아하로노프-봄 효과

아하로노프-봄 효과(Aharonov-Bohm effect)는 때때로 에렌베르크-시데이-아하로노프-봄 효과라고 불리는, 전기를 띤 입자가 전자기 전위에 의해 영향을 받는 양자역학 현상입니다($$φ $displaystyle$\$},$ A ${\displaystyle \mathbf$ {A}). 자기장 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및$$ 전기장 $E{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 모두 0인$$ 영역으로 제한됩니다.^[1] 기본 메커니즘은 하전 입자의 파동 함수의 복잡한 위상과 전자기 전위의 결합이며, 이에 따라 간섭 실험에 의해 아하로노프-봄 효과가 설명됩니다.

가장 일반적으로 설명되는 경우는 때때로 Aharonov-Bohm 솔레노이드 효과라고 불리는 경우로, 긴 솔레노이드 주위를 통과하는 하전 입자의 파동함수가 닫힌 자기장의 결과로 위상 이동을 경험할 때 발생합니다. 솔레노이드 내부에서 입자가 통과하는 영역에서 자기장은 무시할 수 있고 입자의 파동함수는 무시할 수 있음에도 불구하고. 이 위상 변화는 실험적으로 관찰되었습니다.^[2] 또한 결합된 에너지와 산란 단면에 대한 자기적인 Aharonov–Bohm 효과도 있지만 이러한 경우는 실험적으로 테스트되지 않았습니다. 전하를 띤 입자가 전기적 전위는 다르지만 전기장이 0인 영역의 영향을 받는 전기적인 아하로노프-봄 현상도 예측되었지만, 이는 아직 실험적으로 확인된 바가 없습니다.^[2] 다중 연결된 영역에서 핵 운동을 위해 별도의 "분자"인 Aharonov-Bohm 효과가 제안되었지만, 이것은 핵 경로를 따라 국부적인 양에만 의존하는 "비국소적이지도 않고 위상적이지도 않기 때문에" 다른 종류의 기하학적 위상이라고 주장되어 왔습니다.^[3]

베르너 에렌베르크(Werner Ehrenberg, 1901~1975)와 레이몬드 E. Siday는 1949년에 처음으로 그 효과를 예측했습니다.^[4] 야키르 아하로노프와 데이비드 봄은 1959년에 그들의 분석을 발표했습니다.^[1] 1959년 논문이 발표된 후, 봄은 에렌베르크와 시데이의 연구에 대해 알게 되었고, 봄과 아하로노프의 1961년 논문에서 인정과 인정을 받았습니다.^[5][6][7] 그 효과는 실험적으로 확인되었는데, 봄이 살아있는 동안 매우 큰 오차가 있었습니다. 오류가 상당한 가치로 떨어졌을 때, 봄은 사망했습니다.^[8]

유의성

18세기와 19세기에 물리학은 힘에 대한 강조와 함께 뉴턴 역학에 의해 지배되었습니다. 전자기 현상은 전하, 전류 및 자석 사이의 힘을 다양한 형태로 측정하는 일련의 실험을 통해 설명되었습니다. 결국 어떤 전하, 전류, 자석이 전파력장의 국소적인 소스로 작용하고, 그 후 로렌츠 힘 법칙을 통해 다른 전하와 전류에 국소적으로 작용하는지에 따라 기술이 생겨났습니다. 이 틀에서, 전기장의 관찰된 특성 중 하나는 비회전적이라는 것이고, 자기장의 관찰된 특성 중 하나는 발산이 없다는 것이기 때문에, 정전기장을 스칼라 전위의 구배로 표현하는 것이 가능했습니다(예: 쿨롱의 정전기 전위, 수학적으로 고전적인 중력 퍼텐셜과 유사하며, 벡터 퍼텐셜의 컬과 같은 정지 자기장(당시 새로운 개념 - 스칼라 퍼텐셜에 대한 아이디어는 중력 퍼텐셜과 유추하여 이미 잘 받아들여졌습니다). 퍼텐셜의 언어는 완전히 동적인 경우로 매끄럽게 일반화되었지만, 모든 물리적 효과는 퍼텐셜의 파생물인 장들의 관점에서 설명될 수 있었기 때문에, 퍼텐셜(unlike장)은 물리적 효과에 의해 고유하게 결정되지 않았습니다. 퍼텐셜은 임의의 추가 상수 정전 퍼텐셜과 비회전 정지 자기 벡터 퍼텐셜까지만 정의되었습니다.

아하로노프-봄 효과는 양자역학이 등장하기 전에는 물리적 결과가 없는 수학적 재구성이라고 주장할 수 있었던 (맥스웰의) 고전 전자기 이론을 게이지 이론으로 재구성하는 데 명백한 세 가지 문제를 수반하기 때문에 개념적으로 중요합니다. 아하로노프-봄의 사고 실험과 그들의 실험적 깨달음은 그 문제들이 철학적인 것만은 아니라는 것을 암시합니다.

세 가지 문제는 다음과 같습니다.

1. 퍼텐셜이 "물리적"인지 또는 단순히 힘장을 계산하기 위한 편리한 도구인지 여부.
2. 행동 원칙의 기본 여부
3. 지역성의 원칙

이와 같은 이유로 뉴사이언티스트지는 아하로노프-봄 효과를 "양자 세계 7대 불가사의" 중 하나로 선정했습니다.^[9]

잠재력 대 필드

일반적으로 아하로노프-봄 효과는 양자역학에서 전자기 퍼텐셜인 φ와 A의 물리성을 나타낸다고 주장됩니다. 고전적으로, 전자기장만이 물리적인 반면, 전자기 퍼텐셜은 순수하게 수학적인 구조이며, 게이지 자유로 인해 주어진 전자기장에 대해 유일하지 않다고 주장할 수 있었습니다.

그러나 베이드먼은 전자기장을 생성하는 소스 전하에 완전한 양자역학적 처리를 하는 한 전위를 사용하지 않고도 아하로노프-봄 효과를 설명할 수 있다는 것을 보여줌으로써 이러한 해석에 도전했습니다.^[10] 이 관점에 따르면 양자역학에서의 잠재력은 고전적으로 그랬던 것처럼 물리적(또는 비물리적)입니다. Aharonov, Cohen 및 Rohrlich는 그 효과가 로컬 게이지 전위 또는 비 로컬 게이지 불변 필드 때문일 수 있다고 응답했습니다.^[11]

2017년 피지컬 리뷰 A 저널에 발표된 두 편의 논문에서 이 시스템에 대한 양자역학적 해결책이 입증되었습니다. 이들의 분석에 따르면 위상 이동은 전자에 작용하는 솔레노이드의 벡터 전위 또는 전자에 작용하는 전자의 벡터 전위 또는 양자화된 벡터 전위에 작용하는 전자 및 솔레노이드 전류에 의해 생성되는 것으로 볼 수 있습니다.^[12][13]

글로벌 액션 대 로컬 포스

마찬가지로, 아하로노프-봄 효과는 에너지에 기초한 동역학에 대한 라그랑지안 접근법이 힘에 기초한 뉴턴 접근법에 대한 단순한 계산적 도움이 아니라는 것을 보여줍니다. 따라서 아하로노프-봄 효과는 힘이 물리학을 공식화하는 불완전한 방법이며, 대신 위치 에너지를 사용해야 한다는 견해를 입증합니다. 사실 리처드 파인먼은 전자기장의 관점에서 전자기학을 배웠다고 불평했고, 그는 말년에 이것이 더 근본적인 것이기 때문에 대신 전자기 퍼텐셜의 관점에서 생각하도록 배웠으면 좋겠다고 말했습니다.^[14] 역학에 대한 파인만의 경로 적분 관점에서, 전위장은 전자파 함수의 위상을 직접적으로 변화시키며, 이러한 위상의 변화가 측정 가능한 양으로 이어집니다.

전자파 효과의 국소성

Aharonov–Bohm 효과는 국소 E 및 B 필드에 전자기장에 대한 완전한 정보가 포함되어 있지 않으며, 대신 전자기 4-전위인 (φ, A)를 사용해야 함을 보여줍니다. 스톡스의 정리에 의해, 아하로노프-봄 효과의 크기는 전자기장만을 사용하거나 4-전위를 사용하여 계산될 수 있습니다. 그러나 전자기장만을 사용하는 경우, 그 효과는 시험 입자가 배제된 영역의 필드 값에 따라 달라집니다. 반대로, 4-전위만 사용하는 경우, 효과는 시험 입자가 허용되는 영역의 전위에만 의존합니다. 따라서 대부분의 물리학자들이 꺼리는 국소성의 원리를 포기하거나 전자기 4-전위가 전기장과 자기장보다 전자기학을 더 완벽하게 설명한다는 사실을 받아들여야 합니다. 반면, Aharonov-Bohm 효과는 결정적으로 양자 역학적입니다. 양자 역학은 비국소적 효과를 특징으로 하는 것으로 잘 알려져 있으며(아직 초광속 통신을 허용하지 않지만), Vaidman은 이것이 다른 형태의 비국소적 양자 효과일 뿐이라고 주장했습니다.^[10]

고전 전자기학에서 두 설명은 동등했습니다. 하지만 양자 이론의 추가로 전자기 퍼텐셜 φ와 A가 더 기본적인 것으로 여겨집니다. 그럼에도 불구하고 관측 가능한 모든 효과는 전자기장인 E와 B로 표현할 수 있습니다. 흥미로운 것은 4-전위에서 전자기장을 계산할 수 있지만 게이지 자유도로 인해 그 반대가 사실이 아니기 때문입니다.

자기 솔레노이드 효과

자기 아하로노프-봄 효과는 자기 벡터 전위 $A{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가 일부를 형성하는 전자기 전위에 대한 게이지 선택과 관련하여 양자 물리학이 불변해야 한다는 요구 사항의 결과로 볼 수 있습니다.

전자기 이론은 전하 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$를 갖는 입자가 자기장 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$가 0인 영역에서$$ 일부 $경로{\displaystyle }$ P ${\displaystyle P}$를 따라 이동한다는$$ 것을 의미합니다$.$ 그러나 $0$이 아닌 A ${\displaystyle \mathbf {A}($${\displaystyle B}$ = 0 ∇ × $A$ {\$displaystyle \mathbf$ {B} =$\mathbf$ {$0$} =\n$bla \times \mathbf {A}}),$ SI$단위$로 주어진 위상 이동$$$φ$ {\displaystyle \varphi}를 획득합니다$.$

${\displaystyle \varphi ={\frac {q}{\hbar}}\int _{P}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {x},}$

따라서 시작점과 끝점이 같은 입자는 그러나 두 가지 다른 경로를 따라 이동하면 경로 사이의 영역을 $자속$φ φ$$B ${\$displaystyle \Phi _{B}에 의해 결정되는 위상차$$δ {\displaystyle$$\varphi}가 획득됩니다(${\displaystyle 스토크스}$ ${\displaystyle 정리}$ 및$$∇ × $A$ = B {\displaystyle \n을${\displaystyle }$통해).$bla \times \mathbf {A}$ $=$\$mathbf {B})$이며 다음과 같이 주어집니다.

${\displaystyle \Delta \varphi ={\frac {q\,\Phi _{B}}{\hbar }}.}$

양자역학에서는 동일한 입자가 다양한 경로로 두 점 사이를 이동할 수 있습니다. 따라서 이 위상 차이는 이중 슬릿 실험(또는 등가물)의 슬릿 사이에 솔레노이드를 배치하여 관찰할 수 있습니다. 이상적인 솔레노이드(즉, 무한히 길고 완벽하게 균일한 전류 분포를 가진)는 자기장 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$를 둘러싸고$$있지만 실린더 외부에서 어떤 자기장도 생성하지 않으며 따라서 하전 입자(예: 전자) 외부를 통과할 때 자기장 $B{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$이(가) 없습니다$.$ (이 이상화는 분석을 단순화하지만 전자 경로 외부에서 자속이 돌아온다면 Aharonov-Bohm 효과가 의존하지 않는다는 것을 깨닫는 것이 중요합니다. 예를 들어, 한 경로는 토로이드 솔레노이드를 통과하고 다른 경로는 그 주변을 통과하고 솔레노이드는 외부 자기장을 생성하지 않도록 차폐됩니다.) 그러나 솔레노이드 외부에는$$ (컬이 없는) 벡터 $전위{\displaystyle \mathbf{}}$ A$${\$displaystyle \mathbf {A}$가 있고, 따라서 한 슬릿 또는 다른 슬릿을 통과하는 입자의 상대적 위상은 솔레노이드 전류가 켜지거나 꺼지는지에 따라 변경됩니다. 이는 관측 평면에서 관측 가능한 간섭 무늬의 이동에 해당합니다.

초전도 루프에서 양자화된 플럭스 요구 사항은 동일한 위상 효과에 기인합니다. 이 양자화는 초전도 파동 함수가 단일 값이어야 하기 때문에 발생합니다. 위상차$$δ φ${\displaystyle$ \Delta \varphi}는 폐루프 주변에서 2$$π {\displaystyle 2\pi}의 ${\displaystyle \mathrm{정수}}$배여야 합니다(전자 쿠퍼 쌍의 경우$$ q = 2 e {\$display$q = 2e}). 따라서 플럭스는 $h{\displaystyle /\mathrm{2e}}$ ${\displaystyle h/2e}$의 배수여야 합니다$.$ 초전도 플럭스 양자는 실제로 F에 의해 Aharonov와 Bohm 이전에 예측되었습니다. 현상학적 모델을 사용한 1948년 런던.^[16]

최초로 주장된 실험적 확인은 Robert G에 의한 것이었습니다. 1960년 얇은 철 수염에 의해 생성된 자기장을 가진 전자 간섭계에서 ^[17][18]체임버스와 다른 초기 연구는 Olariu와 Popèscu(1984)에 요약되어 있습니다.^[19] 그러나 이후의 저자들은 전자가 자기장으로부터 완전히 차폐되지 않았을 수 있기 때문에 이러한 초기 결과 중 몇 가지의 타당성에 의문을 제기했습니다.^{[20][21][22][23][24]} (초전도 필름의 도움으로) 전자 경로에서 자기장을 완전히 배제함으로써 명확한 아하로노프-봄 효과가 관찰된 초기 실험은 1986년 Tonomura et al.에 의해 수행되었습니다.^[25][26] 그 효과의 범위와 적용 범위는 계속해서 확대되고 있습니다. Webb 등(1985)^[27]은 일반적인 비초전도 금속 고리에서 Aharonov-Bohm 진동을 시연했습니다. 논의는 Schwarzchild(1986)^[28]와 Imry & Webb(1989)를 참조하십시오.^[29] Bachtold et al. (1999)^[30]은 탄소 나노튜브에서 효과를 감지했습니다. 논의는 Kong et al.을 참조하십시오. (2004).^[31]

모노폴과 디랙 스트링

자기적 아하로노프-봄 효과는 전기 전하와 자기 전하를 양자화할 경우 자기적 단극의 존재가 기존의 자기원이 없는 맥스웰 방정식에 의해 수용될 수 있다는 디랙의 주장과도 밀접한 관련이 있습니다.

자기 모노폴은 벡터 전위에 수학적 특이점을 의미하며, 이는 모노폴 "전하" g에서 나오는 4개의 πg 플럭스의 등가물을 포함하는 무한소 직경의 디랙 스트링으로 표현될 수 있습니다. Dirac 문자열은 자기 단극에서 시작하여 끝납니다. 따라서 이 임의의 특이점 선택에 의한 무한 범위 산란 효과가 없다고 가정하면 단일 값 파동 함수의 요구 사항(위와 같이)은 전하 양자화를 필요로 합니다. $즉$, 2 ${\displaystyle \frac{q_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{m_{}}{}}$ℏ c {\$displaystyle 2{\frac$ {$q_{\text{e}}q_{\$text{$m}}{\$hbar c}}는 모든 전하 q 및 자기 전하 q에 대해 정수(cgs 단위)여야 합니다.

디랙 스트링은 전자기 퍼텐셜 A와 마찬가지로 게이지 불변이 아니므로(게이지 변환 아래 고정된 엔드포인트로 이동) 직접 측정할 수도 없습니다.

전기효과

파동함수의 위상이 자기벡터 퍼텐셜에 의존하는 것처럼 스칼라 전기퍼텐셜에도 의존합니다. 정전기 전위가 입자의 두 경로에 대해 0의 전기장 영역을 통해 변화하는 상황을 구성함으로써 위상 이동에서 관찰 가능한 Aharonov-Bohm 간섭 현상이 예측되었습니다. 다시 말하지만, 전기장이 없다는 것은 고전적으로 아무런 영향도 없다는 것을 의미합니다.

슈뢰딩거 방정식에서 에너지 $E$ ${\displaystyle$ E$}$를 갖는 고유함수의 위상은 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\mathrm{Et}}^{}}$/$$ℏ {\$displaystyle$e^{-iEt$/\backslash$hbar }입니다. 그러나 에너지는$전하$ $q가 {\displaystyle$q}인 입자의 $정전기량$V ${\displaystyle$ V}에 의존합니다. 특히, 일정한 전위 $V{\displaystyle }${\$displaystyle$ V$}($제로 필드)가 있는 영역의 경우 전위 에너지 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle qV}$가 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ E$}$에 추가되기만$$하면 위상 이동이 발생합니다.

${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {qVt}{\hbar }},}$

여기서 퍼텐셜에 머무르는 시간입니다.

이 효과에 대한 초기 이론 제안은 전하가 두 경로를 따라 전도 실린더를 통과하는 실험을 제안했는데, 이 실험은 입자가 이동하는 지역의 외부 전기장으로부터 보호하지만 실린더를 충전함으로써 시간 의존적 전위를 인가할 수 있게 합니다. 그러나 이것은 실현하기 어려운 것으로 판명되었습니다. 대신, 터널 장벽에 의해 중단된 링 기하학을 포함하는 다른 실험이 제안되었으며, 두 반의 링의 전위와 관련된 일정한 바이어스 전압 V가 있습니다. 이러한 상황은 위와 같이 Aharonov-Bohm 위상 이동을 초래하며, 비록 전하가 바이어스 전압에 의해 생성된 전기장을 통과하는 설정에서 1998년에 실험적으로 관찰되었습니다. 원래 시간 의존적인 전기 Aharonov–Bohm 효과는 아직 실험적 검증을 찾지 못했습니다.^[32]

중력효과

중력 퍼텐셜에 의한 Aharonov-Bohm 위상 변이도 이론적으로 관측이 가능해야 하는데, 2022년^[33][34][35] 초에는 2012년부터 실험 설계를 바탕으로 관측하는 실험이 진행되었습니다.^[36][37] 실험에서는 진공관 안에서 중첩된 초냉 루비듐 원자를 수직으로 발사한 뒤 레이저로 쪼개어 한 부분이 다른 부분보다 더 높이 올라가도록 한 뒤 다시 재결합하는 방식으로 진행했습니다. 맨 위의 챔버 외부에는 중력 퍼텐셜을 변화시키는 축 대칭 질량이 있습니다. 따라서, 더 높은 곳으로 가는 부분은 파장 패킷이 재결합하여 측정 가능한 위상 이동을 초래할 때 간섭 패턴으로 나타나는 더 큰 변화를 경험해야 합니다. 측정값과 예측값이 일치한다는 증거가 팀에 의해 발견되었습니다. 다른 여러 테스트가 제안되었습니다.^{[38][39][40][41]}

비-아벨리안 효과

1975년 우타이선과 양첸닝은 비-아벨리안 아하로노프-봄 효과를 공식화했고,^[42] 2019년에는 전자파 기능이 아닌 광파가 있는 시스템에서 이를 실험적으로 보고했습니다. 그 효과는 두 가지 다른 방법으로 만들어졌습니다. 어떤 빛은 강한 자기장의 결정을 통과했고 또 다른 빛은 시간 가변 전기 신호를 사용하여 변조되었습니다. 두 경우 모두 위상 이동이 시간의 전후 방향에 따라 다른 간섭 패턴을 통해 관찰되었습니다.^[43][44]

아하로노프-봄 나노 고리

나노 링은 양자점을 만들려다 우연히^[45] 생긴 것입니다. 그들은 여기자와 아하로노프-봄 효과와 관련된 흥미로운 광학적 특성을 가지고 있습니다.^[45] 광 커패시터 또는 버퍼로 사용되는 이러한 링의 응용에는 포토닉 컴퓨팅 및 통신 기술이 포함됩니다. 메조스코픽 링의 기하학적 위상 분석 및 측정이 진행 중입니다.^[46][47][48] 그것들은 심지어 느린 유리의 형태를 만드는 데 사용될 수 있다고 제안됩니다.^[49]

2012년에 보고된 일부 실험을 포함한 여러 실험은 CDW 전류 대 자속의 Aharonov-Bohm 진동을 보여줍니다. CDW는 77K 이상의 원주에서 최대 85 µm의 주기 h/2e 고리까지 지배적입니다. 이 동작은 초전도 양자 간섭 소자의 동작과 비슷합니다(SQUID 참조).

수학적 해석

이 섹션은 검증을 위해 추가 인용이 필요합니다. 이 섹션의 신뢰할 수 있는 출처에 인용문을 추가하여 이 기사를 개선하는 데 도움을 주시기 바랍니다. 출처가 없는 자료는 이의를 제기하여 제거할 수 있습니다. (2012년 10월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기에 대해 알아봅니다.)

아하로노프-봄 효과는 파동함수의 절대값만을 측정할 수 있다는 사실로부터 이해할 수 있습니다. 이를 통해 양자간섭 실험을 통해 위상차를 측정할 수 있지만 절대 위상이 일정한 파동함수를 특정할 수 있는 방법은 없습니다. 전자기장이 없는 경우, 운동량이 0인 운동량 연산자의 고유함수를 함수 "1"로 선언하고(정규화 문제를 무시함), 이 고유함수 "1"과 관련된 파동함수를 지정함으로써 근접할 수 있습니다. 이 표현에서 ${\displaystyle i-}$momentum 연산자는 (최대 인자$$ℏ / i $displaystyle \$hbar / i}) ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}{\displaystyle {연산자}_{}}$ ∂ ${\displaystyle \frac{i^{}}{}}$ = ∂ ∂$x$ {\$displaystyle$ \partial _{i}={\frac {\partial }{\i}}}입니다. 그러나 게이지 불변성에 의해, i-momentum 연산자(${\displaystyle {최대}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$를${\displaystyle {}_{}}$∂ $i$ =$$ϕ$i$ + i (∂ i ∇) {\displaystyle \n으로 표현하는 비용으로 영 운동량 고유함수를 $e{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle i^{}}$ϕ (x ) {\$displaystyle$ e$^{-i\$phi (x))}로 선언하는 것도 마찬가지로 유효합니다.$abla_{i}=\partial _{i}+i(\partial$ _{i}\phi )} 즉, 순수 게이지 벡터 퍼텐셜 $A$ = d ϕ {\displaystyle A$$= d\phi}입니다. 전자를 후자의 관점에서 나타내는 것은 전자의 관점에서 후자를 나타내는 것만큼 지저분하기 때문에 실제 비대칭은 없습니다. 이는 미분기하학 언어로 파동 "함수"를 에르미트 메트릭과 U(1) 연결 ∇ ${\displaystyle$ \n이 있는 복잡한 선 번들의 섹션으로 설명하는 것이 물리적으로 더 자연스럽다는 것을 의미합니다.$abla}.$연결의 곡률 형태, $만약$ ${\displaystyle F}$ $=$$$$∇ ∧ ∇$ {\displaystyle $iF$$=$\n$bla \wedge \n$$abla},$즉, 인자 i까지, 전자기장 세기의 패러데이 텐서. 그러면 아하로노프-봄 효과는 0 곡률(즉, 평평함)을 가진 연관성이 0 곡률(즉, 필드가 없는) 영역에 완전히 포함된 위상적으로 사소한 경로를 따라 단색을 가질 수 있기 때문에 사소한 것일 필요가 없다는 사실의 표현입니다. 정의에 따르면 위상적으로 사소하지 않은 경로를 따라 평행하게 변환된 섹션은 위상을 선택하므로 공변 상수 섹션을 필드가 없는 전체 영역에서 정의할 수 없습니다.

사라지지 않는 구간인 선-bundle의 활성화가 주어지면, U(1)-연결은 전자기 4-potential ${\displaystyle A}$에 해당하는 1-형태로$$∇ = d + i A ${\displaystyle$ \n로 주어집니다.$abla$ $=$ d+$iA$\,} 여기서 d는 민코프스키 공간에서의 외부 유도를 의미합니다. 모노드로미는 평면 연결의 홀로노미입니다. 닫힌 루프$$γ {\displaystyle$$\${\displaystyle {gamma}^{}}$} 주변의 연결의 완전성(평탄성이든 비평탄성이든${\displaystyle {{}_{}}^{}}$은 e$$∫ γ A {\displaystyle e^{i\int_{\gamma}A}입니다.(이것은 트리비전화에 의존하지 않고 연결에만 의존한다는 것을 보여줄 수 있습니다.) 평면 연결의 경우 단순히 연결된 필드 자유 영역(파동 함수 및 연결에 작용)에서 벡터 전위를 측정하는 게이지 변환을 찾을 수 있습니다. 그러나 단색이 사소하지 않은 경우 외부 영역 전체에 대해 그러한 게이지 변환이 없습니다. 실제로 스톡스 정리의 결과로 홀로노미는$루프$ γ$displaystyle$ \gamma}를 경계로 하는 표면$$σ ${\$displaystyle$$\sigma}를 통한 자속에 의해 결정되지만 이러한 표면은$$σ {\displaystyle \sigma}가 사소한 필드가 아닌 영역을 통과하는 $경우에만$할 수 있습니다.

${\displaystyle e^{i\int_{\partial \sigma }A}=e^{i\int_{\sigma }dA}=e^{i\int_{\sigma }F}}$

플랫 연결의 모노드로미는 필드 자유 영역(사실은 루프 상동성 클래스)에서 루프의 위상 유형에만 의존합니다. 그러나 홀로노미 설명은 일반적이며 초전도체 내부뿐만 아니라 외부에서도 작동합니다. 자기장이 포함된 전도관의 바깥쪽에서, 자기장 $세기$ F = ${\$displaystyle F = 0}입니다. 즉, 관 밖에서는 연결이 평평하고, 자기장이 없는 영역에 포함된 루프의 단색성은 관 주위의 감김수에만 의존합니다. 한 바퀴 도는 고리 연결부의 단방향(1번 감김)은 자기장을 포함하는 초전도관의 좌우로 전파되어 간섭하는 입자의 위상차입니다. 초전도체 내부의 물리학을 무시하고 외부 영역의 물리학만 기술하고 싶다면, 양자전자를 "외부" 평면 $연결$∇ {\displaystyle\n이 있는 복잡한 선다발의 섹션으로 기술하는 것이 자연스럽고 수학적으로 편리해집니다.모노드로미가 있는$$ $}개$의.

${\displaystyle \alpha }$ $=$${\$displaystyle$$\al${\displaystyle p}$ha =} 튜브를 통과하는 자속${\displaystyle }$/ (ℏ / e ) {\displaystyle (\hbar / e)}

외부 전자파 필드 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$보다는$$슈뢰딩거 방정식은 (자유) 해밀토니안에 대한 연결의 라플라시안을 사용하여 이 상황에 쉽게 일반화됩니다.

$1}{2m$$abla^{*}\n$$블라$

마찬가지로 튜브에서 감지 화면 쪽으로 또는 멀리로 절단된 두 개의 간단히 연결된 영역에서 작업할 수 있습니다. 이러한 각 영역에서 일반적인 자유 슈뢰딩거 방정식을 풀어야 하지만, 한 영역에서 다른 영역으로 통과할 때 교차점의 두 연결된 구성 요소 중 하나에서만(효과적으로 슬릿 중 하나에서만) 단색 인자 ${\displaystyle e^{}}$ ${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$가 선택됩니다. 이것은 한 사람이 플럭스를 변화시킴에 따라 간섭 패턴의 이동을 초래합니다.

수학적 해석이 비슷한 효과는 다른 분야에서도 찾아볼 수 있습니다. 예를 들어, 고전 통계 물리학에서 확률적 환경에서 분자 운동 운동의 양자화는 제어 매개 변수의 공간에서 작용하는 게이지 필드에 의해 유도되는 아하로노프-봄 효과로 해석될 수 있습니다.^[51]

참고 항목

참고문헌

더보기

• D. J. Thouless (1998). "§2.2 Gauge invariance and the Aharonov–Bohm effect". Topological quantum numbers in nonrelativistic physics. World Scientific. pp. 18ff. ISBN 978-981-02-3025-8.

외부 링크

• Aharonov–Bohm 효과에 대한 David Bohm Society 페이지.