표준 모형의 수학적 공식화

입자 물리학의 표준 모델.이 다이어그램은 이름, 질량, 스핀, 전하, 키랄리티, 강자, 약자 및 전자기력과의 상호작용을 포함한 표준 모델의 기본 입자(힉스 입자와 쿼크와 렙톤의 3세대, 게이지 입자를 보여줍니다.또한 전기 약대칭 파괴에서 힉스 입자의 중요한 역할을 묘사하고 다양한 입자의 특성이 (고에너지) 대칭 위상(위)과 (아래) 파괴 대칭 위상(아래)에서 어떻게 다른지를 보여준다.

이 기사는 단일 $곱군$ SU( $3)$ × $SU(2)$ × $U($ 1)의 내부 대칭을 포함하는 게이지 양자장 이론인 입자 물리 표준 모델의 수학에 대해 설명한다.이 이론은 일반적으로 렙톤, 쿼크, 게이지 보손, 힉스 보손과 같은 입자의 기본 집합을 설명하는 것으로 여겨진다.

표준 모델은 정규화할 수 있고 수학적으로 ^[1]일관성이 있지만 실험 예측을 제공하는 데 크고 지속적인 성공을 거두었음에도 불구하고 설명할 수 없는 몇 가지 현상을 남깁니다.특히 특수상대성이론의 물리학이 통합되더라도 일반상대성이론은 통합되지 않으며, 표준모형은 중력자가 출현할 것으로 예상되는 에너지 또는 거리에서 실패할 것이다.그러므로, 현대 필드 이론의 맥락에서, 그것은 효과적인 필드 이론으로 여겨진다.

양자장론

약한 IsospinT

3

, 약한 초전하

W

및 알려진 모든 소립자의 색전하의 패턴으로, 약한 혼합 각도로 회전하여 대략 수직을 따라

전하

Q를 나타냅니다.중성 힉스장(회색 정사각형)은 전기 약 대칭을 깨고 다른 입자와 상호작용하여 질량을 부여합니다.

표준 모델은 양자장 이론으로, 기본 객체는 시공간에서 모든 점에서 정의되는 양자장입니다.이 필드들은

페르미온장 $δ$ 는 "입자"를 설명한다.
전약 보손 $W_{1},W_{2},W_{3}$ $W_{1},W_{2},W_{3}$ $W_{1},W_{2},W_{3}$ $({$ 및 $B$ )
글루온장 $G a$ 및
힉스장 $φ$ .

이것들이 고전적인 장이 아닌 양자라는 것은 연산자 값이라는 수학적 결과를 낳는다.특히 필드의 값은 일반적으로 이동하지 않습니다.연산자로서 이들은 양자 상태(킷 벡터)에 따라 작용합니다.

필드의 대체 프레젠테이션

양자 이론에서 흔히 볼 수 있듯이 사물을 바라보는 방법은 여러 가지가 있다.처음에 위에 제시된 기본 필드는 위의 표의 "기본 입자"와 잘 일치하지 않는 것처럼 보일 수 있지만, 특히 위에 제시된 것보다 더 적절한 몇 가지 대체 제시가 있을 수 있습니다.

페르미온

페르미온장 $θ$ 를 1개 갖는 것이 아니라 입자의 종류별로 다른 성분으로 분할할 수 있다.이것은 양자장 이론의 역사적 진화를 반영한다. 왜냐하면 전자 성분 $δ e$ (전자 및 그 반입자를 기술하는 양전자)는 양자 전기역학의 $원래$ δ장이며, 후에 뮤온과 타우온에 대한 $δ장$ 과_μ $δ장$ 이_τ 동반되었다.전약이론은 대응하는 중성미자에 대해 【 $\psi _{\nu _{\mathrm {e} }},\psi _{\nu _{\mu }}$ $【$ 】, $【{\mathrm {e}, 【\$ mathrm {e}}, 【\ $mu$ 【{\ $displaystyle \psi$ _ ${\nu$ _ ${\tau$ }}}}를 $\psi _{\nu _{\tau }}$ $\psi _{\nu _{\tau }}$ 했다 $.$ 쿼크는 더 많은 성분을 추가한다.전자 및 기타 렙톤 성분과 같은 4회전체가 되려면 맛과 색상의 모든 조합에 대해 1개의 쿼크 성분이 있어야 하며, 총 24개(하전 렙톤은 3개, 중성미자는 3개, 쿼크는 2·3·3=18개)가 됩니다.이들 각각은 페르미온장에 대해 총 96개의 복소수 성분으로 이루어진 4가지 성분 비스피너입니다.

중요한 정의는 막대 페르미온 필드 $(\$ 로, † 0 $(\displaystyle$ $\psi ^{\dagger}\gamma$ ^{ $0$ 으로 정의됩니다. 여기서 $\dagger$ ian {\displaystyle $\dagger }$ 는 $\dagger$ ,의 에르미트 인접을 나타내고 matrix⁰ matrix matrix { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { $is$ 을 n $\times1$ $매트릭스$ 로 생각하면 ${\bar {\psi }}$ ${\$ {\ {\ {\ {\ ${\({displaystyle {\psi$ }})은 1×n 매트릭스로 생각해야 합니다.

키랄 이론

$δ$ 의 독립 분해는 키랄리티 성분으로 다음과 같습니다.

"왼쪽" 키랄리티:

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

L

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

2 (

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

1 -

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

5

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

)

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

{

displaystyle \psi

^ { \

rm

{

\psi ^{\rm {L}}={\frac {1}{2}}(1-\gamma _{5})\psi

L} =

fr

frac

{

1}

{2}

（

1

- \

flac

_ {

5

} \

psi

}

"오른쪽" 키랄리티:

\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi

R

\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi

\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi

2 (

\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi

+

\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi

5

\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi

)

\psi ^{\rm {R}}={\frac {1}{2}}(1+\gamma _{5})\psi

{

displaystyle \psi ^{\rm {

R} =

fr

frac

{1}

{2

}

（

1

+ \

rm

_ {

5

} \

psi

}

$\gamma _{5}$ 서 § 5 $(\$ 는 $\gamma _{5}$ 5번째 감마 매트릭스입니다.표준 모델에서는 왼쪽 키랄리티 성분과 오른쪽 키랄리티 성분이 게이지 상호 작용에 따라 다르게 처리되므로 이 기능이 매우 중요합니다.

특히 약한 이소스핀 SU(2) 변환에서 왼손잡이 입자는 약한 이소스핀 이중인 반면 오른손잡이 입자는 단일인 δ의 $약한 R$ 이소스핀은 0이다.간단히 말하면, 약한 상호작용은 예를 들어 왼손잡이 전자를 왼손잡이 중성미자로 회전시킬 수 있지만( $W$ 의⁻ 방출로), 같은 오른손잡이 입자로는 그렇게 할 수 없다.한편, 오른손 중성미자는 원래 표준 모델에는 존재하지 않았지만, 중성미자 진동의 발견은 중성미자가 질량을 가져야 한다는 것을 의미하며, 거대한 입자의 전파 중에 키랄리티가 변할 수 있기 때문에 오른손 중성미자는 현실에서 존재해야 한다.그러나 이것은 약한 상호작용의 (실험적으로 증명된) 카이랄 특성을 변화시키지 않는다.

또한 U(1)는 $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}$ e L ${\displaystyle$ \ $psi _{\mathrm$ { $e}^{\rm {L}}$ 과 $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {L}}$ $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}$ e $\psi _{\mathrm {e} }^{\rm {R}}$ {\ $displaystyle \psi$ _ ${\mathrm {e}}^{\rm {R}}}$ 에 대해 다르게 $작용$ 한다.

질량 및 상호작용 고유 상태

따라서 예를 들어 중성미자의 질량과 상호작용 고유상태를 구별할 수 있다.전자는 빈 공간에서 전파되는 상태이고 후자는 상호작용에 참여하는 다른 상태입니다."기본" 입자는 무엇입니까?중성미자의 경우, 상호작용 고유 상태에 의해 "flavour
_e"(
θ, θ
_μ 또는
_τ θ)를 정의하는 것이 일반적이며, 쿼크의 경우 질량 상태에 의해 향미(up, down 등)를 정의한다.쿼크의 경우 CKM 매트릭스 또는 중성미자의 경우 PMNS 매트릭스를 사용하여 이러한 상태를 전환할 수 있습니다(반면 하전 렙톤은 질량과 맛의 고유 상태).

이와는 별도로, 이러한 행렬들 중 하나에 복잡한 위상항이 존재한다면, 직접적인 CP 위반을 야기할 것이며, 이는 현재 우주에서 반물질에 대한 물질의 지배력을 설명할 수 있습니다.이는 CKM 매트릭스에서 검증되었으며 PMNS 매트릭스에서 검증될 것으로 예상됩니다.

양의 에너지와 음의 에너지

마지막으로, 양자장은 때때로 "양"과 "음" 에너지 부분으로 분해된다: $β$ $= β +$ + $β -$ .이것은 양자장 이론이 확립되어 있는 경우에는 그다지 흔하지 않지만, 종종 양자장 이론을 양자화하는 과정에서 현저하게 특징지어진다.

보손스

와인버그 각도

θ W

및 결합 상수 g, g', e 사이의 관계.T D Lee의 '입자 물리학과 장 이론 입문'(1981년)을 각색했다.

힉스 메커니즘에 의해 전약 보손 $W_{1},W_{2},W_{3}$ $W_{1},W_{2},W_{3}$ $W_{1},W_{2},W_{3}$ $({$ 및 $({displaystyle$ B $})$ 가 혼합되어 물리적으로 관찰 가능한 상태가 됩니다.게이지 불변성을 유지하려면 기본 필드가 무질량이어야 하지만 관측 가능한 상태는 공정에서 질량을 얻을 수 있습니다.상태는 다음과 같습니다.

매시브 뉴트럴(Z) 보손:

Z=\cos \theta _{\rm {W}}W_{3}-\sin \theta _{\rm {W}}B

질량 없는 중성 보손:

A=\sin \theta _{\rm {W}}W_{3}+\cos \theta _{\rm {W}}B

대량으로 충전된 W보손:

W^{\pm}=syslogfrac {1}{\syslogrt {2}}\left(W_{1}\mp iW_{2}\right)

여기서 $θ$ 는_W 와인버그 각도입니다.

$A장은$ 잘 알려진 전자파 4전위, 즉 전기장과 자기장에 고전적으로 해당하는 광자이다. $Z$ 필드는 실제로 광자가 수행하는 모든 과정에 기여하지만, 그 질량이 크기 때문에 기여도는 보통 무시할 수 있습니다.

섭동 QFT와 상호작용 그림

"입자"와 "힘"의 관점에서 표준 모델에 대한 질적 설명의 대부분은 모델의 섭동 양자장 이론 관점에서 비롯됩니다.여기서 라그랑지안은 L $=$ ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }$ 0 + ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{0}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {I} }$ $({$ {I $}}})$ 로 분해되어 별도의 자유장과 상호작용 라그랑지안이 된다.자유장은 입자를 격리하여 관리하는 반면, 여러 입자와 관련된 프로세스는 상호작용을 통해 발생합니다.그 개념은 입자가 상호작용할 때만 상태 벡터가 바뀌어야 한다는 것이다. 즉, 자유 입자는 양자 상태가 일정하다는 것을 의미한다.이것은 양자역학에서의 상호작용 그림과 일치합니다.

보다 일반적인 슈뢰딩거 그림에서는 자유 입자의 상태조차 시간이 지남에 따라 변화합니다: 전형적으로 위상은 그들의 에너지에 의존하는 속도로 변화합니다.대체 하이젠베르크 화상에서 상태 벡터는 연산자(특히 관측 가능)가 시간에 의존하도록 하는 대가로 일정하게 유지된다.상호 작용 그림은 연산자(양자장)와 상태 벡터에 일부 시간 의존성이 배치되는 둘 사이의 중간을 구성한다.QFT에서는 전자를 모델의 자유장 부분이라고 하고 후자를 상호작용 부분이라고 합니다.자유장 모델은 정확하게 풀 수 있으며, 전체 모델에 대한 해는 예를 들어 다이슨 시리즈를 사용하여 자유장 솔루션의 섭동으로 표현될 수 있습니다.

자유장 및 상호작용으로의 분해는 원칙적으로 임의적이라는 점에 유의해야 한다.예를 들어 QED에서의 재규격화는 자유장 전자의 질량을 물리전자의 질량과 일치하도록 수정하고(전자장을 포함), 그렇게 함으로써 자유장 라그랑지안에 항을 추가하게 되며, 이 항은 상호작용 라그랑지안에서 상쇄되어야 하며, 그 후 파인만 다이어그램에서 2선 정점으로 나타난다.이것은 또한 힉스장이 입자 질량을 주는 것으로 생각되는 방법입니다: 힉스장의 0이 아닌 진공 기대치에 해당하는 상호작용 항의 일부는 상호작용에서 자유장 라그랑지안으로 이동하며, 힉스장과는 무관한 질량 항처럼 보입니다.

자유 필드

낮은 에너지에 적합한 일반적인 자유/상호작용 분해에서 자유장은 다음 방정식을 따릅니다.

페르미온장 $θ$ 는 $디락$ 방정식을 만족한다 $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ ( $i$ $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ μ $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ - $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ f $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ ) $f$ f $(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m_{\rm {f}}c)\psi _{\rm {f}}=0$ ( $i$ \ $hbar$ \ $display$ ^ { \ $mu }$ - $m _$ { \ $rm$ { $f$ } $c$ ) \ $psi$ _ { \ $rm$ { $f$ } $= 0$ )
$광자장$ A는 파동방정식 $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0$ μ $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0$ $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0$ A $=$ $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0$ ${\displaystyle \displays$ _ ${\mu$ }\ $disples$ ^{\ $mu }A^{\nu$ }= $0$ 을 만족한다.
힉스장 $θ$ 는 클라인-고든 방정식을 만족한다.
약한 $상호작용장$ Z, $W$ 는^± 프로카 방정식을 만족합니다.

이 방정식들은 정확히 풀 수 있다.일반적으로 각 공간 축을 따라 일정 $주기$ L로 주기적인 첫 번째 솔루션을 고려하며, 나중에 한계를 취한다. $L$ $\to$ will 、 이 주기성 제한을 해제합니다.

주기적인 경우, $필드$ F(위의 임의의 것)에 대한 해는 형태의 푸리에 급수로 표현될 수 있다.

F(x)=\beta \sum _{\mathbf {p}\sum _{r}E_{\mathbf {p}}^{-{\frac {1}{2}}\left(a_{r}(\mathbf {p})u_{r}(\f {p}e})\frx

여기서:

β은 정상화 요인;페르미온 필드에 대해 ψ f{\displaystyle \psi_{\rm{f}}}그것은 나 fc2/V{\displaystyle{\sqrt{m_{\rm{f}}c^{2}/V}}}, V=L3{\displaystyle V=L^{3}}의 근본적인 세포의 부피로 여겨지고, 광자 필드 Aμ 위해 ℏ 댁 2V{\display.s $tyle \hbar$ c $/{\sqrt {2V$
$p$ 의 합계는 모든 ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ , ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ , n ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ ) ${\frac {2\pi \hbar }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})$ { $displaystyle {2\pi \hbar}{L}(n_{1},$ $n_{1},n_{2},n_{3}$ $, n_{3})$ ( $n_{1},n_{2},n_{3}$ , $n_{1},n_{2},n_{3}$ $n_{1},n_{2},n_{3}$ 과 $항상$ 일치합니다.
sum $over$ r은 편광이나 스핀과 같은 필드 고유의 다른 자유도를 포함합니다.일반적으로 $1$ 에서 2 $또는$ $1$ 에서 3까지의 합으로 나타납니다.
$E$ 는_p 나머지 질량이 $m일$ 때 $={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}$ 의 $운동량$ p 양자, $={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}$ $={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}$ + $={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}$ ({ $displaystyle$ = = $μrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p}^{2}}}})$ 에 $={\sqrt {m^{2}c^{4}+c^{2}\mathbf {p} ^{2}}}$ 대한 상대론적 에너지이다.
$a r (p)$ 및 $b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ r $δ($ p )({displaystyle $b_{r}^{\display$ })( $mathbf {p})$ 는 $b_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ 각각 $운동량$ p의 "a-displate" 및 "b-displate"에 대한 소멸 연산자 및 생성 연산자이며, "b-displate"는 "a-displate"의 대립자이다.필드마다 "a-"와 "b-입자"가 다릅니다.일부 $필드$ 에서는 $a$ 와 b가 동일합니다.
$u r (p)$ 와_r v $(p)$ 는 (관련된 경우) 필드의 벡터 또는 스피너 측면을 전달하는 비결정체이다.
$p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )$ $=$ ( $p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )$ p / $p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )$ , $p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )$ ) ({ $displaystyle$ p=( $E_{\mathbf$ ${p}/c,\mathbf$ { $p})$ )는 $p=(E_{\mathbf {p} }/c,\mathbf {p} )$ $px=p_{\mu }x^{\mu }$ $px=p_{\mu }x^{\mu }$ 을 $px=p_{\mu }x^{\mu }$ $px=p_{\mu }x^{\mu }$ 에 대한 4차원이다 $.$

$한계$ L $\to$ µ에서, 합계는 β $내부$ 에 숨겨진 $V$ 의 도움을 받아 적분으로 변한다. $β$ 의 수치도 $u_{r}(\mathbf {p} )$ r ( $u_{r}(\mathbf {p} )$ $){$ $displaystyle u$ _ { $r$ }(\ $mathbf {p$ $v_{r}(\mathbf {p} )$ 및 $u_{r}(\mathbf {p} )$ $v_{r}(\mathbf {p} )$ $v_{r}(\mathbf {p} )$ $(\displaystyle v_{r}(\mathbf {p$ 에 $u_{r}(\mathbf {p} )$ 선택된 정규화에 따라 달라집니다.

$a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ 말하면, r $δ$ ( $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ $)$ {\ $displaystyle$ a_{r $}^{\dagger$ }(\ $mathbf {p})$ 는 $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ 케트 벡터의 내부 곱공간에서 $연산자 r$ a $(p)$ 의 에르미트 인접이다.r $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ ( p $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ ) $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ { $displaystyle a$ _ { $r$ }^{ \ $dagger$ } ( \ $mathbf { p$ $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ } ) $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ a $(p$ )를 생성 및 소멸 연산자로 식별하는 것은 이들 중 하나가 작용하기 전후의 상태에 대해 보존된 양을 비교함으로써 얻을 수 있습니다. $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ ( $a_{r}^{\dagger }(\mathbf {p} )$ ) { $displaystyle a_{$ r $}^{r$ } \ dagger $}의$ 예o a-입자 수 연산자의 고유값에 1을 $더하기$ 때문에 하나의 입자를 더하면 벡터 값 운동량 연산자의 고유값이 그만큼 증가하므로 해당 입자의 운동량은 p가 $되어야$ 한다.이러한 도출의 경우, 양자장의 관점에서 연산자에 대한 식부터 시작합니다. ${\$ { $displaystyle$ \ $dagger$ }가 $\dagger$ 있는 연산자는 생성 연산자이고, 소멸 연산자가 없는 연산자는 생성 연산자이며, 이를 가정한 변환 관계의 부호에 의해 부과되는 규약이다.

섭동 양자장 이론에서 계산을 위한 중요한 단계는 위의 "연산자" $요인$ $a$ 와 b를 대응하는 벡터 $또는$ 스피너 요인 $u$ 와 v로부터 분리하는 것입니다.Feynman 그래프의 꼭지점은 상호작용의 서로 다른 인자의 $u$ 와 v가 $서로$ 잘 맞는 방식에서 나온 반면 모서리는 다이슨 계열의 항을 정규 형태로 만들기 위해 $as$ 와 bs가 이동해야 하는 방식에서 나온 것입니다.

상호작용 항과 경로 통합 접근법

라그랑지안은 또한 디락의 초기 작품에서 파인만 건축에 의해 개척된 경로 적분 공식을 사용함으로써 창조 연산자와 소멸 연산자("캐논컬" 형식주의)를 사용하지 않고도 도출될 수 있다.파인만 다이어그램은 상호작용 항을 그림으로 표현한 것입니다.파인만 다이어그램에 대한 기사에서 빠른 파생이 실제로 제시되었다.

라그랑주 형식주의

표준 모형의 교호작용입니다.모델의 모든 파인만 다이어그램은 이러한 정점의 조합으로 구성됩니다.q는 임의의 쿼크, g는 글루온, X는 임의의 하전입자, γ는 광자, f는 임의의 페르미온, m은 질량을 가진 입자(가능한 중성미자 제외), m은_B 질량을 가진 모든 보손이다.복수의 파티클 라벨이 있는 다이어그램에서는 /1개의 파티클 라벨이 선택됩니다.파티클 라벨이 라벨로 구분된 다이어그램에서는 동일한 순서로 라벨을 선택해야 합니다.예를 들어 4개의 보손 전약 케이스의 경우 유효한 그림은 WWWW, WWZ, WW ww ww, WWZ ww이다.나열된 각 정점의 켤레(화살표 방향을 반전)도 ^[2]허용됩니다.

이제 표준 모델 라그랑지안 밀도로 나타나는 앞에서 언급한 자유 및 상호작용 항에 대해 좀 더 자세히 설명할 수 있습니다.그러한 항은 게이지와 기준 프레임 불변성이어야 하며, 그렇지 않으면 물리 법칙은 임의의 선택이나 관찰자의 프레임에 의존하게 될 것이다.따라서, 특수 상대성 이론의 중심인 번역 대칭, 회전 대칭 및 관성 기준 프레임 불변성으로 구성된 전역 푸앵카레 대칭이 적용되어야 한다. $국소$ SU( $3)$ × $SU(2)$ × $U(1)$ 게이지 대칭은 내부 대칭이다.게이지 대칭의 세 가지 요소는 우리가 볼 수 있듯이 적절한 관계가 정의된 후 세 가지 기본적인 상호작용을 일으킨다.

모든 용어를 함께 쓴 표준 모델 라그랑지안의 완전한 공식은 여기에서 찾을 수 있습니다.

운동 용어

자유입자는 질량항과 필드의 "운동"과 관련된 운동항으로 나타낼 수 있다.

페르미온장

디락 페르미온의 운동학적 용어는 다음과 같다.

i-bar ^{\mu}\display style i-bar _{\mu }\psi

기사의 앞부분에서 표기가 실려 있는 경우.δ는 표준 모델에서 디락 페르미온 중 하나 또는 모두를 나타낼 수 $있습니다$ .일반적으로 이 용어는 다음과 같이 커플링에 포함된다(전체 "동적" 용어 생성).

게이지 필드

스핀-1 필드의 경우 먼저 전계 강도 텐서를 정의한다.

F_{\mu \nu }^{a}=\display_{\mu }^{a}-\display_{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{display}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c

게이지 커플링 $상수$ g가 있는 특정 게이지 필드(여기서는 A $사용$ )에 대해. $수량$ f는 정류자에 의해 정의된 특정 게이지 그룹의 구조 상수입니다.

[t_{a},t_{b}]=if^{c}t_{c}

$여기$ 서_i t는 그룹의 생성자입니다.(여기서 사용하는 $U(1$ )와 같은) Abelian(가환) 그룹에서는 $생성기$ 가_a 모두 서로 이동하기 때문에 구조 상수가 사라집니다.물론 이것은 일반적인 경우가 아니다 – 표준 모델에는 비-벨리안 $SU(2)$ 및 $SU(3)$ 그룹이 포함된다(이러한 그룹은 소위 양-밀스 게이지 이론으로 이어진다).

각 하위 $그룹$ SU( $3)$ × $SU(2)$ × $U(1)$ 에 해당하는 3개의 게이지 필드를 도입해야 한다.

글루온 장 텐서는 $G_{\mu \nu }^{a}$ μ $G_{\mu \nu }^{a}$ a {\ $displaystyle G_{\mu \nu$ }^{ $a$ 로 표시되며 색상은 SU(3)의 $8가지$ 표현 요소이다.강한 결합 상수는 일반적으로 g(또는 모호성이 없는 $경우$ 에는 g)로_s 표기됩니다.표준 모델의 이 부분을 발견하는 데 도움이 되는 관찰은 양자 색역학의 기사에서 논의된다.
$W$ μ $gener$ a \ $display W_{\mu \nu$ }^{ $a$ $W_{\mu \nu }^{a}$ 이 SU(2)의 게이지 필드 텐서에 사용됩니다 $.$ $여기$ 서 가 이 그룹의 3개의 제너레이터를 통과합니다.커플링은 g 또는 $단순히$ g로 $나타낼 w$ 수 있습니다.게이지 필드는 $W_{\mu }^{a}$ a $W_{\mu }^{a}$ {\ $displaystyle W_{\mu$ }^{ $a$ 로 $W_{\mu }^{a}$ 됩니다.
약한 하이퍼차지의 $U($ 1)에 대한 게이지장 텐서는 B, 커플링은 $g†,$ 게이지장은 $B$ 로_μν_μ 표시된다.

운동항은 이제 다음과 같이 쓸 수 있다.

{L}_{\rm {kin}=-{1 \over 4}B_{\mu \nu }-{1 \mu \nu }-{1 \mu \nu }W^{\mu \nu }-{1 \mu }\mu {tr

여기서 트레이스는 각각 $W$ 와 G에 $숨겨진$ SU(2 $)$ 및 $SU(3) 지수$ $위$ 에 있습니다.2 인덱스 객체는 벡터 필드인 $W$ 와 $G$ 에서 도출된 필드 강도입니다.SU $(2)$ 와 $SU(3)$ 에 $대한$ Theta 각도라는 두 개의 숨겨진 매개 변수도 있습니다.

결합항

다음 단계는 게이지 필드를 페르미온에 "커플링"하여 상호작용을 가능하게 하는 것입니다.

전약 섹터

전기 약 섹터는 대칭 $그룹$ U(1 $)$ $\times SU(2) L$ 와 상호작용하며, 여기서 첨자 L은 왼손 페르미온에 대한 결합만 나타낸다.

{\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {EW}=\sum _{\psi }}{\bar ^{\mu}\left(i\display_{\mu}-g^{\prime}{1\left})Y_{\mathrm {W}\{\m}\mu } } \mu } } over} =\g 。

$여기$ 서_μ B는 $U(1$ ) $게이지장$ , $Y$ 는_W 약한 하이퍼차지(U( $1) 그룹$ 의 발생기)이다. $W$ 는_μ $3성분$ SU $(2)$ 게이지 필드이며, $γ$ 의 성분은 고유값이 약한 아이소스핀을 주는 Pauli 매트릭스(SU( $2) 그룹$ 의 초기 생성기)이다.우리는 약한 힘과의 통합을 이루기 위해 QED와 다른 약한 초전하의 $새로운$ U(1) 대칭을 재정의해야 한다.약한 $이소스핀 3$ T(T, I 또는 $I$ 라고도 함)의 세 $번째 z 3 z$ 성분인 전하 Q와 약한 하이퍼 $전하 W$ Y는 다음과 같이 관련이 있습니다.

Q=T_{3}+{\tfrac {1}{2}}Y_{\rm {W}},

(또는 $Q = T 3$ + $Y W$ )이 기사에서 사용된 첫 번째 규칙은 이전의 겔만-니시지마 공식과 동등하다.이것은 하이퍼차지를 주어진 이소멀티플릿의 평균 전하보다 두 배나 증가시킵니다.

그런 다음 약한 아이소스핀에 대한 보존 전류를 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

\mathbf {j} = {1 \over2} {\bar {psi }}_{\rm {L}} \gamma _{\mu } {\boldsymbol {\psi }} {\rm {L}

약한 과전하를 위해

{\displaystyle j_{\mu }^{\mu }^{\rm {em}}-j_{\mu }^{3}~,},

$j_{\mu }^{\rm {em}}$ 서 j $j_{\mu }^{\rm {em}}$ $j_{\mu }^{\rm {em}}$ {\ $displaystyle j_{\mu}^{\rm {em}}$ 은 $j_{\mu }^{\rm {em}}$ $j_{\mu }^{3}$ $j_{\mu }^{3}$ 이고 j $j_{\mu }^{3}$ 3 ${\$ 3}은 세 번째 약한 아이소스핀 전류입니다.위에서 설명한 바와 같이 이들 전류가 혼합되어 물리적으로 관측된 보손이 생성되며, 이는 커플링 상수 간의 테스트 가능한 관계로 이어집니다.

이것을 더 쉽게 설명하기 위해, 우리는 라그랑지안으로부터 항을 골라냄으로써 전기 약 상호작용의 효과를 볼 수 있다.예를 들어, SU(2) 대칭이 $θ$ 에 포함된 각 (왼쪽) 페르미온 더블렛에 작용함을 알 수 있습니다.

{\displaystyle - {g \over2}({\bar {nu }_{e}\;{\bar {e})\class ^{+}\class {pmatrix}{\class {pmatrix}}{\e}\end{pmatrix}=-{\class }{\class }{\classlasslassel }{\mu}{{\mu}{{\class}}{{{\classel}}}}}}}{{{{\cl

입자가 왼손잡이로 이해되는 곳과

{\displaystyle ^{+}\equiv {1\over2}(\display ^{1}{+}i\display ^{2}=display {pmatrix}0&1\\end {pmatrix})

이는 "약한 아이소스핀 공간에서의 회전" 또는 W 보손 $방출$ 을⁻ 통한 $e$ 와_L $θ eL$ 사이의 변환에 대응하는 상호작용이다.반면 $, U$ (1) $대칭$ 은 전자기학과 비슷하지만, $중성 0$ Z를 통해 모든 "약한 초전하" 페르미온(왼손과 오른손 모두)과 광자를 통해 대전된 페르미온에 작용합니다.

양자 색역학 분야

양자 색역학(QCD) 부문은 쿼크와 글루온 사이의 상호작용을 정의하며, $SU(3)$ 대칭은 T에 $의해 a$ 생성됩니다.렙톤은 글루온과 상호작용하지 않기 때문에 이 섹터의 영향을 받지 않습니다.글루온장에 결합된 쿼크의 디락 라그랑지안은 다음과 같이 주어진다.

{\mathcal {L}}_{\mathrm {QCD}=i-left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a})T^{a}\오른쪽)\gamma^{\mu}U+i{\overline {D}\left(\partial _{\mu }-ig_{s}G_{\mu }^{a})T^{a}\right)\gamma^{\mu}D.

$여기$ 서 $U$ 와 D는 업 및 다운 타입 쿼크와 관련된 Dirac 스피너이며, 다른 표기법은 이전 절에서 계속된다.

질량 항과 힉스 메커니즘

질량항

디락 라그랑지안( 페르미온 $δ$ 에 대하여)에서 발생하는 질량 항은 - m $-m{\bar {\psi }}\psi$ （ \ $displaystyle$ - $m$ { \ $bar$ { \ $psi$ } $）$ 이며 $-m{\bar {\psi }}\psi$ , 이는 전기 약대칭 하에서는 불변하지 않는다.이는 왼손 및 오른손잡이 구성 요소의 관점에서 §를 작성하면 알 수 있습니다(실제 계산 생략).

- mbar {psi }\psi =-mbar {psi }_{\rm {R}}+{\bar {psi }_{\rm {R}}_{\rm {L}}}

즉, ${\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}$ L ${\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}$ L ${\displaystyle {\psi$ } _ ${\rm {L}}$ \ $psi _{\rm$ { $L}}$ 및 ${\bar {\psi }}_{\rm {L}}\psi _{\rm {L}}$ ${\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}$ R ${\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}$ R r R {\ $displaystyle$ {\ $psi }} _{\$ rm ${\bar {\psi }}_{\rm {R}}\psi _{\rm {R}}$ { $R}}$ 용어의 기여가 표시되지 않습니다.입자 키라리티의 지속적인 플립에 의해 질량 생성 상호작용이 달성되는 것을 알 수 있습니다.스핀-하프 입자는 동일한 $SU(2)$ 표현과 동일하고 반대되는 약한 초전하를 가진 오른쪽/왼쪽 키랄리티 쌍을 가지고 있지 않기 때문에 게이지 전하가 진공에서 보존된다고 가정하면 스핀-하프 입자는 키랄리티를 교환할 수 없으며 질량이 없는 상태로 유지되어야 합니다.또한, 우리는 실험적으로 W와 Z 보손이 거대하다는 것을 알고 있지만, 보손 질량 항에는 예를 들어 다음과 같은 조합이 포함되어 있다. $AA$ 는^μ_μ 게이지 선택에 따라 확실히 달라집니다.따라서, 어떤 표준 모형 페르미온이나 보손도 질량과 함께 "시작"할 수 없고, 다른 메커니즘에 의해 그것을 획득해야 한다.

힉스 메커니즘

이 두 문제에 대한 해결책은 스칼라 장 (가장 간단한 설명을 하기 위해) 자유도로서 거대한 보손에 의해 흡수되는 스칼라 장 (힉스 메커니즘의 정확한 형태에 따라 달라짐)과 유카와 결합을 통해 페르미온에 결합하는 것을 포함하는 힉스 메커니즘으로부터 옵니다.e질량항

표준 모델에서 힉스 필드는 그룹 $SU(2) L$ 의 복잡한 스칼라 필드입니다.

\phi = phi frac {1}{\displayrt {2}}{\phi ^{+}\\phi ^{0}\end{pmatrix}}

여기서 + $와$ 0은 성분의 전하( $Q$ )를 나타냅니다.두 컴포넌트의 약한 하이퍼차지( $Y W$ )는 1입니다.

라그랑지안의 힉스 부분은

{L}_{\rm {H}}= left[\left (\partial _{\mu }-igW_{\mu }^{a}t^{a}-ig''Y_{\phi }B_{\mu }\right)\phi \right]^{2}+\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\lambda (\phi ^{\dagger }\phi)^{2

여기서 $θ$ > $0$ $및 2 μ$ > 0을 사용하여 자발적 대칭 파괴 메커니즘을 사용할 수 있습니다.여기에는 우선 잠재력 안에 숨겨진 파라미터가 있습니다.그것은 매우 중요합니다.유니티 게이지에서는 $\phi ^{+}=0$ + $=$ (\ $displaystyle \phi$ ^{+}= $0)$ 을 $\phi ^{+}=0$ 설정하여 $\phi ^{0}$ 0(\ $displaystyle \phi$ ^{ $0})$ 을 $\phi ^{0}$ 현실로 만들 수 있습니다.δ $\langle \phi ^{0}\rangle =v$ 0 $\langle \phi ^{0}\rangle =v$ $\langle \phi ^{0}\rangle =v$ \ $displaystyle \phi$ ^{ $0}\rangle$ = v $}$ 는 $\langle \phi ^{0}\rangle =v$ 힉스 필드의 소멸되지 않는 진공 기대치입니다. $v$ {\ $displaystyle$ v $v$ }에는 질량 단위가 있으며 표준 모델에서 치수가 없는 유일한 매개 변수입니다.그것은 또한 플랑크 척도보다 훨씬 작다; 그것은 거의 힉스 질량과 같으며, 다른 모든 것의 질량에 대한 척도를 설정한다.이것은 표준 모델에서 0이 아닌 작은 값으로 미세 조정되는 유일한 것으로 계층 문제라고 불립니다. $W$ 와_μ $B$ 의_μ 2차 항이 생성되어 W와 Z 보손에 질량을 부여합니다.

디스플레이 스타일M_{\rm {W}}&=tfrac {1}{2}}vg\\M_{\rm {Z}}&=tfrac {1}{2}}v(rt {g^{2}+{g'}^{2}}}\end{aligned}})

힉스 입자의 질량은 $M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.$ $M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.$ $M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.$ $M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.$ $M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.$ $M_{\rm {H}}={\sqrt {2\mu ^{2}}}\equiv {\sqrt {2\lambda v^{2}}}.$ . { $displaystyle M_{\rm {H$ }} = $sqrt {2\mu ^2}$ \ $equiv {\sqrt {2\$ sqrt {2\ $sqda$ v $^{2}}}}$ 。 $}$

유카와 교호작용 항은

{L}_{\rm {YU}}=오버라인 {U}_{\rm {L}}G_{\rm {u}}U_{\rm {R}}\phi ^{0}-{\overline {D}}_{\rm {L}}G_{\rm {u}}U_{\rm {R}}\phi ^{-}+{\overline {U}_{\rm {L}}G_{\rm {d}}D_{\rm {R}}\phi ^{+}+{\overline {D}}_{\rm {D}}}} ^{\rmi

$여기$ 서_u,d G는 유카와 커플링의 3 $\times3 행렬$ 이며, $ij$ 항은 $i세대$ 와 j세대의 커플링을 나타낸다.

중성미자 질량

앞서 언급했듯이 중성미자가 질량을 가지고 있어야 한다는 증거가 있다.그러나 표준 모델 내에서는 오른손 중성미자가 존재하지 않기 때문에 유카와 커플링 중성미자도 무질량 상태로 남아 있다.분명한^[3] 해결책은 단순히 오른손 중성미자 $δ$ 를_R 첨가하여 평소처럼 Dirac 질량 항을 만드는 것이다.그러나 이 장은 오른손잡이이므로 무균 중성미자여야 하며, 이는 실험적으로 이소스핀 싱글렛( $T 3$ = $0$ )에 속하며 $전하$ Q = 0을 $가지며$ , 이는 $Y$ = 0(위 참조)을_W 의미한다. 즉, 약한 상호작용에도 참여하지 않는다.무균 중성미자에 대한 실험적인 증거는 현재 ^[4]확정적이지 않다.

중성미자가 마요라나 방정식을 만족시키는 것도 고려할 만한 또 다른 가능성으로, 처음에는 전하가 0이기 때문에 가능한 것처럼 보인다.이 경우 질량 항은

({displaystyle - {m \over2}\left({\overline {nu}}^{C}\nu +{\overline {nu}}\nu ^{C}\오른쪽)})

$여기$ 서 C는 전하 공역(즉, 안티) 입자를 나타내며, 용어는 일관되게 모두 왼쪽(또는 모두 오른쪽) 키랄리티이다(반입자의 왼쪽 키랄리티 투영법은 오른손잡이 필드이다; 때때로 사용되는 다른 표기법 때문에 여기에서 주의해야 한다).여기서 우리는 기본적으로 왼손 중성미자와 오른손 반중성미자 사이를 왔다 갔다 한다. (더욱 가능하지만 중성미자가 그들 자신의 반입자이기 때문에 이 입자들은 동일하다.)단, 좌-비례성 중성미자의 경우, 이 용어는 약초전하를 2단위씩 변화시킨다. 표준 힉스 상호작용으로는 가능하지 않으므로 힉스장이 약초전하^[3] = 2인 추가 트리플렛을 포함하도록 확장되어야 한다. 반면 우-비례성 중성미자의 경우 힉스 확장이 필요하지 않다.왼쪽 및 오른쪽 키랄리티의 경우 모두 메이저라나 항은 렙톤 수를 위반하지만 이러한 위반을 탐지하기 위한 현재 실험 민감도 수준을 초과할 수 있습니다.

디락과 마요라나 질량 항을 모두 같은 이론에 포함시킬 수 있는데, 디락 질량만의 접근법과 대조적으로, 이것은 오른손 중성미자를 GUT^[5] 척도 주변의 아직 알려지지 않은 물리학과 연결시킴으로써 관측된 중성미자 질량의 작은 것에 대한 "자연적인" 설명을 제공할 수 있다.

어떤 경우에도 실험 결과를 설명하기 위해 새로운 분야를 가정해야 하기 때문에 중성미자는 표준 모델을 넘어 물리학을 탐색하는 명백한 관문이다.

상세 정보

이 섹션에서는 일부 측면과 참조 자료에 대해 자세히 설명합니다.여기에 명시적인 라그랑주 용어들도 제공됩니다.

필드 내용 상세

표준 모델에는 다음 필드가 있습니다.이것들은 렙톤과 쿼크의 1세대를 나타내며, 3세대가 있습니다. 그래서 각각의 페르미온 장에는 3개의 복사본이 있습니다.CPT 대칭에 의해, 반대의 패리티와 전하를 가지는 페르미온과 항피질의 집합이 있습니다.왼손 페르미온이 어떤 표현에 걸쳐 있는 경우, 그 반입자(오른손 항피질)는 이중^[6] 표현에 걸쳐 있습니다(SU(2)의 경우 2 ${\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }$ $=$ 2 ${\displaystyle {\mathbf$ {2} } = $smathbf {2} }$ } 。 ${\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }$ 는 ${\bar {\mathbf {2} }}={\mathbf {2} }$ 의사 실재이기 때문입니다)."표현" 열은 각 필드가 변환하는 게이지 그룹의 표현 아래에 (SU(3), SU(2), U(1) 그룹의 경우 약한 하이퍼차지 값이 나열되는 것을 나타낸다.각 세대에는 오른손잡이 렙톤 필드 성분보다 왼손잡이 렙톤 필드 성분이 두 배 더 많지만 왼손잡이 쿼크와 오른손잡이 쿼크 필드 성분 수는 동일합니다.

표준 모델의 필드 내용
스핀 1 – 게이지 필드
기호.	관련 요금	그룹.	커플링	표현^[7]
$B$	약한 하이퍼차지	$U(1) Y$	$(\$ g $')$ $g_{1}$ $(\$	${\displaystyle(\mathbf {1},\mathbf {1},0)}$
$W$	약한 아이소스핀	$SU(2) L$	$g_{w}$ w { $display style$ g _ { $w$ } $g_{2}$ g $g_{2}$ { $displaystyle g$ _ {2 $}$ }	$\displaystyle(\mathbf {1},\mathbf {3},0)}$
$G$	색채	$SU(3) C$	$g_{s}$ s $(\$ $g_{3}$ $(\$	${\displaystyle(\mathbf {8},\mathbf {1},0)}$
스핀1⁄2 – 페르미온
기호.	이름.	바리온수	렙톤수	표현
$\displaystyle q_{\rm {L}}$	왼손 쿼크	$\displaystyle \textstyle \frac {1}{3}}$	$0$	$(\displaystyle(\mathbf {3},\mathbf {2},\textstyle {frac {1}{3}) )$
$\displaystyle u_{\rm {R}}$	오른손잡이 쿼크(위)	$\displaystyle \textstyle \frac {1}{3}}$	$0$	$({displaystyle {\mathbf {3}},\mathbf {1},\textstyle {\frac {4}{3}}))$
$\displaystyle d_{\rm {R}}$	우측 쿼크(아래)	$\displaystyle \textstyle \frac {1}{3}}$	$0$	$({displaystyle{\mathbf {3}},\mathbf {1},-\textstyle {frac {2}{3}})})$
$\displaystyle \ell _{\rm {L}}$	왼손잡이 렙톤	$0$	$1$	${\displaystyle(\mathbf {1},\mathbf {2},-1)}$
$\displaystyle \ell _{\rm {R}}$	오른손 렙톤	$0$	$1$	${\displaystyle(\mathbf {1},\mathbf {1},-2)}$
스핀 0 – 스칼라 보손
기호.	이름.	표현
$(\displaystyle H)$	힉스 입자	$\displaystyle(\mathbf {1},\mathbf {2},1)}$

페르미온 함량

이 표는 Particle Data ^[8]Group에 의해 수집된 데이터의 일부를 기반으로 합니다.

표준 모델의 왼손 페르미온
제1세대
페르미온 (왼쪽)	기호.	전기 외상으로 하겠습니다.	약한 아이소스핀	약한 과충전	색. 외상으로 하겠습니다. ^{[135f 1]}	덩어리^{[150f 2]}
전자	이⁻	${\displaystyle-1}$	$-1/2$	${\displaystyle-1}$	$\displaystyle \mathbf {1}$	511 keV
양전자	이⁺	$\[디스플레이 스타일 + 1 }$	$0$	$+2$	$\displaystyle \mathbf {1}$	511 keV
전자 중성미자	ν _e	$0$	$+ 1/2$	${\displaystyle-1}$	$\displaystyle \mathbf {1}$	0.28 eV^{[lhf 3]}^{[lhf 4]} 미만
전자 반중성미자	ν _e	$0$	$0$	$0$	$\displaystyle \mathbf {1}$	0.28 eV^{[lhf 3]}^{[lhf 4]} 미만
업쿼크	u	$(\displaystyle + 2/3)$	$+ 1/2$	$+1/3$	$\displaystyle \mathbf {3}$	최대 3MeV^{[lhf 5]}
업 앤티크	u	$(\displaystyle - 2/3)$	$0$	$(\displaystyle - 4/3)$	$\displaystyle \mathbf \bar {3}}$	최대 3MeV^{[lhf 5]}
다운쿼크	d	$-1/3$	$-1/2$	$+1/3$	$\displaystyle \mathbf {3}$	최대 6 MeV^{[lhf 5]}
다운 앤티크	d	$+1/3$	$0$	$(\displaystyle + 2/3)$	$\displaystyle \mathbf \bar {3}}$	최대 6 MeV^{[lhf 5]}

제2세대
페르미온 (왼쪽)	기호.	전기 외상으로 하겠습니다.	약한 아이소스핀	약한 과충전	색. 충전하다	미사
뮤온	μ⁻	${\displaystyle-1}$	$-1/2$	${\displaystyle-1}$	$\displaystyle \mathbf {1}$	106 MeV
안티뮤온	μ⁺	$\[디스플레이 스타일 + 1 }$	$0$	$+2$	$\displaystyle \mathbf {1}$	106 MeV
뮤온 중성미자	ν _μ	$0$	$+ 1/2$	${\displaystyle-1}$	$\displaystyle \mathbf {1}$	0.28 eV^{[lhf 3]}^{[lhf 4]} 미만
뮤온 안티뉴트리노	ν _μ	$0$	$0$	$0$	$\displaystyle \mathbf {1}$	0.28 eV^{[lhf 3]}^{[lhf 4]} 미만
참 쿼크	c .	$(\displaystyle + 2/3)$	$+ 1/2$	$+1/3$	$\displaystyle \mathbf {3}$	최대 1.3 GeV
참반구공원	c	$(\displaystyle - 2/3)$	$0$	$-4/3$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 1.3 GeV
Strange quark	s	$-1/3$	$-1/2$	$+1/3$	$\mathbf {3}$	~ 100 MeV
Strange antiquark	s	$+1/3$	$0$	$+2/3$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 100 MeV

Generation 3
Fermion (left-handed)	Symbol	Electric charge	Weak isospin	Weak hypercharge	Color charge^{[lhf 1]}	Mass^{[lhf 2]}
Tau	τ⁻	$-1$	$-1/2$	$-1$	$\mathbf {1}$	1.78 GeV
Antitau	τ⁺	$+1$	$0$	$+2$	$\mathbf {1}$	1.78 GeV
Tau neutrino	ν _τ	$0$	$+1/2$	$-1$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV^{[lhf 3]}^{[lhf 4]}
Tau antineutrino	ν _τ	$0$	$0$	$0$	$\mathbf {1}$	< 0.28 eV^{[lhf 3]}^{[lhf 4]}
Top quark	t	$+2/3$	$+1/2$	$+1/3$	$\mathbf {3}$	171 GeV
Top antiquark	t	$-2/3$	$0$	$-4/3$	$\mathbf {\bar {3}}$	171 GeV
Bottom quark	b	$-1/3$	$-1/2$	$+1/3$	$\mathbf {3}$	~ 4.2 GeV
Bottom antiquark	b	$+1/3$	$0$	$+2/3$	$\mathbf {\bar {3}}$	~ 4.2 GeV

^ ^a ^b ^c These are not ordinary abelian charges, which can be added together, but are labels of group representations of Lie groups.
^ ^a ^b ^c Mass is really a coupling between a left-handed fermion and a right-handed fermion. For example, the mass of an electron is really a coupling between a left-handed electron and a right-handed electron, which is the antiparticle of a left-handed positron. Also neutrinos show large mixings in their mass coupling, so it's not accurate to talk about neutrino masses in the flavor basis or to suggest a left-handed electron antineutrino.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f The Standard Model assumes that neutrinos are massless. However, several contemporary experiments prove that neutrinos oscillate between their flavour states, which could not happen if all were massless. It is straightforward to extend the model to fit these data but there are many possibilities, so the mass eigenstates are still open. See neutrino mass.
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f W.-M. Yao et al. (Particle Data Group) (2006). "Review of Particle Physics: Neutrino mass, mixing, and flavor change" (PDF). Journal of Physics G. 33 (1): 1. arXiv:astro-ph/0601168. Bibcode:2006JPhG...33....1Y. doi:10.1088/0954-3899/33/1/001.
^ ^a ^b ^c ^d The masses of baryons and hadrons and various cross-sections are the experimentally measured quantities. Since quarks can't be isolated because of QCD confinement, the quantity here is supposed to be the mass of the quark at the renormalization scale of the QCD scale.

Free parameters

Upon writing the most general Lagrangian with massless neutrinos, one finds that the dynamics depend on 19 parameters, whose numerical values are established by experiment. Straightforward extensions of the Standard Model with massive neutrinos need 7 more parameters (3 masses and 4 PMNS matrix parameters) for a total of 26 parameters.^[9] The neutrino parameter values are still uncertain. The 19 certain parameters are summarized here.

Parameters of the Standard Model
Symbol	Description	Renormalization scheme (point)	Value	Experimental uncertainty
m_e	Electron mass		510.9989461(31) keV
m_μ	Muon mass		105.6583745(24) MeV
m_τ	Tau mass		1.77686(12) GeV
m_u	Up quark mass	μ_MS = 2 GeV	2.2 MeV	+0.5 -0.4 MeV
m_d	Down quark mass	μ_MS = 2 GeV	4.7 MeV	+0.5 -0.3 MeV
m_s	Strange quark mass	μ_MS = 2 GeV	95 MeV	+9 -3 MeV
m_c	Charm quark mass	μ_MS = m_c	1.275 GeV	+0.025 -0.035 GeV
m_b	Bottom quark mass	μ_MS = m_b	4.18 GeV	+0.04 −0.03 GeV
m_t	Top quark mass	On-shell scheme	173.0 GeV	±0.4 GeV
θ₁₂	CKM 12-mixing angle		13.1°
θ₂₃	CKM 23-mixing angle		2.4°
θ₁₃	CKM 13-mixing angle		0.2°
δ	CKM CP-violating Phase		0.995
g₁ or g'	U(1) gauge coupling	μ_MS = m_Z	0.357
g₂ or g	SU(2) gauge coupling	μ_MS = m_Z	0.652
g₃ or g_s	SU(3) gauge coupling	μ_MS = m_Z	1.221
θ_QCD	QCD vacuum angle		~0
v	Higgs vacuum expectation value		246.2196(2) GeV
m_H	Higgs mass		125.18 GeV	±0.16 GeV

The choice of free parameters is somewhat arbitrary. In the table above, gauge couplings are listed as free parameters, therefore with this choice the Weinberg angle is not a free parameter - it is defined as $\tan \theta _{\rm {W}}={\frac {g_{1}}{g_{2}}}$ . Likewise, the fine-structure constant of QED is $\alpha ={\frac {1}{4\pi }}{\frac {(g_{1}g_{2})^{2}}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}}}$ . Instead of fermion masses, dimensionless Yukawa couplings can be chosen as free parameters. For example, the electron mass depends on the Yukawa coupling of the electron to the Higgs field, and its value is $m_{\rm {e}}={\frac {y_{\rm {e}}}{\sqrt {2}}}v$ . Instead of the Higgs mass, the Higgs self-coupling strength $\lambda ={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2v^{2}}}$ , which is approximately 0.129, can be chosen as a free parameter. Instead of the Higgs vacuum expectation value, the $\mu ^{2}$ parameter directly from the Higgs self-interaction term $\mu ^{2}\phi ^{\dagger }\phi -\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}$ can be chosen. Its value is $\mu ^{2}=\lambda v^{2}={\frac {m_{\rm {H}}^{2}}{2}}$ , or approximately $\mu =88.45$ GeV.

The value of the vacuum energy (or more precisely, the renormalization scale used to calculate this energy) may also be treated as an additional free parameter. The renormalization scale may be identified with the Planck scale or fine-tuned to match the observed cosmological constant. However, both options are problematic.^[10]

Additional symmetries of the Standard Model

From the theoretical point of view, the Standard Model exhibits four additional global symmetries, not postulated at the outset of its construction, collectively denoted accidental symmetries, which are continuous U(1) global symmetries. The transformations leaving the Lagrangian invariant are:

\psi _{\text{q}}(x)\to e^{i\alpha /3}\psi _{\text{q}}

E_{\rm {L}}\to e^{i\beta }E_{\rm {L}}{\text{ and }}(e_{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(e_{\rm {R}})^{c}

M_{\rm {L}}\to e^{i\beta }M_{\rm {L}}{\text{ and }}(\mu _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\mu _{\rm {R}})^{c}

T_{\rm {L}}\to e^{i\beta }T_{\rm {L}}{\text{ and }}(\tau _{\rm {R}})^{c}\to e^{i\beta }(\tau _{\rm {R}})^{c}

The first transformation rule is shorthand meaning that all quark fields for all generations must be rotated by an identical phase simultaneously. The fields $M L, T L$ and $(\mu _{\rm {R}})^{c},(\tau _{\rm {R}})^{c}$ are the 2nd (muon) and 3rd (tau) generation analogs of $E L$ and $(e_{\rm {R}})^{c}$ fields.

By Noether's theorem, each symmetry above has an associated conservation law: the conservation of baryon number,^[11] electron number, muon number, and tau number. Each quark is assigned a baryon number of ${}_{\frac {1}{3}}$ , while each antiquark is assigned a baryon number of ${}_{-{\frac {1}{3}}}$ . Conservation of baryon number implies that the number of quarks minus the number of antiquarks is a constant. Within experimental limits, no violation of this conservation law has been found.

Similarly, each electron and its associated neutrino is assigned an electron number of +1, while the anti-electron and the associated anti-neutrino carry a −1 electron number. Similarly, the muons and their neutrinos are assigned a muon number of +1 and the tau leptons are assigned a tau lepton number of +1. The Standard Model predicts that each of these three numbers should be conserved separately in a manner similar to the way baryon number is conserved. These numbers are collectively known as lepton family numbers (LF). (This result depends on the assumption made in Standard Model that neutrinos are massless. Experimentally, neutrino oscillations demonstrate that individual electron, muon and tau numbers are not conserved.)^[12]^[13]

In addition to the accidental (but exact) symmetries described above, the Standard Model exhibits several approximate symmetries. These are the "SU(2) custodial symmetry" and the "SU(2) or SU(3) quark flavor symmetry."

Symmetries of the Standard Model and associated conservation laws
Symmetry	Lie group	Symmetry Type	Conservation law
Poincaré	Translations ⋊SO(3,1)	Global symmetry	Energy, Momentum, Angular momentum
Gauge	SU(3)×SU(2)×U(1)	Local symmetry	Color charge, Weak isospin, Electric charge, Weak hypercharge
Baryon phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Baryon number
Electron phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Electron number
Muon phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Muon number
Tau phase	U(1)	Accidental Global symmetry	Tau number

The U(1) symmetry

For the leptons, the gauge group can be written $SU(2) l \times U(1) L \times U(1) R$ . The two U(1) factors can be combined into $U(1) Y \times U(1) l$ where l is the lepton number. Gauging of the lepton number is ruled out by experiment, leaving only the possible gauge group $SU(2) L \times U(1) Y$ . A similar argument in the quark sector also gives the same result for the electroweak theory.

The charged and neutral current couplings and Fermi theory

The charged currents $j^{\mp }=j^{1}\pm ij^{2}$ are

j_{\mu }^{-}={\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} }.

These charged currents are precisely those that entered the Fermi theory of beta decay. The action contains the charge current piece

{\mathcal {L}}_{\rm {CC}}={\frac {g}{\sqrt {2}}}(j_{\mu }^{+}W^{-\mu }+j_{\mu }^{-}W^{+\mu }).

For energy much less than the mass of the W-boson, the effective theory becomes the current–current contact interaction of the Fermi theory, $2{\sqrt {2}}G_{\rm {F}}~~J_{\mu }^{+}J^{\mu ~~-}$ .

However, gauge invariance now requires that the component $W^{3}$ of the gauge field also be coupled to a current that lies in the triplet of SU(2). However, this mixes with the U(1), and another current in that sector is needed. These currents must be uncharged in order to conserve charge. So neutral currents are also required,

j_{\mu }^{3}={\frac {1}{2}}({\overline {U}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }U_{i\mathrm {L} }-{\overline {D}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }D_{i\mathrm {L} }+{\overline {\nu }}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }\nu _{i\mathrm {L} }-{\overline {l}}_{i\mathrm {L} }\gamma _{\mu }l_{i\mathrm {L} })

j_{\mu }^{\rm {em}}={\frac {2}{3}}{\overline {U}}_{i}\gamma _{\mu }U_{i}-{\frac {1}{3}}{\overline {D}}_{i}\gamma _{\mu }D_{i}-{\overline {l}}_{i}\gamma _{\mu }l_{i}.

The neutral current piece in the Lagrangian is then

{\mathcal {L}}_{\rm {NC}}=ej_{\mu }^{\rm {em}}A^{\mu }+{\frac {g}{\cos \theta _{\rm {W}}}}(J_{\mu }^{3}-\sin ^{2}\theta _{\rm {W}}J_{\mu }^{\rm {em}})Z^{\mu }.

References and external links

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[s1-9] These are not ordinary abelian charges, which can be added together, but are labels of group representations of Lie groups.

[s2-10] Mass is really a coupling between a left-handed fermion and a right-handed fermion. For example, the mass of an electron is really a coupling between a left-handed electron and a right-handed electron, which is the antiparticle of a left-handed positron. Also neutrinos show large mixings in their mass coupling, so it's not accurate to talk about neutrino masses in the flavor basis or to suggest a left-handed electron antineutrino.

[s4-11] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f The Standard Model assumes that neutrinos are massless. However, several contemporary experiments prove that neutrinos oscillate between their flavour states, which could not happen if all were massless. It is straightforward to extend the model to fit these data but there are many possibilities, so the mass eigenstates are still open. See neutrino mass.

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[s3-13] The masses of baryons and hadrons and various cross-sections are the experimentally measured quantities. Since quarks can't be isolated because of QCD confinement, the quantity here is supposed to be the mass of the quark at the renormalization scale of the QCD scale.

[1] In fact, there are mathematical issues regarding quantum field theories still under debate (see e.g. Landau pole), but the predictions extracted from the Standard Model by current methods are all self-consistent. For a further discussion see e.g. R. Mann, chapter 25.

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