바르그만-비그너 방정식

양자장이론
파인만도
역사
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대칭 양자역학에서의 대칭성 C대칭 P대칭 T대칭 로런츠 대칭 푸앵카레 대칭 게이지 대칭 명시적 대칭 깨짐 자발적 대칭파괴 기타부담금 없음 위상전하
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방정식 디랙 방정식 클라인-고든 방정식 프로카 방정식 휠러-디윗 방정식 바르그만-비그너 방정식
표준 모델 양자전기역학 전기약 상호작용 양자 색역학 힉스 메커니즘
불완전한 이론 끈이론 초대칭 테크니컬러 만물론 양자중력
사이언티스트 아들러 앤더슨 앙셀름 바르그만 베치 벨라빈 벨 베레진 베테 비요르켄 블루어 보골리우보프 브로드스키 브루트 부흐홀츠 카차조 칼란 콜먼 다셴 디윗 디랙 도플리처 다이슨 잉글러트 파드디프 파딘 페이엣 페르미 파인만 피에즈 포크 프램턴 프리츠슈 프뢰흘리히 프레덴하겐 털로 덮인 글래쇼 겔판드 겔만 골드스톤 그리보프 징그러워 굽타 구랄니크 하그 하이젠베르크 헵 힉스 하겐 '호프' 일리오풀로스 이바넨코 자키우 Jona-Lasinio 조던 조스트 켈렌 켄달 기노시타 클레바노프 콘체비치 쿠라예프 란다우 이씨 레만 로트와일러 리파토프 ń스키 로우 뤼더스 마이아니 마요라나 말다세나 미그달 밀스 묄러 나이마크 남부 네베우 니시지마 으메 오펜하이머 오스터월더 파리시 파울리 페스킨 플레프카 폴리아코프 포메란추크 포포프 프로카 루바코프 루엘레 살람 슈레이더 슈바르츠 슈윙거 시갈 세이버그 세메노프 시프먼 쉬르코프 스카이르메 소머필드 스토라 Stueckelberg 스다르산 시만지크 티링 토모나가 유틴 빈슈테인 벨트만 비라소로 와드 와인버그 바이스코프 웬첼 웨스 베테리치 웨일 윅 와이트먼 위그너 윌체크 윌슨 위튼 양 유카와 Zamolodchikov Zamolodchikov 지 짐머만 진저스틴 주버 주미노
v t

상대론적 양자역학과 양자장 이론에서 바르그만-비그너 방정식은 질량이 0이 아닌 자유 입자와 임의의 스핀 j, 보손의 정수(j = 1, 2, 3...) 또는 페르미온의 반integer(j = 1 ⁄2, 3 ⁄2, 5 ⁄2...)를 설명합니다. 방정식의 해법은 수학적으로 다성분 스피너 장의 형태인 파동함수입니다.

그들의 이름은 발렌타인 바그만과 유진 위그너의 이름을 따서 지어졌습니다.

역사

폴 디랙은 1928년에 디랙 방정식을 처음 발표했고, 이후 (1936년)에는 피에즈와 파울리가 1939년, 그리고 바그먼과 위그너보다 약 10년 전에 같은 방정식을 발견하기 전에 반정수 스핀의 입자로 확장했습니다.^[1] 유진 위그너(Eugene Wigner)는 1937년에 비균질 로렌츠 군, 또는 푸앵카레 군의 단일 표현에 관한 논문을 썼습니다.^[2] 위그너는 에토레 마요라나와 디랙이 함수에 적용된 극소 연산자를 사용했다고 지적합니다. Wigner는 표현을 축소 불가능, 요인 및 단일로 분류합니다.

1948년 발렌타인 바그만과 위그너는 상대론적 파동방정식의 집단 이론적 논의에 관한 논문에서 그들의 이름을 딴 방정식들을 발표했습니다.^[3]

식의 진술

전하가 없는 스핀 j의 자유 입자의 경우, BW 방정식은 각각 디랙 방정식과 유사한 수학적 형태를 갖는 2j 결합 선형 편미분 방정식의 집합입니다. 전체 방정식 집합은 다음과 같습니다.^{[note 1][1][4][5]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left (-\gamma ^{\mu}{\hat {P}_{\mu}+mc\right)_{\alpha_{1}\alpha_{1}}\psi _{\alpha_2}\alpha_{3}\cdots \alpha_{2j}=0\&\left (-\gamma ^{\mu}{\hat {P}_{\mu}+mc\right)_{\alpha_{2}\alpha_2}\psi _{\alpha_{2j}\cdots \alpha_{2j}=0\&\qquad \vdots \\&\left (-\gamma ^{\mu} }{\hat {P}_{\mu}+mc\right)_{\alpha_{2j}\alpha '_{2j}}\psi_{\alpha_{2}\alpha_{3}\cdots \alpha '_{2j}}=0\\\end{aligned}}}$

패턴을 따르고 있습니다.

${\displaystyle \left (-\gamma ^{\mu}{\hat {P}_{\mu}+mc\right)_{\alpha_{r}\alpha'_{r}}\psi_{\alpha_{1}\cdots \alpha'_{r}\cdots \alpha_{2j}=0}$

(1)

r = 1, 2, ... 2j의 경우(예: 일부 저자). Loide와 Saar는 2의 인자를 제거하기 위해 n = 2j를 사용합니다. 또한 스핀 양자수는 일반적으로 양자역학에서 s로 표시되지만, 이러한 맥락에서 j는 문헌에서 더 일반적입니다). 전체 파동함수 ψ = ψ(r, t)에는 구성 요소가 있습니다.

${\displaystyle \psi_{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\cdots \alpha_{2j}(\mathbf {r},t)}$

랭크-2j 4성분 스피너 필드입니다. 각 지수는 1, 2, 3 또는 4의 값을 취하므로 완전 대칭 파동 함수는 독립 성분의 수를 2(2j + 1)로 줄이지만 전체 스피너 필드 ψ에는 4개의 성분이 있습니다. 또한, γ = (γ, γ)는 감마 행렬이고,

${\displaystyle {\hat {P}}_{\mu}=i\hbar \partial _{\mu}}$

4momentum 연산자입니다.

각 방정식을 구성하는 연산자(- γP + mc) = (-i ħγ∂ + mc)는 γ 행렬 때문에 4 × 4 행렬이며 mc 항 스칼라-multip는 4 × 4 항등 행렬(일반적으로 단순화를 위해 작성되지 않음)에 있습니다. 명시적으로, 감마 행렬의 디랙 표현에서:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma ^{\mu}{\hat {P}}_{\mu}+mc&=-\gamma ^{0}{\frac {\hat {E}}{c}}-{\boldsymbol {\gamma }\cdot(-{\hat {\mathbf {p}})+mc\[6pt]&-{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{pmatrix}}{\frac {\hat {E}}{c}}+{\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}\\-{\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\hat {\mathbf {p} }}&0\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&I_{2}\\\end{pmatrix}}mc\\[8pt]&={\begin{pmatrix}-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0&{\hat {p}}_{z}&{\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y}\\0&-{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&{\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y}&-{\hat {p}}_{z}\\-{\hat {p}}_{z}&-({\hat {p}}_{x}-i{\hat {p}}_{y})&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc&0\\-({\hat {p}}_{x}+i{\hat {p}}_{y})&{\hat {p}}_{z}&0&{\frac {\hat {E}}{c}}+mc\\\end{pmatrix}}\\\end{aligned}}$

여기서 σ = (σ, σ, σ) = (σ, σ)는 파울리 행렬의 벡터이고, E는 에너지 연산자, p = (p, p, p) = (p, p, p)는 3-momentum 연산자, I는 2 × 2 항등 행렬을 나타내고, (두 번째 줄의) 0은 실제로 2 × 2 행렬 블록입니다.

위의 행렬 연산자는 한 번에 하나의 비스피노어 ψ 지수와 수축하므로(행렬 곱셈 참조), 디랙 방정식의 일부 속성은 BW 방정식에도 적용됩니다.

• 방정식은 로런츠 공변입니다.
• 해 ψ의 모든 성분은 클라인-고든 방정식을 만족하므로 상대론적 에너지-운동량 관계를 만족합니다.

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}}$

• 두 번째 양자화는 여전히 가능합니다.

최소 결합을 통해 전자기장을 통합할 수 있는 디랙 방정식과 달리, B-W 형식주의는 전자기장 상호작용이 통합될 때 내재적인 모순과 어려움을 포함합니다. 즉, e는 입자의 전하이고 A = (A, A)는 전자기 4 potential인 P → P - eA를 변화시킬 수 없습니다. 입자의 전자기적 영향을 조사하기 위한 간접적인 접근법은 파동 방정식 자체에 상호작용을 포함시키는 것이 아니라 입자의 전자기 4전류와 다중극자 모멘트를 유도하는 것입니다.^[8][9]

로렌츠 군 구조

BW 방정식에 대한 로런츠 그룹의 표현은^[6]

${\displaystyle D^{\mathrm {BW} }=\bigotimes _{r=1}^{2j}\left[D_{r}^{(1/2,0)}\oplus D_{r}^{(0,1/2)}\right]\,.}$

여기서 각 D는_r 축소할 수 없는 표현입니다. 이 표현은 j가 1/2이나 0이 아니면 명확한 스핀을 갖지 않습니다. Clebsch-Gordan 분해를 수행하여 환원 불가능한 (A, B) 항과 따라서 스핀 함량을 찾을 수 있습니다. 이 중복성을 위해서는^BW D 표현으로 변환되는 정 스핀 j의 입자가 필드 방정식을 만족해야 합니다.

표현^{(j, 0)} D와 D는^{(0, j)} 각각 스핀 j의 입자를 나타낼 수 있습니다. 이러한 표현에서 상태 또는 양자장은 클라인-고든 방정식을 제외하고는 어떤 장방정식도 만족하지 않을 것입니다.

곡선 시공간에서의 공식화

M. Kenmoku 다음으로,^[10] 국소 민코프스키 공간에서 감마 행렬은 반교호 관계를 만족합니다.

${\displaystyle [\gamma ^{i},\gamma ^{j}]_{+}=2\eta^{ij}I_{4}}$

여기서 η = diag (-1, 1, 1, 1)은 민코프스키 메트릭입니다. 여기서 라틴 지수의 경우 i, j = 0, 1, 2, 3입니다. 곡선 시공간에서는 다음과 같습니다.

${\displaystyle [\gamma ^{\mu}}\gamma ^{\nu}]_{+}=2g^{\mu \nu}}$

여기서 공간 감마 행렬은 비어빈 b와 수축하여 γ = b γ을 얻고 g = bb는 메트릭 텐서입니다. 그리스 지수의 경우 μ, ν = 0, 1, 2, 3.

스피너에 대한 공변 도함수는 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu}=\partial _{\mu}+\오메가 _{\mu}}$

스핀 접속 ω에 따라 주어진 접속 ω은 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Omega_{\mu}={\frac {1}{4}}\partial _{\mu}\omega ^{ij}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}}$

공변 도함수는 ψ와 같이 변환됩니다.

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu}\psi \rightarrow D(\Lambda ){\mathcal {D}}_{\mu}\psi}$

이 설정을 사용하면 식 (1)은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&(-i\hbar \gamma^{\mu}{\mu}{\mathcal {D}}_{\mu}+mc)_{\alpha_{1}\alpha_{1}'}\psi _{\alpha_{2}\alpha_{3}\cdots \alpha_{2j}}=0\&(-i\hbar \gamma ^{\mu}{\mathcal {D}}_{\mu}+mc)_{\alpha_{2}\alpha_{2}'}\psi _{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\cdots \alpha_{2j}=0\&\qquad \vdots \\&(-i\hbar \gamma ^{\mu}{\mathcal {D}}_{\mu}+mc)_{\alpha_{2j}\alpha '_{2j}}\psi_{\alpha_{1}\alpha_{2}\alpha_{3}\cdots \alpha '_{2j}=0\,\\\end{align}}}$

참고 항목

• 이체 디랙 방정식
• 파울리 행렬의 일반화
• Wigner D-matrix
• 바일-브라우어 행렬
• 고차원 감마 행렬
• 임의의 스핀의 자유 입자를 기술하는 대안 방정식인 주스-바인베르크 방정식
• 고스핀 이론

메모들

참고문헌

더보기

책들

선택한 논문

외부 링크

상대론적 파동 방정식:

• 고차원 디랙 행렬, Wolfram 데모 프로젝트
• 스핀-1 분야에 대한 학습, P. Cahill, K. Cahill, New Mexico 대학^{[영구적 데드링크]}
• 디랙-바인버그 형식주의의 질량 없는 보손에 대한 필드 방정식, R.W. 데이비스, K.T.R. 데이비스, P. Zory, D.S. Nydick, American Journal of Physics
• 양자장 이론 I, Martin Moj žish 2016-03-03 Wayback Machine 아카이브
• 바그만-비그너 방정식: 임의의 스핀에 대한 필드 방정식, 파르자드 카세미, IPM 학교 및 우주론 워크숍, IPM, 테헤란, 이란

상대론적 양자물리학에서 로렌츠 군:

• 로렌츠 그룹의 대표성, indiana.edu
• 부록 C: 로렌츠 군과 디랙 대수, mcgill.ca^{[영구적 데드링크]}
• 로렌츠 그룹, 상대론적 입자와 양자역학, D. E. Soper, 오리건 대학교, 2011
• 로렌츠와 푸앵카레 그룹의 표현, J. Maciejko, Stanford University
• 시공간 대칭군의 표현, K. 드레이크, M. 파인버그, D. 길드, E. 투레츠키, 2009