자기 벡터 퍼텐셜

고전 전자기학에서 자기벡터전위(종종 A라고 함)는 컬이 자기장과 같도록 정의된 벡터량이다: ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$ × ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$ $=$ B \ $textstyle$ \times \ $mathbf$ {A} =\ $mathbf$ {B} ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$ 자기벡터전위는 전위 δ와 함께 e로 지정할 수 있다.l. 따라서 많은 전자기 방정식을 필드 E와 B 또는 전위 θ와 A의 관점에서 동등하게 쓸 수 있다.양자역학 같은 더 진보된 이론에서, 대부분의 방정식은 장보다는 전위를 사용한다.

자기 벡터 전위는 프란츠 에른스트 노이만과 빌헬름 에두아르트 베버에 의해 각각 1845년과 1846년에 도입되었다.켈빈 경은 또한 1847년에 자기장과 ^[1]^[2]관련된 공식과 함께 벡터 퍼텐셜을 도입했다.

자기 벡터 퍼텐셜

자기 벡터 퍼텐셜 A는 다음 방정식에 ^[3]의해 전위 δ(스칼라 필드)와 함께 정의되는 벡터장이다.

\displaystyle \mathbf {B} =\displayla \times \mathbf {A} \,\display \mathbf {E} =-\displayla \phi -{\frac \mathbf {A},}

여기서 B는 자기장이고 E는 전기장이다.시간에 따라 변하는 전하 분포가 없는 정전기학에서는 첫 번째 방정식만 필요합니다.(전기역학에서는 자기벡터전위 및 스칼라전위라는 용어는 각각 자기벡터전위 및 전위를 의미한다.수학에서는 벡터 퍼텐셜과 스칼라 퍼텐셜을 더 높은 차원으로 일반화할 수 있습니다.)

만약 전기장과 자기장이 전위로부터 위와 같이 정의된다면, 그것들은 자동적으로 맥스웰의 두 가지 방정식, 즉 자기에 대한 가우스의 법칙과 패러데이의 법칙을 만족시킵니다.예를 들어, A가 어디에서나 연속적이고 잘 정의된 경우, 자기 단극이 발생하지 않도록 보장합니다.(자기 단극의 수학적 이론에서 A는 정의되지 않거나 일부 장소에서 다중 값이 허용됩니다. 자세한 내용은 자기 단극을 참조하십시오.)

위의 정의에서 시작하여 컬의 분산은 0이고 그라데이션의 컬은 0 벡터라는 것을 기억하십시오.

{\displaystyle{\begin{정렬}\nabla \cdot \mathbf{B}&=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf{A}\right)=0\\\nabla \times{E}및 \mathbf, =\nabla \times \left(-\nabla \phi-{\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}}\right)=-{\frac{\partial}{\partial지}}\left(\nabla \times \mathbf{A}\right)=-{\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial지}.}.\end { aligned}}

또는 헬름홀츠 정리를 사용하여 이 두 법칙에서 A와 θ의 존재를 보장한다.예를 들어, 자기장은 발산이 없기 때문에(자기장에 대한 가우스의 법칙, 즉δ $δ$ B = $0$ ), 위의 정의를 만족하는 A는 항상 존재합니다.

벡터 퍼텐셜 A는 고전 역학과 양자 역학에서 라그랑지안을 연구할 때 사용된다. (하전 입자에 대한 슈뢰딩거 방정식, 디락 방정식, 아하로노프-봄 효과 참조)

SI계에서 A의 단위는 V·s·m이며⁻¹ 단위전하당 운동량 또는 단위전류당 힘과 같다.최소 결합에서 qA는 전위 모멘텀이라고 불리며 표준 모멘텀의 일부입니다.

닫힌 루프 위의 A의 라인 적분인 δ는 다음과 같이 둘러싸인 표면 S를 통과하는 자속 δ와_B 동일합니다.

\displaystyle \point _{\Gamma }\mathbf {A},\cdot \mathbf {A}=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A},\cdot \mathbf {S} =\Phi _MathB} {A} =

따라서 A의 단위도 미터당 웨버와 같다.위의 방정식은 초전도 루프의 플럭스 양자화에 유용하다.

자기장 B는 의사벡터(축방향 벡터라고도 함)이지만 벡터 전위 A는 극방향 벡터 전위 A는 극 ^[4]벡터입니다.즉, 교차곱의 오른쪽 규칙이 왼쪽 규칙으로 대체되었지만 다른 방정식이나 정의를 변경하지 않으면 B는 부호를 바꾸지만 A는 변경되지 않습니다.일반적인 정리의 예를 다음에 나타냅니다.극 벡터의 컬은 의사 벡터이며, ^[4]그 반대도 마찬가지입니다.

게이지 선택

위의 정의는 자기 벡터 전위를 고유하게 정의하지 않습니다. 왜냐하면 정의에 따라 관측된 자기장을 변경하지 않고 자기 전위에 컬이 없는 구성요소를 임의로 추가할 수 있기 때문입니다.따라서 A를 선택할 때 어느 정도의 자유도가 있습니다.이 상태를 게이지 불변성이라고 합니다.

벡터 퍼텐셜에 관한 맥스웰 방정식

위의 전위 정의를 사용하여 다른 두 Maxwell 방정식(자동 만족되지 않는 방정식)에 적용하면 복잡한 미분 방정식을 얻을 수 있습니다. 여기서 A는 다음을 ^[3]만족하도록 선택됩니다.

{\displaystyle \cdot \mathbf {A} + {\frac {1} {c^{2}} {\frac {\frac \phi } {\frac t} = 0

로렌츠 게이지를 사용하면 맥스웰 방정식은 자기 벡터 전위 A와 전기 스칼라 전위 ^[3]θ의 관점에서 콤팩트하게 쓸 수 있습니다.

{argela ^{2}\phi - {\frac {1}{c^{2}}{\frac t^{2}\phi}{={\frac t^{rho}{\fracilon _{0}}\\\frac ^{\f} - {\frac

다른 게이지에서는 방정식이 다릅니다.(4 벡터를 사용하여) 이러한 동일한 방정식을 쓰기 위한 다른 표기법을 다음에 나타냅니다.

근원 분포에서의 전위 계산

경계 조건에 맥스웰 방정식의 로렌츠 게이지에 해결책은( 보Feynman[3]과 Jackson[5])그들이 있는 자기장 벡터 퍼텐셜 A(r, t)과 전기 스칼라 잠재력 ϕ(r, t)이 발달이 늦은 잠재력, 지금의 분포로 인해라고 불린다 무한대에 근접하는 모두가 잠재력 충분히 빨리 0으로 가o.f 글그렁거리다ent density J(r', t'), 전하 density θ(r', t') 및 부피 δ(적어도 때때로 또는 일부 장소에서는 θ와 J가 0이 아닌 경우):

{\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{A}\left(\mathbf{r},t\right)&, ={\frac{\mu_{0}}{4\pi}}}_{\Omega}{\frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r}',t'\right)\int}}\,\mathrm{d}{r}'\\\phi \left(\mathbf{r},t\right)& ^{3}\mathbf, ={\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}}\int _{\Omega}{\frac{\rho \left(\mathb-\mathbf{r}'\right{\left \mathbf{r}.f{r}의,t'\right)}{\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }},\mathrm {d}^{3}\mathbf {r} '\end {aligned}}}}

여기서 위치 벡터 및 시간 t의 필드는 이전 시간 tµ의 먼 위치 rµ의 소스로부터 계산된다.위치 r'은 전하 또는 전류 분포(볼륨 Ω 내의 적분 변수)의 소스 포인트입니다.이전 시간 tµ는 지연 시간이라고 불리며 다음과 같이 계산됩니다.

(\displaystyle t'=t-{\frac\left \mathbf {r} -\mathbf {r} '\right }{c}}).}

A와 calcul에 대해 다음과 같이 계산하면 몇 가지 주의할 점이 있습니다.

로렌츠 게이지 조건 ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ + ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ c ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ 0 { { $textstyle \ cdot$ \ $mathbf$ { $A$ } + { \ frac {1} { $c^$ { $2}}$ {\ $frac$ \ $phi$ } {\ flac \ $phi$ } {\ $flac$ t} $= 0}$ 이 ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$ 충족된다.
r의 위치, 즉 θ와 A의 값이 발견되는 지점은 r'에서 r까지의 스칼라 거리의 일부로서만 방정식에 들어갑니다.r to에서 r까지의 방향은 방정식에 포함되지 않습니다.근원지점에서 중요한 것은 얼마나 멀리 떨어져 있느냐이다.
integrand는 지연된 시간 tµ를 사용합니다.이것은 단순히 광원의 변화가 빛의 속도로 전파된다는 사실을 반영한다.따라서 원격 위치 r†에서 r 및 t에서의 전기 및 자기 전위에 영향을 미치는 전하 및 전류 밀도도 t† 이전이어야 한다.
A의 방정식은 벡터 방정식이다.데카르트 좌표에서 방정식은 세 개의 스칼라 ^[6]방정식으로 나뉩니다. $디스플레이 스타일A_{x}\left(\mathbf {r}, t\right)&=nt frac {{0}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r}'t'\right)}{\left} {\left} {\left \mathbfrf}A_ᆬ\left(\mathbf{r},t\right)&, ={\frac{\mu_{0}}{4\pi}}\int _ᆯᆰ\left(\mathbf{r}',t'\right)}{\left \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right}}\,\mathrm{d}^{3}\mathbf{r}'\\A_ᆶ\left(\mathbf{r},t\right)&, ={\frac{\mu_{0}}{4\pi}}\int _ᆹᆺ\left(\mathbf{r}',t'\right)}'-\mathbf{r}{\left \mathbf{r}.\right}},\mathrm {d}^{3}\mathbf {r} '\end {aligned}}}$ 이 형태에서 특정 방향의 A 성분이 동일한 방향의 J 성분에만 의존한다는 것을 쉽게 알 수 있다.전류가 긴 직선 와이어로 흐를 경우 A는 와이어와 동일한 방향을 가리킵니다.

다른 게이지에서는 A와 δ의 공식이 다릅니다. 예를 들어, 다른 가능성에 대해서는 쿨롱 게이지를 참조하십시오.

A필드 묘사

원단면의 트로이덜 인덕터 주위의 쿨롱 게이지 자기 벡터 전위 A, 자속 밀도 B 및 전류 밀도 J장을 나타낸다.선이 굵을수록 필드 선이 평균 명암을 더 많이 나타냅니다.코어 단면의 원은 그림에서 나오는 B필드를 나타내고, 더하기 부호는 그림으로 들어가는 B필드를 나타냅니다.∇

A

=

0

으로 가정했다

.

길고 얇은 솔레노이드 주변의 A 필드 묘사는 Feynman을^[7] 참조하십시오.

부터

\displaystyle \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}

예를 들어, 준정적 조건이라고 가정합니다.

{\frac E} {\partial t}}\to 0,\displayla \times \mathbf {A} = \mathbf {B} \,

A의 선과 등고선은 B의 선과 등고선이 J와 관련된 것처럼 B와 관련이 있다.따라서 B 플럭스 루프 주위의 A 필드 묘사는 (트로이덜 인덕터에서 생성되는 것과 같이) 전류 루프 주위의 B 필드 묘사와 질적으로 동일하다.

오른쪽에 있는 그림은 예술가가 그린 A 필드입니다.선이 굵을수록 평균 명암도가 높은 경로를 나타냅니다(경로가 짧을수록 명암도가 높아 경로 적분이 동일함).A필드의 전체적인 외관을 나타내기 위해 선을 긋는다.

도면은 암묵적으로θ $a$ A = $0$ 으로 가정하며, 다음 가정 중 하나에서 참이다.

쿨롱 게이지는 다음과 같이 가정한다.
로렌츠 게이지는 전하의 분포가 없다고 가정한다. $θ$ = $0$
로렌츠 게이지가 가정되고 주파수가 0이 가정됩니다.
로렌츠 게이지는 0이 아니지만 ${\textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ c ${\textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ { $textstyle$ \ $frac$ {1} ${c}$ {\ $frac$ \ $phi$ } {\ $partial$ t $}$ {\ frac \ partial t} {\ partial t} {\ frac }를 ${\textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$ 가정합니다.

전자파 4전위

특수 상대성 이론의 맥락에서, 자기 벡터 전위를 (스칼라) 전위와 함께 4전위라고도 불리는 전자기 전위에 결합하는 것은 자연스러운 일입니다.

그렇게 하는 한 가지 동기는 4전위가 수학적인 4벡터이기 때문입니다.따라서 표준 4벡터 변환 규칙을 사용하여 하나의 관성 기준 프레임에서 전기 및 자기 전위를 알 수 있는 경우 다른 관성 기준 프레임에서 간단히 계산할 수 있다.

또 다른 관련 동기는 특히 로렌츠 게이지를 사용할 때 고전 전자기기의 내용을 전자파 4전위를 사용하여 간결하고 편리한 형태로 쓸 수 있다는 것이다.특히 추상 지수 표기법에서는 맥스웰 방정식 세트(로렌츠 게이지)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

{\mu }A_{\mu }&=0\\\\Box A_{\mu }&=4\pi }{c}J_{\mu }\end{aligned}

여기서 □는 달랑베르티아어이고 J는 4 전류입니다.첫 번째 방정식은 로렌츠 게이지 조건이고 두 번째 방정식은 맥스웰 방정식을 포함합니다.4전위는 양자전기역학에서도 매우 중요한 역할을 한다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ Neumann, Franz Ernst (January 1, 1846). "Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme (General laws of induced electrical currents)". Annalen der Physik. 143 (11): 31–34. doi:10.1002/andp.18461430103.
^ Yang, ChenNing (2014). "The conceptual origins of Maxwell's equations and gauge theory". Physics Today. 67 (11): 45–51. Bibcode:2014PhT....67k..45Y. doi:10.1063/PT.3.2585.
^ ^a ^b ^c ^d 파인만(1964년, 페이지 15)
^ ^a ^b 텐서와 의사텐서, 리처드 피츠패트릭의 강의 노트
^ 잭슨(1999년, 페이지 246)
^ Kraus (1984년, 페이지 189년)
^ 파인만(1964년, 페이지 11, CPT 15)

레퍼런스

Duffin, W.J. (1990). Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill.
Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew (1964). The Feynman Lectures on Physics Volume 2. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02117-X.
Jackson, John David (1999), Classical Electrodynamics (3rd ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-30932-X
Kraus, John D. (1984), Electromagnetics (3rd ed.), McGraw-Hill, ISBN 0-07-035423-5

외부 링크

Wikimedia Commons의 자기 벡터 전위 관련 매체

[1] Neumann, Franz Ernst (January 1, 1846). "Allgemeine Gesetze Der Inducirten Elektrischen Ströme (General laws of induced electrical currents)". Annalen der Physik. 143 (11): 31–34. doi:10.1002/andp.18461430103.

[2] Yang, ChenNing (2014). "The conceptual origins of Maxwell's equations and gauge theory". Physics Today. 67 (11): 45–51. Bibcode:2014PhT....67k..45Y. doi:10.1063/PT.3.2585.

[Feynman1515-3] 파인만(1964년, 페이지 15)

[Fitzpatrick-4] 텐서와 의사텐서, 리처드 피츠패트릭의 강의 노트

[Jackson246-5] 잭슨(1999년, 페이지 246)

[KrausE-6] Kraus (1984년, 페이지 189년)

[Feynman1511-7] 파인만(1964년, 페이지 11, CPT 15)

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