교차상관행렬

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통계에 관한 시리즈의 일부
상관 및 공분산
랜덤 벡터의 경우 자기 상관 행렬 교차상관행렬 자동 공분산 행렬 교차 공분산 행렬
확률적 공정의 경우 자기 상관 함수 교차상관함수 자기공명함수 교차 공분산 함수
결정론적 신호의 경우 자기 상관 함수 교차상관함수 자기공명함수 교차 공분산 함수
v t

두 랜덤 벡터의 교차 상관 행렬은 랜덤 벡터의 모든 요소 쌍의 교차 상관 행렬을 요소로 포함하는 행렬이다. 교차상관 매트릭스는 다양한 디지털 신호 처리 알고리즘에 사용된다.

정의

For two random vectors ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$, each containing random elements whose expected value and variance exist, the cross-correlation matrix of ${\displaystyle \mathbf{X}}$ ${\$ 및 $Y$ ${\$는) 다음에^{[1]: p.337} 의해 정의됨$$

치수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ $[\displaystyle m\times n}$을(를) 가지고 있다$.$ 구성 요소별로 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y}}={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\operatorname {E} [X_{m}]Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}$

랜덤 벡터 $X{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및$$ $Y{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$은(는) 동일한 차원을 가질 필요가$$ 없으며 둘 중 하나가 스칼라 값일 수 있다.

예

For example, if ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$ are random vectors, then ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X$$} \mathbf {Y}$}}은$$(는) $3{\displaystyle \mathrm{}}$× ${\displaystyle 2}${\$displaystyle$3\$times 2}$ 매트릭스로$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle i}$,${\displaystyle j)}$ ${\displaystyle (i,j)}$ -th$$ 항목은 $E{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ Y ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \opername {E} [X_{i}$$Y_{j}]}$.

복합 랜덤 벡터의 교차 상관 행렬

If ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$ and ${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$ are complex random vectors, each containing random variables whose expected value and variance exist, the cross-correlation m$Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$및$$ $W{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$atrix는 다음에 의해 정의된다$$.

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W}\\triangleq \operatorname {E}[\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}]}}}}}}}$

여기서 ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$ ${\$은(는) 에르미타르의 전치를 의미한다.

상관성 없음

Two random vectors ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$ and ${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$ are called uncorrelated if

${\displaystyle \mathbf {X} \mathbf {Y}^{\rm {T}=\operatorname {E}[\mathbf {X} ]\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}$

교차 공분산 행렬 $K{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {X\mathbf{}}_{}}$ Y ${\$ 행렬이$$ 0인 경우에만 상관 관계가 없다.

$두{\displaystyle \mathbf{}}$ 개의 복잡한 랜덤 벡터 $Z{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$ 및 W$$ ${\$의 경우 다음과 같은$$ 경우 상관 관계가 없는 것으로 불린다.

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W}^{\rm {H}}=\operatorname {E}[\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}}$

그리고

${\displaystyle \operatorname {E}[\mathbf {Z} \mathbf {W}^{\rm {T}]=\operatorname {E}[\mathbf {Z} ][\mathbf {W} ]^{\rm {T}}}}.}$

특성.

교차 공분산 행렬에 대한 관계

교차 상관 행렬은 다음과 같이 교차 공분산 행렬과 관련된다.

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}$

복잡한 랜덤 벡터의 경우 각각:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

참고 항목

• 자기 상관
• 상관 관계가 인과 관계를 의미하지 않음
• 공분산 함수
• Pearson 제품 순간 상관 계수
• 상관 함수(astronomy)
• 상관 함수(통계 역학)
• 상관 함수(수량장 이론)
• 상호정보
• 비율 왜곡 이론
• 방사분포함수

참조

추가 읽기

• Hayes, Monson H, Statistical Digital Signal Processing and Modeling, John Wiley & Sons, Inc., 1996. ISBN 0-471-59431-8
• 솔로몬 W. 골롬, 그리고 광공. 양호한 상관 관계를 위한 신호 설계: 무선 통신, 암호화 및 레이더용. 케임브리지 대학 출판부, 2005.
• 솔타날리안 M. 능동 감지 및 통신을 위한 신호 설계. 웁살라 학위 논문(Elanders Sverige AB 인쇄), 2014년.