세이베르크-위튼 불변제

수학, 특히 게이지 이론에서 세이베르크-위튼 불변성은 에드워드 비튼(1994년 )이 세이베르크-위튼 게이지 이론을 조사하는 과정에서 네이선 세이버그와 위튼(1994a, 1994b)이 연구한 세이베르크-위텐 이론을 이용하여 도입한 콤팩트한 평활 지향의 4마니폴드의 불변물이다.

세이버그-위튼 불변성은 도날드슨 불변제와 유사하며, 매끄러운 4마니폴드에 대한 유사(그러나 때로는 약간 더 강한) 결과를 증명하는 데 사용될 수 있다.그것들은 기술적으로 도날드슨 불변제보다 훨씬 더 쉽다. 예를 들어, 세이버그-위튼 방정식의 해법 모듈리 공간은 압축적인 경향이 있기 때문에, 도날드슨 이론의 모듈리 공간 압축에 수반되는 어려운 문제를 피한다.

세이버그-위튼 불변제에 대한 자세한 설명은 (Donaldson 1996), (Moore 2001), (Morgan 1996), (Nicolaescu 2000), (Scorpan 2005, 10장)을 참조한다.공감각 다지관과 그로모프-위튼 불변성 물질과의 관계는 (Taubes 2000 )을 참조한다.초기 역사는 (잭슨 1995년)을 참조하라.

스핀^c 구조

스핀^c 그룹(차원 4)은

(U(1)\time \mathrm {Spin}(4)/(\mathb {Z} /2\mathb {Z}).

$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ 서 Z $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ / $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ ${\$ 는) 두 요인에 대한 부호 역할을 한다 $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ .그룹은 SO(4) = 스핀(4)/±1에 대한 자연 동형성을 가진다.

콤팩트한 지향의 4가지 다지관이 주어진 경우, Levi Civita 연결 $\nabla ^{g}$ g ${\$ 이 있는 부드러운 $g$ 리만 메트릭 g $g$ 을(를) 선택하십시오 $\nabla ^{g}$ 이것은 연결된 구성요소 GL(4)₊에서 SO(4)로 구조물 그룹을 감소시키고 동음이의 관점에서 무해하다.M의 스핀 구조^c 또는 복잡한 스핀 구조는 구조 그룹을 스핀으로^c 축소하는 것이다. 즉, 접선 번들에 있는 SO(4) 구조물을 그룹^c 스핀으로 끌어올리는 것이다.Hirzebruch와 Hopf의 정리에 의해 매끄러운 방향의 콤팩트 4-매니폴드 $M$ $M$ 은 스핀^c 구조를 인정한다 $M$ .^[1]The existence of a Spin^c structure is equivalent to the existence of a lift of the second Stiefel-Whitney class $w_{2}(M)\in H^{2}(M,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$ to a class $K\in H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$ Conversely such a lift determines^c H $H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$ ( $H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$ X $H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$ , $H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$ ) . ${\displaystyle$ H $^{2}(X,\mathb {Z} )}$ 회전 구조는 $H^{2}(X,\mathbb {Z} ).$ 보다 제한적인 w $w_{2}(M)=0.$ ( $w_{2}(M)=0.$ ) $w_{2}(M)=0.$ = $w_{2}(M)=0.$ ${\displaystyle w_{2}(M)=0$ 을 요구한다 $.$ $}$

스핀^c 구조는 U(1)가 곱셈으로 작용하는 스핀(4)의 2차원 양성 및 음성 스피너 표현에서 비롯되는 $W=W^{+}\oplus W^{-}$ 스피너 $W=W^{+}\oplus W^{-}$ W = $W=W^{+}\oplus W^{-}$ + $W=W^{+}\oplus W^{-}$ ⊕ $W=W^{+}\oplus W^{-}$ - $W=W^{+}\oplus W^{-}$ {\ $displaystyle$ W= $W^{+}\oplus$ W $^-}$ 를 결정하고(에 의해 결정) 결정된다. $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ = $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ c $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ ( $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ + $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ ) $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ = c $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ ( W $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ - $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ ) ${\displaystyle K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ 가 있다 $K=c_{1}(W^{+})=c_{1}(W^{-})$ The spinor bundle $W$ comes with a graded Clifford algebra bundle representation i.e. a map $\gamma :\mathrm {Cliff} (M,g)\to {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}(W)$ such that for each 1 form $a$ we have $\gamma (a):W^{\pm }\to W^{\mp }$ $[\displaystyle \cHB(a):$ $W^{\pm }\to W^{\mp }}$ and $\gamma (a)^{2}=-g(a,a)$ . There is a unique hermitian metric $h$ on $W$ s.t. $\gamma (a)$ is skew Hermitian for real 1 forms $a$ . It gives an induced action of the forms $\wedge ^{*}M$ $\wedge ^{*}M$ $\wedge ^{*}M$ $\wedge ^{*}M$ 반대칭 상승 $\wedge ^{*}M$ .In particular this gives an isomorphism of $\wedge ^{+}M\cong {\mathcal {E}}{\mathit {nd}}_{0}^{sh}(W^{+})$ of the selfdual two forms with the traceless skew Hermitian endomorphisms of $W^{+}$ which are then identified.

세이베르크-위튼 방정식

Let $L=\det(W^{+})\equiv \det(W^{-})$ be the determinant line bundle with $c_{1}(L)=K$ . For every connection $\nabla _{A}=\nabla _{0}+A$ with ${\displaystyle A\in iA_{\mathbb$ ${R} }^{1}(M)}$ on $L$ , there is a unique spinor connection $\nabla ^{A}$ on $W$ i.e. a connection such that ${\displaystyle \nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):$ $=[\nabla _{X}^{A},\감마(a)]=\감마(\nabla _{X}^{g}a$ )} 모든 $\nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)$ 1-폼 $\nabla _{X}^{A}(\gamma (a)):=[\nabla _{X}^{A},\gamma (a)]=\gamma (\nabla _{X}^{g}a)$ a $a$ $a$ 벡터 $필드$ X ${\displaysty X$ The Clifford connection then defines a Dirac operator $D^{A}=\gamma \otimes 1\circ \nabla ^{A}=\gamma (dx^{\mu })\nabla _{\mu }^{A}$ on $W$ . The group of maps ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{u:$ $M\to U(1)\}$ 은(는) $L$ $L$ 의 모든 연결 세트에 게이지 그룹 역할을 한다 ${\mathcal {G}}=\{u:M\to U(1)\}$ $L$ G ${\$ 의 동작은 예를 들어 $d^{*}A=0$ $d^{*}A=0$ $d^{*}A=0$ = $d^{*}A=0$ ${\displaystyd^{*)$ 로 "게이지 고정"될 ${\mathcal {G}}$ 수 있다. $}A=0}$ , leaving an effective parametrisation of the space of all such connections of $H^{1}(M,\mathbb {R} )^{\mathrm {harm} }/H^{1}(M,\mathbb {Z} )\oplus d^{*}A_{\mathbb {R} }^{+}(M)$ with a residual $U(1)$ ga집단행동.

양성 치례의 회전자 필드( $W^{+}$ : W $W^{+}$ + ${\$ 에 $\phi$ 대해 $\phi$ {\ $displaystyle \phi }$ 을(를) 쓰십시오 $W^{+}$ ( $(\phi ,\nabla ^{A})$ , $(\phi ,\nabla ^{A})$ A $(\phi ,\nabla ^{A})$ ) ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A})$ 에 대한 세이베르크-위튼 방정식이 현재 사용되고 $(\phi ,\nabla ^{A})$ 있다.

D^{A}\phi =0

F_{A}^{+}=\sigma(\phi )+i\omega

Here $F^{A}\in iA_{\mathbb {R} }^{2}(M)$ is the closed curvature 2-form of $\nabla ^{A}$ , $F_{A}^{+}$ is its self-dual part, and σ is the squaring map ${\displayst$ $yle \phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{{1}{{1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{{}$ $W^{+}$ $right$ $)}{{\$ W $^{+}}$ 부터 가상의 $\phi \mapsto \left(\phi h(\phi ,-)-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\phi )1_{W^{+}}\right)$ 자기 이중 2형식으로 식별된 $W^{+}$ $W^{+}$ + ${\$ 의 미량 없는 에르미타니아적 내형성까지 $W^{+}$ , ${\displaysty \omega}}$ 는 실제 자기 이중형 2형으로, 종종 $\omega$ 0 또는 조화적으로 취해진다.게이지 그룹 ${\mathcal {G}}$ ${\$ 이(가) 솔루션 공간에 작용한다 ${\mathcal {G}}$ . $d^{*}A=0$ 고정 조건 $d^{*}A=0$ $d^{*}A=0$ $d^{*}A=0$ = 0 ${\displaystyle$ d $^{*$ $}}A=0}$ $\phi =0$ = 0 $\pi =0$ 을(를) 가진 "축소 가능한 해결책"을 제외하고 나머지 $d^{*}A=0$ U(1)는 자유롭게 작용한다 $\phi =0$ 기술상의 이유로 이 방정식은 사실 충분히 높은 정규성의 적절한 소볼레프 공간에서 정의된다.

Weitzenböck 공식의 적용

{\nabla^{A}}{A}}\nabla^{A}^{A}^{A}^{2}\phi -({\tfrac {1}{1}{1}2}}\gamma(F_{A}^{+}s)\pi }}}

그리고 정체성

\Delta _{g} \pi _{h}^{2}=2h({\nabla ^{A}}\nabla ^{A}\phi )-2 \nabla ^{A}\pi _{g\otimesh}}

방정식의 해법은 동등하다.

\Delta  \phi  ^{2}+ \nabla ^{A}\phi  ^{2}+{\tfrac {1}{4}} \phi  ^{4}=(-s) \phi  ^{2}-{\tfrac {1}{2}}h(\phi ,\gamma (\omega )\phi )

.

If $\phi ^{2}$ is maximal $\Delta \phi ^{2}\geq 0$ , so this shows that for any solution, the sup norm $\ \phi \ _{\infty }$ is a priori bounded with the bound depending only on the scalar curvature $s$ of $(M,g)$ $(M,g)$ , $(M,g)$ ) $(M,g)$ 과 $(M,g)$ 자기 이중 형태 $\omega$ ${\displaystyle \omega$ 게이지 고정 조건을 추가한 후, Dirac 방정식의 타원적 정규성은 사실 솔루션이 모든 솔루션이 매끄럽게 나타나는 임의 규칙성의 소볼레프 규범에 선행한다는 것을 보여주고, 모든 솔루션의 공간은 위로 올라간다.등가성이 콤팩트하다는 것을 측정한다.

$(\phi ,\nabla ^{A})$ 방정식의 $(\phi ,\nabla ^{A})$ 용액 $(\phi ,\nabla ^{A})$ (, $(\phi ,\nabla ^{A})$ $(\phi ,\nabla ^{A})$ ) ${\displaystyle (\phi ,\nabla ^{A}})$ 은 $다지관$ M $M$ 에 있는 질량 없는 자기 단극의 자기장 방정식이기 때문에 단극이라고 불린다 $M$

솔루션 모듈리 공간

용액의 공간은 게이지 그룹에 의해 작용하며, 이 작용에 의한 지수를 단면체의 모듈리 공간이라고 한다.

모듈리 공간은 대개 다지관이다.일반적인 측정 지표의 경우 게이지 고정 후 방정식은 용액 공간을 가로로 절단하여 부드러운 다지관을 정의한다.잔류 U(1) "게이지 고정" 게이지 그룹 U(1)는 환원 가능한 단면체를 제외하고 자유롭게 작용한다. 즉, $\phi =0$ = 0 $\phi =0$ 을(를 $\phi =0$ 가진 용액. 아티야-싱어 지수 정리에서는 모듈리 공간은 유한 치수이며 "가상 치수"를 갖는다.

{\displaystyle(K^{2}-2\chi _{\mathrm {top} }}}}(M)-3\operatorname {sign}(M)/4}

일반적 측정기준의 경우 환원가능성으로부터 실제 치수 떨어져 있다.가상 차원이 음수일 경우 모듈리 공간이 일반적으로 비어 있다는 뜻이다.

For a self dual 2 form $\omega$ , the reducible solutions have $\phi =0$ , and so are determined by connections $\nabla _{A}=\nabla _{0}+A$ on $L$ such that ${\displaystyle F_{0}+dA=i(\alpha +\omega$ $)}$ for some anti selfdual 2-form $\alpha$ . By the Hodge decomposition, since $F_{0}$ is closed, the only obstruction to solving this equation for $A$ given $\alpha$ and $\omega$ , is the harmonic part of ${\displ$ $aystyle \alpha }$ and $\omega$ , and the harmonic part, or equivalently, the (de Rham) cohomology class of the curvature form i.e. ${\displaystyle [F_{0}]=$ $F_{0}^{0}^{\mathrm$ { $harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm}) }+\alpha ^{\mathrm {harm}}}}\in$ H $^{2}(M,\mathb {R}$ $[F_{0}]=F_{0}^{\mathrm {harm} }=i(\omega ^{\mathrm {harm} }+\alpha ^{\mathrm {harm} })\in H^{2}(M,\mathbb {R} )$ 따라서 $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ [ $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ F $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ = $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ {\ $displaystyle [{\tfrac$ {1 $}{2\pi$ i $}]$ 이후부터. $F_{0}]=K}$ 환원 가능한 용액에 필요한 $[{\tfrac {1}{2\pi i}}F_{0}]=K$ 조건과 충분한 조건

\omega ^{\mathrm {harm} }\in 2\pi K+{\mathcal {H}^{-}\in H^{2}(X,\mathb {R} )

여기서 ${\mathcal {H}}^{-}$ - ${\$ 는 고조파 반셀듀얼 2-폼의 공간이다 ${\mathcal {H}}^{-}$ .이 조건이 충족되지 않고 반드시 해결책이 수정 불가능한 경우 두 가지 형식 $\omega$ $\omega$ 은 $\omega$ (는) $K$ $K$ -admacle이다 $K$ .In particular, for $b^{+}\geq 1$ , the moduli space is a (possibly empty) compact manifold for generic metrics and admissible $\omega$ . Note that, if $b_{+}\geq 2$ the space of $K$ -admissible two forms is connected, whereas if $b_{+}=1$ $b_{+}=1$ + $b_{+}=1$ = $b_{+}=1$ $b_{+}=1$ 이 $b_{+}=1$ (가) 두 개의 연결된 구성 요소(구성 요소)를 가지고 있다.모듈리 공간은 양성 조화 2 형태의 공간에 대한 오리엔테이션으로부터 자연적인 방향성을 부여받을 수 있으며, 최초의 코호몰로지로부터도 자연적인 방향성을 부여받을 수 있다.

그 테스트 이전 해결책에게 덤벼들다, 또한}. 따라서(고정 ω을{\displaystyle \omega})만 유한하게 많은 K∈ H2(M, Z){\displaystyle K\in H^{2}(M,\mathbb{Z})}, 그리고 오직 유한하게 많은 Spinc 구조지 않emp 있지 테스트 이전 Fh에 rm{\displaystyle F^{\mathrm{을 해치}}의 경계를 준다.ty moduli 공간.