게이지 이론

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물리학에서 게이지 이론(Gauge theory)은 라그랑지안(Lagrangeian), 즉 계 자체의 역학이 특정 매끄러운 연산군(Lie groups)에 따라 국소적인 변환 하에서 변하지 않는 장 이론의 한 유형입니다.형식적으로는 라그랑지안은 불변입니다.

게이지라는 용어는 물리계의 라그랑지안에서 중복되는 자유도를 조절하기 위한 특정한 수학적 형식주의를 말합니다.게이지 변환이라고 하는 가능한 게이지 간의 변환은 이론의 대칭 그룹 또는 게이지 그룹이라고 하는 Lie 그룹을 형성합니다.임의의 리 군과 연관된 군 생성기의 리 대수.각 그룹 생성기에 대해 게이지 필드라고 하는 해당 필드(일반적으로 벡터 필드)가 반드시 발생합니다.게이지 필드는 로컬 그룹 변환(게이지 불변이라고 함) 하에서 불변성을 보장하기 위해 라그랑지안에 포함됩니다.그러한 이론이 양자화될 때, 게이지 필드의 양자는 게이지 보손이라고 불립니다.대칭군이 비상호적이면, 게이지 이론은 비-아벨 게이지 이론으로 불리며, 일반적인 예는 양-밀스 이론입니다.

물리학의 많은 강력한 이론들은 일부 대칭 변환 그룹 아래에서 불변하는 라그랑지안들에 의해 설명됩니다.물리적 과정이 발생하는 시공간의 모든 지점에서 동일하게 수행되는 변환 하에서 불변할 때, 그들은 전역적 대칭을 갖는다고 합니다.게이지 이론의 주춧돌인 국소 대칭은 더 강한 제약 조건입니다.사실, 전역 대칭은 그룹의 매개변수가 시공간에서 고정된 국소 대칭일 뿐입니다. (상수값이 항상 같은 어떤 매개변수의 함수로 이해될 수 있는 것과 같은 방식으로)

게이지 이론은 기본 입자의 역학을 설명하는 성공적인 장 이론으로서 중요합니다.양자 전기역학은 대칭군 U(1)를 갖는 아벨 게이지 이론으로, 전자기 4전위라는 하나의 게이지 필드를 가지며 광자는 게이지 보손입니다.표준 모델은 대칭 그룹 U(1) × SU(2) × SU(3)인 비-아벨 게이지 이론이며 광자, 세 개의 약한 보손 및 여덟 개의 글루온 총 12개의 게이지 보손을 가지고 있습니다.

게이지 이론은 일반 상대성 이론에서 중력을 설명하는 데도 중요합니다.게이지 필드가 텐서인 Lanczos 텐서라는 점에서 다소 특이합니다.게이지 중력 이론으로 시작하는 양자 중력 이론은 또한 중력자로 알려진 게이지 보손의 존재를 가정합니다.게이지 대칭은 시공간의 임의의 미분 형식 하에서 좌표계를 자유롭게 선택할 수 있는 일반 상대성 이론의 일반 공분산 원리의 유사체로 볼 수 있습니다.게이지 불변성과 차동형 불변성은 모두 시스템 설명에 중복성을 반영합니다.중력 이론인 게이지 이론 중력은 일반 공분산의 원리를 실제 게이지 원리로 대체하고 새로운 게이지 필드를 사용합니다.

역사적으로, 이러한 생각들은 고전 전자기학의 맥락에서 처음 언급되었고, 나중에는 일반 상대성 이론에서 언급되었습니다.그러나 게이지 대칭의 현대적인 중요성은 전자의 상대론적 양자역학인 양자전기역학에서 처음 나타났습니다.오늘날 게이지 이론은 다른 하위 분야 중에서도 응축 물질, 핵, 고에너지 물리학에 유용합니다.

양자장론
파인만 도형
역사
배경 장론 전자기학 약한 힘 강한힘 양자역학 특수상대성이론 일반상대성이론 게이지 이론 양밀스 이론
대칭 양자역학에서의 대칭성 C대칭 P대칭 티대칭 로런츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭파괴 자발적 대칭파괴 에테르 충전물 없음 위상전하
도구들 변칙 배경 필드 방식 BRST 양자화 상관함수 크로싱 유효작용 유효장이론 기댓값 파인만 도형 격자장론 LSZ감산식 파티션 함수 전파자 양자화 정규화 재규격화 진공상태 윅의 정리
방정식 디랙 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-디윗 방정식 바르그만-위그너 방정식
표준모델 양자전기역학 전기약 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전이론 끈이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자중력
사이언티스트 앤더슨 안셀름 바르그만 베키 벨라빈 베레진 벳더 비요켄 블루어 보골류보프 브로드스키 브루트 부크홀츠 카차조 캘런 콜먼 다셴 드윗 디랙 도플러 다이슨 엥글러트 파디브 파딘 파예트 페르미 파인만 피에즈 포크 프램턴 프리츠슈 프뢰흘리히 프레덴하겐 털로 덮인 글래쇼 겔판드 겔만 골드스톤 그리보프 징그러워 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 헵 힉스 하겐 't Hooft 일리오풀로스 이바넨코 재키우 요나 라시니오 조던 조스트 켈렌 켄달 기노시타 클레바노프 콘체비치 쿠라예프 란다우 이씨 레만 로이트와일러 리파토프 우포프자 ń스키 낮은 뤼더스 마이아니 마요라나 말다세나 미그달 밀스 묄러 나이마크 난부 네뷰 니시지마 으으으으으으으으으으으으으으으으으으으므 오펜하이머 오스터왈더 파리지니 파울리 페스킨 폴리아코프 포메란척 포포프 프로카 루바코프 루엘 살람 슈레이더 슈바르츠 슈윙거 시걸 세이버그 세메노프 쉬프먼 쉬르코프 스카이르메 소머필드 스토라 스투켈베르크 수다르샨 시만지크 써링 도모나가 튜틴 베인슈테인 벨트만 비라소로 와드 와인버그 바이스코프 웬첼 웨스 웨터리치 웨일 윅 와이트맨 위그너 윌첵 윌슨 위튼 양 유카와 자몰로드치코프 자몰로드치코프 지 짐머만 진저스틴 주버 주미노
v t

역사

게이지 대칭성을 가진 최초의 장이론은 1864년에서 65년 사이 맥스웰 공식이었습니다.자기장에 영향을 주지 않고 곡선이 사라지는 벡터장이 벡터 퍼텐셜에 추가될 수 있다는 것을 기술한 전기역학("A Dynamic Theory of Electromagnetic Field")의 연구.이 대칭의 중요성은 초기의 공식에서도 눈에 띄지 않았습니다.마찬가지로, 힐베르트는 일반적인 좌표 변환 하에서 작용의 불변성을 가정함으로써 아인슈타인 장 방정식을 유도했습니다.나중에 헤르만 바일은 ^[1]일반 상대성 이론과 전자기학을 통합하려는 시도에서 아이친바리안츠 또는 척도의 변화 하에서의 불변성 또한 일반 상대성 이론의 국소적인 대칭일 수 있다고 추측했습니다.양자역학의 발전 이후 Weyl, Vladimir Fock, Fritz London은 축척계수를 복소수로 치환하여 궤간을 수정하고, 축척변환을 U(1) 궤간대칭인 위상변화로 전환하였습니다.이것은 하전된 양자역학 입자의 파동함수에 대한 전자기장 효과를 설명했습니다.이것은 1941년 파울리에 의해 널리 알려진 최초의 게이지 이론이었습니다.^[2]

1954년, 기본 입자 물리학의 큰 혼란을 해결하기 위해, 첸닝 양과 로버트 밀스는 원자핵에서 핵자를 결합시키는 강한 상호작용을 이해하기 위한 모델로서 비-아벨 게이지 이론을 도입했습니다.^[3] (Abdus Salam 아래서 작업한 로널드 쇼 [de],박사 논문에 같은 개념을 독자적으로 도입했습니다.)전자기학의 게이지 불변성을 일반화하면서, 그들은 양성자와 중성자의 아이소스핀 이중항에 대한 (비-아벨리안) SU(2) 대칭 그룹의 작용에 기초한 이론을 구성하려고 시도했습니다.이는 양자전기역학의 스피너장에 대한 U(1) 그룹의 작용과 유사합니다.입자물리학에서는 양자화된 게이지 이론을 사용하는 것을 강조했습니다.

이 아이디어는 나중에 약한 힘의 양자장 이론에서 응용을 찾았고, 전자기력과 전자기력의 통합을 전기약력 이론에서 발견했습니다.게이지 이론은 비-아벨 게이지 이론이 점근 자유라고 불리는 특징을 재현한다는 것을 깨달았을 때 훨씬 더 매력적이 되었습니다.점근적 자유는 강한 상호작용의 중요한 특성으로 여겨졌습니다.이것은 강력한 힘 게이지 이론을 찾도록 동기를 부여했습니다.현재 양자 색역학으로 알려진 이 이론은 쿼크의 색 삼중항에 대한 SU(3) 그룹의 작용을 가진 게이지 이론입니다.표준 모델은 게이지 이론의 언어로 전자기력, 약한 상호작용 및 강한 상호작용에 대한 설명을 통합합니다.

1970년대에 마이클 아티야는 고전적인 양-밀스 방정식에 대한 해의 수학을 연구하기 시작했습니다.1983년, 아티야의 학생인 사이먼 도날드슨은 매끄러운 4-매니폴드의 구별 가능한 분류가 동형에 이르기까지 그들의 분류와는 매우 다르다는 것을 보여주기 위해 이 연구를 만들었습니다.^[4]Michael Freedman은 Donaldson의 연구를 사용하여 유클리드 4차원 공간에 이국적인 Rs⁴, 즉 이국적인 미분 가능한 구조를 보여주었습니다.이것은 기본 물리학에서의 성공과는 별개로 게이지 이론에 대한 관심을 증가시키는 결과를 가져왔습니다.1994년 에드워드 위튼과 네이선 세이버그는 특정 위상 불변량^[5][6](세이버그-위튼 불변량)의 계산을 가능하게 하는 초대칭에 기초한 게이지 이론 기술을 발명했습니다.게이지 이론의 수학에 대한 이러한 기여는 이 분야에 대한 새로운 관심을 이끌어냈습니다.

물리학에서 게이지 이론의 중요성은 전자기력, 약한 힘, 강한 힘의 양자장 이론을 설명하기 위한 통일된 틀을 제공하는 수학적 형식주의의 엄청난 성공에서 예시됩니다.표준 모델로 알려진 이 이론은 자연의 네 가지 기본 힘 중 세 가지에 대한 실험적 예측을 정확하게 설명하고, 게이지 그룹 SU(3) × SU(2) × U(1)를 갖는 게이지 이론입니다.끈이론과 같은 현대 이론과 일반상대성이론은 어떤 식으로든 게이지 이론입니다.

잭슨과 오쿤 보기^[7]게이지와 피커링의 초기 역사를 위해.^[8]게이지 이론과 양자장 이론의 역사에 대해 더 많이 알고 싶습니다.

묘사

전역 대칭 및 로컬 대칭

지구대칭성

물리학에서 물리적 상황에 대한 수학적 설명은 일반적으로 과도한 자유도를 포함합니다. 동일한 물리적 상황은 많은 동등한 수학적 구성에 의해 똑같이 잘 설명됩니다.예를 들어, 뉴턴 역학에서 두 구성이 갈릴레이 변환(기준 프레임의 관성 변화)과 관련이 있다면 동일한 물리적 상황을 나타냅니다.이러한 변환은 이론의 "대칭" 그룹을 형성하며, 물리적 상황은 개별 수학적 형상이 아니라 이 대칭 그룹에 의해 서로 관련된 형상 클래스에 해당합니다.

이 아이디어는 전체 물리적 시스템을 포괄하는 선호되는 "관성" 좌표계가 없는 상황에서 훨씬 더 추상적인 "좌표의 변화"와 유사한 국부 대칭과 전역 대칭을 포함하도록 일반화될 수 있습니다.게이지 이론은 물리적 예측을 모델의 대칭과 일치시키는 일련의 기술과 함께 이러한 종류의 대칭을 갖는 수학적 모델입니다.

전역 대칭 예제

수학적 형상에서 발생하는 양이 단순한 수가 아니라 속도나 회전축과 같은 기하학적 의미를 갖는 경우, 벡터나 행렬에 배열된 수들로 표현되는 것도 좌표 변환에 의해 변경됩니다.예를 들어, (x=1, y=0)의 근방의 유체 속도가 양의 x 방향으로 1 m/s라고 하는 유체 흐름의 패턴에 대한 설명이 있다면, 좌표계가 시계방향으로 90도 회전한 동일한 상황에 대한 설명은 (x=0)의 근방의 유체 속도를 나타내는 것입니다.y = -1)는 음의 y 방향으로 1 m/s입니다.좌표 변환은 측정 위치를 식별하는 데 사용되는 좌표계와 그 값이 표현되는 기초에 모두 영향을 미칩니다.이 변환이 전역적으로 수행되는 한(모든 점에서 동일한 방식으로 좌표 기저에 영향을 미치는) 점 P를 통과할 때 시공간의 일부 경로를 따라 일부 수량의 변화율을 나타내는 값에 대한 효과는 P에 실제로 국소적인 값에 대한 효과와 같습니다.

국소대칭

파이버 번들을 사용하여 로컬 대칭 설명

좀 더 복잡한 이론에서 물리적 상황을 적절히 묘사하기 위해서는 공간과 시간의 점을 표시하는 데 사용되는 좌표에 간단한 관계가 없는 이론의 일부 객체에 대해 "좌표 기반"을 도입할 필요가 있는 경우가 많습니다.(수학적 용어에서, 이론은 기본 공간의 각 점에 있는 섬유가 그 점에 있는 물체의 값을 설명할 때 사용할 수 있는 가능한 좌표 기저로 구성된 섬유 다발을 포함합니다.)수학적 구성을 설명하기 위해서는 각 점에서 특정한 좌표 기저를 선택하고 이 기저를 사용하여 이론의 대상(보통 물리학자의 의미에서 "장")의 값을 표현해야 합니다.이러한 추상적 좌표 기저의 변환(국소 단면의 변화 또는 게이지 변환)과 관련이 있는 경우 두 가지 수학적 구성은 동등합니다(동일한 물리적 상황을 설명합니다).

대부분의 게이지 이론에서, 공간과 시간의 개별 지점에서 추상 게이지 기저의 가능한 변환의 집합은 유한 차원 리 군입니다.그러한 그룹 중 가장 간단한 것은 U(1)이며, 복소수를 사용하여 양자전기역학(QED)의 현대 공식에 나타납니다.QED는 일반적으로 최초의 가장 간단한 물리적 게이지 이론으로 간주됩니다.주어진 게이지 이론의 전체 구성의 가능한 게이지 변환의 집합은 또한 이론의 게이지 그룹인 그룹을 형성합니다.게이지 그룹의 요소는 시공간의 시점에서 (무한 차원) Li 그룹까지 매끄럽게 변화하는 함수로 매개 변수화될 수 있습니다. 이렇게 각 지점에서 함수와 함수의 값이 해당 지점에 대한 파이버의 게이지 변환의 작용을 나타냅니다.

공간과 시간의 모든 점에서 일정한 파라미터를 갖는 게이지 변환은 기하 좌표계의 경직된 회전과 유사합니다. 게이지 표현의 전역적 대칭을 나타냅니다.강성 회전의 경우와 마찬가지로, 이 게이지 변환은 실제 로컬 수량을 나타내는 것과 동일한 방식으로 게이지 의존 수량 경로를 따라 변화 속도를 나타내는 표현식에 영향을 미칩니다.매개 변수가 상수 함수가 아닌 게이지 변환을 국소 대칭이라고 합니다. 도함수를 포함하는 식에 대한 효과는 그렇지 않은 식에 대한 효과와 질적으로 다릅니다. (이것은 기준 프레임의 비본질적 변화와 유사하며 코리올리스 효과를 생성할 수 있습니다.)

게이지 필드

게이지 이론의 "게이지 공변" 버전은 게이지 필드(수학 언어에서 에흐레스만 연결)를 도입하고 이 연결에 대한 공변 도함수의 관점에서 모든 변화율을 공식화함으로써 이 효과를 설명합니다.게이지 필드는 수학적 구성을 설명하는 데 필수적인 부분이 됩니다.게이지 변환을 통해 게이지 필드를 제거할 수 있는 구성은 모든 곳에서 필드 강도(수학 언어에서 곡률)가 0이라는 특성을 갖습니다. 게이지 이론은 이러한 구성에 국한되지 않습니다.즉, 게이지 이론의 특징은 게이지 필드가 단지 좌표계의 잘못된 선택을 보상하는 것이 아니라, 일반적으로 게이지 필드를 사라지게 하는 게이지 변환이 없다는 것입니다.

게이지 이론의 역학을 분석할 때, 게이지 필드는 물리적 상황의 설명에서 다른 물체와 마찬가지로 동적 변수로 취급되어야 합니다.게이지 필드는 공변 도함수를 통해 다른 물체와의 상호작용 외에도 일반적으로 "자기 에너지" 용어의 형태로 에너지를 제공합니다.게이지 이론의 방정식은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

• 게이지 필드가 없는 나 ï 빈사츠(도함수가 "bare" 형태로 나타나는 경우)에서 시작합니다.
• 연속적인 매개변수로 특징지어질 수 있는 이론의 전체적인 대칭들을 열거합니다 (generally 회전각의 추상적인 등가물).
• 대칭 파라미터가 장소에 따라 다르게 허용함으로써 발생하는 보정항 계산; 및
• 이러한 보정항을 하나 이상의 게이지 필드에 커플링으로 재해석하고, 이 필드에 적절한 자체 에너지 항과 동적 거동을 제공합니다.

이것은 게이지 이론이 전역 대칭을 국부 대칭으로 "확장"하는 의미이며, 일반 상대성 이론으로 알려진 중력 게이지 이론의 역사적 발전과 매우 유사합니다.

물리 실험

물리적 실험의 결과를 모델링하는 데 사용되는 게이지 이론은 다음과 같습니다.

• 가능한 구성의 우주를 실험 설정에 사용된 정보와 일치하는 구성으로 제한하고, 그 다음에는
• 실험이 측정하도록 설계된 가능한 결과의 확률 분포를 계산합니다.

게이지 선택을 포함한 특정 좌표계를 참조하지 않으면 "설정 정보"와 "가능한 측정 결과" 또는 실험의 "경계 조건"에 대한 수학적 설명을 표현할 수 없습니다.그 자체가 게이지 의존적 진술인 "외부" 영향으로부터 격리된 적절한 실험을 가정합니다.경계 조건에서 게이지 의존도 계산을 잘못 처리하는 것은 이상 발생의 빈번한 원인이며, 이상 회피에 대한 접근법은 게이지^{[clarification needed]} 이론을 분류합니다.

연속체 이론

위에서 언급한 두 개의 게이지 이론인 연속체 전기역학과 일반 상대성 이론은 연속체 장 이론입니다.연속체 이론의 계산 기법은 다음을 암시적으로 가정합니다.

• 게이지의 완전한 고정 선택이 주어지면, 개별 구성의 경계 조건이 완전히 설명됩니다.
• 완전히 고정된 게이지와 경계 조건의 완전한 세트가 주어지면, 최소한의 조치는 독특한 수학적 구성을 결정하고 따라서 이러한 경계와 일치하는 독특한 물리적 상황을 결정합니다.
• 게이지를 고정하면 경계 조건에 대한 부분적인 정보를 설명할 때 게이지 의존성이나 이론의 불완전성으로 인해 계산에 이상이 발생하지 않습니다.

가능한 측정 결과의 가능성 판단은 다음과 같이 진행됩니다.

• 설정 정보와 일치하는 경계 조건에 의해 결정되는 모든 물리적 상황에 대한 확률 분포 설정
• 각각의 가능한 물리적 상황에 대한 측정 결과의 확률 분포 설정
• 설정 정보와 일치하는 가능한 측정 결과의 분포를 얻기 위해 이 두 가지 확률 분포를 컨볼루션합니다.

이러한 가정은 광범위한 에너지 척도와 실험 조건에 걸쳐 충분한 타당성을 가지고 있으며, 이 이론들이 일상 생활에서 마주치는 거의 모든 현상, 즉 빛, 열, 전기, 일식, 우주 비행 등에 대해 정확한 예측을 할 수 있습니다.이론 자체의 누락으로 인해 가장 작은 규모와 가장 큰 규모에서만 실패하고, 특히 난류와 다른 혼란스러운 현상의 경우 수학적 기법 자체가 붕괴될 때 실패합니다.

양자장이론

이러한 고전적인 연속체 장 이론을 제외하고 가장 널리 알려진 게이지 이론은 양자 전기역학과 기본 입자 물리학의 표준 모델을 포함한 양자 장 이론입니다.양자장 이론의 출발점은 연속체 아날로그의 출발점과 매우 유사합니다. 최소 작용의 원리에 따라 "허용 가능한" 물리적 상황을 특징짓는 게이지-공변 작용 적분입니다.그러나 연속체 이론과 양자 이론은 게이지 변환으로 표현되는 과도한 자유도를 다루는 방식에서 크게 다릅니다.연속체 이론과 가장 간단한 양자장 이론의 대부분의 교육학적 처리는 주어진 물리적 상황을 나타내는 수학적 구성의 궤도를 더 작은 게이지 그룹(글로벌 대칭 그룹 또는 아마도 사소한 그룹)과 관련된 더 작은 궤도로 줄이기 위해 게이지 고정 처방을 사용합니다.

특히 비 아벨 게이지 그룹을 포함하는 더 정교한 양자장 이론은 BRST 양자화로 알려진 접근 방식으로 추가 필드(파디프-포포프 유령)와 이상 취소에 의해 동기 부여된 반대 용어를 도입함으로써 섭동 이론의 기술 내에서 게이지 대칭을 깨뜨립니다.이러한 우려는 한 의미에서 고도로 기술적이지만, 측정의 본질, 물리적 상황에 대한 지식의 한계, 불완전하게 명시된 실험 조건과 불완전하게 이해된 물리적 이론 사이의 상호작용과도 밀접한 관련이 있습니다.^{[citation needed]}게이지 이론을 다루기 쉽게 만들기 위해 개발된 수학적 기술은 고체 물리학과 결정학에서 저차원 위상학에 이르기까지 많은 다른 응용 분야를 발견했습니다.

고전 게이지 이론

고전 전자기학

역사적으로, 게이지 대칭성의 첫 번째 예는 고전 전자기학이었습니다.정전기에서는 전기장인 E 또는 그에 대응하는 전기퍼텐셜인 V를 논의할 수 있습니다. 한 쪽을 알면 다른 쪽을 찾을 수 있지만, 상수인 $V$ ↦ ${\displaystyle V}$+ C ${\displaystyle V\mapto V+C}$가$$같은 전기장에 해당한다는 것을 제외하고는 알 수 있습니다.이것은 전기장이 공간의 한 점에서 다른 점으로 퍼텐셜의 변화와 관련이 있고, 상수 C는 퍼텐셜의 변화를 찾기 위해 뺄 때 상쇄되기 때문입니다.벡터 미적분학의 관점에서, 전기장은 ${\displaystyle \mathrm{퍼텐셜}}$의 기울기, $E$ = -${\displaystyle }$∇ V ${\displaystyle \mathbf {E}$ = -\$nabla V}$입니다$.$ 정전기에서 전자기학으로 일반화하면, 우리는 두 번째 퍼텐셜인 벡터 퍼텐셜 A를 갖습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla V-{\frac {\partial \mathbf {A}} {\partial t}}\\\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}$

이제 일반 게이지 변환은 $V$ ↦ V${\displaystyle }$+ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle V\maps$ to $V+C}$만 아니라

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &\maps to \mathbf {A} +\nablaf\V&\maps to V-{\frac {\partial f}{\partial t}}\end{aligned}}$

여기서 f는 위치와 시간에 따라 연속적으로 2차 미분 가능한 함수입니다.게이지 변환 하에서 필드는 동일하게 유지되므로 맥스웰 방정식은 여전히 만족됩니다.즉, 맥스웰 방정식은 게이지 대칭을 갖습니다.

예: 스칼라 O(n) 게이지 이론

이 절의 나머지 부분은 고전 또는 양자장 이론에 대한 어느 정도의 숙지와 라그랑지안의 사용이 필요합니다.

이 섹션의 정의: 게이지 그룹, 게이지 필드, 상호작용 라그랑지안, 게이지 보손.

다음은 국소 게이지 불변성이 전역 대칭 특성에서 시작하여 휴리스틱하게 "동기 부여"될 수 있는 방법과 원래 상호 작용하지 않는 필드 간의 상호 작용을 유도하는 방법을 보여줍니다.

질량 m이 같은 $n개$의 ${\displaystyle n}$개의 상호작용하지$$ 않는 실수 스칼라 필드 집합을 고려합니다.이 시스템은 각 스칼라 필드 φ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \varphi _{i}$에 대한 (일반적인) 동작의 합인 동작으로 설명됩니다.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \,\mathrm {d} ^{4}x\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu}\varphi _{i}\varphi _{i}-{\frac {1}{2}^{2}\varphi _{i}^{2}\right]}$

라그랑지안(밀도)은 다음과 같이 압축적으로 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle \{\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial_{\mu}\Phi)^{\mathsf {T}\partial^{\mu}}\Phi -{\frac {1}{2}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}\Phi }$

들판의 벡터를 도입함으로써.

${\displaystyle \ \\Phi^{\mathsf {T}}=(\varphi _{1},\varphi _{2},\ldots,\varphi _{n}}$

용어$$∂ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ φ$${\$displaystyle \partial _{\mu}\Phi$}은(는) $\mu${\$displaystyle \mu}$ 차원을 따라$$φ {\$displaystyle$ \$Phi}$의 부분 도함수입니다$.$

라그랑지안이 변환 하에서 불변이라는 것은 이제 투명합니다.

${\displaystyle \\Phi \maps to \Phi'=G\Phi }$

G가 n별 직교군 O(n)에 속하는 상수 행렬일 때마다.이것은 φ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle$ \$Phi'}$의 도함수가 φ ${\displaystyle \Phi}$과(와) 동일하게 변환되고 두 양이 모두 라그랑지안의 점곱 내부에 나타나기 때문에 라그랑지안을 보존하는 것으로 보입니다(직교 변환은 점곱을 보존합니다).

${\displaystyle \ (\partial_{\mu})\Phi )\mapsto (\partial_{\mu}\Phi )'=G\부분 _{\mu}\Phi }$

이것은 이 특정 라그랑지안의 전역 대칭을 특징짓고, 대칭군은 종종 게이지 군이라고 불립니다; 수학 용어는 특히 G-구조 이론에서 구조군입니다.덧붙여서, 노이더의 정리는 이 변환 그룹 아래의 불변성이 전류의 보존으로 이어진다는 것을 암시합니다.

${\displaystyle \J_{\mu }^{a}=i\partial _{\mu }\Phi ^{\mathsf {T}}T^{a}\Phi }$

여기서 T 행렬은^a SO(n) 그룹의 생성자입니다.각 제너레이터에는 하나의 전류가 보존됩니다.

이제 이 라그랑지안이 국소적인 O(n)-불변성을 가져야 한다고 요구하는 것은 (이전에는 상수였지만) G 행렬이 시공간 좌표 x의 함수가 되도록 허용해야 합니다.

이 경우 G 행렬은 도함수를 "통과"하지 않습니다. G = G(x)일 때,

${\displaystyle \\partial _{\mu }(G\Phi )\neq G(\partial _{\mu }\Phi )}$

도함수가 "G"와 함께 출퇴근하는 데 실패하면 (제품 규칙에 따라) 추가 용어가 도입되어 라그랑지안의 불변성을 망칩니다.이를 수정하기 위해 φ${\displaystyle {\text{'}}^{}}$ ${\displaystyle \Phi'}$의 도함수가 다시 φ ${\displaystyle \Phi}$과(와) 동일하게 변환되도록 새로운 도함수 연산자를 정의합니다.

${\displaystyle \ (D_{\mu}}\Phi )'=GD_{\mu}\Phi }$

이 새로운 "도함수"는 (게이지) 공변 도함수라고 불리며 다음과 같은 형태를 갖습니다.

${\displaystyle \D_{\mu}=\partial_{\mu}-igA_{\mu}}$

여기서 g를 결합 상수라고 합니다. 교호작용의 강도를 정의하는 양입니다.간단한 계산 후 게이지 필드 A(x)가 다음과 같이 변환되어야 함을 알 수 있습니다.

${\displaystyle \A'_{\mu} = GA_{\mu}G^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial_{\mu}G)G^{-1}$

게이지 필드는 리 대수의 한 요소이므로 다음과 같이 확장할 수 있습니다.

${\displaystyle \A_{\mu} =\sum _{a}A_{\mu}^{a}T^{a}}$

따라서 리 대수의 생성기만큼 많은 게이지 필드가 있습니다.

마지막으로, 우리는 국소적인 게이지 불변성 라그랑지안을 가지고 있습니다.

${\displaystyle \{\mathcal {L}}_{\mathrm {loc} = {\frac {1}{2}}(D_{\mu}\Phi )^{\mathsf {T}}\Phi -{\frac {1}{2}m^{2}\Phi ^{\mathsf {T}\Phi }$

파울리는 첫 번째 유형의 게이지 변환이라는 용어를 사용하여 φ ${\displaystyle \Phi}$의 변환을 의미하는 반면$,$$${\$displaystyle A}$의 보상 변환을 두 번째 유형의 게이지 변환이라고 합니다.

이 라그랑지안과 원래의 전역 게이지 불변 라그랑지안의 차이는 라그랑지안의 상호작용으로 보입니다.

${\displaystyle \{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} =i{\frac {g}{2}}\Phi ^{\mathsf {T}}\partial ^{\mathsf {T}}\partial ^{\mu}}\Phi +i{\frac {g}{2}(\partial _{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}A^{\mu }\Phi -{\frac {g^{2}}(A_{\mu }\Phi )^{\mathsf {T}A^{\mu }\Phi }$

이 용어는 로컬 게이지 불변성에 대한 요구의 결과로서 n개의 스칼라 필드 사이의 상호작용을 도입합니다.그러나 이 상호작용을 완전히 자의적이지 않고 물리적으로 만들기 위해서는 매개자 A(x)가 공간에서 전파되어야 합니다.이는 다음 절에서 라그랑지안에 또 다른 $Lgf$ {\$displaystyle {\mathcal {L}}_${\mathrm {$gf}}$를$$추가하여 다룹니다.얻어진 고전장 이론의 양자화된 버전에서, 게이지 필드 A(x)의 양자는 게이지 보손이라고 불립니다.양자장 이론에서 라그랑지안 상호작용에 대한 해석은 이러한 게이지 보손의 교환에 의해 상호작용하는 스칼라 보손에 대한 것입니다.

게이지 장에 대한 양-밀스 라그랑지안

앞 절에서 개발된 고전적인 게이지 이론의 그림은 공변 도함수 D를 정의하려면 모든 시공간 지점에서 게이지$$ 필드 $A{\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle A(x)}$의 값을 알아야 한다는 사실을 제외하면 거의 완성되었습니다.이 필드의 값을 수동으로 지정하는 대신 필드 방정식의 해로 지정할 수 있습니다.이 필드 방정식을 생성하는 라그랑지안이 국소적으로 게이지 불변일 것을 요구하는 한 가지 가능한 형태 라그랑지안은

${\displaystyle {\mathcal {L}_{\text{gf}}=-{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}\right)=-{\frac {1}{4}F^{a\mu \nu}F_{\mu \nu}^{a}$

여기서 $F$ ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ ν ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu}^{a}}$는 퍼텐셜 A ${\displaystyle {\mu }_{}^{}}$ a ${\displaystyle A_{\mu}^{a}$이며$,$ $이$는${\displaystyle A}$(x$)$ {\$displaystyle A$(x$)}$의 구성 요소입니다$.$

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\sum _{b,c}f^{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}}$

그리고 ${\displaystyle {\mathrm{fabc}}^{}}$ ${\$는 게이지 그룹의 생성기의 Li 대수의 구조 상수입니다.라그랑지안의 이 공식은 양-밀스 작용이라고 불립니다.다른 게이지 불변 작용도 존재합니다(예: 비선형 전기역학, 본-인펠드 작용, 체른-사이먼스 모형, 세타 항 등).

이 라그랑주 항에는 변환 $역량$이 A ${\displaystyle$ A$}$인 장이 없습니다$.$ 게이지 변환 하에서 이 항의 불변성은 선험적 고전적 (기하학적) 대칭의 특별한 경우입니다.이 대칭은 양자화를 수행하기 위해 제한되어야 하며, 절차는 게이지 고정으로 표시되지만, 제한 이후에도 게이지 변환이 가능할 수 있습니다.^[9]

게이지 이론의 완전한 라그랑지안은 이제

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}_{\text{loc}}+{\mathcal {L}}_{\text{gf}}={\mathcal {L}+{\text{int}}+{\mathcal {L}+{\text{gf}}$

예:전기역학

앞 절에서 개발된 형식주의의 단순한 응용으로서, 전자장만을 사용하는 전기역학의 경우를 생각해 보십시오.전자장의 디랙 방정식을 만드는 베어본 작용은

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu}\partial_{\mu}\right)\psi \,\mathrm {d}^{4}x}$

이 시스템에 대한 세계적인 대칭은

${\displaystyle \psi \mapstoe^{i\theta}\psi }$

여기서 게이지 그룹은 U(1)이며, 필드의 위상각을 단지 회전한 것이며, 특정 회전은 일정한 θ에 의해 결정됩니다.

이 대칭성을 "국소화"한다는 것은 θ을 θ(x)로 대체한다는 것을 의미합니다.적절한 공변 도함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle D_{\mu}=\partial _{\mu}-i{\frac {e}{\hbar}}}A_{\mu}}$

"전하" e(대칭 설명에서 수학 상수 e와 혼동하지 않아야 함)를 일반적인 전하(게이지 이론에서 용어 사용의 기원)와 식별하고, 전자기장의 4벡터 퍼텐셜을 가진 게이지 필드 A(x)는 상호작용 라그랑지안을 생성합니다.

${\displaystyle {\mathcal {L}_{\text{int}}={\frac {e}{\hbar}}{\bar}}{\bar {\psi }(x)\gamma ^{\mu}}\psi(x)A_{\mu}(x)=J^{\mu }(x)A_{\mu }(x)}$

여기서 J ${\displaystyle {\mu }^{}}$ (${\displaystyle {}^{}x}$) = ${\displaystyle e}$ ℏ ψ ¯${\displaystyle \stackrel{}{}}$( ${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$γ μ ψ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ J$^{\mu }(x$) = {\$frac {e}{\hbar }}{\$bar$}}{\bar$}($x)\$gamma ^{\mu $}\$psi(x$)}$는 디랙 $필드$의 전류 4벡터입니다.따라서 게이지 원리는 전자기장의 소위 최소 결합을 전자장에 자연스럽게 도입하는 것으로 보입니다.

전기역학에서와 동일하게 전기장 강도 텐서의 관점에서 게이지$$ ${\displaystyle {필드}_{}}$ A μ (${\displaystyle x}$) {\$displaystyle A_{\mu }(x)$에 대한 라그랑지안을 추가하면 양자 전기역학에서 시작점으로 사용되는 라그랑지안을 얻습니다.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{QED}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\mu }D_{\mu }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }}$

수학적 형식주의

게이지 이론은 보통 미분기하학의 언어로 논의됩니다.수학적으로, 게이지는 어떤 주 묶음의 (국소) 부분의 선택일 뿐입니다.게이지 변환은 그러한 두 섹션 간의 변환일 뿐입니다.

게이지 이론은 연결에 대한 연구가 주를 이루고 있지만(주로 고에너지 물리학자들이 연구하기 때문에), 연결에 대한 개념은 일반적으로 게이지 이론의 중심이 아닙니다.사실, 일반적인 게이지 이론의 결과는 게이지 변환의 아핀 표현(즉, 아핀 모듈)이 특정 특성을 만족하는 제트 번들의 섹션으로 분류될 수 있음을 보여줍니다.공변적으로 점별로 변환하는 표현(물리학자들이 첫 번째 종류의 변환을 게이지 변환이라고 부름), 연결 형태로 변환하는 표현(물리학자들이 두 번째 종류의 변환을 게이지 변환, 아핀 표현이라고 부름), 그리고 BF 이론의 B 필드와 같은 더 일반적인 표현이 있습니다.일반적인 비선형 표현(실현)이 더 많지만, 이는 매우 복잡합니다.여전히 비선형 시그마 모델은 비선형적으로 변환되므로 응용 프로그램이 있습니다.

기본 공간이 시공간이고 구조 그룹이 Li 그룹인 주 번들 P가 있다면, P의 섹션은 게이지 변환 그룹의 주동형 공간을 형성합니다.

연결(게이지 연결)은 이 주 번들을 정의하여 관련된 각 벡터 번들에서 공변 미분 ∇를 산출합니다.국소 프레임(구간의 국소 기초)이 선택된 경우, 이 공변 도함수는 물리학에서 게이지 퍼텐셜이라고 불리는 연결 형태 A, Li 대수 값 1-형태로 표시됩니다.이것은 분명히 고유량이 아니라 프레임에 의존하는 양입니다.곡률 형태 F는 리 대수 값 2-형태로, 고유량이며, 다음과 같이 연결 형태로 구성됩니다.

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A}}$

여기서 d는 외부 도함수를 의미하고$$∧$${\$displaystyle$$$\$wedge }$은(는) 쐐기곱을 의미합니다.$$({\$displaystyle$ \$mathbf$ {$}}$는 생성기 Ta$${\$displaystyle T^{a$}}에 의해 확장된 벡터 공간의 요소이므로$,$ $A$ ${\displaystyle \mathbf {A}}$의 구성 요소들은 서로 통근하지 않습니다.따라서 쐐기곱 $A$ ∧ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \wedge \mathbf {A}}이($가) 사라지지 않습니다.)

무한소 게이지 변환은 매끄러운 Li-대수 값 스칼라, ε로 특징지어지는 Li-대수 대수를 형성합니다.그러한 무한소 게이지 변환 하에서,

${\displaystyle \delta _{\varepsilon}\mathbf {A} = [\varepsilon ,\mathbf {A} ]-\mathrm {d} \varepsilon }$

여기서${\displaystyle [}$⋅${\displaystyle ,}$⋅${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\cdot,\cdot ]}$은 Lie 브래킷입니다.

한 가지 좋은 점은 ${\displaystyle {}_{}}$ δ ε X${\displaystyle }$= ε X$${\$displaystyle \$delta _${\varepsilon}$ X =\$varepsilon X}$이라면,$$δ ε D ${\displaystyle X}$=$$ε ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ {\$displaystyle$\delta $_{\varepsilon}$ DX =\$varepsilon DX},$ 여기서 D는 공변 도함수입니다.

${\displaystyle DX\{\stackrel {\mathrm {def}}{=}}\mathrm {d} X+\mathbf {A} X}$

또한 ${\displaystyle {}_{}}$ δ ε = [${\displaystyle }$ε${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle F}$] ${\displaystyle$\delta $_{\varepsilon}}\mathbf {F}$ = [\$varepsilon,\mathbf {F}},$즉 $F$ ${\displaystyle \mathbf {F}}$가 공변으로 변환됩니다.

일반적으로 모든 게이지 변환이 무한소 게이지 변환에 의해 생성되는 것은 아닙니다.예를 들어, 기저 다양체가 경계가 없는 콤팩트 다양체일 때, 그 다양체에서 Li 군으로의 매핑의 호모토피 클래스는 사소하지 않습니다.예는 instanton을 참조하십시오.

Yang-Mills 액션은 이제 다음에 의해 제공됩니다.

${\displaystyle {\frac {1}{4g^{2}}\int \operatorname {Tr} [*F\wedge F]}$

여기서 *는 호지 쌍대를 의미하며 적분은 미분기하학에서와 같이 정의됩니다.

게이지 불변량(즉, 게이지 변환 하에서 불변)은 다음과 같이 닫힌 경로 γ에 정의되는 윌슨 루프입니다.

${\displaystyle \chi ^{(\rho )}\left({\mathcal {P}}\left\e^{\int_{\gamma}A}\right\}\right)}$

여기서 χ은(는) 복합 표현 ρ의 문자이고 $P$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}$은(는) 경로 순서 연산자를 나타냅니다.

게이지 이론의 형식주의는 일반적인 설정으로 이어집니다.예를 들어, 벡터 다발이 메트릭 연결을 가지고 있다고 하면 충분합니다. 그러면 메트릭 연결이 양-밀스 운동 방정식을 만족한다는 것을 알게 됩니다.

게이지 이론의 양자화

게이지 이론은 모든 양자장 이론에 적용할 수 있는 방법의 전문화에 의해 양자화될 수 있습니다.그러나 게이지 제약 조건에 의해 부과되는 미묘함 때문에(위의 수학적 형식주의 섹션 참조) 다른 분야 이론에서는 발생하지 않는 많은 기술적 문제가 있습니다.동시에 게이지 이론의 풍부한 구조는 일부 계산의 단순화를 가능하게 합니다. 예를 들어 Ward ID는 서로 다른 재규격화 상수를 연결합니다.

방법 및 목적

양자화된 첫 번째 게이지 이론은 양자 전기역학(QED)이었습니다.이를 위해 개발된 첫 번째 방법은 게이지 고정과 표준 양자화를 적용하는 것이었습니다.이 문제를 해결하기 위해 굽타-블루러 방법도 개발되었습니다.비-아벨 게이지 이론은 이제 다양한 방법으로 처리됩니다.양자화 방법은 양자화 관련 기사에서 다룹니다.

양자화의 요점은 이론이 허용하는 다양한 과정에 대해 양자 진폭을 계산할 수 있는 것입니다.기술적으로는 진공 상태에서 특정 상관 함수의 계산으로 감소합니다.이것은 이론의 재규격화를 수반합니다.

이론의 실행 결합이 충분히 작을 때, 모든 필요한 양은 섭동 이론에서 계산될 수 있습니다.이러한 계산(정규 양자화와 같은)을 단순화하기 위한 양자화 체계는 섭동 양자화 체계라고 할 수 있습니다.현재 이러한 방법 중 일부는 게이지 이론의 가장 정확한 실험 테스트로 이어집니다.

그러나 대부분의 게이지 이론에는 동요하지 않는 흥미로운 질문이 많이 있습니다.이러한 문제에 적합한 양자화 체계(예: 격자 게이지 이론)를 비파동 양자화 체계라고 할 수 있습니다.이러한 방식의 정확한 계산은 종종 슈퍼 컴퓨팅을 필요로 하기 때문에 현재 다른 방식에 비해 개발이 덜 되어 있습니다.

이상 징후

그렇다면 고전 이론의 대칭 중 일부는 양자 이론에서 성립하지 않는 것으로 보입니다. 이상 현상이라고 불리는 현상입니다.가장 잘 알려진 것은 다음과 같습니다.

• 실행 결합 상수를 발생시키는 척도 변칙입니다.QED에서는 란다우 극의 현상을 발생시킵니다.양자 색역학(QCD)에서 이는 점근 자유도로 이어집니다.
• 페르미온이 있는 카이랄 또는 벡터장 이론에서 카이랄 이상 현상.이것은 인스턴트(instanton)라는 개념을 통해 위상학과 밀접한 연관성을 갖습니다.QCD에서 이 변칙은 파이온을 두 개의 광자로 붕괴시킵니다.
• 게이지 변칙, 일관된 물리 이론에서 취소해야 합니다.전기약 이론에서 이 제거는 쿼크와 렙톤의 수가 같습니다.

순궤

순수 게이지는 널 필드 구성의 게이지 변환, 즉 0의 게이지 변환에 의해 얻어진 필드 구성의 집합입니다.따라서 필드 구성의 공간에서 특정한 "게이지 궤도"입니다.

따라서, $A$ μ (${\displaystyle {}_{}x}$ )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A_{}^{}}$ μ${\displaystyle {}_{}^{}}$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mu }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x ) +${\displaystyle }$∂ ${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle A_{\mu }(x)\rightarrow A'_{\mu }(x$)=$A_{\mu }(x)+\partial$ _${\mu }f(x$ 순수 게이지는 모든 f(x)에 대한 ${\displaystyle {필드}_{}^{}}$ 구성 $A$ μ${\displaystyle \text{'}(x)}$ $=$ $∂$ ${\displaystyle {}_{}(x)}$ ${\displaystyle A'_{\mu }(x$)$=$\$partial$_${\mu }f(x)}$입니다.

참고 항목

참고문헌

서지학

일반독자

• 흠, 브루스 (2004) Deep Down Things.존스 홉킨스 대학 출판부.Esp. chpt. 8. 물리학자가 형식적인 수학을 거의 사용하지 않고 게이지 이론과 표준 모델을 설명하려는 진지한 시도.

텍스트

• Greiner, Walter; Müller, Berndt (2000). Gauge Theory of Weak Interactions. Springer. ISBN 3-540-67672-4.
• Cheng, T.-P.; Li, L.-F. (1983). Gauge Theory of Elementary Particle Physics. Oxford University Press. ISBN 0-19-851961-3.
• Frampton, P. (2008). Gauge Field Theories (3rd ed.). Wiley-VCH.
• Kane, G.L. (1987). Modern Elementary Particle Physics. Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5.

기사들

• Becchi, C. (1997). "Introduction to Gauge Theories". arXiv:hep-ph/9705211.
• Gross, D. (1992). "Gauge theory – Past, Present and Future". Retrieved 2009-04-23.
• Jackson, J.D. (2002). "From Lorenz to Coulomb and other explicit gauge transformations". Am. J. Phys. 70 (9): 917–928. arXiv:physics/0204034. Bibcode:2002AmJPh..70..917J. doi:10.1119/1.1491265. S2CID 119652556.
• Svetlichny, George (1999). "Preparation for Gauge Theory". arXiv:math-ph/9902027.

외부 링크

• "Gauge transformation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• 분산위키에 대한 양밀 방정식
• 스콜라피디아에 관한 게이지 이론