부등식(수학)

Inequality (mathematics)
선형 프로그래밍의 실행 가능한 영역은 일련의 부등식에 의해 정의됩니다.

수학에서 부등식은 두 숫자나 다른 [1]수학 표현식을 비교하는 관계이다.숫자 줄의 두 숫자를 크기별로 비교할 때 가장 자주 사용됩니다.부등식을 나타내기 위해 사용되는 표기법에는 다음과 같은 여러 가지가 있습니다.

  • a < b 표기법은 a가 b보다 작음의미합니다.
  • a > b 표기법은 a가 b보다 크다는 것을 의미합니다.

어느 경우든 a는 b와 같지 않습니다.이러한 관계를 엄격한 [1]불평등이라고 하는데, 이는 a가 b보다 엄격히 작거나 엄격히 크다는 것을 의미합니다.동등성은 제외됩니다.

엄격한 불평등과 대조적으로, 엄격하지 않은 불평등 관계에는 두 가지 유형이 있습니다.

  • a b b 또는 a b b 표기법은 a가 b 이하(또는 동등하게 b 또는 b 이하)을 의미합니다.
  • a b b 또는 a b b 표기법은 a가 b 이상(또는 동등하게 b 이상 또는 b 이상)을 의미합니다.

보다 크지 않은 관계는 "보다 크다"를 나타내는 기호인 "b"로 나타낼 수도 있습니다. "보다 크다"는 슬래시로 구분됩니다.a µ b 이상도 마찬가지입니다.

a b b 표기법은 a가 b와 같지 않다는 것을 의미한다. 이 부등식은 때때로 엄격한 [2]부등식의 한 형태로 여겨진다.어느 쪽이 다른 쪽보다 크다고는 할 수 없습니다.a와 b를 순서 있는 세트의 멤버로 할 필요도 없습니다.

공학에서 표기법의 덜 공식적인 사용은 한 양이 다른 [3]양보다 "훨씬 더 크다"고 말하는 것입니다. 보통 몇 가지 크기만큼입니다.

  • a b b 표기법은 a가 [4]b보다 훨씬 작다는 것을 의미합니다.
  • a b b 표기법은 a가 [5]b보다 훨씬 크다는 것을 의미합니다.

이는 더 작은 값이 근사치의 정확성에 거의 영향을 미치지 않고 무시될 수 있음을 의미합니다(물리학의 초잠재적 한계).

위의 모든 경우 서로 미러링하는 임의의 2개의 심볼은 대칭입니다.a < b >a는 등가입니다.

숫자 줄의 특성

불평등은 다음과 같은 속성에 의해 지배된다.이러한 모든 특성은 모든 비 엄밀한 부등식(θ 및 θ)이 대응하는 엄밀한 부등식(< 및 >)으로 대체되는 경우에도 유지되며, 함수를 적용하는 경우 단조 함수는 엄격히 단조 함수로 제한된다.

컨버스

관계 and과 are는 서로 반대되는 것입니다., 임의실수 a와 b에 대해 다음과 같이 됩니다.

a 'b'와 b 'a'는 동등합니다.

이동성

부등식의 추이 속성은 모든 실수 a, b, [6]c에 대해 다음과 같이 기술한다.

a' bb' c경우 a' c입니다.

어느 하나의 전제가 엄격한 불평등이라면 결론은 엄격한 불평등이다.

a b b b < c경우 a < c.
a < b b c c일 경우 a < c입니다.

덧셈과 뺄셈

x < y경우 x + a < y + a 입니다.

부등식의 [2]양변에 공통 상수 c를 더하거나 빼도 된다.따라서 임의의 실수 a, b, c:

a b b일 경우 a + c b b + c a - c b b - c.

즉, 부등식은 덧셈(또는 뺄셈)으로 보존되고 실수는 덧셈으로 정렬된 군이다.

곱셈과 나눗셈

x < y a >0 의 경우는, ax < ay선택합니다.
x < y a < 0이면 ax > y 입니다.

곱셈과 나눗셈을 다루는 속성에는 a, b0이 아닌 임의의 실수에 대해 다음과 같이 기술되어 있습니다.

a and b 및 c >0 의 경우는, ac bc bca/c / b/c 입니다.
a b b c <0일 경우 ac bc bc a/c b b/c.

즉, 부등식은 곱셈과 나눗셈에서 양의 상수로 보존되지만, 음의 상수가 관련되면 반전된다.일반적으로 이것은 순서가 매겨진 필드에 적용됩니다.상세한 것에 대하여는, 「Ordered」필드를 참조해 주세요.

덧셈 역

덧셈 역의 속성은 모든 실수 a와 b에 대해 다음과 같이 기술합니다.

a b b일 경우 -a b - b입니다.

곱셈 역

만약 두 숫자가 모두 양수라면, 곱셈 역수 사이의 부등식 관계는 원래 숫자들 사이의 부등식 관계와 반대입니다.구체적으로는 0이 아닌 실수 a와 b가 모두 양수(또는 다 음수)인 경우:

a b b일 경우1/a 1 1/b

ab 부호의 모든 케이스는 다음과 같이 체인 표기로도 쓸 수 있습니다.

0 < a b b일 경우 1/a 1 1/b >0 입니다.
a < b < 0 、 0 > 1/a b 1/b
a < 0 < b일 경우 1/a < 0 < 1/b 입니다.

양쪽에 기능 적용

y = ln x 그래프

단조롭게 증가하는 함수는 [7]정의상 부등식 관계를 깨지 않고 부등식의 양쪽에 적용될 수 있다.단조롭게 감소하는 함수를 부등식의 양쪽에 적용하는 것은 부등식의 관계가 반전된다는 것을 의미한다.덧셈 역규칙과 양수에 대한 곱셈 역규칙은 둘 다 단조 감소 함수를 적용하는 예입니다.

부등식이 엄밀하고(a < b, a > b), 함수가 엄밀하게 단조로운 경우 부등식은 엄밀합니다.만약 이 조건들 중 하나만 엄격하다면, 결과적인 불평등은 엄격하지 않다.사실, 가법 및 곱셈 역수 규칙은 모두 엄격히 단조롭게 감소하는 함수를 적용한 예입니다.

이 규칙의 예는 다음과 같습니다.

  • a와 b가 양수인 경우 부등식의 양변을 0의 거듭제곱으로 올린다(등가, -n < 0).
0 ' a ' b ' 0 ' an ' bn ' 0 ' b
0 ' a ' b ' an ' bn ' ' 0
  • a와 b가 양의 실수일 부등식의 양쪽에 있는 자연 로그를 취하면:
0 < a b b ln ln ( a ) ln ln ( b )
0 < a < b † ln(a) < ln(b)
(자연 로그는 엄밀하게 증가하는 함수이기 때문에 해당됩니다.)

정식 정의 및 일반화

(비엄격) 부분순서반사성, 반대칭성[8]전이성 집합 P에 대한 2진 관계θ이다.즉, P의 모든 a, b c에 대해 다음 3개의 구를 충족해야 합니다.

  1. a (비활성)
  2. a ≤ b b ≤ a경우 a = b (대칭성)
  3. a and b b c c일 경우 a c c (비활성)

부분 순서가 있는 집합을 부분 순서 [9]집합이라고 합니다.그것들은 모든 질서가 만족해야 하는 가장 기본적인 공리들이다.집합 P의 다른 순서 정의에 대해 존재하는 다른 공리는 다음과 같습니다.

  1. P의 모든 a b에 대해 a' b 또는 b' a(총순서).
  2. a < b가 되는 P의 모든 ab에 대해 p에는 a < c < b (밀도 순서)가 존재하도록 c가 존재합니다.
  3. 상한이 있는 P의 모든 비어 있지 않은 부분 집합은 P(최소 상한 속성)에서 최소 상한(상위)을 가집니다.

순서부 필드

(F, +, ×)가 필드이고 θ가 F 차수일 경우, (F, +, ×, θ)는 다음과 같은 경우에만 순서 필드라고 한다.

  • a b b는 a + c b b + c의미한다.
  • 0 a a 및 0 b b는 0 a a × b를 의미합니다.

(Q, +, ×, θ)와 (R, +, ×, θ)는 모두 순서장이지만,[10] (C, +, ×, θ)는 i의 제곱이므로 정의될 수 없다.

R은 정렬된 필드일 뿐만 아니라 최소 상한 속성도 가지고 있습니다.실제로 R은 해당 [11]품질을 가진 유일한 순서 필드라고 정의할 수 있습니다.

연쇄 표기법

표기법 a < b < c는 "a < b and b < c"를 의미하며, 위의 법칙따라 a < c. 세 항 모두에 0이 아닌 숫자를 더하거나 빼거나, 세 항 모두에 곱하거나 나누거나, 그 수가 음수일 경우 모든 부등식을 되돌릴 수 있습니다.따라서 예를 들어 a < b + e < c >는 a - e < b < c - e >

이 표기법은 임의의 수의 용어로 일반화할 수 있습니다.1 들어 a a2 a ... ... θn a for i = 1, 2, ..., n - 1을 의미한다i.전달도에 따르면 이 조건은 임의의 1 θ i θ j θ n에 대한 θi+1j a와 같다i.

연쇄 표기법을 사용하여 불평등을 풀 때, 항을 독립적으로 평가할 수도 있고 때로는 필요하다.예를 들어 부등식 4x < 2x + 1 2 3x + 2를 풀기 위해서는 부등식 중 어느 한 부분에서 x를 덧셈 또는 뺄셈으로 분리할 수 없다.대신 부등식은 독립적으로 풀어야 하며, 각각 x < 1/2와 x respect -1을 산출하여 최종 용액 -1 x x < 1/2로 결합할 수 있다.

때때로 연쇄 표기법은 다른 방향의 부등식과 함께 사용되는데, 이 경우 의미는 인접한 용어들 사이의 부등식의 논리적 결합이다.예를 들어 지그재그 포셋의 정의조건은 a2 < a3 > a4 < a5 > a6 < a > ... 로 기재되어1 있습니다.혼합 체인 표기법은 <, =, > 와 같은 호환성이 있는 관계에서 자주 사용됩니다.를 들어, a < b = c d d 는 a < b, b = c 및 c d d 를 의미합니다.이 표기법은 Python과 같은 몇 가지 프로그래밍 언어로 존재합니다.이와는 대조적으로, C와 같이 비교 결과의 유형에 대한 순서를 제공하는 프로그래밍 언어에서는, 심지어 동종 체인조차 완전히 다른 [12]의미를 가질 수 있습니다.

첨예한 불평등

불평등은 완화되지 않고 여전히 일반적으로 유효하다면 극명하다고 한다.형식적으로, 보편적으로 정량화된 부등식 θ는 모든 유효한 보편적으로 정량화된 부등식 θ에 대해, 만약 θ가 유지된다면 샤프(sharp)라고 불린다.예를 들어 부등식 aa a 002 선명하지만 부등식 ∀a -12 [citation needed]선명하지 않다.

평균 간의 불평등

소득 사이에는 많은 불평등이 있다.예를 들어 임의1 양수2 a, a, …에n 대해 H, G, A, Q있습니다.

(평균값),
(평균값),
(산술 평균),
(평균).

코시-슈바르츠 부등식

코시-슈바르츠 부등식은 내부곱 공간의 모든 벡터 u와 v에 대해 다음과 같이 기술한다.

여기서 ,displaydisplay \ \ , \ \ 내부 제품입니다.내부 생성물의 예는 실재하고 복잡한 점곱을 포함한다; 표준 내부 생성물과 함께 유클리드 공간n R에서, 코시-슈바르츠 부등식은

힘의 불평등

"멱력 부등식"은 형식b a의 항을 포함하는 부등식입니다. 여기a와 b는 실수 양수 또는 변수 식입니다.그것들은 종종 수학 올림피아드 연습에 등장한다.

  • 어떤 실수 x에 대해서도
  • x > 0 및 p > 0일 경우
p → 0인 한계에서는 상한과 하한이 ln(x)로 수렴됩니다.
  • x > 0일 경우
  • x > 0일 경우
  • x, y, z > 0이면
  • a와 b가 구별되는 진짜 숫자에 대해서
  • x, y > 0 및 0 < p < 1일 경우
  • x, y, z > 0이면
  • a, b > 0일 경우[13]
  • a, b > 0일 경우[14]
  • a, b, c > 0일 경우
  • a, b > 0일 경우

잘 알려진 불평등

수학자들은 종종 정확한 공식을 쉽게 계산할 수 없는 양에 부등식을 사용한다.일부 부등식은 이름이 있을 정도로 자주 사용됩니다.

복소수 및 부등식

덧셈과 곱셈의 연산을 갖는 복소수 의 집합은 필드이지만, ( so, +, ×, ))순서 필드가 되도록 관계 so를 정의할 수 없다.순서 필드(δ, +, ×, δ)를 작성하려면 다음 두 가지 속성을 충족해야 합니다.

  • a b b일 경우 a + c b b + c;
  • 0 a a 및 0 b b이면 0 ab입니다.

「」는 합계 순서이기 때문에, 임의의 숫자 a에 대해서, 0 a a 또는 0(이 경우, 상기의 첫 번째 속성은 0 - - a를 의미합니다).어느 경우든 0 aa입니다2.즉, i >021 > 0을 의미합니다2.따라서 -1 > 0과 1 > 0을 의미합니다.즉, (-1 + 1) > 0, 모순을 의미합니다.

단, 연산 θ는 제1의 속성(즉, "a θ b이면 a + c θ b + c")만을 만족하도록 정의할 수 있다.사전적 순서 정의가 사용될 수 있습니다.

  • a b b, if의 경우
    • Re(a) < Re(b) 또는
    • Re(a) = Re(b)Im(a) im Im(b)

정의에 대해 a b b가 a + c b b + c의미함을 쉽게 증명할 수 있다.

벡터 부등식

에서 정의한 것과 유사한 부등식 관계도 열 벡터에 대해 정의할 수 있습니다.x , n\ x ,\ { } ^ { ( x ( , 2,… , ) { { \ x = ( _ { , 2} , \, ) 및 , , , , , , , , , , , , , , , , , , . i}) })는 i ,(\ i의 실수입니다.다음 관계를 정의할 수 있습니다.

  • x { x { 1, n {n입니다.
  • \ x < < y \ x _ } < y { } i , , \ i =1
  • \ x \ y y \ _ { ,\ i ,} x { x \ y .
  • , if for .

마찬가지로 x> (\ y ), (\x y ) 및 (\xy의 관계를 정의할 수 있습니다.이 표기법은 Matthias Ehrgott가 Multicriteria Optimization에서 사용한 표기법과 일치합니다(참고 자료 참조).

삼분할 특성(상기)은 벡터 관계에 유효하지 않습니다.예를 들어 x (,5 ) {{ x= ( 5 y ( 4 {{ y=( 때, 이 두 벡터 사이에는 유효한 부등 관계가 존재하지 않습니다.그러나 앞에서 언급한 다른 특성들에 대해서는 벡터 부등식에 대한 병렬 특성이 존재한다.

불평등 제도

선형 부등식의 시스템은 푸리에-모츠킨 [15]제거를 통해 단순화할 수 있다.

원통형 대수 분해는 다항식 및 부등식의 시스템이 해답을 가지고 있는지, 그리고 해답이 존재한다면 그것들을 기술할 수 있는 알고리즘이다.이 알고리즘의 복잡성은 변수 수에서 두 로 기하급수적입니다.특정 사례에서 보다 효율적인 알고리즘을 설계하기 위한 활발한 연구 영역입니다.

「 」를 참조해 주세요.

레퍼런스

  1. ^ a b "Inequality Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.
  2. ^ a b "Inequality". www.learnalberta.ca. Retrieved 2019-12-03.
  3. ^ Polyanin, A.D.; Manzhirov, A.V. (2006). Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. CRC Press. p. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0. Retrieved 2021-11-19.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Much Less". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Much Greater". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
  6. ^ Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer Science & Business Media. pp. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5.
  7. ^ "ProvingInequalities". www.cs.yale.edu. Retrieved 2019-12-03.
  8. ^ Simovici, Dan A. & Djeraba, Chabane (2008). "Partially Ordered Sets". Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN 9781848002012.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Partially Ordered Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
  10. ^ Feldman, Joel (2014). "Fields" (PDF). math.ubc.ca. Retrieved 2019-12-03.
  11. ^ Stewart, Ian (2007). Why Beauty Is Truth: The History of Symmetry. Hachette UK. p. 106. ISBN 978-0-4650-0875-9.
  12. ^ Brian W. Kernighan and Dennis M. Ritchie (Apr 1988). The C Programming Language. Prentice Hall Software Series (2nd ed.). Englewood Cliffs/NJ: Prentice Hall. ISBN 0131103628. 여기: Section(섹션A.7.9 관계 연산자, 페이지 167: 인용: "a<b<c는 (a<b)<c"로 해석됩니다"
  13. ^ Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116". The American Mathematical Monthly. 97 (1): 65–67. doi:10.2307/2324012. JSTOR 2324012.
  14. ^ Manyama, S. (2010). "Solution of One Conjecture on Inequalities with Power-Exponential Functions" (PDF). Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications. 7 (2): 1.
  15. ^ Gärtner, Bernd; Matoušek, Jiří (2006). Understanding and Using Linear Programming. Berlin: Springer. ISBN 3-540-30697-8.

원천

외부 링크