)의 닫힌 부분군이다.

사람은 더 말할 수 있다. 원은 1차원 실제 다지관이고 곱셈과 역행은 원 위의 실제 분석적 지도다. 이것은 원 그룹에 하나의 변수 그룹, 즉 Lie 그룹의 한 인스턴스(instance)의 구조를 제공한다. 사실, 이소모르피즘에 이르기까지, 그것은 독특한 1차원 컴팩트하고 연결된 Lie 그룹이다. 더욱이, $모든$ n{\ $displaystyle n$ }차원 $n$ 컴팩트하고, 연결된 아벨리안 리 그룹은 $\mathbb {T} ^{n}$ n $\mathbb {T} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathb{T}$ ^{ $n}}}$ 에 대해 이형성이 있다 $\mathbb {T} ^{n}$

이소모르프스

서클 그룹은 수학에서 다양한 형태로 나타난다. 우리는 여기에 좀 더 일반적인 양식들을 나열한다. 구체적으로, 우리는 그것을 보여준다.

\mathbb {T} \cong {\mbox{U}(1)\cong \mathb {R} /\mathbb {Z} \cong {\mbox}(2) \cong {\mbox{SO}(2) \cong.

슬래시(/)는 여기서 중요한 그룹을 가리킨다는 점에 유의하십시오.

모든 1×1 유니터리 행렬의 집합은 분명히 원 그룹과 일치한다. 유니터리 조건은 원소가 절대값 1을 갖는 조건과 동일하다. 따라서 원 그룹은 최초의 단일 집단인 ${\mbox{U}}(1)$ ( $){\displaystyle {\mbox{U}(1)$ 에 대해 표준적으로 이형화되어 있다.

지수함수는 그룹동형성 $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T}$ : $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T}$ → T ${\$ $displaystyle \exp :\mathb {R} \mathb {T}을$ 를) 가산실수 $\mathbb {T}$ $\mathbb {R}$ {\ $displaystyle$ \mathb { $R}$ 에서 지도를 통해 원 그룹 $\mathbb {T}$ ${\$ 까지 $\mathbb {R}$ 발생시킨다.

\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta ~.}

마지막 평등은 오일러의 공식이나 복합 지수다. 실제 숫자 θ은 양의 x축에서 시계 반대방향으로 측정했을 때 단위 원의 각도(라디안)에 해당한다. 이 지도가 동형상이라는 것은 단위 복합수의 곱셈이 각도의 추가에 해당한다는 사실에서 비롯된다.

e^{i\theta_{1}e^{i\theta_{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2}}}\,

이 지수 지도는 $\mathbb {R}$ ${\$ }에서 $\mathbb {T}$ T {\ $displaystyle \mathb$ {T} $}$ }에 $\mathbb {R}$ 이르는 돌출함수임이 분명하지만 주입 함수는 아니다 $\mathbb {T}$ 이 지도의 커널은 2 $2\pi$ 의 모든 정수 배수의 집합이다 ${\displaystyle 2\pi$ $2\pi$ 첫 번째 이형성 정리에서 우리는 그것을 갖게 된다.

\mathb {T} \cong \mathb {R} /2\pi \mathb {Z} \,.

재할인 후 $\mathbb {T}$ ${\$ $mathb$ $\mathbb {T}$ { $T} }$ 이(가 $)$ R $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ / $Z$ 에 대해 이형체라고 $\mathbb {T}$ 말할 수 있다 $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

복잡한 숫자가 2×2 실제 행렬로 실현되는 경우(복잡한 숫자 참조), 단위 복합 번호는 단위 결정 인자가 있는 2×2 직교 행렬에 해당한다. 구체적으로, 우리는

e^{i\theta }\좌측 화살표 {\bmatrix}\cos \theta \\sin \theta \\end{bmatrix}}}cos \theta \cos \theeta \f\f\i(e^{i\ta}오른쪽).

이 함수는 이후 원 그룹이 ${\mbox{SO}}(2)$ 특수 직교 그룹 ${\mbox{SO}}(2)$ ( ${\mbox{SO}}(2)$ ) ${\mbox{SO}}(2)$ {\ $displaystyle$ {\ $mbox{SO}(2)$ 에 대해 이형성이 있음을 보여준다.

f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right)

여기서

\times

\times

은

\times

행렬 곱하기입니다.

이러한 이형성에는 단위 복합수에 의한 곱셈이 복합(및 실제) 평면에서 적절한 회전이라는 기하학적 해석이 있으며, 그러한 회전마다 이런 형태의 회전이 있다.

특성.

치수 > 0의 모든 ${\mbox{G}}$ 콤팩트 Lie ${\mbox{G}}$ G ${\$ 에는 원 그룹에 대한 부분군 이형성이 있다. 즉, 대칭의 관점에서 생각하면, 연속적으로 작용하는 콤팩트한 대칭 집단은 하나의 매개변수 원 하위집단이 작용하는 것으로 기대할 수 있다. 예를 들어 물리적 시스템의 결과는 회전 불변성과 자발적인 대칭 파괴에서 나타난다.

서클 그룹은 많은 하위 그룹을 가지고 있지만, 그것의 유일한 적절한 닫힌 하위 그룹은 통합의 뿌리로 구성된다. 각 정수 $n>0$ > $n>0$ ${\displaystyle$ n $>0}$ 에 대해 $n>0$ 통합의 $n$ ${\displaystyle$ n $}$ 뿌리는 $n$ 이소모르피즘에 고유한 n{\ $displaystyle$ n $n$ 의 $순환$ 그룹을 형성한다.

같은 방식으로 모든 자연수 b대리자의b-adic rationals, 1{\displaystyle b> 1}의 것은 진짜 숫자들 완료에서 b{\displaystyle b}의 Prüfer 그룹, 역 한계로 인해 lim←⁡ Z/bnZ{\displaystyle\varprojlim \mathbb{Z}{n}\mathbb의, 원 그룹은 완성이다.{Z}} $\varprojlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z}$ .

표현

서클 그룹의 표현은 설명하기 쉽다. 슈르의 보조정리로부터 아벨리아 집단의 불가해한 복잡한 표현들이 모두 1차원이라는 것을 알게 된다. 원 그룹은 압축적이기 때문에 모든 표현

\rho :\mbox{GL}(1,\mathb {C} )\cong \mathb {C}^{\time },

{\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T}

)

{\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T}

≅

{\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T}

{\

의 값을 반드시 취해야 하므로, 원 그룹의 불가해한 표현은 원 그룹에서 그 자체로 동형상일 뿐이다

{\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T}

이 진술들은 모두 불평등하다. 표현 $\phi _{-n}$ - $\phi _{-n}$ ${\$ 은(는) $\phi _{n}$ ${\$ 에 대한 결합이다 $\phi _{-n}$ $\phi _{n}$

\phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}\,

이러한 표현은 서클 그룹의 캐릭터일 뿐이다. $\mathbb {T}$ ${\$ 의 문자 그룹은 분명히 $\phi _{1}$ $\phi _{1}$ ${\$ } 에 의해 생성된 무한 순환 그룹이다 $\mathbb T$ $\phi _{1}$

\mathrm {Hom}(\mathb {T},\mathb {T} )\cong \mathb {Z} .\,

원 집단의 돌이킬 수 없는 실제 표현은 사소한 표현(이것은 1차원)과 표현이다.

\rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\\theta \\\\sinn\n\data \in{bmatrix}},\quad n\mathb {Z}{{+}}},},}}}

\rho _{-n}

{\mbox{SO}}(2)\,

(

{\mbox{SO}}(2)\,

)

{\

여기서는 표현

{\mbox{SO}}(2)\,

\rho _{-n}

-

\rho _{-n}

{\

이

\rho _{{-n}}

\rho _{n}

{\

displaystyle \rho _

{n

}

에 해당하므로

n

양의

n

만

있다

\rho _{n}

그룹 구조

원 그룹 $\mathbb {T}$ ${\$ 은(는) 분리할 수 없는 그룹이다 $\mathbb T$ . 그것의 비틀림 부분군은 $모든$ n ${\displaystyle n$ 에 대한 통합의 뿌리인 $n$ $모든$ n ${\displaystyle$ n $}$ 의 집합에 의해 주어지며, $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ~$ / Z $displaystyle \mathb {Q}$ /\ $mathb {Z} ~}$ 에 대해 이형성이다 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ~$ 분할할 수 있는 그룹에 대한 구조 정리 및 선택 공리는 $\mathbb {T}$ ${\$ 이(가) $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ Q $displaystyle \mathb$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ { $Q}$ $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ /\ $mathb {Z}$ 의 $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ 직접 합과 이형성이 있음을 $\mathbb {T}$ 알려준다 $\mathbb {Q} ~$ ^{[citation needed]}

$\mathbb {Q}$ ${\$ 의 복사본 수는 ${\mathfrak {c}}$ ${\$ 연속체의 카디널리티)여야 $\mathbb {Q}$ 직계 합계의 카디널리티가 정확할 수 있다. But the direct sum of ${\mathfrak {c}}$ copies of $\mathbb {Q}$ is isomorphic to $\mathbb {R}$ , as $\mathbb {R}$ is a vector space of dimension ${\mathfrak {c}}$ over $\mathbb {Q} ~$ . 그러므로

\mathb {T} \cong \mathb {R} \oplus(\mathb {Q} /\mathb {Z} )~.

이형성

\mathb {C} ^{\time }\cong \mathb {R} \oplus(\mathb {Q} /\mathb {Z})

$\mathbb {C} ^{\times }$ $\mathbb {C} ^{\times }$ ${\$ 은(는) $\mathbb {T} ~$ $displaystyle \mathb {T}$ 의 비틀림 하위그룹과 동일한 분할 아벨 그룹이기 때문에 동일한 방법으로 $\mathbb {C} ^{\times }$ 증명할 수 있다 $\mathbb {T} ~$

참고 항목

메모들

^ James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (Fifth ed.). Chapman & Hall. p. 436. ISBN 9780412990410. a unit complex number is a complex number of unit absolute value

참조

James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (Fifth ed.). Chapman & Hall. ISBN 9780412990410.

추가 읽기

화루엥(1981) 유닛 서클을 시작으로 스프링거 베를락 ISBN 0-387-90589-8.

외부 링크

원 위의 동형성과 집단구조

[1] James, Robert C.; James, Glenn (1992). Mathematics Dictionary (Fifth ed.). Chapman & Hall. p. 436. ISBN 9780412990410. a unit complex number is a complex number of unit absolute value

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