긴 선(토폴로지)
Long line (topology)위상에서 긴 선(또는 알렉산드로프 선)은 실제 선과 다소 유사하지만 어떤 면에서는 "더 길다"는 위상학적 공간이다.실선과 마찬가지로 국지적으로 동작하지만, 다른 대규모 특성(예: 린델뢰프도 분리가능도 아니다)을 가지고 있다.따라서, 위상의 기본 계수 중 하나의 역할을 한다.[1]직관적으로, 일반적인 실수 라인은 셀 수 없는 수의 라인 세그먼트 1가 배치된 단대단위로 구성되는 반면, 긴 라인은 셀 수 없는 수의 해당 세그먼트로 구성된다.
정의
닫힌 롱레이 은(는) 1Ω{\}의 반개방 간격, 의 사전적 순서에서 발생하는 순서 토폴로지를 갖춘 최초의 탑재된 제품으로 정의된다 가장 작은 원소 )를 제거하여 닫힌 긴 광선으로부터 열린 긴 광선을 얻는다
긴 선은 각 방향으로 긴 광선을 합쳐서 얻는다.보다 엄밀하게 말하면, 그것은 역방향 오픈 롱 레이("역방향")의 분리 결합 위상 및 (역방향은 아님) 닫힌 롱 레이의 (역방향은 아님) 위상으로서, 후자의 포인트가 전자의 포인트보다 커지게 하여 완전히 정렬할 수 있다.또는 열린 긴 선을 부 복사하여 열린 간격{ 0 ( )을 식별하되, 다른 간격은 반대로, 점(, t) 을 식별하십시오(서t {\< < ( 0 -t ) 을(를) 다른 점 (01-t)}을(를) 가진 선 중 1 를) 가진 선은 두선 사이에 식별된 열린 간격을 따라 두 개의 열린 긴 선을 붙임으로써 얻은 위상학적 공간이라고 정의한다.(전자의 구조는 긴 선에서 순서를 정의하고 위상이 순서 위상임을 보여준다는 점에서 더 낫고, 후자는 위상학적 관점에서 더 명확한 오픈 세트를 따라 접착을 사용한다는 점에서 더 낫다.)
직관적으로 닫힌 롱레이는 한 방향으로 훨씬 길다는 점만 제외하면 진짜(닫힌) 하프라인과 같다: 한쪽 끝은 길고 다른 쪽 끝은 닫힌다고 우리는 말한다.열린 긴 광선은 한 방향으로 훨씬 더 길다는 점을 제외하면 진짜 선(또는 동등하게 열린 반선)과 같다: 한쪽 끝은 길고 다른 쪽 끝은 짧다(열린)고 우리는 말한다.긴 선은 양방향의 실제 선보다 길다: 우리는 양방향의 선이 길다고 말한다.
그러나 많은 저자들이 우리가 (폐쇄되거나 열린) 긴 광선을 이야기한 '긴 선'을 말하고 있으며, 여러 긴 공간들 사이에는 많은 혼란이 있다.그러나 많은 용도에서나 백배에서 중요한 부분은 선의 "긴" 끝이며, 다른 끝(긴 길이든 짧은 길이든 닫힌 길이든)에서 일어나는 일은 중요하지 않기 때문에 구별은 필수적이지 않다.
관련 공간인 (폐쇄) 롱레이, L , 스타일 L은(는) 의 오른쪽 끝에 추가 요소를 부착하여 L 스타일 의 원포인트 압축으로 얻는다 L 하나는 긴 선에 두 요소를 하나씩 추가함으로써 확장된 롱 라인을 유사하게 정의할 수 있다.양쪽 끝
특성.
닫힌 긴 선 = [ ) L은는) [ 1 ) {\의 '함께 붙여진' 종단간(end-to-end)의 셀 수 없는 수의 사본으로 구성되어 있다.이것을 계수 가능한 서수 에 대해 을 (를 함께 붙여넣으면 여전히 동형(및 이형)인 공간을 [, 1). ]에 제공한다는 사실과 비교해 보십시오 (그리고 우리가 1 } 이상의 [ ), } 복사물을 접착하려고 하면 결과 공간은 더 이상 에 로컬 동형체가 되지 않을 것이다
의 모든 증가 순서는 {\의 한계로 수렴된다 이는 (1) 1 의 원소가 카운트 가능한 서수이고, (2) 카운트 가능한 모든 서수 계열의 우월성은 카운트 가능한 서수이며, (3) 증가되는 서수이다.실제 숫자의 배열과 경계가 일치한다.따라서 엄격하게 하는 함수 → R. 사실 모든 연속 L→ R 은 (는) 결국 일정하다.
위상 순서로는 (가능하게 확장된) 긴 광선과 선은 정상적인 하우스도르프 공간이다.그들 모두는 실제 라인과 같은 카디널리티를 가지고 있지만, '얼마나 더 길다'는 것이다.그들 모두는 지역적으로 콤팩트하다.그것들 중 어느 것도 메트리가 가능하지 않다; 이것은 긴 광선이 순차적으로 작지만 작지 않은 것으로 볼 수 있다. 또는 심지어 린델뢰프까지도 그렇다.
(연장되지 않은) 긴 선이나 광선은 파라콤팩트가 아니다.그것은 경로로 연결되고, 국지적으로 연결되며, 단순하게 연결되지만 계약할 수 없다.닫힌 광선의 경우 경계가 있는 1차원 위상학적 다지관이다.그것은 1차 카운트 가능하지만 2차 카운트 가능하지도 않고 분리 가능하지도 않기 때문에, 그들의 다지관에서 후자의 성질을 요구하는 저자들은 긴 선을 다지관이라고 부르지 않는다.[2]
모든 연결된(비어 있지 않은) 1차원(비어 있지 않은) 위상학적 다지관은 경계와 함께 있을 수 있는, 원, 닫힌 간격, 열린 간격(실제 선), 반쯤 열린 간격, 닫힌 긴 광선, 열린 긴 광선 또는 긴 선에 대해 한 번에 모든 긴 공간을 고려하는 것이 타당하다..[3]
긴 선이나 광선은 (분리할 수 없는) 서로 다른 다지관의 구조(폐쇄 광선의 경우 경계 포함)를 장착할 수 있다.그러나 독특한 위상구조(토폴로지적으로는 양쪽 끝에서 진짜 선을 "긴" 상태로 만드는 방법만 있을 뿐)와는 달리, 차별성이 있는 구조는 독특하지 않다: 사실, 그 위에는 헤아릴 수 없이 많은 ( 1{\ 2}}정확하게 하기 위해) 쌍으로 된 비차형 평활화 구조물이 있다..[4] 이것은 실제 선과 극명한 대조를 이루고 있는데, 그곳에서도 역시 매끄러운 구조는 다르지만, 모두 표준 선과 차이가 있다.
긴 선이나 광선에는 (실제) 분석 다지관의 구조(폐쇄 광선의 경우 경계 포함)도 장착할 수 있다.단, 이는 (분리 가능한) 1차원 분석 다지관의 분류에 따라 달라지는데, 이는 (다양한) 다지관의 분류에 따라 달라진다.다시 말하지만, 주어진 C 구조는 다른 C분석 다지관으로서 쌍방향 비차형성) 구조로 무한히 확장될 수 있다.[5]
긴 선이나 광선은 그 위상을 유도하는 리만 측량기를 장착할 수 없다.그 이유는 파라콤팩트(paracompactivity)를 가정하지 않더라도 리만 다지관이 메트리징 가능한 것으로 보일 수 있기 때문이다.[6]
확장형 롱 레이 L은 (는) 콤팩트하다.닫힌 롱레이 , L의 원 포인트 콤팩트화지만, 스톤체크의 컴팩트화인데, 이는 (폐쇄 또는 개방) 롱레이에서 실제 라인에 이르는 모든 연속적인 기능이 결국 일정하기 때문이다.[7]도 연결되어 있지만 긴 줄이 '너무 길어서' 경로로 가려지지 않기 때문에 경로가 연결되지는 않는데, 이는 구간의 연속적인 이미지인 것이다.는 다지관이 아니므로 먼저 계산할 수 없다.
p-adic 아날로그
롱 라인의 p-adic 아날로그가 존재하는데, 이는 조지 버그먼 덕분이다.[8]
This space is constructed as the increasing union of an uncountable directed set of copies of the ring of p-adic integers, indexed by a countable ordinal Define a map from to whenev< \gamma }은는) 다음과 같다.
- If is a successor then the map from to is just multiplication by For other the map from to is the composition of the map from to and the map from to
- 만약 γ{\displaystyle \gamma}은 한계가 서수의 집합 X의δ<>에 대한 직접적인 한계({\displaystyle X_{\delta}};p-adic의 공이 γ{\displaystyle \delta<>\gamma}은 가산 노조, 그렇게 Xγ,{\displaystyle X_{\gamma},}에 X(}{\displaystyle X_{\gamma}로 a로 포함될 수 있지점제거된 것은 p-adic 볼의 계수 가능한 결합이기도 하다.이것은 <에 대해 X 에 X 에 호환 가능한 내장재를 정의한다
이 공간은 좁지 않지만, 계산 가능한 콤팩트 서브스페이스의 조합은 콤팩트한 닫힘을 가지고 있다.
상위 치수
더 높은 차원의 비 파라콤팩트 다지관의 일부 예로는 Prufer 다지관, 비어 있지 않은 다지관을 가진 모든 비 파라콤팩트 다지관의 제품, 긴 반지름의 볼 등이 있다.백파이프 정리를 보면 비 파라콤팩트 표면의 이형성 등급이 2 1 있음을 알 수 있다.
모든 리만 표면이 파라콤팩트여서 긴 선의 복잡한 유사점은 없지만 칼라비와 로젠리히트는 복잡한 차원 2의 비파라콤팩트 복합다지관의 예를 들었다.[9]
참고 항목
참조
- ^ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. pp. 71–72. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446. Zbl 1245.54001.
- ^ Shastri, Anant R. (2011), Elements of Differential Topology, CRC Press, p. 122, ISBN 9781439831632.
- ^ Kunen, K.; Vaughan, J. (2014), Handbook of Set-Theoretic Topology, Elsevier, p. 643, ISBN 9781483295152.
- ^ Nyikos, Peter J. (1992). "Various smoothings of the long line and their tangent bundles". Advances in Mathematics. 93: 129–213. doi:10.1016/0001-8708(92)90027-I. MR 1164707.
- ^ Kneser, Hellmuth; Kneser, Martin (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archiv der Mathematik. 11: 104–106. doi:10.1007/BF01236917.
- ^ S. Kobayashi & K. Nomizu (1963). Foundations of differential geometry. Vol. I. Interscience. p. 166.
- ^ Joshi, K. D. (1983). "Chapter 15 Section 3". Introduction to general topology. Jon Wiley and Sons. ISBN 0-470-27556-1. MR 0709260.
- ^ Serre, Jean-Pierre. "IV ("Analytic Manifolds"), appendix 3 ("The Transfinite p-adic line")". Lie Algebras and Lie Groups (1964 Lectures given at Harvard University). Lecture Notes in Mathematics part II ("Lie Groups"). Springer-Verlag. ISBN 3-540-55008-9.
- ^ Calabi, Eugenio; Rosenlicht, Maxwell (1953). "Complex analytic manifolds without countable base". Proceedings of the American Mathematical Society. 4: 335–340. doi:10.1090/s0002-9939-1953-0058293-x. MR 0058293.