실투사선

기하학에서, 실수 투영 선은 실수 위에 있는 투영 선입니다.이것은 시각적 관점에 의해 설정된 문제를 해결하기 위해 역사적으로 도입된 선의 일반적인 개념의 확장입니다: 두 개의 평행선이 교차하지 않고 "무한히" 교차하는 것처럼 보입니다.이 문제를 해결하기 위해 무한대의 점들이 실제 투영 평면에서 두 개의 별개의 투영 선이 정확히 한 점에서 만나는 방식으로 도입되었습니다.무한대에 있는 이 점들의 집합, 즉 평면의 시각적 관점의 "수평"은 실제 투영 선입니다.그것은 반대 방향이 식별된 어떤 지점에 위치한 관찰자로부터 나오는 방향의 집합입니다.

실제 투영 선의 예로는 종종 투영 선이라고 불리는 투영 확장된 실제 선이 있습니다.

공식적으로, 실제 투영 선 P(R)는 실수 위의 2차원 벡터 공간의 모든 1차원 선형 부분 공간의 집합으로 정의됩니다.실제 투영 선의 자기 형태는 투영 변환, 동형 변환 또는 선형 분수 변환이라고 합니다.그들은 투영 선형 그룹 PGL(2, R)을 형성합니다.PGL(2, R)의 각 요소는 비특이적인 2×2 실수 행렬로 정의될 수 있으며, 두 행렬은 하나가 다른 하나의 곱이고 0이 아닌 실수인 경우 PGL(2, R)의 동일한 요소를 정의합니다.

위상적으로, 실제 투영 선은 원과 동형입니다.실제 투영 선의 복소 유사체는 리만 구라고도 하는 복소 투영 선입니다.

정의.

실제 투영 선의 점은 일반적으로 동등성 관계의 동등성 클래스로 정의됩니다.시작점은 $2차원$ 의 실제 벡터 공간 V입니다. V ∖ $0$ 에서 $v$ = $tw$ 와 $같은$ 0이 아닌 $실수$ t가 존재할 때 유지할 이진 $관계$ v ~ $w$ 를 정의합니다.벡터 공간의 정의는 이것이 동등성 관계라는 것을 거의 즉시 암시합니다.동등성 클래스는 0 벡터가 제거된 벡터 라인입니다.실제 투영 $선$ P $(V)$ 는 모든 동등성 클래스의 집합입니다.각 동등성 클래스는 단일 점으로 간주되거나, 다시 말해 점은 동등성 클래스로 정의됩니다.

$V$ 의 기저를 선택하면 (좌표 벡터로 벡터를 식별함으로써) V를 $직접$ 곱 R × $R 2$ = $R$ 로 $식별$ 할 수 있는 양이며, ( $x, y$ ) = ( $tw,$ $tz)$ 와 같은 0이 아닌 $실수$ t가 존재할 경우 동등성 $관계$ 는( $x, y$ ) ~ $(w,$ z)가 됩니다.이 경우 투영 선 $P (R 2)$ 는 P $(R)$ $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$ $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$ 1({ $displaystyle \mathbb {R}$ \ $mathbb {P}^{1$ 로 $표시$ 되는¹ 것이 좋습니다.쌍 ( $x,$ $y)$ 의 동등성 클래스는 전통적으로 [ $x : y$ ]로 표시되는데, 이는 $y가 0$ 이면 x: $y$ 의 $비율$ 이 동등성 클래스의 모든 요소에 대해 동일하다는 것을 상기시키는 표기법입니다. $점$ P가 동등성 등급 [ $x : y$ ]이면 ( $x,$ $y)$ 는 ^[1]P의 $투영$ 좌표 쌍이라고 합니다 $.$

동등성 관계를 통해 P $(V)$ 가 $정의$ 되므로 V에서 $P$ $(V)$ 로의 표준 투영은 투영 선에서 위상(비례 위상)과 차등 구조를 정의합니다.그러나 동등성 클래스가 유한하지 않다는 사실은 미분 구조를 정의하는 데 약간의 어려움을 유발합니다.이는 V를 유클리드 벡터 공간으로 $간주함$ 으로써 해결됩니다.단위 벡터의 원은 R의 $경우 2$ 좌표가 x + $y 2$ = $1$ 을 $만족$ 하는² 벡터의 집합입니다.이 원은 각 동등성 클래스를 정확히 두 개의 반대 점에서 교차합니다.따라서 투영 선은 v $=$ $w$ $또는$ v = $-w일$ 경우에만 v ~ $w$ 와 $같은$ 동등성 관계에 의해 원의 몫 공간으로 간주될 수 있습니다.

차트

투영 선은 다양체입니다.이는 동등성 관계를 통해 위의 구성으로 볼 수 있지만 두 개의 차트로 구성된 지도를 제공하여 이해하기가 더 쉽습니다.

차트 #1: y $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$ $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$ [ $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$ $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$ ] ↦ $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$ ${\$ y $\neq$ 0 $,\quad [x:y]\mapsto {frac {x}}$
차트 #2: $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$ $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$ $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$ [ $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$ x : $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$ ] $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$ x $\$ x\ $neq$ 0 $,\quad [x:y]\mapsto {frac {y}}$

동등성 관계는 동등성 클래스의 모든 대표자가 차트에 의해 동일한 실수로 전송된다는 것을 제공합니다.

x $또는$ y 중 $하나$ 가 0일 수 있지만 둘 다는 아닐 수 있으므로 투영 선을 덮으려면 두 관리도가 모두 필요합니다.이 두 관리도 사이의 전환 맵은 곱셈 역입니다.이것은 미분 가능한 함수이고, 심지어 분석 함수(0의 외부)이기 때문에, 실제 투영 선은 미분 가능한 다양체이자 분석 다양체입니다.

차트 #1의 역함수는 지도입니다.

{{style x\maps to [x:1]에 표시합니다.}

투영 선에 실선을 포함하는 것을 정의하며, 투영 선의 이미지 보완은 $[1:0]$ 입니다.이 임베딩과 투영 선으로 구성된 쌍을 투영 확장 실선이라고 합니다.이 임베딩을 통해 실제 선과 이미지를 식별하면 투영 선이 실제 선과 단일 점 [ $1:0]$ 의 결합으로 간주될 수 있으며 투영 확장된 실제 선의 무한대에 있는 점이라고 불리며θ로 표시됩니다.이 임베딩을 통해 실수로 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion {display:inline-block; 수직-align:-0.5em; 글꼴 크기:85%; text-align:center.mw-ser-outparacnum, 출력.1.den-outpargin-display로 포인트 [x:y]를 식별할 수 있습니다.

다른 차트에서도 동일한 구성을 수행할 수 있습니다.이 경우 무한대의 점은 [ $0:1]$ 입니다 $.$ 이것은 무한대에서의 점의 개념이 실제 투영 선에 본질적인 것이 아니라 실제 선을 투영 선에 내장하는 선택에 상대적이라는 것을 보여줍니다.

구조.

실제 투영 선은 실제 투영 평면과 복잡한 투영 선에서 발견되는 완전한 투영 범위입니다.따라서 그 구조는 이러한 상부 구조로부터 상속됩니다.이러한 구조 중 주요한 것은 투영 범위의 점들 사이의 투영 고조파 공역의 관계입니다.

실수 투영 선은 실수의 일반적인 순서를 확장하는 순환 순서를 가집니다.

자기형태학

투영 선형 그룹 및 그 작용

행렬-벡터 곱셈은 열 벡터의 $공간 2$ R에 대한 GL $(R)$ 의₂ 왼쪽 작용을 정의합니다.

{\style{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}{\c&d\end{pmatrix}{\cx+dy\end{pmatrix}={pmatrix}ax+by\cx+dy\end{pmatrix}를 표시합니다.

GL $(R)$ 의₂ 각 행렬이 0 벡터를 고정하고 비례 벡터를 비례 벡터에 매핑하기 때문에, P $(R)$ 에¹ 대한 GL $(R)$ 의₂ 유도 작용이 있습니다: 명시적으로,^[2]

{\style{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}[x:y]=[ax+by:cx+dy]를 표시합니다.}

(여기와 아래에서, 균질 좌표에 대한 $[x:y]$ 표기 [ $[x:y]$ $y$ $]{displaystyle [x:y]}$ 는 $[x:y]$ 열 $\textstyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}};$ 행렬( $\textstyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}};$ y $\textstyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}};$ )의 동등 클래스를 나타냅니다 $.$ {\ $displaystyle \textstyle$ \ $begin{pmatrix}x\y$ $\$ $end{pmatrix};}$ 행 $\textstyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}};$ $[x\;y].$ 행렬 [ $x$ y $[x\;y].$ ]와 혼동해서는 안 됩니다 $[x\;y].$

P $(R)$ 에 $사소한 1$ 작용을 하는 GL( $R)$ 의₂ 요소는 항등식 행렬의 0이 아닌 스칼라 배수이며, 이들은 R로 $표시$ 된^× 부분군을 형성합니다.투영 선형 그룹은 $백분위수 2 그룹$ PGL $(R 2) =$ $GL \times$ ( $R$ )/R로 정의됩니다.위에 의해 P $(R)$ 에¹ 대한 $PGL 2$ ( $R)$ 의 유도 충실 작용이 있습니다.이러한 이유로, $PGL 2 (R)$ 그룹은 $P ($ R)의¹ 선형 자기 동형 그룹이라고도 할 수 있습니다.

선형 분수 변환

x를 [ $x :1]$ 로 $보내고$ $\infty$ 를¹ $[1:0]$ 으로 보내는 $식별$ R ∪ $\infty$ $\to$ P( $R$ )를 사용하면, R ∞ ∪에 $대한 2 PGL ($ R)의 해당 작용을 얻을 수 있으며, 이는 선형 분수 변환에 의한 것입니다.

표시({style{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}[x:1]=[ax+b:cx+d]\mathrm {and} \c{{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}[1:0]=[a:c],}

PGL2(R)의 (bcd)의 \"displaystyle(\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}} 클래스는 x ↦ x + bc x + d \\d\d\d\displaystyle x\mapto {frac{x+b}[3][4]"로 작용하고, ↦cd는 각각의 분모를 [7]로 해석해야 한다

특성.

P $(R)$ 에서¹ 구별되는 점의 두 개의 순서 있는 삼중항이 주어지면, 첫 번째 삼중항을 두 번째 삼중항에 매핑하는 $PGL 2 (R)$ 의 고유한 요소가 존재합니다. 즉, 동작은 급격하게 3-transitive입니다.예를 들어, (0, $1$ , $0$ $,$ 1)에서 (-1, 0, 1 $)$ 로의 선형 $분수$ 변환 매핑은 케일리 $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ x $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ - 1 $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ + $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$ {\ $displaystyle$ x\ $mapsto {frac {x-1}{x+1$ 입니다.
점 $\infty$ 의 $PGL 2 (R)$ 에 있는 안정기는 $모든$ $\in$ $R$ 과^× ∈ $R$ 에 $x\mapsto ax+b$ 변환 $x\mapsto ax+b$ ↦ $x\mapsto ax+b$ + $x\mapsto ax+b$ b {\ $displaystyle$ x\ $mapstoax+b}$ 로 $x\mapsto ax+b$ 구성된 실제 선의 아핀 그룹입니다.

참고 항목

메모들

^ P $(R)$ 를 $구성$ 하는¹ 데 사용되는 인수는 임의의 필드 K 및 투영 $공간 n$ P $(K)$ 를 구성하는 임의의 차원에도 사용될 수 있습니다.
^ Miyake, Modular formes, Springer, 2006, § 1.1. 이 참고문헌과 아래의 일부는 P $(R)$ 가 $아닌 1$ $P ($ C)로¹ 작업하지만 원칙은 동일합니다.
^ Lang, Elliptic 함수, Springer, 1987, 3.1971.
^ Serre, 산술 A 과정, Springer, 1973, VII.1.1.
^ 그래도 여전히, 수학과 그 역사, Springer, 2010, § 8.6
^ Lang, Complex analysis, Springer, 1999, VII, §5.
^ Koblitz, 타원곡선과 모듈러 형태 소개, Springer, 1993, III.1971.

레퍼런스

후안 카를로스 알바레즈 파이바 (2000) The Real Projective Line, 뉴욕대학교의 과정 내용
Santiago Cannez (2014) 노스웨스턴 대학교의 투영 기하학 노트.

[1] P $(R)$ 를 $구성$ 하는¹ 데 사용되는 인수는 임의의 필드 K 및 투영 $공간 n$ P $(K)$ 를 구성하는 임의의 차원에도 사용될 수 있습니다.

[2] Miyake, Modular formes, Springer, 2006, § 1.1. 이 참고문헌과 아래의 일부는 P $(R)$ 가 $아닌 1$ $P ($ C)로¹ 작업하지만 원칙은 동일합니다.

[3] Lang, Elliptic 함수, Springer, 1987, 3.1971.

[4] Serre, 산술 A 과정, Springer, 1973, VII.1.1.

[5] 그래도 여전히, 수학과 그 역사, Springer, 2010, § 8.6

[6] Lang, Complex analysis, Springer, 1999, VII, §5.

[7] Koblitz, 타원곡선과 모듈러 형태 소개, Springer, 1993, III.1971.

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