상관 함수(수량장 이론)

양자장 이론에서 상관관계 또는 그린의 함수로 흔히 언급되는 상관관계 함수는 필드 연산자의 시간 순서가 정해진 제품의 진공 기대값이다. 그것들은 S-매트릭스 원소와 같은 다양한 관측 가능성의 계산에 사용될 수 있는 양자장 이론의 핵심 연구 대상이다.

정의

스페이스타임의 모든 $\phi (x)$ (x)에서 $|\Omega \rangle$ 단일 필드 $\phi (x)$ (x $\phi (x)$ ) $\phi(x)$ 및 진공 $\phi (x)$ 상태 $|\Omega \rangle$ $|\Omega \rangle$ $\Oomega \rangele}$ 을(를) $갖는$ 스칼라 필드 이론의 경우, n 포인트 상관 함수는 하이젠베르크 사진에서 n ${\daysty$ } 필드 $n$ 연산자의 시간 순서 제품의 진공 기대값이다.쐐기풀을 박다

G_{n}(x_{1},\dots,x_{n})=\langle \Oomega T\{{\mathcal {\\\phi{1}}\mathcal {\\\phi }}}\mathcal {}}\mathcale.

여기서 $T\{\cdots \}$ { $T\{\cdots \}$ {\ $displaystyle$ T\{\ $cdots$ \}}은 필드 연산자를 주문하여 더 이른 시간 필드 연산자가 나중에 시간 필드 연산자의 오른쪽에 나타나도록 하는 시간 순서 연산자다 $T\{\cdots \}$ . 필드와 상태를 상호 작용 그림으로 변환함으로써, 이것은 다음과^[1] 같이 다시 쓰여진다.

G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\langle 0 T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\} 0\rangle }{\langle 0 e^{iS[\phi ]} 0\rangle }},

여기서 $|0\rangle$ $|0\rangle$ $0\rangele$ 은 $|0\rangle$ 자유 이론의 접지 상태이고 $S[\phi ]$ [ $S[\phi ]$ $S[\phi ]$ ${\displaystyle$ S $[\phi ]}$ 은 작용이다 $S[\phi ]$ . $e^{iS[\phi ]}$ 의 테일러 시리즈를 이용하여 $e^{iS[\phi ]}$ $e^{iS[\phi ]}$ $e^{iS[\phi ]}$ [ $e^{iS[\phi ]}$ ] $e^{iS[\phi ]}$ ] ${\$ e $^{iS[\phi ]}}}$ 을 확장하면, n-point 상관관계 함수는 Wick의 정리를 이용하여 평가할 수 있는 상호작용 그림 상관관계 함수의 합이 된다. 결과 합계를 나타내는 도식적인 방법은 파인만 도표를 통해 각 용어를 파인만 위치 공간 규칙을 사용하여 평가할 수 있다.

연결된 6점 상관 함수에 기여하는 연결된 파인만 다이어그램.

연결된 6포인트 상관 함수에는 기여하지 않는 분리된 파인만 다이어그램.

$\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ [ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ ${\displaystyle \langle$ 0 $e^{iS[\phi ]}$ 0 $\angle }$ 에서 발생하는 일련의 다이어그램은 모든 $\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ 진공 버블 다이어그램의 집합으로, 외부 다리가 없는 다이어그램이다. $한편$ , $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ ( $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ 1 $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ ) … $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ ( $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ n ) $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ S [ $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ ] $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ { { { \ $langle$ 0 \ $langle$ 0 \langle ( $x_{$ 1})\ $dots \phi$ ( $x_{n}e^{i$ $}}}$ e $n$ ^ 0 $\$ iS $[\$ $langele$ $}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ 는 가능한 모든 다이어그램 집합에 의해 주어진다 $\langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle$ . 여기에는 진공 버블이 있는 분리된 다이어그램도 포함되기 때문에 합은 (모든 버블 다이어그램에 대한 합계) $\times$ ${\displaystyle \times }($ 버블이 없는 모든 다이어그램의 합계)로 인수된다 $\times$ 그런 다음 첫 번째 항은 분모의 정규화 계수와 함께 취소되며, 이는 n 포인트 상관 함수가 진공 거품을 제외한 모든 파인만 다이어그램의 합이라는 것을 의미한다.

G_{n}(x_{1},\dots,x_{n})=\langle 0 T\{\phi(x_{1})\dots \phi(x_{n}e^{s[\phi ]}\0\rangele _{\text{nobuble}}.

진공 거품을 포함하지는 않지만, 최소 하나의 외부 다리가 연결된 경로를 통해 다른 모든 외부 다리에 연결되지 않는 다이어그램이 합계에 포함된다. 이 분리된 다이어그램 제외 대신 연결된 n-포인트 상관 함수를 정의함

{\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots{n,x_})=\langle 0T\{\phi(x_{1})\dots(x_{n})e^{iS[\phi]\phi}\}0\rangle _{\text{연결되어, 거품}}}.

으로 그들이 완전한 상관 관계 기능 연결된 도표의 이래로 모든 분리된 도형이 있다. 단지 제품이 포함된 모든 정보가 포함된 그것은 종종 직접 이들과 함께 일하는 것보다 더 낫다. 도표의 다른 세트 제외함으로써 사람one-particle 더 이상 줄일 수 없는 상관 관계 기능 등 다른 상관 관계 기능을 규정할 수 있다.

경로 적분 공식에서,n-point 상관 관계 기능은 기능적 평균으로 쓰여졌다.

G_{n}(x_{1},\dots{n,x_})={\frac{\int{\mathcal{D}}\phi)\phi(x_{1})\dots((x_{n})e^{iS[\phi]}}{\int{{D\mathcal}}\phi)e^{iS[\phi]}}}.

그들은, J{J\displaystyle}는 source-term는 것 때문에 상관 관계를 기능에 대한 발전 기능적 역할을 하는 파티션 기능 Z[J]{Z[J]\displaystyle}를 이용하여 평가될 수 있다.

G_{n}(x_{1},\dots{n,x_})=(-i)^{n}{\frac{1}{Z[J]}}{\frac{\delta ^{n}[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg}_{J=0}.

−, 목화로⁡ Z[J]{W[J]=-i\ln Z[J]\displaystyle}ln 마찬가지로, 연결되어 상관 관계 기능 W[J]을 사용하여)발생할 수 있다.

G_{n}(x_{1},\dots{n,x_})=(-i)^{n-1}{\frac{\delta ^{n}.W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}{\bigg}_{J=0}.

S-매트릭스와의 관계

산란 진폭 상관 관계 기능을 사용하여 산란 행렬에 LSZ축약 공식을 통해 그들에 계산될 수 있다.

{fSi\rangle\displaystyle \langle){\bigg[}i\int d^{4}x_{1}e^{-ip_{1}x_{1}}(\partial_{x_{1}}^{2}+m^{2}){\bigg]}\cdots.}\Omega T\{\phi(x_{n})\\phi(x_{1})\dots}\Omega \rangle{\bigg[}i\int d^{4}x_{n}e^{ip_{n}x_{n}}(\partial_{x_{n}}^{2}+m^{2}){\bigg]}\langle.

여기서 초기 상태 $|i\rangle$ $|i\rangle$ $i\rangele$ 의 입자는 $-i$ 에서 $-i$ - i $-i$ 기호를 $-i$ 가지며 $|i\rangle$ , 최종 상태 $|f\rangle$ $|f\rangle$ $f\rangele$ 의 입자는 $+i$ + i $+i$ 을 갖는다 $|f\rangle$ $+i$ Feynman 다이어그램의 상관함수의 모든 용어는 외부 다리 각각에 대해 하나의 전파기를 가지며, $x_{i}$ 는 x i ${\$ 에 한쪽 끝이 있는 전파기이고, 다른 $x_{i}$ 한쪽 끝은 일부 내부 $꼭지점$ x {\ $displaystyle$ x $}$ 에 있다 $x$ 이 공식의 중요성은 다음과 같은 외부 다리에 클라인-고든 연산자를 적용한 후 명확해진다.

{\displaystyle(\displaystyle _{x_{i}^{2}+m^{2})\델타 _{F}(x_{i},x)=-i\delta ^{4}(x_{i}-x).}

이것은 외부 다리 전파기를 제거하고 외부 상태를 표면화함으로써 도표를 절단한다고 한다. 상관 함수의 다른 모든 외부 기여는 사라진다. 결과 델타 함수를 통합한 후 LSZ 감소 공식에서 남는 것은 통합이 외부 레그 전파기가 부착된 $x$ 내부 지점 $위치$ x $x$ 위에 있는 푸리에 변환 작업일 뿐이다. 이 형태에서 감소 공식은 S-매트릭스가 외부 표면 상태와 절단된 상관관계 함수의 푸리에 변환이라는 것을 보여준다.

상관 함수의 푸리에 변환을 통해 정의된 모멘텀 공간 상관 ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ G ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ ~ ( ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ , ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ … ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ , ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ n ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$ ) ${\displaystyle$ {\ $tilde{G}(q_{1},\dots ,q_{n}})$ 를 직접 처리하는 것이 일반적이다 ${\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})$

(2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(q_{1}+\cdots +q_{n}){\tilde {G}}_{n}(q_{1},\dots ,q_{n})=\int d^{4}x_{1}\dots d^{4}x_{n}{\bigg (}\prod _{i=1}^{n}e^{-iq_{i}x_{i}}{\bigg )}G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}),

관례에 따라 모멘텀a가 다이어그램 안쪽으로 향한다. 산란 진폭을 계산할 때 유용한 수량은 매트릭스 요소 ${\mathcal {M}}$ ${\$ 을(를) 사용하여 정의한 것이다 ${\mathcal {M}}$ .

\langlef =i(2\pi )^{4}{4}{\Big(}\sum _{i_{i}{\Big )}{\mathcal{M}}}}

여기서 p $p_{i}$ ${\$ 는 $p_{i}$ 외부 모멘텀a이다. LSZ 감소 공식에서 매트릭스 요소는 적절한 방향의^[2] 외부 모멘트를 가진 절단된 연결된 모멘텀 공간 상관 함수와 동일하다는 것을 따른다.

i{\mathcal{M}={\tilde{G}_{n}^{c}(p_{1},\dots ,-p_{n}})_{\text{amputed}}}.

비스카라 이론의 경우 감소 공식은 광자에 대한 양극화 벡터 또는 페르미온에 대한 스피너 상태와 같은 외부 상태 용어도 도입한다. 연결상관함수의 사용 요건은 큰 분리에서 발생하는 산란과정이 서로 간섭하지 않기 때문에 별도로 취급할 수 있기 때문에 군집 분해 정리에서 발생한다.^[3]

참고 항목

참조

^ Schwartz, M.D. "7". Quantum Field Theory and the Standard Model (9 ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781107034730.
^ Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "12". Quantum Field Theory (2 ed.). John Wiley & Sons. p. 254. ISBN 9780471496847.
^ Weinberg, S. (1995). "16". The Quantum Theory of Fields Volume 1. Vol. 4. Cambridge University Press. p. 270. ISBN 9780521670531.

추가 읽기

알틀란드, A.; 시몬스, B. (2006) 응축 물질장 이론. 케임브리지 대학 출판부.
Schroeder, D.V.; Peskin, M. 양자장 이론 소개. 애디슨 웨슬리

[1] Schwartz, M.D. "7". Quantum Field Theory and the Standard Model (9 ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781107034730.

[2] Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "12". Quantum Field Theory (2 ed.). John Wiley & Sons. p. 254. ISBN 9780471496847.

[3] Weinberg, S. (1995). "16". The Quantum Theory of Fields Volume 1. Vol. 4. Cambridge University Press. p. 270. ISBN 9780521670531.

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