푸앵카레 군

앙리 푸앵카레(Henri Poincaré, 1906)의 이름을 ^[1]딴 푸앵카레 군은 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski, 1908)에 의해 민코프스키 시공간 등각선군으로 처음 정의되었습니다.^[2]^[3] 물리학의 가장 기본적인 기초를 이해하는 데 있어 모델로서 중요한 10차원 비-아벨리안 리 군입니다.

개요

민코프스키 시공간 등각법은 사건 사이의 간격이 불변인 특성을 가지고 있습니다. 예를 들어, 두 이벤트와 한 이벤트에서 다른 이벤트로 이동하기 위해 선택한 경로를 포함하여 모든 것이 두 시간 연기된 경우 휴대한 스톱워치로 기록된 이벤트 사이의 시간 간격은 동일합니다. 또는 모든 것이 서쪽으로 5킬로미터 이동하거나, 오른쪽으로 60도 선회한 경우에도 간격에 변화가 없습니다. 물체의 적절한 길이 또한 그러한 이동에 영향을 받지 않는 것으로 밝혀졌습니다. 시간 또는 공간 반전(반사)도 이 그룹의 등각입니다.

민코프스키 공간에서 (즉, 중력의 영향을 무시하는) 등각의 자유도는 10개이며, 이는 시간 또는 공간을 통한 번역으로 간주될 수 있습니다(4도, 차원당 1개); 평면을 통한 반사(3도, 이 평면의 방향에 대한 자유) 또는 세 공간 방향(3도) 중 하나의 "부스트". 변환의 구성은 짝수 개의 반사의 구성으로서 적절한 회전이 생성되는 Poincaré 그룹의 동작입니다.

갈릴레이 군은 고전물리학에서 절대적인 시간과 공간에 작용하는 비슷한 열 매개변수 군입니다. 부스팅 대신, 그것은 함께 움직이는 참조 프레임을 관련시키기 위한 전단 매핑을 특징으로 합니다.

푸앵카레 대칭

푸앵카레 대칭은 특수 상대성 이론의 완전한 대칭입니다. 여기에는 다음이 포함됩니다.

시공간에서의 번역(변위)(P), 시공간에서의 번역의 아벨리안 리 군을 형성하는 것.
3차원 회전의 비-아벨리안 라이 그룹을 형성하는 공간에서의 회전(J);
승압, 균일하게 움직이는 두 물체(K)를 연결하는 변환.

마지막 두 대칭인 J와 K는 함께 로런츠 군(로런츠 불변성 참조)을 만들고, 번역 군과 로런츠 군의 반직접 곱을 만들어 푸앵카레 군을 만듭니다. 그러면 이 군 아래에서 불변하는 물체는 푸앵카레 불변성 또는 상대론적 불변성을 갖는다고 합니다.

포앵카레 대칭과 관련된 10개의 생성기(4개의 시공간 차원에서)는 10개의 보존 법칙을 암시합니다.^[4]^[5]

에너지를 위한 1 - 시간을 통한 번역과 관련된
운동량에 대한 3 - 공간 차원을 통한 번역과 관련된
각운동량에 대해 3 - 공간 차원 간의 회전과 관련됨
3 질량중심의 속도 - 각 공간 차원과 시간 사이의 쌍곡 회전과 관련된

푸앵카레 군

푸앵카레 군은 민코프스키 시공간 등각선의 군입니다. 그것은 10차원 비콤팩트 리 군입니다. 아벨 변환의 군은 정규 부분군인 반면, 로렌츠 군은 원점의 안정기인 부분군이기도 합니다. 푸앵카레 군 자체는 모든 번역과 로렌츠 변환을 포함하는 아핀 군의 최소 부분군입니다. 좀 더 정확하게 말하면, 그것은 번역과 로렌츠 그룹의 반직접적인 산물입니다.

\mathbf {R} ^{1,3}\rtime \operatorname {O} (1,3)\,

군 곱셈으로

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

)

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

(β,

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

)

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

(α

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

f ⋅ β

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

f ⋅ g) {\displaystyle(\alpha, f)\cd

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

beta

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

g)=(\alpha + f\cd

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

beta,\;f\cdot g)}.

푸앵카레 군은 로런츠 군의 벡터 표현에 의해 군을 확장한 것이며, 때로는 비균질 로런츠 군이라고도 합니다. 다시 말해, 그것은 de Sitter 반지름이 무한대로 가면서 de Sitter 그룹 SO(4,1) ~ Sp(2,2)의 그룹 수축으로도 얻어질 수 있습니다.

양의 에너지 유니터리 축소 불가능 표현은 질량(부정수)과 스핀(정수 또는 반정수)으로 지수화되며 양자역학의 입자와 관련이 있습니다(위그너의 분류 참조).

에를랑겐 프로그램에 따라 민코프스키 공간의 기하학은 푸앵카레 군에 의해 정의됩니다. 민코프스키 공간은 군의 동차 공간으로 간주됩니다.

양자장 이론에서, 푸앵카레 군의 보편적 덮개

\mathbf {R} ^{1,3}\rtime \operatorname {SL}(2,\mathbf {C}),

이중 커버로 식별할 수 있습니다.

\mathbf {R} ^{1,3}\rtime \operatorname {Spin} (1,3),

$\operatorname {SO} (1,3)$ ⁡ $\operatorname {SO} (1,3)$ 1, $3$ ) ${\displaystyle \operatorname {SO}($ 1, 3)}의 표현은 스핀 1/2, 즉 페르미온이 있는 필드를 설명할 수 없기 때문에 더 중요합니다. 여기서 $\operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )$ ⁡ $\operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )$ 2 $,$ $C$ ) ${\displaystyle \$ operatorname {SL}(2,\mathbf {C})}은 단위 행렬식을 갖는 복소 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} 행렬의 그룹으로 로렌츠 서명 스핀 그룹 스핀 ⁡(1, 3) {\displaystyle \operatorname {Spin}(1, 3)}과 동형입니다.

푸앵카레 대수

푸앵카레 대수는 푸앵카레 군의 리 대수입니다. 이것은 로런츠 군의 리 대수의 리 대수 확장입니다. ${\textstyle \det \Lambda =1}$ 구체적으로, 고유(det ${\textstyle SO(1,3)_{+}^{\uparrow }}$ ≥ ${\textstyle \det \Lambda =1}$ = 1 ${\textstyle$ \ $det$ \ $Lambda$ = 1}), 직교( λ 0 0 λ 1 {\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}) 부분, SO (1, 3) + ↑ {\textstyle SO(1, 3)_{+}^{\uparrow }, 는 항등식에 연결되므로 지수 ${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$ ⁡( $μ$ P μ) $exp$ ⁡(i ω μ ν M μ ν) {\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\ $right$ )\exp \left({\frac {i}{2}}\omega_{\mu \n $u}M^{\mu \n$ 이 리 대수의 ${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$ u $}\right)}.$ 성분 형태에서 푸앵카레 대수는 다음과 같은 교환 관계에 의해 주어집니다.^[7]^[8]

${\begin{aligned}[][P_{\mu},P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu}-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}$

여기서 $P$ ${\displaystyle$ P $}$ 는 변환의 $M$ 이고,M {\ $displaystyle$ M}은 로렌츠 변환의 $생성기$ 이며 $(+,-,-,-)$ $\eta$ η ${\$ displaystyle \eta $(+,-,-,-)$ 은 $(+,-,-,-)$ - $,$ -, -) ${\$ displaystyle (+, -, -, - $(+,-,-,-)$ 민코프스키 메트릭입니다(사인 규칙 참조).

하단의 절단 관계는 회전으로 구성된 "균질" 로렌츠 그룹이며, Mn ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$ {\ $textstyle$ J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}에서 ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$ = ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$ ϵ이며, Ki = Mi 0 {\textstyle K_{i}= M_{i0}}이 증가합니다. 이 표기법에서, 전체 푸앵카레 대수는 다음과 같이 비공변량(그러나 더 실용적인) 언어로 표현될 수 있습니다.

{\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{align}}

여기서 두 부스트의 하단 정류기는 종종 "위그너 회전"이라고 합니다. 단순화 ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ [ ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ + ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ - ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ = 0 ${\textstyle$ [J_ ${$ $m$ }+iK_ ${m$ },\,J_ ${n$ }-iK_{n}]= ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ }은 로런츠 하위 대수를 su (2) ⊕ su (2) {\textstyle {\mathfrak {su}(2)\opplus {\mathfrak {su}(2)}로 축소하고 관련 표현을 효율적으로 처리할 수 있습니다. 물리적 매개변수 측면에서, 우리는

{\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}}, p_{i}\right]&=0\left[{\mathcal {H}, L_{i}\right]&=0\left[{\mathcal {H}, K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\left[p_{i}, p_{j}\right]&=0\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{align}}

이 대수의 카시미르 불변량은 P ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ ${\$ 이고 ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\$ } W $^{\mu }$ 이며 ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ , ${\textstyle W_{\mu }}$ 서 ${\textstyle W_{\mu }}$ μ ${\$ 는 ${\textstyle W_{\mu }}$ 파울리-루반스키 의사 벡터이며, 이들은 그룹의 표현에 대한 레이블 역할을 합니다.

푸앵카레 군은 모든 상대론적 장 이론의 완전 대칭군입니다. 그 결과 모든 기본 입자는 이 그룹의 표현에 속합니다. 이들은 일반적으로 각 입자의 4모멘트 제곱(즉, 질량 제곱)과 고유 양자수 ${\textstyle J^{PC}}$ ${\$ J $^{$ $PC$ 여기서 $J$ $J$ 는 $J$ 스핀 양자수, $P$ $P$ 는 $P$ 패리티, $C$ $C$ 는 $C$ 전하 결합 양자수입니다. 실제로 전하 결합과 패리티는 많은 양자장 이론에 의해 위반됩니다. 이 경우 $P$ ${\displaystyle$ P $}$ 와 $P$ $C$ ${\displaystyle$ C $}$ 는 $C$ 몰수됩니다. CPT 대칭은 양자장 이론에서 불변하기 때문에 주어진 것으로부터 시간 역전 양자수를 구성할 수 있습니다.

위상 공간으로서, 그룹은 아이덴티티의 성분, 시간 역전 성분, 공간 역전 성분, 그리고 시간 역전 및 공간 역전 성분의 네 가지 연결된 성분을 갖습니다.^[9]

기타 치수

위의 정의는 간단한 방법으로 임의의 차원으로 일반화할 수 있습니다. d차원 푸앵카레 군은 반직접곱에 의해 유사하게 정의됩니다.

\operatorname {IO}(1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O}(1,d-1)

비슷한 곱셈으로

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

)

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

(β,

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

)

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

(α

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

f ⋅ β

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

f ⋅ g) {\displaystyle(\alpha, f)\cd

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

beta

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

g)=(\alpha + f\cd

(\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)

beta,\;f\cdot g)}.

Lie 대수는 µ 지수와 ν 지수가 0에서 d - 1 사이의 값을 갖는 형태를 유지합니다. $J$ 와_i $K$ 에_i 대한 대체 표현에는 더 높은 차원의 아날로그가 없습니다.

슈퍼 푸앵카레 대수

이와 관련된 관찰은 로렌츠 그룹의 표현이 텐서 $2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1$ $2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1$ ⊗ $2$ ¯ 2 ⊕ = $3$ ¯ $2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1$ 1 {\displaystyle 2 $\otimes$ {\ $overline$ 2}와 3\oplus 1}이 인접한 부등가 2차원 복합 스피너 표현 $2$ ${\displaystyle$ $2$ $}$ 및 ${\overline {2}}$ ¯ ${\overline {$ 2}}를 포함한다는 것입니다.대표성 이 마지막 비트를 4차원 민코프스키 공간 자체로 식별할 수 있습니다(일반적으로 한 쌍의 페르미온에 대해 수행되는 것처럼 스핀-1 입자로 식별하는 것과는 대조적으로, 예를 들어, 파이온은 쿼크-반쿼크 쌍으로 구성됩니다). 이것은 푸앵카레 대수를 스피너도 포함하도록 확장하는 것이 가능할지도 모른다는 것을 강하게 시사합니다. 이것은 바로 슈퍼 푸앵카레 대수의 개념으로 이어집니다. 이 아이디어의 수학적 매력은 인접 표현 대신 기본 표현을 사용한다는 것입니다. 이 아이디어의 물리적 매력은 기본적인 표현이 자연에서 볼 수 있는 페르미온에 해당한다는 것입니다. 그러나 지금까지 공간 방향과 페르미온 방향 사이의 대칭이라는 암시된 초대칭은 자연에서 실험적으로 볼 수 없었습니다. 실험적인 문제는 대략 우리가 인접 표현(민코프스키 시공간)에 살고 있다면, 그렇다면 근본적인 표현은 어디에 숨어 있는가라는 질문으로 말할 수 있습니다.

참고 항목

메모들

^ Poincaré, Henri (December 1906), "Sur la dynamique de l'électron" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21: 129–176, Bibcode:1906RCMP...21..129P, doi:10.1007/bf03013466, hdl:2027/uiug.30112063899089, S2CID 120211823 (Wikisource translation: 전자의 역학에 관하여). 이 논문에서 정의된 그룹은 이제 스칼라 승수를 갖는 균질 로렌츠 그룹으로 설명될 것입니다.
^ Minkowski, Hermann, "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111 (Wikisource translation: 움직이는 물체에서의 전자기적 과정에 대한 기본 방정식)
^ Minkowski, Hermann, "Raum und Zeit" , Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88
^ "Survey of Symmetry and Conservation Laws: More Poincare" (PDF). frankwilczek.com. Retrieved 2021-02-14.
^ Barnett, Stephen M (2011-06-01). "On the six components of optical angular momentum". Journal of Optics. 13 (6): 064010. Bibcode:2011JOpt...13f4010B. doi:10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN 2040-8978. S2CID 55243365.
^ ^a ^b Oblak, Blagoje (2017-08-01). BMS Particles in Three Dimensions. Springer. p. 80. ISBN 9783319618784.
^ N.N. Bogolubov (1989). General Principles of Quantum Field Theory (2nd ed.). Springer. p. 272. ISBN 0-7923-0540-X.
^ T. Ohlsson (2011). Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory. Cambridge University Press. p. 10. ISBN 978-1-13950-4324.
^ "Topics: Poincaré Group". www.phy.olemiss.edu. Retrieved 2021-07-18.

참고문헌

Wu-Ki Tung (1985). Group Theory in Physics. World Scientific Publishing. ISBN 9971-966-57-3.
Weinberg, Steven (1995). The Quantum Theory of Fields. Vol. 1. Cambridge: Cambridge University press. ISBN 978-0-521-55001-7.
L.H. Ryder (1996). Quantum Field Theory (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 62. ISBN 0-52147-8146.

[1] Poincaré, Henri (December 1906), "Sur la dynamique de l'électron" , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21: 129–176, Bibcode:1906RCMP...21..129P, doi:10.1007/bf03013466, hdl:2027/uiug.30112063899089, S2CID 120211823 (Wikisource translation: 전자의 역학에 관하여). 이 논문에서 정의된 그룹은 이제 스칼라 승수를 갖는 균질 로렌츠 그룹으로 설명될 것입니다.

[2] Minkowski, Hermann, "Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern" , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53–111 (Wikisource translation: 움직이는 물체에서의 전자기적 과정에 대한 기본 방정식)

[3] Minkowski, Hermann, "Raum und Zeit" , Physikalische Zeitschrift, 10: 75–88

[4] "Survey of Symmetry and Conservation Laws: More Poincare" (PDF). frankwilczek.com. Retrieved 2021-02-14.

[5] Barnett, Stephen M (2011-06-01). "On the six components of optical angular momentum". Journal of Optics. 13 (6): 064010. Bibcode:2011JOpt...13f4010B. doi:10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN 2040-8978. S2CID 55243365.

[:0-6] Oblak, Blagoje (2017-08-01). BMS Particles in Three Dimensions. Springer. p. 80. ISBN 9783319618784.

[7] N.N. Bogolubov (1989). General Principles of Quantum Field Theory (2nd ed.). Springer. p. 272. ISBN 0-7923-0540-X.

[8] T. Ohlsson (2011). Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory. Cambridge University Press. p. 10. ISBN 978-1-13950-4324.

[9] "Topics: Poincaré Group". www.phy.olemiss.edu. Retrieved 2021-07-18.

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푸앵카레 대칭

푸앵카레 군

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