로컬 컴팩트 공간

수학의 위상 및 관련 분야에서는 대략적으로 말하면 공간의 각 작은 부분이 콤팩트한 공간의 작은 부분처럼 보인다면 위상학적 공간을 국소적 콤팩트라고 부른다. 더 정확히 말하면, 그것은 모든 점들이 콤팩트한 이웃을 가지고 있는 위상학적 공간이다.

수학적 분석에서 하우스도르프인 국소적 콤팩트한 공간은 특히 흥미롭다; 그것들은 LCH 공간으로 약칭된다.^[1]

형식 정의

X를 위상학적 공간이 되게 하라. X의 모든 점 X가 콤팩트한 인접성을 가지고 있는 경우, 즉, 오픈 세트 U와 콤팩트 세트 K가 존재하여 $x\in U\subseteq K$ 가 $x\in U\subseteq K$ $x\in U\subseteq K$ $x\in U\subseteq K$ $x\in U\subseteq K$ ${\displaystyle$ x $\in U\subseteq K}$ 인 경우 가장 일반적으로 로컬 컴팩트라고 불린다 $x\in U\subseteq K$

다른 일반적인 정의가 있다. X가 하우스도르프 공간(혹은 사전정규 공간)이라면 모두 동등하다. 그러나 그것들은 일반적으로 동등하지는 않다.

1. X의 모든 지점에는 근접한 이웃이 있다.

2. X의 모든 지점에는 폐쇄적인 콤팩트한 이웃이 있다.

X의 모든 지점은 비교적 작은 이웃을 가지고 있다.

X의 모든 지점은 비교적 작은 이웃들의 지역 기반을 가지고 있다.

3. X의 모든 지점에는 콤팩트한 이웃의 지역 기반이 있다.

X의 모든 점 x에 대해, x의 모든 이웃은 x의 작은 이웃을 포함한다.

4. X는 하우스도르프(Hausdorff)이며, 이전 조건의 어느 것(또는 동등하게, 모두)을 만족시킨다.

조건 간의 논리적 관계:

조건 (2), (2′), (2″)은 동등하다.
조건 (3), (3′)은 등가.
두 조건 모두 다른 조건(2), (3)을 암시하지 않는다.
각 조건은 (1)을 내포한다.
콤팩트함은 조건 (1)과 (2)를 내포하지만 (3)을 내포하지 않는다.

조건(1)은 아마도 X가 하우스도르프일 때 가장 덜 제한적이고 다른 것들은 그것과 동등하기 때문에 가장 일반적으로 사용되는 정의일 것이다. 이러한 동등성은 하우스도르프 공간의 컴팩트 서브셋이 닫히고, 컴팩트한 공간의 컴팩트 서브셋이 콤팩트하다는 사실의 결과물이다.

상대적으로 콤팩트한 세트라는 측면에서 정의되기 때문에 (2', (2'), (2")를 만족하는 공간을 더 구체적으로 국소적으로 상대적으로 콤팩트하다고 할 수 있다.^[2]^[3] Steen & Seebach는^[4] (2), (2'), (2"), (2") 강하게 국소적으로 전화를 걸어 그들이 국소적으로 부르는 특성(1)과 대조된다.

조건 (4)은 예를 들어 부르바키에서 사용된다.^[5] 거의 모든 어플리케이션에서, 지역적으로 작은 공간도 실제로 하우스도르프다. 따라서 이 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프(LCH) 공간은 이 기사가 주로 다루는 공간이다.

예제 및 counterexample

컴팩트 하우스도르프 공간

모든 콤팩트한 하우스도르프 공간도 국소적으로 압축되어 있으며, 기사 콤팩트 공간에서는 콤팩트한 공간의 많은 예를 찾아볼 수 있다. 여기서는 다음을 언급할 뿐이다.

압축되지 않은 로컬 압축 Hausdorff 공간

유클리드 공간 Rⁿ(특히 실제 선 R)은 하이네-보렐 정리의 결과로 국소적으로 압축된다.
위상학적 다지관은 유클리드 공간의 국부적 특성을 공유하며 따라서 모두 국부적으로 압축된다. 여기에는 긴 선과 같은 비파라콤팩트 다지관도 포함된다.
모든 이산 공간은 국소적으로 콤팩트하고 하우스도르프(그들은 0차원 다지관일 뿐이다. 이것들은 한정되어 있을 때만 소형이다.
로컬 소형 Hausdorff 공간의 모든 열린 부분 집합 또는 닫힌 부분 집합은 하위 공간 토폴로지에서 로컬로 압축된다. 이는 유닛 디스크(개방형 또는 폐쇄형 버전)와 같은 유클리드 공간의 로컬 컴팩트 서브셋의 몇 가지 예를 제공한다.
p-adic 숫자의 공간 Q는_p 칸토어 설정에서 마이너스 1점을 얻는 동형이기 때문에 국소적으로 콤팩트하다. 따라서 국소적 소형 공간은 고전적 분석과 마찬가지로 p-adic 분석에 유용하다.

로컬로 압축되지 않은 하우스도르프 공간

다음 절에서 언급했듯이, 하우스도르프 공간이 국소적으로 좁다면, 타이코노프 공간이기도 하다. 이 때문에 타이코노프 공간이 아니기 때문에 국소적으로 압축되지 못하는 하우스도르프 공간의 예는 타이코노프 공간 전용 기사에서 찾아볼 수 있다. 그러나 타이코노프 공간은 지역적으로 좁지 못한 예도 있는데, 다음과 같다.

어느 동네든 불합리한 숫자에 해당하는 Cauchy 시퀀스를 포함하고 있으며 Q에 수렴이 없기 때문에 합리적인 숫자의 공간 Q.
출발지에는 콤팩트한 $\mathbf {R} ^{2}$ 가 없기 때문에 $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ R $\mathbf {R} ^{2}$ ${\$ $\{0,0)\}\cup (0,\infit )\$ cup (0,\inflt )\ $time$ \ $mathbf {R$ 의 $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ 서브스페이스 $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ $0,$ $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$ $\{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )$
실제 숫자의 R에 대한 하한 위상 또는 상한 위상(일방 한계 연구에 유용함)
임의의₀ T, 따라서 하우스도르프는 무한 차원 힐버트 공간과 같이 무한 차원 위상학적 벡터 공간이다.

처음 두 예제는 국소적으로 컴팩트한 공간의 부분 집합이 국소적으로 컴팩트할 필요가 없음을 보여주며, 이는 이전 절의 열린 부분 집합과 닫힌 부분 집합과 대조된다. 마지막 예는 이전 절의 유클리드 공간과 대조된다. 좀더 구체적으로 말하면, 하우스도르프 위상학적 벡터 공간은 유한 차원(이 경우 유클리드 공간)인 경우에만 국소적으로 압축된다. 이 예는 또한 콤팩트한 공간의 예로서 힐버트 큐브와 대조된다; 큐브는 힐버트 공간의 어떤 지점의 이웃이 될 수 없기 때문에 모순이 없다.

비하우스도르프 사례

합리적 숫자 Q의 원 포인트 콤팩트화는 콤팩트하여 의미 (1)과 (2)에서는 국소적으로 콤팩트하지만 의미 (3)에서는 국소적으로 콤팩트하지 않다.
무한대의 특정 지점 위상은 감각 (1)과 (3)에서는 국소적으로 압축되지만, 어떤 동네의 폐쇄가 전체 비 컴팩트 공간이기 때문에 (2)는 그렇지 않다. 상단 위상과의 실제 라인도 동일하다.
위의 두 예제의 분리 결합은 의미에서는 국소적으로 압축되지만 의미에서는 (2)나 (3)이 아니다.
시에르피에스키 공간은 감각 (1), (2), (3)이 국소적으로 압축되어 있고, 또한 콤팩트하지만 하우스도르프(혹은 사전정규)가 아니기 때문에 의미 (4)에서는 국소적으로 압축되어 있지 않다. 시어피에스키 공간(Hjalmar Ekdal 토폴로지에 대한 동형체)의 셀 수 없이 많은 복사본의 분리 결합은 비 컴팩트 공간이며, 여전히 감각 (1), (2), (3)에서 국소적으로 콤팩트하지만 (4)은 아니다.

특성.

지역적으로 콤팩트한 모든 사전 공간은 사실 완전히 규칙적이다. 지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간은 모두 타이코노프 공간이라는 것이 그 뒤를 따르고 있다. 직선적 규칙성은 사전적 규칙성(대개 약함)이나 완전한 규칙성(대개 강함)보다 더 친숙한 조건이기 때문에 국소적 사전 정규 공간은 일반적으로 수학 문헌에서 국소적 컴팩트 정규 공간이라고 언급된다. 마찬가지로 지역적으로 컴팩트한 타이코노프 공간은 보통 지역적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간이라고 일컬어진다.

지역적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간은 모두 바이어 공간이다. 즉, 바이어 범주 정리의 결론은 다음과 같다: 셀 수 없이 많은 밀집된 하위 집합의 모든 조합의 내부는 비어 있다.

국소적으로 콤팩트한 Hausdorff 공간 Y의 아공간 X는 X가 Y의 닫힌 두 하위 집합의 이론적 차이로 기록될 수 있는 경우에만 국소적으로 압축된다. 코롤러리로서, 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간 Y의 밀도 있는 하위 공간 X는 X가 Y의 열린 부분 집합인 경우에만 국소적으로 컴팩트하다. 더욱이, 어떤 Hausdorff 공간 Y의 하위 공간 X가 국소적으로 압축되어 있다면, X는 비록 이 경우 역이 유지될 필요는 없지만, 여전히 Y의 두 개의 닫힌 하위 집합의 차이여야 한다.

지역적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간의 지수 공간은 압축적으로 생성된다. 반대로, 모든 압축적으로 생성된 하우스도르프 공간은 지역적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간의 몫이다.

로컬 컴팩트 공간에 정의된 기능의 경우, 국소 균일 수렴은 콤팩트 컨버전스와 동일하다.

무한의 점

국지적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간 X는 모두 타이코노프(Tychonoff)이기 때문에 스톤-체크 콤팩트화를 사용하여 $b(X)$ 컴팩트한 하우스도르프 공간 $b(X)$ ) ${\디스플레이$ 스타일 $b(X)}$ 에 내장할 수 있다. 그러나 사실, 로컬 컴팩트 케이스에는 더 간단한 방법이 있다; 원포인트 컴팩트화는 $a(X)$ 가 단지 하나의 추가 포인트만 있는 $a(X)$ 콤팩트한 하우스도르프 $a(X)$ a ( $a(X)$ X $a(X)$ ) $a(X)$ 에 포함될 것이다. (원 포인트 콤팩트화는 다른 공간에 적용할 수 있지만, X가 로컬 컴팩트하고 하우스도르프인 경우에만 $a(X)$ ( $a(X)$ ) $a(X)$ 이(가) 하우스도르프일 것이다 $a(X)$ .) 따라서 국소적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간은 컴팩트한 하우스도르프 공간의 오픈 서브셋으로 특징지어질 수 있다.

직관적으로 $a(X)$ ( $a(X)$ ) $a(X)$ 의 추가 지점은 무한대의 지점으로 생각할 수 있다 $a(X)$ . 무한대의 지점은 X의 모든 콤팩트한 부분집합 밖에 놓여 있는 것으로 생각되어야 한다. 무한대로 향하는 경향에 대한 많은 직관적인 개념들은 이 아이디어를 이용하여 지역적으로 컴팩트한 하우스도르프 공간에서 형성될 수 있다. 예를 들어, 도메인 X가 있는 연속적인 실질 또는 복합적인 가치 함수 f는, 임의의 양의 숫자 e가 주어지면, x가 K 밖에 위치할 때마다 $|f(x)|<e$ f $|f(x)|<e$ ( $|f(x)|<e$ ) $|f(x)|<e$ < e $f(x) <e$ 와 같은 X의 콤팩트 서브셋 K가 존재한다면 무한대로 소멸한다고 한다. 이 정의는 위상학적 공간 X에 대해 타당하다. X가 국소적으로 콤팩트하고 하우스도르프인 경우, 그러한 기능은 정확히 $a(X)=X\cup \{\infty \}$ $a(X)=X\cup \{\infty \}$ a $a(X)=X\cup \{\infty \}$ ( X $a(X)=X\cup \{\infty \}$ ) $a(X)=X\cup \{\infty \}$ = X $a(X)=X\cup \{\infty \}$ { $a(X)=X\cup \{\infty \}$ } ${\displaysty$ a $(X)=X\$ cupty $\{\inft \}}$ $g(\infty )=0.$ 서 $a(X)=X\cup \{\infty \}$ g $g(\infty )=0.$ ) $g(\infty )=0.$ = $g(\infty )=0.$ ${\displaysty$ g $(\$ )= $0.$ $}$

헬프랜드 표현

로컬 컴팩트 하우스도르프 공간 X의 경우 무한대에서 사라지는 X의 모든 연속 복합 값 함수 중 C $C_{0}(X)$ $C_{0}(X)$ ( $C_{0}(X)$ ) $C_{0}(X)$ 이(가) 정류형 C*-algebra이다. 사실, 모든 상호작용이 가능한 C*-알제브라(C*- $C_{0}(X)$ 는 C 0 ( X ) {\ $displaystyle$ C_ ${0}(X)}$ 에 $C_0(X)$ 대해 이형성이며, 국소적으로 콤팩트한 하우스도르프 공간 X에 해당된다 $.$ 이것은 Gelfand 표현을 사용하여 보여진다.

로컬 압축 그룹

국소 콤팩트성의 개념은 위상학 집단의 연구에서 중요한데, 이는 주로 모든 하우스도르프 국소 콤팩트 그룹 G가 G에 정의된 측정 가능한 함수를 통합할 수 있는 하르 측정이라고 불리는 자연적인 조치를 취하기 때문이다. 실제 라인 $\mathbb {R}$ ${\$ 에 대한 Lebesgue 측정이 특별한 $\mathbb {R}$ 경우다.

위상학적 아벨리아 그룹 A의 폰트랴긴 이중은 A가 국소적으로 압축된 경우에만 국소적으로 압축된다. 더 정확히 말하면 폰트랴긴 이중성은 지역적으로 콤팩트한 아벨리아 집단의 범주에 대한 자기이중성을 규정한다. 국지적으로 콤팩트한 아벨리아 집단에 대한 연구는 조화 분석의 기초가 되는데, 그 이후 비아벨리안 로컬 콤팩트 집단에까지 확산되었다.

참고 항목

인용구

^ 폴랜드 1999, 페이지 131, 4.5항.
^ Lowen-Colebunders, Eva (1983), "On the convergence of closed and compact sets", Pacific Journal of Mathematics, 108 (1): 133–140, MR 0709705, Zbl 0522.54003
^ Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław (2020). "Wallman Duality for Semilattice Subbases". arXiv:2002.05943 [math.GN].
^ Steen & Seebach, 페이지
^ Bourbaki, Nicolas (1989). General Topology, Part I (reprint of the 1966 ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X.

참조

Folland, Gerald B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-31716-6.
Kelley, John (1975). General Topology. Springer. ISBN 978-0387901251.
Munkres, James (1999). Topology (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0131816299.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446.
Willard, Stephen (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 978-0486434797.

[FOOTNOTEFolland1999131Sec._4.5-1] 폴랜드 1999, 페이지 131, 4.5항.

[2] Lowen-Colebunders, Eva (1983), "On the convergence of closed and compact sets", Pacific Journal of Mathematics, 108 (1): 133–140, MR 0709705, Zbl 0522.54003

[3] Bice, Tristan; Kubiś, Wiesław (2020). "Wallman Duality for Semilattice Subbases". arXiv:2002.05943 [math.GN].

[4] Steen & Seebach, 페이지

[5] Bourbaki, Nicolas (1989). General Topology, Part I (reprint of the 1966 ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X.

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