조합 설계

조합 설계 이론은 조합 수학의 한 부분으로, 그 배열이 균형 및/또는 대칭의 일반 개념을 만족시키는 유한 집합의 시스템의 존재, 구성 및 속성을 다룬다.이 개념들은 다양한 사물들이 같은 우산 아래 있다고 생각할 수 있도록 정확하게 만들어지지 않았다.때로는 블록 설계와 같이 집합 교차로의 수치 크기를 포함할 수 있고, 다른 때에는 스도쿠 그리드와 같이 배열의 입력 공간 배치를 포함할 수 있다.

조합 설계 이론은 실험 설계 분야에 적용될 수 있다.조합 설계의 기본 이론 중 일부는 생물학 실험 설계에 관한 통계학자 로널드 피셔의 연구에서 비롯되었다.현대의 응용 분야는 유한 기하학, 토너먼트 일정, 복권, 수리 화학, 수리 생물학, 알고리즘 설계 및 분석, 네트워킹, 그룹 테스트 및 암호학 ^[1]등 광범위한 분야에서도 찾아볼 수 있습니다.

예

특정 인원수 n명이 주어진 상황에서, 각 사람이 적어도 한 세트에 있고, 각 한 쌍의 사람이 정확히 한 세트에 있고, 두 세트마다 정확히 한 명의 사람이 있고, 한 사람을 제외한 모든 사람이 한 명 또는 정확히 한 명의 사람이 포함된 세트가 없도록 그들을 세트에 할당할 수 있을까요?답은 n에 따라 달라집니다.

이것은 n의² 형식이 q + q + 1일 경우에만 해결됩니다.q가 소수인 경우 솔루션이 존재함을 증명하는 것은 간단하지 않습니다.이것이 유일한 해결책이라고 추측된다.또한 1 또는 2 mod 4와 일치하는 q에 대한 솔루션이 존재한다면 q는 두 개의 제곱수의 합이라는 것이 증명되었다.이 마지막 결과인 브루크-라이저 정리는 유한장에 기초한 건설적 방법과 2차 형식의 적용에 의해 증명된다.

그러한 구조가 존재할 때, 그것은 유한 투영 평면이라고 불리며, 따라서 유한 기하학과 조합론이 어떻게 교차하는지를 보여준다.q = 2일 때 투영 평면을 Fano 평면이라고 합니다.

역사

로슈 광장은 초기 마법 광장이며 조합 디자인은 고대로 거슬러 올라갑니다.최초의 조합 디자인 적용 사례 중 하나는 인도에서 마법의 ^[2]사각형을 사용하여 16가지 다른 물질에서 선택된 4가지 물질을 사용하여 향수를 만들기 위해 587년경 쓰여진 바라하미히라의 책 Brhat Samhita에 있다.

조합설계는 18세기부터 조합론의 일반적인 성장과 함께 발전했다. 예를 들어 18세기의 라틴 사각형과 19세기의 스타이너 시스템이다.디자인은 또한 커크먼의 여학생 문제(1850)와 같은 레크리에이션 수학과 라운드 로빈 토너먼트의 일정과 같은 실제 문제에서도 인기가 있었다.20세기에 디자인은 실험의 설계, 특히 라틴의 제곱, 유한 기하학, 연관 체계에 적용되어 대수 통계학 분야를 낳았다.

기본 조합 설계

조합 설계 주제의 고전적 핵심은 균형 불완전 블록 설계(BIBD), 하다마르 행렬 및 하다마르 설계, 대칭 BIBD, 라틴 사각형, 분해 가능한 BIBD, 차이 세트 및 쌍방향 균형 설계(PBD)^[3]를 중심으로 구축된다.다른 조합 설계는 이러한 기본 설계와 관련이 있거나 이러한 기본 설계에 대한 연구에서 개발되었습니다.

• 균형불완전블록설계 또는 BIBD(대개 블록설계를 줄여서 부르는)는 유한한 v요소 집합 X의 b 서브셋(블록이라고 함)의 집합 B로, X의 모든 요소가 동일한 수의 블록 r에 포함되고, 모든 블록이 동일한 수의 k개의 요소를 가지며, 각각의 개별 요소 쌍이 동일한 숫자에 함께 나타난다.블록의 ber of.BIBD는 2-설계라고도 하며 2-(v,k,)) 설계로 표기되는 경우가 많다.예를 들어, θ = 1 및 b = v일 때 투영 평면이 있습니다. X는 평면의 점 세트이고 블록은 선입니다.
• 대칭 균형 불완전 블록 설계 또는 SIBD는 v = b인 BIBD입니다(점 수는 블록 수와 동일).그것들은 BIBD의 가장 중요하고 잘 연구된 하위 클래스이다. 투영 평면, 복면 및 하다마드 2 설계는 모두 SIBD이다.이것들은 피셔 부등식의 극단적 예이기 때문에 특히 관심이 있다. (b v v).
• 분해 가능한 BIBD는 블록을 세트(병렬 클래스라고 함)로 분할할 수 있는 BIBD이며, 각 세트는 BIBD의 포인트 세트의 파티션을 형성한다.병렬 클래스 집합을 설계의 해상도라고 합니다.유명한 15명의 여학생 문제에 대한 해결책은 v = 15, k = 3 및 1 =^[4] 1인 BIBD의 분해능입니다.
• 라틴 직사각형은 숫자 1, 2, 3, ..., n을 항목(또는 다른 n개의 구별되는 기호 세트)으로 갖는 r × n 행렬이며, 여기서 r n n 라틴 직사각형을 라틴 정사각형이라고 한다.만약 r < n이라면, 홀의 결혼 ^[5]정리를 사용하여 n - r 행을 r × n 라틴 직사각형에 추가하여 라틴 사각형으로 만들 수 있다.

순서 n의 라틴어 두 칸은 두 칸의 대응하는 엔트리로 구성된 모든 순서 쌍들의 집합이 n개의 개별 부재를 갖는 경우² 직교라고 합니다(가능한 모든 순서 쌍이 발생).집합의 모든 라틴 정사각형 쌍이 직교하는 경우, 같은 순서의 라틴 정사각형 집합은 상호 직교하는 라틴 정사각형(MOLS) 집합을 형성합니다.순서 n의 MOLS 집합에는 최대 n - 1의 정사각형이 있을 수 있습니다.순서 n의 n-1 MOLS 세트를 사용하여 순서 n의 투영 평면을 구축할 수 있다(및 그 반대로).

• (v, k, θ) 차분 세트는 G의 순서가 v, D의 크기가 k가 되도록 군 G의 서브셋 D이며, G의 모든 비등식 원소는 D의 원소의 곱 dd로서₁₂⁻¹ 정확하게 δ로 표현할 수 있다(G를 곱셈 ^[6]연산에 의해 쓸 때).

D가 차분 집합이고 g가 G이면 g D = {gd: d in D}도 차분 집합이며 D의 변환이라고 한다.차분 집합 D의 모든 변환 집합은 대칭 블럭 설계를 형성합니다.이러한 설계에는 v 요소와 v 블록이 있습니다.설계의 각 블럭은 k개의 점으로 구성되며, 각 점은 k개의 블럭에 포함됩니다.임의의 2개의 블록은 정확히 공통의 요소를 가지며 임의의 2개의 포인트가 함께 blocks블록에 표시됩니다.이 SIBD를 ^[7]D의 개발이라고 합니다.

특히 θ = 1이면 차분 집합이 투영 평면을 일으킨다.${\displaystyle 그룹}$Z /$$ Z {\$displaystyle \mathbb {Z}$ /$7\mathbb {Z} }($가산적으로 쓰여진 아벨 군)에 설정된 (7,3,1) 차분 집합의 예는 서브셋 {1,2,4}입니다.이 차분 세트를 전개하면 Fano 평면이 됩니다.

모든 차분 세트가 SIBD를 제공하므로 파라미터 세트는 Bruk-Ryser-Chowla 정리를 충족해야 하지만 모든 SIBD가 차분 세트를 제공하는 것은 아닙니다.

• 순서 m의 아다마르 행렬은 입력^⊤ 값이 ±1인 m × m 행렬_m H이며, 여기서^⊤ H는 H의 전치 행렬이고_m I는 m × m 동일 행렬이다.첫 번째 행과 첫 번째 열 항목이 모두 +1인 표준화된 형식(즉, 동등한 Hadamard 행렬로 변환됨)으로 만들 수 있습니다.순서 m > 2의 경우 m은 4의 배수여야 합니다.

순서 4a의 아다마르 행렬이 표준화된 형태로 주어진 경우 첫 번째 행과 첫 번째 열을 제거하고 -1마다 0으로 변환합니다.결과 0-1 행렬 M은 아다마르 ^[8]2-설계라 불리는 대칭 2-(4a - 1, 2a - 1, a - 1) 설계의 발생 행렬이다.이 구성은 가역적이며, 이러한 매개변수를 가진 대칭 2-설계의 입사 행렬을 사용하여 순서 4a의 아다마르 행렬을 형성할 수 있다.a = 2일 때 우리는 이제 익숙해진 Fano 평면을 Hadamard 2 설계로 얻었습니다.

• Pairwise Balanced Design(또는 PBD)은 X의 서브셋 패밀리와 함께 세트 X이며(같은 사이즈를 가질 필요는 없으며 반복을 포함할 수 있음) X의 개별 요소 쌍이 정확히 δ(정의 정수) 서브셋에 포함되도록 합니다.세트 X는 서브셋의 1개가 될 수 있으며, 모든 서브셋이 X의 복사일 경우 PBD는 trivial이라고 불립니다.X의 크기는 v이고 제품군(다중성으로 카운트됨)의 하위 집합 수는 b입니다.

피셔의 부등식은 ^[9]PBD에 적용된다: 사소하지 않은 PBD의 경우 v † b.

이 결과는 또한 유명한 Erdss-De Bruijn 정리를 일반화한다.크기 1 또는 크기 v, v µb의 블록이 없는 θ = 1인 PBD의 경우, PBD가 투영 평면 또는 근접 ^[10]평면인 경우에만 동일하다.

기타 조합 설계

조합 설계 핸드북(Colbourn & Dinitz 2007)은 특히 65개의 장으로 구성되어 있으며, 각 장은 상기 이외의 조합 설계에 전념하고 있습니다.다음은 일부 목록입니다.

• 어소시에이션 스킴
• 균형 3원 설계 BTD(V₁, B; ,, ,, R₂; K, λ)는 V 요소를 B 멀티셋(블록)으로 배열하는 것으로, 각 카디널리티 K(K v V)는 다음을 만족한다.

1. 각 원소는 R = + + 2₂ times로₁ 나타나며, 정확히 ρ₁ 블럭에 1개의 다중성이 있고 정확히₂ blocks 블럭에 2개의 다중성이 있습니다.
2. 각 개별 요소 쌍은 δ회(다중성 포함)로 나타납니다. 즉, m이 블록 b에 있는 요소 v의 다중성일 경우_vb, 각 개별 요소 쌍 v 및 ${\displaystyle w_{}}$에 대해${\displaystyle \underset{\delta }{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{b}}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{=}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle v_{}}$ w b $=$ ${\displaystyle \mathrm{\delta }}$ \ $display$ \ $sum$_ { b$$= 1 $b$} $m$_ { b } m _ { b$=$ { b } m _ { b = lam } Lam$=$ { b } Lam } Lam

예를 들어, 유일하게 두 개의 비동형 BTD(4,8;2,3,8;4,6)s(블록은 열) 중 하나는 다음과 같습니다.^[11]

1	1	1	2	2	3	1	1
1	1	1	2	2	3	2	2
2	3	4	3	4	4	3	3
2	3	4	3	4	4	4	4

BTD의 발생 행렬(엔트리가 블록 내 요소의 배수)^[12]을 사용하여 BIBD의 발생 행렬에서 이진 코드가 형성되는 방식과 유사한 3진수 오류 수정 코드를 형성할 수 있다.

• 순서 n의 균형 토너먼트 설계(BTD(n))는 2n 집합 V의 모든 구별되는 순서 없는 쌍을 다음과 같이 n × (2n - 1) 배열로 배열하는 것이다.

1. V의 모든 요소는 각 열에 한 번씩 정확하게 표시됩니다.
2. V의 모든 요소는 각 행에 최대 두 번 표시됩니다.

BTD(3)의 예는 다음과 같습니다.

1 6	3 5	2 3	4 5	2 4
2 5	4 6	1 4	1 3	3 6
3 4	1 2	5 6	2 6	1 5

BTD(n)의 열은 2n 꼭지점 ^[13]K에_2n 대한 전체 그래프를 1-인수분해합니다.

BTD(n)를 사용하여 라운드 로빈 토너먼트를 스케줄 할 수 있다. 행은 위치를 나타내고 열은 라운드를 나타내며 엔트리는 경쟁 선수 또는 팀이다.

• 구부러진 기능
• 코스타스 어레이
• 요인 설계
• 빈도 제곱(F-제곱)은 라틴 사각형에 대한 고차 일반화입니다.S = {s₁,s₂, ..., s_m}을(를) 구별되는 기호 집합으로 하고 (θ₁, θ₂, ..., s_m) 양의 정수의 주파수 벡터라고 합니다.순서 n의 주파수 제곱은 각 행 및 열에서 각 기호_i s가 θ회_i 발생하는 n×n 배열이다.순서 n = λ₁ + + + ... + λ_2m. 첫 번째 행과 열에서 s의 모든_i 발생이 i < j의 발생보다_j 앞에 있는 경우 F-제곱은 표준 형식입니다.

주파수 벡터(μ₁, μ₂₂, μ_mk, ..., μ)를 갖는 집합 {s₁, s₂, ..., s_m}에 기초한 순서 n의 주파수 제곱₁ F와 주파수 벡터(μ₁, μ, ..., μ)를 갖는 집합 {t₁, t₂}에_k 기초한 순서 n의 주파수 제곱₂ F는 순서 쌍(s_i, t_j, t)마다 정확하게 μ, …, μ) μ_ij, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ₁, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ, μ₂

• 홀 트리플 시스템(HTS)은 2개의 교차선에 의해 생성된 서브구조가 유한 아핀 평면 AG(2,3)와 동일하다는 특성을 가진 Steiner 트리플 시스템(STS)이다.

임의의 아핀 공간 AG(n,3)는 HTS의 예를 나타냅니다.이러한 HTS는 아핀 HTS입니다.비아핀 HTS도 존재합니다.

HTS의 포인트 수는 일부 정수 m ≤ 2에 대해^m 3입니다. 비아핀 HTS는 임의의 m ≤ 4에 존재하며 m = 2 또는 ^[14]3에는 존재하지 않습니다.

모든 Steiner 삼중 시스템은 Steiner 준군(모든 x 및 y에 대해 등가, 교환 및 만족스러운 (xy)y = x)에 해당합니다.홀 삼중계는 분포하는 스타이너 준군과 동등하다.^[15] 즉, 준군의 모든 a,x,y에 대해 a(xy) = (ax)(ay)를 만족한다.

• S를 2n 요소의 집합으로 합니다.하웰 설계, H(s,2n)(기호 집합 S)는 다음과 같은 s × s 배열이다.

1. 배열의 각 셀이 비어 있거나 S에서 순서가 매겨지지 않은 쌍을 포함합니다.
2. 각 기호는 배열의 각 행과 열에 정확히 한 번 발생합니다.
3. 정렬되지 않은 기호 쌍은 배열의 최대 1개의 셀에서 발생합니다.

H(4,6)의 예는 다음과 같습니다.

0 4		1 3	2 5
2 3	1 4	0 5
	3 5	2 4	0 1
1 5	0 2		3 4

H(2n - 1, 2n)는 변 2n - 1의 룸 정사각형이므로 Howell 설계는 룸 정사각형의 개념을 일반화합니다.

Howell 디자인의 셀에 있는 기호 쌍은 Howell 디자인의 기본 그래프라고 불리는 2n개의 정점에 있는 s 규칙 그래프의 가장자리로 생각할 수 있습니다.

Cyclic Howell 디자인은 중복 브리지 토너먼트에서 Howell 무브먼트로 사용됩니다.설계의 행은 라운드를 나타내고 열은 보드를 나타내며 대각선은 ^[16]테이블을 나타냅니다.

• 선형 공간
• (n,k,p,t)-로토 설계는 V(블록)의 k-원소 서브셋 세트β와 함께 요소의 n세트 V이므로 V의 임의의 p-서브셋 P에 대하여 β에 P b B t T. L(n,k,p,t)가 (k)의 최소수를 나타내는 블록 B가 존재한다.다음은 블록 ^[17]수가 가장 적은 (7,5,4,3) 로또 설계입니다.

{1,2,3,4,7} {1,2,5,6,7} {3,4,5,6,7}.

로또 디자인은 다음과 같은 방식으로 운영되는 복권을 모델로 합니다.개인은 n개의 숫자 집합에서 선택된 k개의 숫자로 구성된 티켓을 구입합니다.어느 시점에서 티켓 판매를 중지하고 n개 번호에서 p개 번호 세트를 랜덤으로 선택한다.당첨번호입니다.판매된 티켓 중 당첨번호가 t개 이상일 경우 티켓 보유자에게 경품이 주어진다.더 큰 경품은 더 많은 경기가 있는 티켓에게 돌아간다.L(n,k,p,t)의 가치는 도박꾼과 연구자 모두에게 관심이 있다. 왜냐하면 이것은 경품을 보장하기 위해 필요한 최소 티켓 수이기 때문이다.

헝가리 복권은 (90,5,t)-복권 디자인이며, L(90,5,5,2) = 100인 것으로 알려져 있다.파라미터가 있는 복권(49,6,6,t)도 세계적으로 인기가 있어 L(49,6,6,2)=19인 것으로 알려져 있다.그러나 일반적으로 이러한 수치는 계산하기 어렵고 알려지지 않은 상태로 ^[18]남아 있습니다.

트란실바니아 복권에는 그러한 디자인의 기하학적 구조가 제시되어 있다.

• 매직 스퀘어
• A(v,k,θ)-Mendelsoon 설계 또는 MD(v,k,θ)는 V의 개별 요소(블록이라고 함)의 순서 k-튜플 집합 β이며, V의 요소 x µy를 갖는 순서 쌍(x,y)이 θ 블록에 순환적으로 인접하도록 한다.요소가 블록에 (...x,y,...) 또는 (y,...x)로 표시되는 경우 개별 요소의 순서 쌍(x,y)은 블록 내에서 주기적으로 인접합니다.MD(v,3,))는 Mendelsoon 트리플 시스템, MTS(v,λ)입니다.V = {0,1,2,3}의 MTS(4,1)의 예는 다음과 같습니다.

(0,1,2) (1,0,3) (2,1,3) (0,2,3)

순서 없는 트리플 {a,b,c}을 순서 있는 트리플의 쌍(a,b,c)과 (a,c,b)으로 치환함으로써 어떤 트리플 시스템도 멘델슨 트리플 시스템으로 만들 수 있지만, 예에서 보듯이 이 문장의 반대가 사실이 아니다.

(Q,190)이 공칭 반대칭 준군인 경우, 즉 Q의 모든 x, y에 대해 x δ x = x (등위) 및 x δ (y δ x) = y (반대칭)이면 β = {(x,y,x δ y) x, y in Q.(Q, β)는 Mendelsoon 삼중계 MTS(Q,1)이다.이 구조는 되돌릴 ^[19]수 있습니다.

• 직교 배열
• 준-3 설계는 블록의 각 트리플이 x 또는 y 점에서 교차하는 대칭 설계(SBIBD)이며, 고정 x 및 y에 대해 트리플 교차 번호(x < y)라고 합니다.θ 2 2인 대칭 설계는 x = 0 및 y = 1인 준 3 설계입니다.PG(n,q)의 점-평면 설계는 x = (qⁿ⁻² - 1)/(q - 1) 및 y = µ = (qⁿ⁻¹ - 1)/(q - 1)인 준 3 설계입니다.준 3 설계의 경우 y = θ이면 설계는 PG(n,q) 또는 투영 ^[20]평면에 해당된다.
• t-(v,k,θ) 설계 D는 두 개의 개별 블록이 x 또는 y 점에서 교차하는 경우 교차 번호 x 및 y(x < y)와 준대칭입니다.이러한 설계는 θ = 1인 설계의 이중화를 조사하는 과정에서 자연스럽게 발생합니다. 비균형(b > v) 2-(v,k,1) 설계는 x = 0 및 y = 1인 준대칭입니다. 대칭 2-(v,k,190) 설계의 배수(특정 횟수)는 y = 1인 준대칭 설계입니다.Hadamard 3 설계(Hadamard 2 설계의 확장)는 ^[21]준대칭입니다.

모든 준대칭 블록 설계는 (블록 그래프와 같이) 강하게 규칙적인 그래프를 생성하지만, ^[22]모든 SRG가 이러한 방식으로 발생하는 것은 아닙니다.

k x x y y (mod 2)를 갖는 준대칭 2-(v,k,)) 설계의 발생 행렬은 (k가 ^[23]홀수인 경우 경계되었을 때) 이진 자기 직교 코드를 생성합니다.

• 룸 스퀘어
• 구면 설계는 (d - 1)차원 구에 있는 점들의 유한 집합 X로, 어떤 정수 t에 대해 모든 다항식의 X에 대한 평균값이다.

${\displaystyle f(x_{1},\ldots,x_{d}\}$

최대 t의 총도는 전체 구에 대한 f의 평균값, 즉 f의 적분을 구 면적으로 나눈 값과 같다.

• 투란계
• n개의 기호 위에 있는 r × n tuscan-k 직사각형에는 다음과 같은 r행과 n개의 열이 있습니다.

1. 각 행은 n개의 기호의 치환입니다.
2. 두 개의 구별되는 기호 a와 b에 대해 그리고 1에서 k까지의 각 m에 대해, b가 a의 오른쪽에 m 단계인 행이 최대 1개 있다.

r = n 및 k = 1이면 토스카나 사각형, r = n 및 k = n - 1이면 피렌체 사각형이다.로마 사각형은 라틴 사각형이기도 한 토스카나 사각형입니다(이것들은 행 완성 라틴 사각형이라고도 합니다).바티칸 광장은 플로렌스 광장이고 라틴 광장이기도 하다.

다음 예시는 toscan-2가 ^[24]아닌7개의 심볼에 대한 toscan-1의 정사각형입니다.

6	1	5	2	4	3	7
2	6	3	5	4	7	1
5	7	2	3	1	4	6
4	2	5	1	6	7	3
3	6	2	1	7	4	5
1	3	2	7	5	6	4
7	6	5	3	4	1	2

n개의 심볼에 대한 토스카나 사각형은 n개의 정점을 가진 완전한 그래프를 n개의 해밀턴 방향 ^[25]경로로 분해하는 것과 같다.

일련의 시각적 인상에서는 하나의 플래시 카드가 다음 플래시 카드에 의해 주어지는 인상에 어느 정도 영향을 미칠 수 있습니다.이 편향은 n × n 토스카나-1 정사각형의 ^[26]행에 해당하는 n개의 시퀀스를 사용하여 취소할 수 있다.

• t - (v,K,θ) 유형의 t-wise 균형 설계(또는 t BD)는 크기가 세트 K에 있는 X의 서브셋 패밀리(블록이라고 함)와 함께 v-set X로, X의 개별 원소의 모든 t-subset이 정확히 δ 블록에 포함되도록 한다.K가 t와 v 사이의 양의 정수 집합이라면 t BD가 적절합니다.일부 k에 대해 X의 모든 k 부분 집합이 블럭인 경우 t BD는 단순한 ^[27]설계입니다.

집합 X = {1,2,...,12}에 기반한 3-{12,{4,6}1} 설계의 다음 예에서는 일부 쌍이 4회 나타나는 반면 다른 쌍은 5회 나타나는 것에 유의하십시오(예: 6,12).^[28]

1 2 3 4 5 6 1 2 7 8 1 2 9 11 1 2 10 12 3 5 7 8 3 5 9 11 3 5 10 12 4 6 7 8 4 6 9 11 4 6 10 12

7 8 9 10 11 12 2 3 8 9 2 3 10 7 2 3 11 12 4 1 8 9 4 1 10 7 4 1 11 12 5 6 8 9 5 6 10 7 5 6 11 12

3 4 9 10 3 4 11 8 3 4 7 12 5 2 9 10 5 2 11 8 5 2 7 12 1 6 9 10 1 6 11 8 1 6 7 12

4 5 10 11 4 5 7 9 4 5 8 12 1 3 10 11 1 3 7 9 1 3 8 12 2 6 10 11 2 6 7 9 2 6 8 12

5 1 11 7 5 1 8 10 5 1 9 12 2 4 11 7 2 4 8 10 2 4 9 12 3 6 11 7 3 6 8 10 3 6 9 12

• 계량 행렬, 즉 0 엔트리를 허용하는 아다마르 행렬의 일반화, 일부 조합 설계에서 사용됩니다.특히, 몇 번의 ^[29]시행으로 여러 개체의 개별 가중치를 추정하기 위한 실험 설계입니다.
• Youden 정사각형은 각 기호가 각 행에 정확히 한 번 나타나도록 v 기호의 k × v 직사각형 배열(k < v)이며, 임의의 열에 나타나는 기호는 대칭(v, k, θ) 설계의 블록을 형성하며, 모든 블록은 이러한 방식으로 발생한다.Youden 사각형은 라틴어 직사각형입니다.이름에 있는 "제곱"이라는 용어는 정사각형 ^[30]배열을 사용한 오래된 정의에서 유래했습니다.4 × 7 Youden 정사각형의 예는 다음과 같습니다.

1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	1
3	4	5	6	7	1	2
5	6	7	1	2	3	4

7개의 블럭(열)이 2차 양면(대칭 (7,4,2)-설계)을 형성합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 대수 통계학
• 하이퍼그래프
• 윌리엄슨 추측

메모들

레퍼런스