란초스 텐서

Lanczos 텐서 또는 Lanczos 퍼텐서는 ^[1]와일 텐서를 생성하는 일반 상대성 이론의 3등급 텐서이다.그것은 1949년 ^[2]Cornelius Lanczos에 의해 처음 소개되었다.Lanczos 텐서의 이론적 중요성은 전자기 4전위가 전자기장을 ^[3]^[4]생성하는 것과 같은 방식으로 중력장의 게이지장 역할을 한다는 것입니다.

정의.

Lanczos 텐서는 몇 가지 다른 방법으로 정의할 수 있습니다.가장 일반적인 현대적 정의는 Weyl-Lanczos 방정식을 통해 Lanczos ^[4]텐서로부터 Weyl 텐서의 생성을 보여준다.아래에 제시된 방정식은 ^[1]1964년에 다케노에 의해 제시되었다.랭조스가 텐서를 처음 도입한 방법은 일반상대성이론에 ^[6]대한 변분적 접근법에서 연구된 제약조건에 대한 라그랑주^[2]^[5] 승수였다.어떤 정의에서도 Lanczos 텐서 H는 다음과 같은 대칭을 나타낸다.

H_{abc}+H_{bac}=0,

H_{abc}+H_{bca}+H_{cab}=0.

Lanczos 텐서는 항상 4차원으로^[7] 존재하지만 더 높은 ^[8]차원으로 일반화되지는 않습니다.이것은 4차원의 ^[3]특수성을 강조합니다.전체 리만 텐서는 일반적으로 란초스 전위만의 ^[7]^[9]도함수로부터 도출될 수 없다는 점에 유의하십시오.아인슈타인 장 방정식은 리치 분해의 성분을 완성하기 위해 리치 텐서를 제공해야 한다.

커트라이트 필드는 Lanczos 텐서와 유사한 게이지 변환 역학을 가진다.그러나 Curtright 필드는 임의의 치수 > 4D로 ^[10]존재합니다.

바일-랑초스 방정식

와일-랑조스 방정식은 와일 텐서를 전적으로 랑조스 ^[11]텐서의 도함수로 표현한다.

C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+(H^{e}{}_{(ac);e}+H_{(a }{e}^{}_{;c)}g_{bd}+(H^{e}{}_{(bd);e}+H_{(b e }{}^{e}_{;d)}g_{ac}-(H^{e}{}_{(ad);e}+H_{(a }{e}^{}_{;d)}g_{bc}-(H^{e}{}_{(bc);e}+H_{(b e } {}^{e}_{;c)}}g_{ad}-{\frac {2}{3}}H^{ef}{{f;e}(g_{ac}g_{bd}-g_{ad}g_{bc})

$C_{abcd}$ 서 C a $C_{abcd}$ $C_{abcd}$ \ $displaystyle C_{abcd}$ 는 $C_{{abcd}}$ Weyl 텐서이고 세미콜론은 공변 도함수를 나타내며 첨자 괄호는 대칭화를 나타낸다.위의 방정식을 사용하여 Lanczos 텐서를 정의할 수 있지만, 이는 또한 고유하지 않고 오히려 아핀 ^[12]군에서 게이지 자유도를 갖는다는 것을 보여줍니다. $\Phi ^{a}$ a $\Phi ^{a}$ {\ $displaystyle \Phi ^{a$ }}이(가) 임의의 벡터 필드인 경우, Weyl-Lanczos 방정식은 게이지 변환에서 불변합니다.

H'_{abc}=H_{abc}+\Phi _{[a]g_{b]c}

여기서 괄호는 반대칭임을 나타냅니다. $H'_{ab}{}^{b}=0.$ 편리한 선택은 Lanczos 대수 게이지인 $\Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},$ a $=$ - $\Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},$ $\Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},$ H $\Phi _{a}=-{\frac {2}{3}}H_{ab}{}^{b},$ $H'_{ab}{}^{b}=0.$ $,$ {\ $displaystyle \Phi$ _ ${a$ }=-{\ $frac {2}{3}$ $H'_{ab}{}^{b}=0.$ ${ab}{b$ H $= 0.$ { $displaystyle$ H $'{b$ }^{b $}$ 이다.} 이 $H'_{ab}{}^{b}=0.$ 게이지는 Lanczos $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ H $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ b $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ ; $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ c $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ = $0$ {\ $display$ style $H_$ {ab $}{c}_{;c}=$ 0 $H_{ab}{}^{c}{}_{;c}=0$ 을(를) 통해 추가로 제한할 수 있습니다 $.$ 이러한 게이지 선택은 Weyl-Lanczos 방정식을 보다 단순한 형태로 감소시킵니다.

C_{abcd}=H_{abc;d}+H_{cda;b}+H_{bad;c}+H_{dcb;a}+H^{e}_{ac;e}g_{bd}+H^{e}_{bd;e}g_{ac}-H^{e}{}_{ad;e}g_{bc}-H^{e}{}_{bc;e}g_{ad}.

파동 방정식

랭조스 전위 텐서는 파동^[13] 방정식을 만족한다.

{\displaystyle\begin{aligned}\Box H_{abc}=&J_{abc}\\&{}-2{R_{c}}^{d}H_{abd}+{R_{a}}^{d}H_{bcd}+{R_{b}}^{d}H_{acd}\\&{}+\left(H_{dbe}g_{ac}-H_{dae}g_{bc}\오른쪽)R^{de}+{\frac {1}{2}}RH_{abc},\end{aligned}}

여기서 $◻$ {\ $displaystyle \Box}$ 는 $\Box$ 달랑베르 연산자이고

{displaystyle J_{abc}=R_{ca;b}-R_{cb;a}-{\frac {1}{6}\left(g_{ca}-g_{cb}R_{;a}\right)

코튼 텐서로 알려져 있습니다.면 텐서는 리치 텐서의 공변 도함수에만 의존하기 때문에, 아마도 물질 ^[14]전류의 한 종류로 해석될 수 있다.추가 자가 결합 항에는 직접적인 전자파 등가물이 없습니다.그러나 이러한 자가 결합 항은 Ricci 텐서가 사라지고 곡률이 전적으로 Weyl 텐서로 설명되는 진공 용액에 영향을 미치지 않습니다. $\Box A_{a}=0$ 진공 상태에서 아인슈타인 장 방정식은 균질파 방정식 $\Box H_{abc}=0,$ $\Box H_{abc}=0,$ $\Box H_{abc}=0,$ b $\Box H_{abc}=0,$ $\Box H_{abc}=0,$ , $\Box H_{abc}=0,$ { $displaystyle \Box$ $H_$ ${abc$ } $◻$ $\Box H_{abc}=0,$ $0$ , $\Box A_{a}=0$ 0 $\Box A_{a}=0$ , )과 $\Box H_{{abc}}=0,$ $\Box A_{{a}}=0$ 완전히 유사합니다.이것은 중력파와 전자파 사이의 형식적인 유사성을 보여주며, Lanczos 텐서는 중력파를 ^[15]연구하기에 적합하다.

$g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ a $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ a $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ + $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ b + h a $g_{ab}=\eta _{ab}+h_{ab}$ b { $displaystyle$ g $_$ { $ab$ } = \ $eta$ _ { $ab}$ + h $_$ { $ab$ 인 약자장 근사에서는 Lanczos 게이지에서^[14] Lanczos 텐서의 편리한 형태는 다음과 같다.

({displaystyle 4H_{abc}\approx h_{ac,b}-h_{bc,a}-{\frac {1}{6})({ac}{h^{d}-\eta_{bc}{d}_{d,a}).}

예

랭조스 텐서를 표현하기 위한 가장 기본적인 비중요한 사례는 물론 슈바르츠실트 ^[4]측정법에 관한 것이다.이 경우 Lanczos 텐서에 대한 자연 단위에서 가장 간단하고 명시적인 성분 표현은 다음과 같다.

(\displaystyle H_{trt}=black {GM}{r^{2}}})

다른 모든 구성요소는 대칭까지 사라집니다.그러나 이 형식은 Lanczos 게이지에 없습니다.Lanczos 게이지에서 Lanczos 텐서의 사라지지 않는 용어는 다음과 같습니다.

{\displaystyle H_{trt}=1200frac {2}GM}{3r^{2}}}}:

(\displaystyle H_{r\theta \theta } = frac {-GM} {3 (1-2GM/r)}}

H_{r\phi \phi }=snfrac {-GM\sin ^{2}\theta }{3(1-2GM/r)}

이 간단한 경우에서도 랭커스 텐서가 일반적으로 뉴먼-펜로즈 형식주의의 스핀 계수의 선형 조합으로 축소될 수 없다는 것을 보여줄 수 있으며, 이는 랭커스 텐서의 기본 ^[11]특성을 증명한다.유사한 계산이 임의의 Petrov 타입 D ^[16]솔루션을 구축하는 데 사용되었습니다.

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레퍼런스

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외부 링크

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