키스 넘버

숫자 이론에서 Keith 번호 또는 repfigit 번호(반복적인 피보나치 유사 숫자의 줄임말)는 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $k}$자리의$$$$ 주어진 숫자 $b{\displaystyle }$ ${\displa$}에 있는$$ $자연{\displaystyle }$ 숫자 n ${\displa}$이며, 이러한 순서가 생성될 때 첫 $번째{\displaystyle }$ k ${\displa$}이$$ 된다.$ystyle k}$$자리$ n ${\displaystyle n}$이며 각 후속 용어는 이전 k ${\$$displaystyle$ $k$$}$ 항의 $합$이며 n$$ {\$displaystyle$ n}은$$시퀀스의 일부임.키스 넘버들은 1987년에 마이크 키스에 의해 소개되었다.^[1]그들은 단지 100명 정도밖에 알려지지 않은 채, 계산적으로 찾기가 매우 어렵다.

정의

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$을(를) 자연수로 하고$$, $k{\displaystyle }$=${\displaystyle }$⌊ ${\displaystyle {\log }_{}}$ b ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle n\rfloor }$ + ${\displaystyle 1}${\$displaystyle$ k$=\lfloor \1}$을$($를) $기본{\displaystyle }$ b$${\$displaystyle$b$\}$의 숫자에 있는 자릿수로$$ 하고, lete $let$ n = ⌊ let \ \ \down log b \down log b \down log c=\down floor = \loard k=\loor

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod{b}^{b+1}-n{\bmod{b}^{b^{i}}}}}}}}}}$

숫자의 각 자릿수 값이다

우리는 선형적 재발 관계를 정의한다.${\displaystyle S}$( ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle S(i)}$의 경우, 0 < > ${\displaystyle$ 0$\leq$ i$<k$

${\displaystyle S(i)=d_{k-i-1}$

$i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i\geq k}$에 대해

${\displaystyle S(i)=\sum _{j=0}^{k}S(i-k+j)}$

$S{\displaystyle }$( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S(i)=n}$과 같은 i ${\displaystyle i}$이$($가) 있는 경우 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}은($는) 키스 번호라고 한다$$.

예를 들어 88은 베이스 6에 있는 키스 번호로, 다음과 같다.

${\displaystyle S(0)=d_{3-0-1}=d_{2}={\frac {88{\bmod {6}}^{2+1}-88{\bmod {6}}^{2}}{6^{2}}}={\frac {88{\bmod {2}}16-88{\bmod {3}}6}{36}}={\frac {88-16}{36}}={\frac {72}{36}}=2}$

${\displaystyle S(1)=d_{3-1-1}=d_{1}={\frac {88{\bmod {6}}^{1+1}-88{\bmod {6}}^{1}}{6^{1}}}={\frac {88{\bmod {3}}6-88{\bmod {6}}}{6}}={\frac {16-4}{6}}={\frac {12}{6}}=2}$

${\displaystyle S(2)=d_{3-2-1}=d_{0}={\frac {88{\bmod {6}}^{0+1}-88{\bmod {6}}^{0}}{6^{0}}}={\frac {88{\bmod {6}}-88{\bmod {1}}}{1}}={\frac {4-0}{1}}={\frac {4}{1}}=4}$

그리고 전체 순서는

${\displaystyle S(i)=\{2,4,8,14,26,48,88,162,\ldots \}}}$

${\displaystyle \mathrm{및}}$ $S{\displaystyle }$( 7${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 88}$ ${\displaystyle$ S$(7)=88$

키스 번호 찾기

특정 베이스 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$에 키스 숫자가 무한히 많은지는 현재 추측의 문제다$$.키스 번호는 드물고 찾기 어렵다.그것들은 철저한 검색을 통해 찾을 수 있으며, 더 효율적인 알고리즘은 알려져 있지 않다.^[2]Keith에 따르면, 베이스 10에서는 ${\displaystyle \frac{\mathrm{평균}}{}}$ 9 ${\displaystyle {\mathrm{10}}_{}}$ ${\displaystyle {log\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1099}$ 2.99$[\$}\ 약$2.99}$Keith의$$ 연속적인 파워 사이에 Keith 수가 예상된다고 한다.^[3]알려진 결과가 이를 뒷받침하는 것 같다.

예

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, 31331, 34285, 34348, 55604, 62662, 86935, 93993, 120284, 129106, 147640, 156146, 174680, 183186, 298320, 355419, 694280, 925993, 1084051, 7913837, 11436171, 33445755, 44121607, 129572008, 251133297, ...^[4]

기타 베이스

베이스 2에는 모든 키스 번호를 구성하는 방법이 있다.^[3]

베이스 12의 키스 번호는 베이스 12로 쓰여져 있다.

11, 15, 1Ɛ, 22, 2ᘔ, 31, 33, 44, 49, 55, 62, 66, 77, 88, 93, 99, ᘔᘔ, ƐƐ, 125, 215, 24ᘔ, 405, 42ᘔ, 654, 80ᘔ, 8ᘔ3, ᘔ59, 1022, 1662, 2044, 3066, 4088, 4ᘔ1ᘔ, 4ᘔƐ1, 50ᘔᘔ, 8538, Ɛ18Ɛ, 17256, 18671, 24ᘔ78, 4718Ɛ, 517Ɛᘔ, 157617, 1ᘔ265ᘔ, 5ᘔ4074, 5ᘔƐ140, 6Ɛ1449, 6Ɛ8515, ...

키스 성단

키스클러스터는 키스 넘버의 배수가 되는 관련 세트다.예를 들어 베이스 10,${\displaystyle }${ ${\displaystyle 14,}$ ${\displaystyle 28}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{14,28$${\displaystyle }${${\displaystyle 1104,2208}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1104,2208\},$$${$}, {\displaystystyle \{331,626662,93$)은 모두 키스$$ 클러스터.이것은 아마도 베이스 10에 있는 키스 클러스터의 유일한 세 가지 예일 것이다.^[5]

프로그래밍 예제

아래 예제는 특정 베이스의 숫자가 키스 번호인지 판단하기 위해 파이썬에서 정의한 순서를 구현한다.

반항하다 is_repfigit(x: 인트로, b: 인트로) -> 바가지 긁다:     """"특정 베이스의 숫자가 키스 숫자인지 여부를 결정한다."""     만일 x == 0:         돌아오다 진실의      순서를 매기다 = []     y = x      하는 동안에 y > 0:         순서를 매기다.덧셈을(y % b)         y = y // b      digit_count = 렌(순서를 매기다)     순서를 매기다.역행의()      하는 동안에 순서를 매기다[렌(순서를 매기다) - 1] < x:         n = 0         을 위해 i 에 범위(0, digit_count):             n = n + 순서를 매기다[렌(순서를 매기다) - digit_count + i]         순서를 매기다.덧셈을(n)      돌아오다 (순서를 매기다[렌(순서를 매기다) - 1] == x) 

참고 항목

• 산술역학
• 피보나치 수
• 선형재발관계

참조