카이-제곱 분포

확률 이론과 통계에서 k 자유도를 갖는 카이-제곱 분포(카이-제곱 또는 ared-분포도²)는 k 독립 표준 랜덤 변수의 제곱 합을 분포하는 것이다. 카이-제곱 분포는 감마 분포의 특별한 경우로서, 추론 통계량, 특히 가설 검정과 신뢰 구간 구성에서 가장 널리 사용되는 확률 분포 중 하나이다.^[2][3][4][5] 이러한 분포를 중심 카이-제곱 분포라고 부르기도 하는데, 보다 일반적인 비중심 카이-제곱 분포의 특수한 경우다.

카이-제곱 분포는 관측된 분포가 이론적 분포에 적합도, 정성적 데이터의 분류 기준의 두 가지 독립성 및 표본 표준 편차에서 정규 분포의 모집단 표준 편차에 대한 신뢰 구간 추정의 공통 카이-제곱 검정에서 사용된다. 프리드먼의 순위별 분산 분석과 같은 많은 다른 통계적 검정도 이 분포를 사용한다.

정의들

Z₁, ..., Z가_k 독립적이고 표준적인 정규 랜덤 변수인 경우 제곱합,

${\displaystyle Q\ =\sum _{i=1}^{k_{i}^{2},}$

자유도가 k인 카이-제곱 분포에 따라 분포한다. 이것은 보통 다음과 같이 표시된다.

$\\displaystyle Q\ \sim \\chi ^{2}(k)\\ {\text{or}\\ \sim \sim \chi _{k}^{2}.}$

카이-제곱 분포에는 자유도(합계되는 랜덤 변수의 수, Z_i s)를 지정하는 양의 정수 k라는 하나의 모수가 있다.

소개

카이-제곱 분포는 주로 가설 검정에서 사용되며, 기초 분포가 정규 분포일 때 모집단 분산에 대한 신뢰 구간에 대한 신뢰 구간이 더 작다. 정규 분포와 지수 분포와 같이 널리 알려진 분포와 달리 카이 제곱 분포는 자연 현상의 직접 모델링에 자주 적용되지 않는다. 이는 다음과 같은 가설 검정에서 발생하며, 그 중에서도 다음과 같다.

• 분할표의 독립성에 대한 카이-제곱 검정
• 가상 분포에 대한 관측 데이터의 적합도에 대한 카이 제곱 검정
• 내포 모형에 대한 우도 비율 검정
• 생존 분석에서 로그 순위 검정
• 코크란-만텔-만텔-층화된 분할표에 대한 Haenszel 검정

또한 t-검정, 분산 분석 및 회귀 분석에 사용되는 t-분포 및 F-분포의 정의의 구성요소이기도 하다.

카이-제곱 분포를 가설 검정에서 광범위하게 사용하는 주된 이유는 정규 분포와의 관계 때문이다. 많은 가설 검정에서는 t-검정의 t-통계량과 같은 검정 통계량을 사용한다. 이러한 가설 검정의 경우 표본 크기 n이 증가함에 따라 검정 통계량의 표본 분포가 정규 분포(중앙 한계 정리)에 근접한다. 검정 통계량(t 등)은 무증상 정규 분포를 따르므로 표본 크기가 충분하다면 가설 검사에 사용되는 분포는 정규 분포에 의해 근사치가 될 수 있다. 정규 분포를 사용하여 가설을 검정하는 것은 잘 이해되고 비교적 쉽다. 가장 간단한 카이-제곱 분포는 표준 정규 분포의 제곱이다. 따라서 가설 검정에 정규 분포를 사용할 수 있는 경우 카이 제곱 분포를 사용할 수 있다.

Suppose that ${\displaystyle Z}$ is a random variable sampled from the standard normal distribution, where the mean is ${\displaystyle 0}$ and the variance is ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$. Now, consider the random variable ${\displaystyle Q=Z^{2}}$. 랜덤 변수 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle Q}$의 분포는$$ 카이 제곱 분포의 예: ${\displaystyle \Q\\심 \chi _{1}^{2}}$$$ 첨자 1은 이 특정한 카이-제곱 분포가 단지 하나의 표준 정규 분포로부터 구성되었음을 나타낸다. 단일 표준 정규 분포를 제곱하여 구성한 카이 제곱 분포는 자유도가 1도라고 한다. 따라서 가설 검정의 표본 크기가 증가하면 검정 통계량의 분포가 정규 분포에 근접하게 된다. 정규 분포의 극단값이 낮은 확률(그리고 작은 p-값을 주는 것처럼, 카이-제곱 분포의 극단값은 낮은 확률을 가진다.

추가적인 이유는 카이 제곱 분포 널리 사용되는 것이 일반화된 공산비 시험(뒤 보행자)의 큰 표본 분포로 변환하는 것입니다.[6] 뒤 보행자의, 특히 간단한 뒤 보행자의 일반적으로 이 또한 op을 야기하는 최고 권력은 공 가설(Neyman–Pearson 보조 정리)을 거절할 몇가지 바람직한 성질을 가지고 있다.일반 LRT의 시간 특성. 그러나 정규 및 카이-제곱 근사치는 무증상적으로만 유효하다. 이러한 이유로, 작은 표본 크기에 대한 정규 근사치 또는 카이-제곱 근사치보다는 t 분포를 사용하는 것이 바람직하다. 마찬가지로 분할표의 분석에서 카이-제곱 근사치는 작은 표본 크기에 비해 좋지 않을 것이며, 피셔의 정확한 시험을 사용하는 것이 바람직하다. Ramsey는 정확한 이항 테스트가 항상 정상 근사치보다 더 강력하다는 것을 보여준다.^[7]

랭커스터는 이항 분포, 정규 분포 및 카이-제곱 분포 사이의 연결을 다음과 같이 보여준다.^[8] De Moivre와 Laplace는 이항 분포가 정규 분포에 의해 근사치될 수 있다는 것을 확립했다. 구체적으로 그들은 랜덤 변수의 점근성 정규성을 보여주었다.

${\displaystyle \chi ={m-Np \over {\sqrt{Npq}}}}$

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은(는) $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$ 시험에서$$ 관측된 성공 횟수로서$$, 성공 확률은 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ p$}$이고$,$ $q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- p ${\displaystyle q=1-p}$이다$.$

방정식의 양쪽을 제곱하면

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \{2} \{pq}}} 위에 표시$

$N{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle N}$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle N=Np+N(1-p$ N${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$+${\displaystyle }$( N${\displaystyle }$- ${\displaystyle m}$) ${\displaystyle$ N$=m+(N-m)},$$q{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle p}$ ${\displaysty q=1-p}$을 사용하여 이 방정식을 다시 작성할 수 있다$.$

${\displaystyle \chi ^{2}={(m-Np)^{2} \over Np}+{(N-m-Nq)^{2} \Nq}}}}}$

오른쪽의 표현은 칼 피어슨이 그 형태에 일반화시킨 형태다.

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{n}{\frac {(O_{i}-E_{i}}}^{2}}{E_{i}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle {\chi }^{}}$ ${\$}} $$= Pearson의 누적 시험 통계량. $\chi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 분포에$$ 점증적으로 접근한다.

${\displaystyle O_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $$= i $유형{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 관측치 수입니다$.$

${\displaystyle {Ei}_{}}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ $$= 모집단에서 유형$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$의 분율이 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$라는 귀무 가설에 의해 주장되는$$형식 $i$의 예상(이론적) $주파수$.

${\displaystyle n}$ $[\displaystyle n}$ $$= 표에 있는 셀 수입니다.

이항 분포의 경우(동전의 플립) 정규 분포에 의해 이항 분포의 근사치를 구할 수 있다($충분히{\displaystyle }$ 큰 n ${\displaystyle n}).$ 표준 정규 분포의 제곱은 자유도가 1인 카이-제곱 분포이기 때문에 10번의 시행에서 헤드 1개와 같은 결과의 확률은 정규 분포를 직접 사용하여 추정하거나 정규화, 기대값의 제곱 차이에서 카이-제곱 분포를 사용하여 근사하게 추정할 수 있다. 그러나 많은 문제들은 이항 분포의 가능한 두 가지 결과 이상을 수반하며, 대신 3개 이상의 범주를 요구하여 다항 분포로 이어진다. 드 모이브르와 라플레이스가 이항 분포에 대한 정규 근사를 찾고 찾아냈듯이, 피어슨은 다항 분포에 대한 퇴행성 다변량 정규 근사치를 찾아냈다(각 범주의 숫자는 고정된 것으로 간주되는 총 표본 크기로 추가된다). Pearson은 다른 범주의 관측치 수 사이의 통계적 의존성(부정 상관 계수)을 신중하게 고려하여 카이-제곱 분포가 다변량 정규 근사치에 대한 다변량 정규 근사치에서 다변량 분포로 인해 발생했음을 보여주었다. ^[8]

확률밀도함수

카이-제곱 분포의 확률밀도함수(pdf)는

${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{case}}}$

여기서$\gamma \mathrm{}(k\mathrm{}$/ 2$$) ${\textstyle \Gamma(k/2$)는 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대한 폐쇄 형식 값을 갖는 감마 함수를 의미한다$.$

1, 2 및 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 자유도의$$ 경우 pdf의 파생은 카이 제곱 분포와 관련된 증명을 참조하십시오.

누적분포함수

누적분포함수는 다음과 같다.

${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\frac {k}{2}},\\frac {k}{x}{2}}:}}{\frac {n1}}}}}{\frac {k}{n2}}}}}}}}{\frac {x}2}}:}, 오른쪽)}$

여기서 $\gamma {\displaystyle (s}$, ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \gamma(s,t)}$은(는) 하한 미완성 감마함수이고, $P(s$, t$$) ${\textstyle P(s,t)}$은 정규화된 감마함수다.

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ $$= 2의 특수한 경우 이 함수는 다음과 같은 간단한 형태를 가진다.

${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$

$f{\displaystyle (x}$; ${\displaystyle 2\mathrm{}}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystyle 2{}^{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{}{}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{\mathrm{x}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\frac{}{}}^{}}$ ${\$ {$1}{2$}}$e^{-{\frac {x}{2}}:$ 직접$$ 통합하면 쉽게 도출할 수 있다. 감마 함수의 정수 반복은 다른 작은 $키$에 대해$$ $($; 2 $){\$$displaystyle F$$(x$$;\,$2)를 쉽게 계산할 수 있게 한다$.$

카이-제곱 누적 분포 함수의 표는 널리 사용할 수 있으며, 기능은 많은 스프레드시트와 모든 통계 패키지에 포함되어 있다.

$z{\displaystyle }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle x}$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle z\equiv x/$^[9]k}, CDF의 아래쪽과 위쪽 꼬리에 대한 Chernoff 경계를 구할 수 있다. < < ${\displaystyle 0<z<1}($이 CDF가 절반 미만인 경우 모두 포함)인 경우:

${\displaystyle F(zk;\,k)\leq(ze^{1-z})^{k/2}.}$

로 z> ${\displaystyle z>1$}이가) 다음과 같은 경우에 대한 꼬리 바인딩.

${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq(ze^{1-z})^{k/2}.}$

가우스 큐브를 따라 모델링한 CDF에 대한 다른 근사치는 비중앙 카이 제곱 분포에서 확인하십시오.

특성.

독립적으로 분포된 정규 랜덤 변수의 제곱합에서 평균을 뺀 값

Z₁, ..., Z가_k 동일한 분포(즉, d), 표준 정규 랜덤 변수인 경우,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\overline{Z})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$

어디에

${\displaystyle {\overline{Z}={\frac {1}{k}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}.}$

부가성

독립형 카이-제곱 변수의 합도 카이-제곱 분포라는 것은 카이-제곱 분포의 정의에 따른 것이다. Specifically, if ${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$ are independent chi-squared variables with ${\displaystyle k_{i}}$, ${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$ degrees of freedom, respectively, then ${\displaystyle Y=X_{1}+...$$+X_{n}}$은(는) $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+${\displaystyle }$.${\displaystyle }$.${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$로 배포된 카이-제곱입니다.$+k_{n}}$ 자유도$$.

표본평균

도 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$의 $n{\displaystyle }$ ${\$displaystyle k$}$ 카이-제곱 변수의 표본 평균은 형상 $\alpha {\displaystyle }$ ${\\displaystyle \alpha }$ 및$$ 척도$\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle \teta }$ 매개변수를$$ 갖는 감마 분포에 따라 분포한다$$.

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha =n\,k/2,\theta =2/n\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$

Asymptotically, given that for a scale parameter ${\displaystyle \alpha }$ going to infinity, a Gamma distribution converges towards a normal distribution with expectation ${\displaystyle \mu =\alpha \cdot \theta }$ and variance ${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \,\theta ^{2}}$, the sample mean co다음을 향해 나아간다.

${\displaystyle {\x}\x오른쪽 화살표 {n\to \infit }N(\mu =k,\sigma ^{2}=2\,k/n)}$

$각{\displaystyle }$ 카이-제곱 변수인 도 k {\$displaystyle k}$에 대해 $기대치$는 k ${\displaystyle k}$이고,$$$$ 그 $분산$은 ${\displaystyle 2}$k {\$displaystyle 2\\$k}($따라서{\displaystyle \stackrel{}{}}$표본 평균 X의 분산은$${\$displaystyle {\beve$)라는 점에 유의하면서 중심 한계 정리를 호출하는 동일한 결과를 얻었을 것이다.$r라인{X}}$은$($는) $being{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$

엔트로피

차동 엔트로피는 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle h=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\,\psi \!\left[{\frac {k}{2}}\right],}$

여기서 ψ(x)는 디감마 함수다.

The chi-squared distribution is the maximum entropy probability distribution for a random variate ${\displaystyle X}$ for which ${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$ and ${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$ are fixed. 카이-제곱은 감마 분포의 패밀리에 있으므로, 이는 감마 로그 모멘트의 기대치에서 적절한 값을 대체함으로써 도출될 수 있다. 보다 기본적인 원리에서 파생되는 것에 대해서는 충분한 통계량의 모멘트 생성함수의 추이를 참조한다.

비중앙 모멘트

$자유도$가$$k {\$displaystyle$k$$}인 카이 제곱 분포의 0에 대한 모멘트는 다음과^[10][11] 같다.

${\displaystyle \operatorname {E}(X^{m})=k(k+2)(k+4)\cdots(k+2m-2)=2^{m}{\Gamma \left(m+{\frac{k}{2}}\오른쪽)}{\Gamma \왼쪽({frap}).}$

누룩제

응고제는 특성 함수의 로그의 (공식) 파워 시리즈 확장을 통해 쉽게 얻을 수 있다.

${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$

집중력

카이-제곱 분포는 평균 주위에 강한 집중을 보인다. 표준 Laurent-Massart 경계는 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {P}(X-k\geq 2{\sqrt {kx}+2x)\leq \exp(-x)}$

${\displaystyle \operatorname {P}(k-X\geq 2{\sqrt {kx})\leq \exp(-x)}$

점근성

그 중심 극한 정리까지 k{k\displaystyle}한정된 의미이고 분산과 독립 확률 변수의 이유는 카이 제곱 분포는 큰 k{k\displaystyle}에 대하여 정상 분포에. 많은 실용적인 목적으로, k>;50이 분배는 sufficien{\displaystyle k>, 50}하는 한 점인.tly개차이를 무시하려면 정규 분포를 따르십시오.^[13] $구체적$으로 $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( k${\displaystyle }$) ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k$이($)$ 무한대로$$ 되면${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$ - ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$/ 2 ${\displaystyle \sqrt{k}}${\$displaystyle (X-k)/{\sqrt{2k}}}}$의 분포가 표준 정규 분포를 따르는 경향이 있다. 그러나 왜도가 $8{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$/ ${\displaystyle \sqrt{k}}$ ${\$이고, 과 첨도가 ${\displaystyle 12}$/ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 12/k}$이므로 수렴이 느리다$.$

${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle {\chi \mathrm{}}^{}}$ 2$){\displaystyle \ln(\chi ^{2})$의 샘플링 분포는 로그가 비대칭성을 많이 제거하므로 $\chi {\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 샘플링 분포보다 훨씬 빠르게 정규성으로 수렴된다$.$^[14][15] 카이-제곱 분포의 다른 함수는 정규 분포로 더 빠르게 수렴한다. 몇 가지 예는 다음과 같다.

• $X{\displaystyle }$$$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( k${\displaystyle }$) ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$인 경우, 평균 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{2k}}}$$-$$$1 {\$displaystyle$ {\$sqrt{2k-1}$ 및$$ 단위 분산(1922, 기준, R. A). 피셔, 존슨 426쪽 (18.23쪽) 참조.^[4]
• If ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$ then ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$ is approximately normally distributed with mean ${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$ and variance ${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.$$}}$ 이것은$$^[16] 윌슨-로 알려져 있다.Hilperty transformation, (18.24), Johnson의 페이지 426을 참조하라.^[4]
  • 이러한 변환을 정규화하면 정규 분포의 중위수인 평균으로부터 역변환하여 ${\displaystyle {일반적}^{}}$으로 사용되는 중위수 근사 k${\displaystyle (1\mathrm{}}$- ${\displaystyle 2\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{9\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{k}{}{}^{}}$) 3 $displaystyle k{\bigg (}{2}{9k}}{\bigg )}^{3}\}$로 직접 이어진다.

관련 분포

• $ask{\displaystyle }$→ $∞{\displaystyle k\to \infit }$, (${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$-${\displaystyle k}$ )${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{k}\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{d}N\stackrel{}{}}$ (${\displaystyle 0,1}$ )$${\$displaystyle$(\$chi$ _${k}^{$2}-$k)/{\sqrt{2k}}}\xrigarrow}\{d}}\n(정상$ 분포)$$
• ${\displaystyle {\chi }_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$~ ${\displaystyle {{}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{\mathrm{}}}$ ( ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \chi$ \chi $_{k}^{2}\심(\chi '}_{k}^{2}(0)}($비중앙 카이-제곱 분포 =${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \dada$=0$\})$ )
• If ${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (\nu _{1},\nu _{2})}$ then ${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }\nu _{1}Y}$ has the chi-squared distribution ${\displaystyle \chi _{\nu _{1}}^{2}}$

• As a special case, if ${\displaystyle Y\sim \mathrm {F} (1,\nu _{2})\,}$ then ${\displaystyle X=\lim _{\nu _{2}\to \infty }Y\,}$ has the chi-squared distribution ${\displaystyle \chi _{1}^{2}}$

• ${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$… ,${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle {}^{}}$ 2 ~${\displaystyle {}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 2_{}^{}}$ ${\$}} $$(k 표준 분포 변수의 제곱은 k)의 자유도가 있는 치 제곱 분포이다.
• If ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )\,}$ and ${\displaystyle c>0\,}$, then ${\displaystyle cX\sim \Gamma (k=\nu /2,\theta =2c)\,}$. (gamma distribution)
• $X{\displaystyle }$ ~${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\$인 $경우{\displaystyle \sqrt{}}$ X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$chi 분포)
• $X{\displaystyle }$${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(2),$X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Exp}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$) ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (1/2$)이 지수 분포인$$ 경우. (자세한 내용은 감마 분포를 참조하십시오.)
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( 2 ${\displaystyle k}$) ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}($${\displaystyle 2k\mathrm{})\}<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; X\backslash sim\; \backslash chi\; ^\{2\}(2k)\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5851a4d48d9842ddb70fc4016eab60eeea755a39"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:11.771ex;\; height:3.176ex;">}$, X${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Erlang}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (\mathrm{k}}$, $1{\displaystyle }$ / 2 ) {\$displaystyle X\sim \operatorname {Erlang}(k,1/2$)이$$Erlang 분포인 경우.
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Erlang}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (k}$ ,${\displaystyle \lambda }$) ${\displaystyle X\sim \operatorname {Erlang}(k,\lambda )},$$2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle X}$~ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle k_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Rayleigh}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\$ {$Rayleigh}(1)\,}($Rayleigh 배포)인 경우 X ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ~${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ 2 (${\displaystyle {}^{}2}$ )${\$ X$^{2$}\$simchi ^{2}(2),}$
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Maxwell}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$) ${\$ X$\sim \operatorname {Maxwell}(1)\,}($최대 분포)인 경우 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle 3}$) ${\$ X$^{2}\simchi ^{2}(3),}$
• If ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu )}$ then ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Inv-} \chi ^{2}(\nu )\,}$ (Inverse-chi-squared distribution)
• 카이-제곱 분포는 타입 III Pearson 분포의 특별한 경우
• If ${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(\nu _{1})\,}$ and ${\displaystyle Y\sim \chi ^{2}(\nu _{2})\,}$ are independent then ${\displaystyle {\tfrac {X}{X+$$Y}\sim \operatorname {Beta}({\tfrac {\nu _{1}:{1},{\tfrac {\nu _{2}}}\,}($베타 배포)
• $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{U}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$, 1${\displaystyle }$) ${\$일체 분포)인 경우${\displaystyle }$- 2 ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle 2}$) ${\$
• If ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Laplace} (\mu ,\beta )\,}$ then ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2 X_{i}-\mu }{\beta }}\sim \chi ^{2}(2n)\,}$
• If ${\displaystyle X_{i}}$ follows the generalized normal distribution (version 1) with parameters ${\displaystyle \mu ,\alpha ,\beta }$ then ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {2 X_{i}-\mu ^{\beta }}{\alpha }}\sim \chi ^{2}\left($${\frac {2n}{\pair }}}\\\\오른쪽)\,}$
• 카이-제곱 분포는 파레토 분포의 변환이다.
• 학생의 t-분포는 카이-제곱 분포의 변형이다.
• 학생의 t-분포는 카이-제곱 분포와 정규 분포를 통해 얻을 수 있다.
• 비중앙 베타 분포는 카이-제곱 분포와 비중앙 키-제곱 분포의 변환으로 얻을 수 있다.
• 비정규 t-분포는 정규 분포 및 카이-제곱 분포에서 얻을 수 있다.

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 자유도를$$ 갖는 카이 제곱 변수는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$} 독립$ 표준 랜덤$$ 변수의 제곱 합으로 정의된다.

If ${\displaystyle Y}$ is a ${\displaystyle k}$-dimensional Gaussian random vector with mean vector ${\displaystyle \mu }$ and rank ${\displaystyle k}$ covariance matrix ${\displaystyle C}$, then ${\displaystyle X=(Y-\mu )^{T}C^{-1}(Y-\mu )}$ is chi-squared distri$자유도$가 k$[\displaystyle$k}인 버터.

평균 0이 없는 통계적으로 독립적인 단위-분산 가우스 변수의 제곱합은 비중앙 카이-제곱 분포라고 하는 카이-제곱 분포의 일반화를 산출한다.

If ${\displaystyle Y}$ is a vector of ${\displaystyle k}$ i.i.d. standard normal random variables and ${\displaystyle A}$ is a ${\displaystyle k\times k}$ symmetric, idempotent matrix with rank ${\displaystyle k-n}$, then the quadratic form ${\displaystyle Y^{T}$$AY}$은 $k{\displaystyle }$- ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k-n}$ 자유도를$$ 갖는 카이-제곱 분포다$$.

If ${\displaystyle \Sigma }$ is a ${\displaystyle p\times p}$ positive-semidefinite covariance matrix with strictly positive diagonal entries, then for ${\displaystyle X\sim N(0,\Sigma )}$ and ${\displaystyle w}$ a random ${\displaystyle p}$-vector independent of ${\displaystyle X}$ $w{\displaystyle {}_{}}$$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle +}$ +${\displaystyle {}_{}}$ = ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle w_{1}+\cdots +w_{p}=$1$$} $및{\displaystyle {}_{}}$ w ${\displaystyle i_{}0}$ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \cdots ,}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle w_{i}\geq$ 0$,i=1,\cdots,p,}$이(가) 있는 경우

${\displaystyle {\frac {1}{\frac {w_{1}:{1}},\cdots,{\frac {w_{p}{X_{p}}}\오른쪽)\Sigma \left({\frac {w_{1}:{1}:{X_{p}}}},\cdots,{\frac {w_{p}}}}}\top \simchi _{1}^{1}^{2}.}$^[15]

카이-제곱 분포는 가우스 분포에서 발생하는 다른 분포와도 자연스럽게 관련이 있다. 특히.

• ${\displaystyle Y}$ is F-distributed, ${\displaystyle Y\sim F(k_{1},k_{2})}$ if ${\displaystyle Y={\frac {{X_{1}}/{k_{1}}}{{X_{2}}/{k_{2}}}}}$, where ${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ and ${\displaystyle X_{}}$${\displaystyle 2_{}}$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})$는 통계적으로 독립적이다.
• If ${\displaystyle X_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})}$ and ${\displaystyle X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})}$ are statistically independent, then ${\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \chi ^{2}(k_{1}+k_{2})}$. If ${\displaystyle$$X_{1},$ ${\displaystyle X_{}}$ 2 ${\$}}이 독립적이지$$ 않으면 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 카이-제곱 분포가$$ 아니다.

일반화

카이-제곱 분포는 k 독립, 0-평균, 단위-분산 가우스 랜덤 변수의 제곱의 합으로 구한다. 이 분포의 일반화는 다른 유형의 가우스 랜덤 변수의 제곱을 합하여 얻을 수 있다. 그러한 몇 가지 분포가 아래에 설명되어 있다.

선형결합

만약 X1,…, Xn{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}들 키이 염기 광장 확률 변수와 1,…, 오빠 ∈ R>0{\displaystyle a_{1},\ldots}\mathbb{R}_{>0},a_{n}\in, 그 후에 X의 유통을 위해 비공개 표현)나는 1n정도는 나는 X나는}{\displaystyle X=\sum_{i=1}^{n}a_{나는}X_{나는}∑. 아니다 그러나 카이-제곱 랜덤 변수의 특성 함수의 특성을 사용하여 효율적으로 추정할 수 있다.^[18]

카이-제곱 분포

비중앙 카이-제곱 분포

비중심 카이-제곱 분포는 단위 분산과 0이 아닌 평균을 갖는 독립 가우스 랜덤 변수의 제곱합에서 구한다.

일반화 카이-제곱 분포

일반화된 카이-제곱 분포는 2차 형태 z′Az에서 얻어지며, 여기서 z는 임의 공분산 행렬을 가진 0-평균 가우스 벡터, A는 임의 행렬이다.

감마, 지수 분포 및 관련 분포

The chi-squared distribution ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$ is a special case of the gamma distribution, in that ${\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}$ using the rate parameterization of the gamma distribution (or ${\$디스플레이 $스타일 X\sim \Gamma \left({\frac${k$$$}{2}},2\오른쪽)$ 여기서 k는 정수다.

지수 분포도 감마 분포의 특수한 경우이기 때문에 $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ $X{\displaystyle }$~ ${\displaystyle \mathrm{Exp}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \frac{1}{}}$ ${\displaystyle 2}$) ${\$ X$\simopername {Exp} \lef({\fr{1}{2}}\오른쪽)}$이 지수 분포인$$ 경우도 있다.

The Erlang distribution is also a special case of the gamma distribution and thus we also have that if ${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$ with even ${\displaystyle {\text{k}}}$, then ${\displaystyle {\text{X}}}$ is Erlang distributed with shape parameter ${\displaystyle {\text{k}}/2}$ and 스케일 매개 변수 ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2 ${\displaystyle 1/2$}$$.

발생 및 적용

카이-제곱 분포는 예를 들어 카이-제곱 검정 및 분산 추정과 같은 추정 통계량에 수많은 응용이 있다. 학생 t-분포에서의 역할을 통해 정규 분포 모집단의 평균 추정 문제와 회귀선의 기울기를 추정하는 문제를 입력한다. 그것은 F-분포에서의 역할을 통해 모든 분산 문제를 입력하는데, 이것은 각각 각각의 자유도로 나눈 두 개의 독립적인 카이-제곱 랜덤 변수의 비율의 분포다.

다음은 카이-제곱 분포가 가우스 분포 표본에서 발생하는 가장 일반적인 상황 중 하나이다.

• if ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$ are i.i.d. ${\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}$ random variables, then ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}}$ where ${\displaystyle \overline{X}}$${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1n}}}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle X_{}}$ i ${\${1$}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i$
• 아래 상자에는 카이-제곱 분포와 관련된 확률 분포를 갖는 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$~ ${\displaystyle N({\mu i}_{}}$, μi , ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle i}$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle k}$ = , k ${\displaystyle X_{i}\심$ N$(\mu _{i},\sigma _{i}^{2}),$ i$=1,\ldots ,k}$ 독립$$ 랜덤 변수에 기초한 일부 통계량이 표시된다.

이름	통계
카이 제곱 분포	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\왼쪽({\frac {X_{i}-\mu_{i}}{i}}{\sigma _{i}}\오른쪽)^{2}}$
비중앙 카이-제곱 분포	${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\왼쪽({\frac {X_{i}}{\sigma _{i}}\오른쪽)^{2}}$
기 분포	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\왼쪽({\frac {X_{i}-\mu_{i}}}{\sigma _{i}}\오른쪽)^{2}}:$
비중앙 기 분포	${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{k}\좌측({\frac {X_{i}}{sigma _{i}}\오른쪽)^{2}}:$

카이-제곱 분포는 자기 공명 영상에서도 자주 접하게 된다.^[19]

계산 방법

χ² 값 대 p-값 표

p-값은 카이-제곱 분포에서 최소한 극단값만큼의 검정 통계량을 관측할 확률이다. 따라서 적절한 자유도(df)에 대한 누적분포함수(CDF)는 이 점보다 덜 극단적인 값을 얻었을 확률을 주기 때문에 1에서 CDF 값을 빼면 p-값이 나온다. p-값이 낮으면 선택한 유의 수준보다 낮은 경우 통계적 유의성, 즉 귀무 가설을 기각하기에 충분한 증거가 된다. 유의 수준 0.05는 유의한 결과와 유의하지 않은 결과 사이의 컷오프로 자주 사용된다.

아래 표에는 $\chi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$}와 일치하는 다수의 p-값이 나와 있으며, 처음 10도의 자유도를 나타낸다$$.

이러한 값은 카이-제곱 분포의 수량 함수("역 CDF" 또는 "ICDF"라고도 함)를 평가하여 계산할 수 있다.^[21] 예를 들어, 위의 표와 같이 p = 0.05 및 df = 7의 χ² ICDF는 2.1673 ≈ 2.17이다.

역사

이 분포는 독일의 통계학자 프리드리히 로버트 헬머트가 1875–6의 논문에서 처음으로 설명했는데,^[22][23] 여기서 그는 정규 모집단의 표본 분산에 대한 표본 분포를 계산했다. 따라서 독일어에서는 전통적으로 헬메르트 스키("헬메르트어") 또는 "헬메르트 분포"로 알려져 있었다.

이 분포는 영국 수학자 칼 피어슨이 적합도의 맥락에서 독자적으로 재발견하여 (페르손 1914, 페이지 xxxi–xxiii, 26–28, 표 X)에 수집된 (Elderton 1902)에 발표된 자신의 피어슨의 카이-제곱 검정을 개발하였다.II) harv error: no target: CITREFPearson1914 (도움말) "chi-square"라는 명칭은 궁극적으로 Pearson이 그리스 문자 Chi와 함께 다변량 정규 분포의 지수를 속기하여 현대 표기법에서 -xXxx(공분산 행렬인 XX)로 나타나는 것에 대해 -½χ을² 쓴 데서 유래한다.^[24] 그러나 "치-제곱 분포"의 한 집단에 대한 생각은 피어슨에 의한 것이 아니라 1920년대 피셔에 의한 추가적인 발전으로 생겨났다.^[22]

참고 항목

참조

추가 읽기

외부 링크

• 수학의 일부 단어의 초기 사용: 치의 제곱은 짧은 역사를 가지고 있다.
• 예일 대학 통계학 101 수업의 Chi-Squared Good of Fit Testing에 대한 코스 노트
• 정규 모집단에 대한 다양한 통계량(예: σx²)의 카이 제곱 표본 분포를 보여주는 수학자 시연
• 포켓 계산기를 이용한 카이-제곱 분포에 대한 cdf 및 역cdf 근사 알고리즘
• 카이 제곱 분포의 값