이성제타 시리즈

수학에서 이성적 제타 시리즈는 이성적 숫자와 리만 제타 함수 또는 후르비츠 제타 함수로 구성된 시리즈라는 측면에서 임의의 실수를 나타내는 것이다.구체적으로, 실제 숫자 x를 주어, x에 대한 합리적 제타 시리즈는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{\infit q_{n}\zeta(n,m)}$

여기서 q는_n 합리적인 수이고, 값 m은 고정된 상태로 유지되며, s(s, m)은 허위츠 제타 함수다.어떤 실수 x도 이런 식으로 확장될 수 있다는 것을 보여주는 것은 어렵지 않다.

초등계 전동차

정수 m>1의 경우 다음과 같다.

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{}q_{n}\왼쪽[\제타(n)-\sum _{k=1}^{m-1}k^{-n}\오른쪽]}}$

m=2의 경우, 많은 흥미로운 숫자들은 이성적 제타 시리즈로서 단순한 식을 가진다.

${\displaystyle 1=\sum _{n=2}^{\ft }\왼쪽[\zeta(n)-1\오른쪽]}$

그리고

${\displaystyle 1-\cHB =\sum _{n=2}^{\nflac {1}{n}\왼쪽[\제타(n)-1\오른쪽]}}$

여기서 γ은 오일러-마스케로니 상수다.시리즈

${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\inflt }{\frac {1}{n}\왼쪽[\n)-1\right]}}$

가우스-쿠즈민 분포의 합계를 구한다.π의 시리즈도 있다.

${\displaystyle \log \pi =\sum _{n=2}^{\inflit }{\frac {2(3/2)^{n}-3}}{n}}}\왼쪽[\제타(n)-1\오른쪽]}}}$

그리고

${\displaystyle {\frac {13}-{30}-{\frac {\pi }{8}}=\sum _{n=1}^{{n1}{4^{n}}}\frac {1}{4^{n}}}\\neta(2n)-1\오른쪽]}}$

융합이 빨라서 눈에 띈다.이 마지막 시리즈는 일반적 정체성에서 따온 것이다.

${\displaystyle \sum \{n=1}^{n(1)^{n}^{2n}\좌측[\제타(2n)-1\우측]={\frac{1+t^{2}={1+t^{2}{2}}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}$

그리고 베르누이 숫자에 대한 생성 함수에서 오는 것이다.

${\displaystyle {\frac{t}{e^{t}-1}=\sum _{n=0}^{\n_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$

아담치크와 스리바스타바는 비슷한 시리즈를 제공한다.

${\displaystyle \sin(\displaystyle \sum_{n=1}^{\inflt}{2n}}}\frac {n)\log \leftleft\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}\right)}$

다감마 관련 시리즈

z = 1의 다감마 기능에 대한 Taylor 시리즈에서 많은 추가 관계를 도출할 수 있다.

$\$$\;\제타(m+k+1)\$$;{\frac{z^{k}}{k!$$}}}$.

위의 내용은 z < 1. 특별한 경우는

${\displaystyle \sum \{n=2}^{\t^{n}\왼쪽[\zeta (n)-1\오른쪽]=-t\왼쪽[\jeta +\jeta (1-t)-{\frac {t}{1-t}\right]}}$

t < 2를 위한 것이다.여기서 ψ은 디감마함수, ψ은^(m) 다감마함수다.이항 계수와 관련된 많은 시리즈는 다음과 같이 도출될 수 있다.

${\displaystyle \sum \{k=0}^{\inflt }{k+\nu +1 \1 \cHBFFF} k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)}$

여기서 ν은 복잡한 수이다.위 내용은 허위츠 제타 시리즈 확장에 따른 것이다.

${\displaystyle \zeta(s,x+y)=\sum _{k=0}^{\nothy}{s+k-1 \선택 s-1(-y)^{k}\zeta(s+k,x)}$

y = -1에서 찍은.유사한 시리즈는 간단한 대수학으로 얻을 수 있다.

${\displaystyle \sum \{k=0}^{\infit }{k+\nu +1 \1 \선택 k+1}왼쪽[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1}$

그리고

${\displaystyle \sum \{k=0}^{k(1)^{k+\nu +1\1\put k+1}{k+1\put[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}}}}}}}}{-(\nu +1)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \sum_{k=0}^{\infit }^{k+}{k+\nu +1\1\\cHBFFFFF}k+2\ft[\nu+2)-1\right]=\nu \efteft[\nu+1\nu}{-nu}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고

${\displaystyle \sum \{k=0}^{{k(1)^{k+\nu +1\1\\\cHBFFF}k}\왼쪽[\zeta (k+\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}}}을(\nu +2)}}}을 선택하십시오.$

정수 n ≥ 0의 경우, 영상 시리즈

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\\infit }{k+n \선택 k}\왼쪽[\zeta (k+n+2)-1\right]}}$

한정된 금액으로 쓸 수 있다.

${\displaystyle S_{n}=(-1)^{n}\좌측[1+\sum _{k=1}^{n}\제타(k+1)\우측]}}$

위의 내용은 단순 재귀 관계 S_n + S_{n + 1} = ζ(n + 2)에서 다음과 같다.다음, 시리즈

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=0}^{\\infit }{k+n-1 \k}\왼쪽[\zeta (k+n+2)-1\right]을 선택하십시오.$

라고 쓰일 수 있다.

${\displaystyle T_{n}=(-1)^{n+1}\좌측[n+1-\제타(2)+\sum _{k=1}^{n-1(-1)^{k}(n-k)\제타(k+1)\우측]}}$

정수 n ≥ 1의 경우.위의 내용은 ID T_n + T_{n + 1} = S에서_n 나타난다.이 프로세스는 형식의 일반적인 표현에 대해 유한 열을 얻기 위해 반복적으로 적용될 수 있다.

${\displaystyle \sum \{k=0}^{\infit }{k+n-m \k}\왼쪽[\제타(k+n+2)-1\오른쪽]을 선택하십시오.$

양의 정수 m.

반정자 파워 시리즈

반정수 값에서 후르비츠 제타 함수를 탐색하여 유사한 시리즈를 얻을 수 있다.그러므로 예를 들어, 사람은

${\displaystyle \sum \{k=0}^{\inflit }{\frac {\zeta(k+n+2)-1-1}{2^{k}}{n+k+1} \n+1}{n+1}{n+1}{n+1} \n1}을 선택하십시오.$

p-시리즈 형식의 표현식

아담치크와 스리바스타바가 주다.

${\displaystyle \sum \sum \{n=2}^{\n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=1\,+\sum _{k=1}^{m}k!\;S(m+1,k+1)\제타(k+1)}$

그리고

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=-1\,+\,{\frac {1-2^{m+1}}{m+1}}B_{m+1}\,-\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k!\;S(m+1,k+1)\제타(k+1)}$

여기서 $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$는 베르누이 숫자이고 $S{\displaystyle (m}$ ,${\displaystyle k}$ $){\displaystyle S(m,k)}$는 두 번째 종류의 스털링 숫자다.

기타 시리즈

합리적 제타 시리즈가 주목할 만한 기타 상수는 다음과 같다.

• 킨친 상수
• 아페리의 상수

참조

• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comput. Appl. Math. 121 (1–2): 247–296. doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8.{{cite journal}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크)
• Victor S. Adamchik and H. M. Srivastava (1998). "Some series of the zeta and related functions" (PDF). Analysis. 18 (2): 131–144. CiteSeerX 10.1.1.127.9800. doi:10.1524/anly.1998.18.2.131.