필드 확장

수학, 특히 대수학에서 필드 확장($field{\displaystyle }$ extension)은 필드 E${\displaystyle f}$F$,\displaystyle$ E$\subseteq$ F$,$의 쌍으로, E의 연산은 E로 제한된다.이 경우 F는 E의 확장 필드, E는 ^[1][2][3]F의 서브 필드입니다.예를 들어, 일반적인 덧셈과 곱셈 개념에서, 복소수는 실수의 확장 필드이고, 실수는 복소수의 하위 필드입니다.

필드 확장은 대수적 수 이론과 갈로아 이론을 통한 다항식 근원 연구에서 기초적이며 대수 기하학에서 널리 사용됩니다.

서브필드

$필드{\displaystyle }$ L$({displaystyle$ L})의$$서브필드$$ K$({$displaystyle K$})$는 L$({displaystyle$L$\})$로부터 상속받은 필드 조작에 관한 필드인 $서브필드{\displaystyle }$ K$displaystyle$ K$\subseteq$ L$)$입니다. 마찬가지로 서브필드란 1$({displaystyle$1$\})$를 포함하는 서브필드입니다.디션,$$뺄셈, 곱셈 및 0이 아닌 K(\$displaystyle$ K$)$ $요소$의 역수를 취합니다.

1 – 1 = 0이므로 후자의 정의는 K$(\displaystyle$ K$)$와 L$(\displaystyle$ L$)$의 요소가 0이라는 $것$을 의미합니다.

예를 들어, 유리수의 필드는 실수의 부분 필드이며, 그 자체가 복소수의 부분 필드입니다.보다 일반적으로 유리수 필드는 $특성{\displaystyle \mathrm{}}$ 0$(\style$ 0$)$ $필드$의 하위 필드입니다.

하위 필드의 특성은 더 큰 필드의 특성과 동일합니다.

[ Extension ]필드

K가 L의 서브필드일 경우 L은 K의 확장 필드 또는 단순 확장 필드이며 이 필드 쌍은 필드 확장입니다.이러한 필드 확장자는 L/K("L over K")로 표시됩니다.

L이 F의 확장자이고, 다시 K의 확장자일 경우 F는 L/K의 중간 필드(또는 중간 확장자 또는 하위 확장자)라고 한다.

필드 확장 L/K가 지정되면 큰 필드 L은 K-벡터 공간입니다.이 벡터 공간의 차원을 확장도라고 하며 [L : K]로 나타냅니다.

확장의 정도는 두 필드가 동일한 경우에만 1입니다.이 경우 내선번호는 단순한 내선번호입니다.차수 2와 3의 연장은 각각 2차 연장과 3차 연장으로 불립니다.유한연장은 유한한 정도를 갖는 확장입니다.

L/K와 M/L의 2개의 확장이 주어졌을 때, L/K와 M/L이 모두 유한한 경우에만 확장 M/K는 유한하다.이 경우, 누군가는

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K]}$

필드 확장 L/K와 L의 서브셋 S가 주어지면 K와 S를 포함하는 L의 최소 서브필드가 존재합니다.이것은 K와 S를 포함하는 L의 모든 하위 필드의 교차점이며 K(S)로 표시됩니다.하나는 K(S)는 S over K에 의해 생성된 필드이고, S는 K over K의 생성 세트라고 한다.$S{\displaystyle }$ $=$ { ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1, ${\displaystyle ...,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ $}$ { $displaystyle$ S=\{$x_{1},\$$ldots,$$x_$${\displaystyle {}_{}}$$n}}$ {$displaystyle$K${\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,{x\_}_{}}$${n$${\displaystyle \})}$ $대신$ K${\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$1,${\displaystyle \dots ,}$$x_$${n})$를 $씁니다{\displaystyle }$$.$K에 대해 완전히 생성되었습니다.S가 단일 요소 s로 구성되어 있는 경우, 확장자 K(s) / K는 단순^[4][5] 확장자, s는 ^[6]확장자의 원시 요소라고 불립니다.

K(S) 형식의 확장 필드는 흔히 S와 ^[7][8]K의 결합에 기인한다고 한다.

특성 0에서 모든 유한 연장은 단순한 확장입니다.이것은 특성이 0이 아닌 필드에는 적용되지 않는 원시 요소 정리입니다.

단순 확장 K(s) / K가 유한하지 않은 경우, 필드 K(s)는 s/K에서의 유리 분수장과 동형이다.

주의사항

L/K 표기법은 순전히 형식적인 것으로, 몫환, 몫군 또는 다른 종류의 나눗셈의 형성을 의미하는 것은 아니다.대신 슬래시는 "over"라는 단어를 표현합니다.일부 문헌에서는 L:K 표기가 사용됩니다.

작은 필드가 실제로 큰 필드에 포함되지 않고 자연스럽게 포함된 경우에는 필드 확장에 대해 설명하는 것이 좋습니다.이를 위해 필드 확장을 두 필드 간의 주입 링 동형사상으로 추상적으로 정의합니다.필드 사이에 0이 아닌 모든 링 동형은 필드가 중요하지 않은 고유 이상을 가지고 있지 않기 때문에 주입형입니다.따라서 필드 확장은 정확히 필드 범주 내의 형태입니다.

따라서 우리는 주입 동형성을 억제하고 실제 서브필드를 다루고 있다고 가정한다.

예

$복소수{\displaystyle \mathbb{}}$ C$(\$ 필드는$$ $실수{\displaystyle \mathbb{}}$R(\$displaystyle \mathbb {R$ 필드의 확장 $필드$이며$,$ R(\$displaystyle \mathbb$${R$$})$은 $유리수{\displaystyle \mathbb{}}$Q(\$displaystyle \mathbbb${Q$\})$ 필드의 확장 $필드$입니다. 그렇다면 C$(\$displaystylearly \mathbbb {Q})는 분명합니다.$playstyle \mathbb {C} /\mathbb {Q}$도 필드 확장입니다.$\{{\displaystyle 1,}$ $}({displaystyle$\{$1,i\})$이 기저이므로 ${\displaystyle 확장\mathbb{}}$${\displaystyle }C{\displaystyle \mathbb{}}$ /$$${\displaystyle }$\$displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R$$})$ $= 2$입니다.이것은 ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle R}$(${\displaystyle }$i )$$. { $displaystyle \mathbb${C}$= \mathbb${R$}($i)이므로 간단한 확장입니다.$\}$${\displaystyle }$ [${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle :}$ Q${\displaystyle ]}$= $c$ \ displaystyle [ \ $mathbb$ { R$}$ : \$mathbb {$ Q } =$snammathfrak$ {$$c $$} (연속체의 카디널리티)이므로 이 확장은 무한하다$.$

필드

$\displaystyle \mathbb {Q}({\displayrt {2})=\left\{a+bcrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\}$

는 Q${\displaystyle }$의 $확장{\displaystyle \mathbb{}}$ 필드입니다$.\displaystyle \mathbb {Q}$ 은$$, 분명히 단순한 확장입니다.${\displaystyle 도수}$가 2인 $것$은 {${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}},}$ 2$}({displaystyle$ \left$\{1,$ {\$sqrt {2}}\right\})$가 기본이 되기 때문입니다$.{\displaystyle }$

필드

${\displaystyle {displaystyle {argement}\mathbb {Q}, {\displayrt {}}\right}&=\mathbb {Q}\left\displaystyle {argrt {3}\right}\displaystyle\mathbb {3}\rt {3}\right)\&=\left\{a+bbbbrt {3}\mid a,b\in \mathbb {Q}\left\brt {2}\right\}\&=\left\{a+brt {2}}+crt {3}\mad a,c,drt {6}\d}\mathbbbb {rt {}\right}\right}\right}\mathb}\mathb {Q}\mathb}\rt {Q}\right}\right}\right}\right$

는 Q${\displaystyle }$( $2$ displaystyle $\mathbb {Q}(\sqrt {2})}$ 및$$ $,$ {\$displaystyle \mathbb {Q}$의 확장 필드입니다.또한 간단한 확장입니다.

${\displaystyle {displaystyle {argentrt {2}, {\displayrt {3})&=\mathbb {Q}({\displayrt {2}}+{a+bgrt {2}})+{\displayrt {3}\displaystyle {\displayrt {3})\end { aligned}}$

Q$(\$의 유한 확장자를 대수적 수 필드라고도 하며, 수 이론에서 중요합니다.유한 연장은 아니지만 수론에서도 중요한 유리수의 또 다른 확장장은 소수 p에 대한 p-adic 수 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 필드이다.

주어진 다항식 f(X)에 대한 루트를 만들기 위해 주어진 필드 K의 확장 필드를 다항식 링 K[X]의 몫 링으로 구성하는 것이 일반적이다.예를 들어 K에 x = -1인² x 원소가 없다고 가정합니다.그러면 $다항식{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ $({displaystyle$ X$^{2}+1})$은 K[X]에서 축소할 수 없으며, 결과적으로 이 다항식에 의해 생성된 이상은 최대가 $되며{\displaystyle }$, L ${\displaystyle =K}$ [${\displaystyle X]}$/ ( ${\displaystyle {X\mathrm{}}^{}}$2 +${\displaystyle 1}$)$${$displaystyle$L$$=$K[X]/{2}+1$}는 K의 확장이다.

위의 구문을 반복함으로써 K[X]에서 임의의 다항식의 분할장을 구성할 수 있다.이것은 주어진 다항식이 선형 인자의 곱으로 분할되는 K의 확장 필드 L입니다.

p가 임의의 소수이고 n이 양의 정수인 경우, p 요소를 가진ⁿ 유한장 GF(pⁿ)가 됩니다.이것은 ${\displaystyle \mathrm{유한장}}$ GF${\displaystyle }$δ (${\displaystyle p}$ $=$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$/ p$$ { $displaystyle \operatorname {GF}$ (p)=\$mathbb {Z}$ /$p\mathbb {Z}$ p$}$ 요소의$$ 확장 필드입니다.

필드 K가 주어지면 변수 X에 있는 모든 유리 함수의 필드 K(X)를 K로 간주할 수 있다. K(X)의 원소는 K 위의 두 다항식의 분수이며, 실제로 K(X)는 다항식 고리 K[X]의 분수장이다.이 유리함수 필드는 K의 확장 필드입니다.이 확장은 무한합니다.

리만 표면 M이 주어졌을 때, M에 정의되어 있는 모든 meromaphic 함수의 ${\displaystyle \mathrm{집합}}$은${\displaystyle }$C${\displaystyle }$( M $)$. { $displaystyle$ \$mathbb {$C} ($M)$로 나타나는 필드입니다.M에 정의되어 있는 모든 복소수를 식별하면$$C \displaystyle $\mathbb$ ${$$C}$의 초월 확장 필드입니다.보다 일반적으로, 어떤 필드 K에 대한 대수적 다양성 V가 주어졌을 때, V에 정의되고 K(V)로 나타나는 유리 함수로 구성된 V의 함수장은 K의 확장 필드이다.

대수적 확장

필드 확장 L/K의 원소 x는 계수가 K인 0이 아닌 다항식의 근이라면 K보다 대수적이다.예를 들어 2$({$는 x ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle 2}$의${\displaystyle {}^{}}근이므로{\displaystyle {}^{}}$ 유리수보다 대수적이다$.$ ({$displaystyle$ x$^{2}-2.})$ L의$$ 원소 x가 K보다 대수적이라면 x를 근으로 하는 차수가 가장 낮은 다항식을 x의 최소 다항식이라고 한다.이 최소 다항식은 K로 환산할 수 없다.

L의 요소 s는 단순 확장 K(s) /K가 유한 확장일 경우에만 K에 대해 대수적이다.이 경우 확장의 정도는 최소 다항식의 정도와 같으며 K 벡터 공간 K(s$)의 기본$은 ${\displaystyle {}^{}}$, ${\displaystyle {s\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle ,}$ s 2, $…,$ s${\displaystyle {}^{}}$d${\displaystyle {}^{}}$-$1$로 $구성$됩니다$. 여기$서 d는 최소 다항식의 정도입니다$.$

K에 대해 대수적인 L의 원소 집합은 L에서 K의 대수적 폐쇄라고 불리는 부분 확장을 형성한다.이는 앞의 특성화에 의한 결과입니다.s와 t가 대수적이라면 확장 K(s) /K 및 K(s)(t) /K(s)는 유한합니다.따라서 K(s, t) /K와 하위 확장 K(s ± t) /K, K(st) /K 및 K(1/s) /K(s 0 0인 경우)도 유한하다.따라서 s ± t, st 및 1/s는 모두 대수이다.

대수적 확장 L/K는 L의 모든 원소가 K보다 대수적이 되도록 확장한 것이다.마찬가지로, 대수적 확장은 대수적 요소에 의해 생성되는 확장이다.예를 들어 Q${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3\sqrt{\mathrm{}}}$) ( \ $displaystyle$\$mathbb { Q$} ( \ $sqrt${ } , { \ $sqrt {$$$$}$ )는 Q$($ \ $displaystyle$\ $mathbb$ { $Q$ )의 대수적 확장입니다.$왜냐하면$ 2$(\$ $displaystyle$$$\ $sqrt$ {2$})$ 및$$ $)$는$Q(\$ $sqrt${\ mathbbbbbb) 위에 $.$

단순 확장은 유한한 경우에만 대수적이다.이것은 확장이 유한한 부분 확장의 결합일 경우에만 대수적이고 모든 유한한 확장이 대수적이라는 것을 암시한다.

모든 필드 K는 K에 대한 대수적인 K의 가장 큰 확장 필드인 동형사까지인 대수적 닫힘을 가지며, 또한 K에 계수를 갖는 모든 다항식이 그 안에 근을 가지도록 가장 작은 확장 필드를 가진다.$예$를 들어 C ${\$${C$$}$는 R ${\$$displaystyle$\$mathbb${R$\}$$$의 대수적 닫힘이지만$$Q$${\$displaystyle$ \mathbb ${$$Q}}$에 대한 대수적 닫힘은 아니다(예를 들어 π는 Q$\$$displaystyle$ {$Q}$에$$대한 $대수적{\displaystyle \mathbb{}}$ 닫힘).

초월 확장

초월적 확장에 대한 예 및 보다 광범위한 설명은 초월도를 참조하십시오.

필드 확장 L/K가 주어졌을 때, L의 부분 집합 S는 S의 요소들 사이에 K의 계수와의 사소한 다항식 관계가 존재하지 않는 경우 K에 대해 대수적으로 독립적이라고 불린다.대수적으로 독립적인 집합의 가장 큰 카디널리티를 L/K의 초월도라고 합니다.L/K(S)가 대수적이 되도록 K에 대해 대수적으로 독립적인 집합 S를 찾는 것은 항상 가능하다.이러한 집합 S를 L/K의 초월 기저라고 한다.모든 초월 베이스는 확장의 초월도와 동일한 카디널리티를 가집니다.확장 L/K는 L=K(S)인 L/K의 초월 기저 S가 존재하는 경우에만 순수 초월이라고 한다.이러한 확장은 K의 요소를 제외한 L의 모든 요소가 K보다 초월적이라는 특성을 가지고 있지만, 순수하게 초월적이지 않은 이 속성을 가진 확장이 있다. 그러한 확장의 클래스는 L/K의 형태를 취하며, L과 K는 둘 다 대수적으로 닫혀 있다.또한, L/K가 순수하게 초월이고 S가 확장의 초월 기저인 경우, 반드시 L = K(S)를 따르는 것은 아니다.

예를 들어 $확장{\displaystyle \mathbb{}}$Q (${\displaystyle x}$ ,${\displaystyle x\sqrt{}}$) /${\displaystyle Q\mathbb{}}$, {\$displaystyle \mathbb {Q}$ ($x,$ {\$sqrt {x})$ / \$mathbb {Q}$ 。여기서 x는${\displaystyle }$Q보다 $초월적$입니다$.{$${\displaystyle }$$displaystyle \mathbb {$$Q}$ ${\displaystyle \mathrm{집합}}$은 x $}$ {x}는$$ 초월적이므로 대수적으로 독립적입니다.확장 $Q{\displaystyle \mathbb{}(x}$ ,${\displaystyle x\sqrt{}}$) / ${\displaystyle Q(x}$) { $displaystyle \mathbb {Q}(x$, ${\sqrt {x})/\mathbb {Q}(x)}$는 대수적이므로${\displaystyle }${$}$ {$displaystyle$\{$x\}}}$은 초월 기준입니다.x$${\$displaystyle {x}$에$$$x{\displaystyle }$ {\$displaystyle${$x$의 다항식이 없기 때문에 전체 확장을 생성하지는 않습니다. 그러나 {$}$ {$displaystyle \{\sqrt {x}}}}$은${\displaystyle }$Q${\displaystyle (x\sqrt{},}$x$),$ {\$displaystyle \mathbbb {q}$ {$x}}$을 $생성$하는 초월 기반임을 쉽게 알 수 있습니다.그래서 이 확장은 완전히 초월적인 것입니다.

표준, 분리 가능 및 갈로아 확장

대수적 확장 L/K는 L에 근을 갖는 K[X]의 모든 불가축 다항식이 L 위의 선형 인자로 완전히 인수된다면 정규라고 불린다. 모든 대수적 확장 F/K는 정규인 F의 확장 필드이며 이 특성으로 최소인 정규 폐쇄 L을 받아들인다.

대수적 확장 L/K는 L/K 위의 모든 원소의 최소 다항식이 분리 가능한 경우, 즉 K 위의 대수적 폐쇄에 반복적인 루트가 없는 경우 분리 가능이라고 불린다.Galois 확장자는 일반 필드 확장자로 분리할 수 있습니다.

원시 요소 정리의 결과는 모든 유한 분리 가능한 확장이 원시 요소를 갖는다는 것이다(즉, 단순하다).

임의의 필드 확장 L/K가 주어졌을 때, K의 모든 x에 대해 α(x) = L인 모든 필드 자기동형 α: L → L로 이루어진 자기동형군 Aut(L/K)를 고려할 수 있다.확장이 Galois인 경우 이 자기동형성 그룹을 확장의 Galois 그룹이라고 합니다.갈루아 그룹이 아벨인 확장을 아벨 확장이라고 합니다.

특정 필드 확장 L/K에서는 중간 필드 F(K를 포함하는 L의 서브필드)에 관심이 있는 경우가 많습니다.갈로아 확장과 갈로아 그룹의 의의는 갈로아 이론의 기본 정리에 의해 묘사되는 갈로아 그룹의 중간장과 부분군 사이에 분사가 있다는 중간장을 완전히 기술할 수 있다는 것입니다.

일반화

필드 확장은 링과 그 서브링 중 하나로 구성된 링 확장으로 일반화할 수 있습니다.더 가까운 비유환적 아날로그는 중심 단순 대수(CSA) – 필드 위의 링 확장으로, 단순 대수(필드와 같이 사소하지 않은 양면 이상이 없음)이며 링의 중심이 정확히 필드이다.예를 들어, 실수의 유일한 유한장 확장은 복소수이고, 반면 사분위는 실수에 대한 중심 단순 대수이며, 실수에 대한 모든 CSA는 실수에 대한 브라우어 또는 사분수에 상당한다.CSA는 Azumaya 대수로 더욱 일반화될 수 있으며, 여기서 기저장은 교환 국소 링으로 대체된다.

스칼라의 확장

필드 확장이 지정되면 연관된 대수 객체에 대해 "스칼라"를 확장할 수 있습니다.예를 들어, 실제 벡터 공간이 주어지면, 복소화를 통해 복소 벡터 공간을 생성할 수 있다.벡터 공간 외에 다항식 또는 그룹 대수 및 관련 그룹 표현과 같이 필드 전체에 정의된 연관 대수에 대한 스칼라의 확장을 수행할 수 있다.다항식의 스칼라 확장은 종종 계수를 더 큰 필드의 요소로 간주함으로써 암묵적으로 사용된다. 그러나 더 공식적으로 고려될 수도 있다.스칼라 확장에는 스칼라 확장에서 설명한 바와 같이 다양한 애플리케이션이 있습니다. 즉, 어플리케이션입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 필드 이론
• 필드 이론 용어집
• 들판의 탑
• 프라이머리 내선번호
• 정규 내선번호

메모들

레퍼런스

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

외부 링크

• "Extension of a field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]